北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§1.2 常用逻辑用语
基础篇
【基础集训】
考点一 命题及其关系(旧课标)
π
1.命题“若α= ,则sin α=1”的逆否命题是 ( )
2
π π
A.若α≠ ,则sin α≠1 B.若α= ,则sin α≠1
2 2
π π
C.若sin α≠1,则α≠ D.若sin α=1,则α=
2 2
答案 C
2.有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
答案 D
考点二 充分条件与必要条件
3.已知等比数列{a}中,a>0,则“a<a”是“a<a”的 ( )
n 1 1 4 3 5
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
5.已知直线m、n和平面α,在下列给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是 ( )
A.m∥α,n∥α B.m⊥α,n⊥α
C.m∥α,n⊂α D.m、n与α所成的角相等
答案 D
4
6.“k=- ”是“直线y=kx+1与圆(x-2)2+y2=1相切”的( )
3
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案 A
考点三 简单的逻辑联结词(旧课标)北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
7.已知命题p:∀x∈R,3x>0;命题q:∃x∈R,logx<0.则下列命题为真命题的是 ( )
0 2 0
A.p∧q B.(¬p)∨(¬q)
C.(¬p)∧q D.p∧(¬q)
答案 A
π
8.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π;命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x= 对称,则下列结论正确
2
的是( )
A.p为假 B.¬q为假 C.p∨q为假 D.p∧q为假
答案 D
9.已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围
是 .
答案 a≤-2或a=1
考点四 全称量词与存在量词
10.命题“∀x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为 ( )
A.∀x∈R,x2-2x+4≥0 B.∃x
0
∈R,
x2
-2x
0
+4>0
0
C.∀x∉R,x2-2x+4≥0 D.∃x
0
∉R,
x2
-2x
0
+4>0
0
答案 B
11.命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是 ( )
0 0 0
A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1
C.∃x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.∃x∉(0,+∞),ln x=x-1
0 0 0 0 0 0
答案 A
12.下列命题为真命题的是 ( )
A.∃x
0
∈R,
x2
-x
0
+2=0
0
B.命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∃x
0
∈R,
x2
+x
0
+1=0”
0
C.∀θ∈R,函数f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函数
D.在△ABC中,“A=B”是“sin A=sin B”的充要条件
答案 D
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 命题及其关系(旧课标)
1.(2018豫南豫北高三第二次联考,2)若原命题为“若z,z 为共轭复数,则|z|=|z|”,则该命题的逆命题、否命
1 2 1 2
题、逆否命题真假性的判断依次为 ( )
A.真、真、真 B.真、真、假 C.假、假、真 D.假、假、假
答案 C 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真;若|z|=|z|,当z=1+i,z=-1+i时,这两个复数不是共轭复数,
1 2 1 2
所以原命题的逆命题为假,故其否命题也是假命题,故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2.(2017福建泉州惠南中学2月模拟,4)A,B,C三个学生参加了一次考试,其中A,B的得分均为70分,C的得分
为65分,已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格,在下列四个命题中,为p的逆否命题的是( )
A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格
B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分
C.若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分
D.若A,B,C至少有1人及格,则及格分不高于70分
答案 C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格的逆否
命题是若A,B,C至少有1人及格,则及格分不低于70分.故选C.
3.(2020广西南宁二中8月月考,6)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正
确的是( )
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
答案 B 易知选项A,D错误.∵f(x)=ex-mx,∴f '(x)=ex-m,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f '(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上
恒成立,∴m≤1,∴原命题是真命题,而其逆否命题为“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,由原
命题与其逆否命题的等价性可知其逆否命题也为真命题,故选B.
4.(2018山东济南外国语学校月考,3)原命题:“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,下列
说法错误的是 ( )
A.逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,为假命题
B.否命题:若a+b<2,则a,b都小于1,为假命题
C.逆否命题:若a,b都小于1,则a+b<2,为真命题
D.“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
答案 D 原命题:“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,
逆命题:“a,b为两个实数,若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,
否命题:“a,b为两个实数,若a+b<2,则a,b都小于1”,
逆否命题:“a,b为两个实数,若a,b都小于1,则a+b<2”,
逆否命题显然为真命题,故原命题也为真命题,
当a=1.5,b=0时,a+b≥2不成立,即逆命题为假命题,故否命题为假命题.
所以“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件.故选D.
5.(2018河北衡水金卷A信息卷(五),14)命题p:若x>0,则x>a;命题q:若m≤a-2,则m<sin x(x∈R)恒成立.若p的
逆命题,q的逆否命题都是真命题,则实数a的取值范围是 .
答案 [0,1)
解析 命题p的逆命题是若x>a,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则
a-2<-1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1).
6.下列命题正确的有 (填写所有正确命题的序号).
①“若loga>0,则函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
2 a
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
答案 ①④
解析 对于①,若loga>0,则a>1,所以函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)在其定义域内是增函数,故①不正确;易知②
2 a
正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为
奇数,故③不正确;对于④,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”互为逆否命题,因此二者等北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
价,所以④正确.综上,可知正确的有②④.
考点二 充分条件与必要条件
1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,2)“a=1”是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚
数”的 ( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则{ a2-1=0, ∴a=1, ∴“a=1”是“复数z=(a2-
2(a+1)≠0,
1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件,选A.
2.(2019浙江“七彩阳光”联盟期初联考,5,4分)“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 由直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行,可得3×2=m(m+1)⇔m=-3或m=2,所以“直线
3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的必要不充分条件.选B.
3.(2018天津滨海新区七校联考,4)已知集合A={x||x-1|+|x-4|<5},集合B={x|y=log(2x-x2)},则“x∈A”是“x∈B”
2
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 对于|x-1|+|x-4|<5,当x>4时,2x-5<5,解得x<5,∴4<x<5;当1≤x≤4时,x-1+4-x<5,即3<5,解得1≤x≤4;当
x<1时,-(x-1)-(x-4)<5,解得0<x<1.综上,可得A=(0,5).由y=log(2x-x2),得2x-x2>0,解得0<x<2,∴B=(0,2),则
2
“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
4.(2018江西南昌二中4月月考,3)下列命题:
①已知a,b∈R,“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件;
②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”是“|a+b|>1”的必要不充分条件;
③已知a,b∈R,“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件;
④命题p:“∃x
0
∈R,使ex 0≥x
0
+1且ln x
0
≤x
0
-1”的否定为¬p:“∀x∈R,都有ex<x+1且ln x>x-1”.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C ①已知a,b∈R,“a>1且b>1”能够推出“ab>1”,“ab>1”不能推出“a>1且b>1”,故①正确;
②已知平面向量a,b,“|a|>1,|b|>1”不能推出“|a+b|>1”,|a+b|>1不能推出|a|>1且|b|>1,故②不正确;
③已知a,b∈R,当a2+b2≥1时,a2+b2+2|a|·|b|≥1,则(|a|+|b|)2≥1,则|a|+|b|≥1,又a=0.5,b=0.5满足|a|+|b|≥1,但
a2+b2=0.5<1,所以“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件,故③正确;
④命题p:“∃x
0
∈R,使ex 0≥x
0
+1且ln x
0
≤x
0
-1”的否定为¬p:“∀x∈R,都有ex<x+1或ln x>x-1”,故④不正确.
所以真命题的个数为2.故选C.
5.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .
答案 3或4
解析 由题意可知一元二次方程有根,所以判别式Δ=16-4n≥0,解得n≤4,又n∈N*,逐个分析,当n=1,2时,方程
没有整数根;而当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.故一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的
充要条件是n=3或4.
6.设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 (北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
)
A.[ 1] B.( 1)
0, 0,
2 2
C.(-∞,0]∪[1 ) D.(-∞,0)∪(1 )
,+∞ ,+∞
2 2
答案 A 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.
1
解|4x-3|≤1,得 ≤x≤1,
2
故A={ 1 }.
x| ≤x≤1
2
解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,
故B={x|a≤x≤a+1}.
解法一:¬p所对应的集合为∁R A={
x|x<
1
或x>1
},¬q所对应的集合为∁R B={x|x<a或x>a+1}.
2
由¬p是¬q的必要不充分条件,知∁R B⫋∁R A,
{ 1 { 1
所以 a≤ , 或 a< ,
2 2
a+1>1 a+1≥1,
1
解得0≤a≤ .
2
故实数a的取值范围是[ 1].
0,
2
解法二:∵¬p是¬q的必要不充分条件,
∴q是p的必要不充分条件,
即p是q的充分不必要条件.
∴A⫋B,
{ 1 { 1
∴ a≤ , 或 a< , 解得0≤a≤1.
2 2
2
a+1>1 a+1≥1,
∴实数a的取值范围为[ 1].故选A.
0,
2
考点三 简单的逻辑联结词(旧课标)
1.(2017重庆第一次诊断,2)命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(q)表
示 ( )
A. 甲、乙两人数学成绩都低于100分北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分
C. 甲、乙两人数学成绩都不低于100分
D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分
答案 D 由题设可知,q表示乙的数学成绩不低于100分,则p∨(q)表示甲、乙两人至少有一人数学成绩
不低于100分,应选D.
2.(2019安徽六安第一中学模拟(四),3)已知命题p:若△ABC为锐角三角形,则sin A<cos B;命题q:∀x,y∈R,若
x+y≠5,则x≠-1或y≠6.则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∨(¬q) B.(¬p)∧q C.p∧q D.(¬p)∧(¬q)
答案 B 命题p:若△ABC为锐角三角形,则0<C<π,∴π>A+B>π,∴π>A>π-B>0,则sin A>sin(π )=cos
-B
2 2 2 2 2
B,可知p是假命题;
命题q:∀x,y∈R,若x+y≠5,则x≠-1或y≠6的逆否命题是∀x,y∈R,若x=-1且y=6,则x+y=5,是真命题,∴原命题q
是真命题.∴(¬p)∧q为真命题.
故选B.
3.(2019广东天河高中毕业班综合测试,7)已知命题p:若a=0.20.2,b=1.20.2,c=log 0.2,则a<c<b;命题q:“x-2≥0”
1.2
是“x-2>0”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∧q
答案 D 命题p:因为b=1.20.2>1,0<a=0.20.2<1,c=log 0.2<0,故b>a>c.故命题p为假命题.
1.2
命题q:“x-2≥0”是“x-2>0”的必要不充分条件,故命题q是真命题.
则(¬p)∧q为真命题.故选D.
4.(2019河北唐山第一次模拟,6)已知命题p: f(x)=x3-ax的图象关于原点对称;命题q:g(x)=xcos x的图象关于y
轴对称.则下列命题为真命题的是 ( )
A.¬p B.q C.p∧q D.p∧(¬q)
答案 D 对于f(x)=x3-ax,有f(-x)=(-x)3-a(-x)=-(x3-ax)=-f(x),为奇函数,其图象关于原点对称,所以p为真命题;对
于g(x)=xcos x,有g(-x)=(-x)cos(-x)=-xcos x=-g(x),为奇函数,其图象关于原点对称,所以q为假命题,则¬p为假命
题,p∧q为假命题,p∧(¬q)为真命题,故选D.
5.(2019陕西西安二模,5)已知命题p:对任意x>0,总有sin x<x;命题q:直线l:ax+2y+1=0,l:x+(a-1)y-1=0,若l∥l,
1 2 1 2
则a=2或a=-1.则下列命题中是真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧(¬q)
C.(¬p)∨q D.p∨q
答案 D 命题p:令f(x)=x-sin x,x∈(0,+∞),
则f '(x)=1-cos x,易知f '(x)≥0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=x-sin x>f(0)=0,
所以x>sin x.故命题p为真命题.
命题q:直线l:ax+2y+1=0,l:x+(a-1)y-1=0,若l∥l,则a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,当a=-1时,两直线重合.故命题
1 2 1 2
q为假命题.故p∨q为真命题.故选D.
1 1 1
6.(2019安徽六安一中3月模拟,7)设命题p:∃x
0
∈(0,+∞),3x 0+x
0
=
2 016
;命题q:∀a,b∈(0,8),a+
b
,b+
a
中至
少有一个不小于2,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1 1
答案 B 因为f(x)=3x+x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1> ,∴p假;假设a+ ,b+ 都小于2,则a+
2 016 b a
1 1 1 1
+b+ <4,又根据基本不等式可得a+ +b+ ≥4,矛盾,∴q真,∴(p)∧q为真命题,故选B.
b a b a
解题关键 正确判断每个简单命题的真假与正确应用真值表是求解此类问题的关键.
考点四 全称量词与存在量词
1.(2017河北五个一名校联考,3)命题“∃x∈R,1<f(x)≤2”的否定形式是 ( )
0 0
A.∀x∈R,1<f(x)≤2 B.∃x∈R,1<f(x)≤2
C.∃x∈R, f(x)≤1或f(x)>2 D.∀x∈R, f(x)≤1或f(x)>2
答案 D 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x∈R, f(x)≤1或f(x)>2”.故选D.
2.(2017青海西宁二模,4)下列命题中的假命题是 ( )
A.∀x∈R,21-x>0
B.∃a∈R,使函数y=xa的图象关于y轴对称
C.∃a∈R,使函数y=xa的图象经过第四象限
D.∀x∈(0,+∞),2x>x
答案 C 对于A,根据函数y=21-x的图象可以判断A正确;
对于B,当a=2时,函数y=xa的图象关于y轴对称,故B正确;
对于C,对于函数y=xa,当x为正值时,y不可能为负,故C错;
对于D,根据函数y=2x,y=x的图象,可判定2x>x,故D正确.故选C.
3.(2019河南八所重点高中第二次联合测评,2)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|
∈B,则¬p为( )
A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉B
C.∃f(x)∈A,|f(x)|∉B D.∃f(x)∉A,|f(x)|∉B
答案 C 全称命题的否定为特称命题,一是要改写量词,二是要否定结论,所以由命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,得
¬p为∃f(x)∈A,|f(x)|∉B,故选C.
4.(2019北京海淀一模文,4)已知a<b,则下列结论中正确的是 ( )
A.∀c<0,a>b+c B.∀c<0,a<b+c
C.∃c>0,a>b+c D.∃c>0,a<b+c
答案 D 判断一个命题正确需要证明,判断一个命题错误,只需举一个反例即可.
对于A选项,当a=1,b=3,c=-1时不成立,故A中结论错误;对于B选项,当a=1,b=3,c=-3时不成立,故B中结论错
误;对于C选项,当a<b,c>0时,a<b+c恒成立,故C中结论错误,D中结论正确,故选D.
5.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,4)给出下列四个命题,其中是假命题的为 ( )
A.“∀x∈R,sin x≤1”的否定为“∃x∈R,sin x>1”
0 0
B.“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是“若a-5≤b-5,则a≤b”
C.∀x∈R,2x-1>0
D.∃x∈(0,2),使得sin x=1
0 0
答案 C 逐一考察所给的命题:
A.“∀x∈R,sin x≤1”的否定为“∃x∈R,sin x>1”,该命题是真命题;
0 0
B.“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是“若a-5≤b-5,则a≤b”,该命题是真命题;
C.当x=0时,2x-1=0,则∀x∈R,2x-1>0是假命题;
π
D.显然当x= 时,sin x=1成立,该命题是真命题.
0 0
2
故选C.
