北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.2 函数的基本性质
【5 年高考】
考点一 函数的单调性及最值
1.(2020新高考Ⅱ,7,5分)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[5,+∞)
答案 D
2.(2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( )
A.是偶函数,且在(1 )单调递增
,+∞
2
B.是奇函数,且在( 1 1)单调递减
- ,
2 2
C.是偶函数,且在( 1)单调递增
-∞,-
2
D.是奇函数,且在( 1)单调递减
-∞,-
2
答案 D
3.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则 ( )
A. f ( 1)>f( 3)>f( 2)
log - -
34 2 2 2 3
B. f ( 1)>f( 2)>f( 3)
log - -
34 2 3 2 2
C. f( 3)>f( 2)>f ( 1)
- - log
2 2 2 3 34
D. f( 2)>f( 3)>f ( 1)
- - log
2 3 2 2 34
答案 C
4.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围
是( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
答案 D
5.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-(1) x ,则f(x)( )
3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A
6.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R上的增函数,则a
的取值范围是 .
答案 -1;(-∞,0]
7.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),
则a的取值范围是 .
答案 (1 3)
,
2 2
考点二 函数的奇偶性
8.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范
围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
答案 D
2
9.(2020江苏,7,5分)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, f(x)= ,则f(-8)的值是 .
x3
答案 -4
考点三 函数的周期性
10.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…
+f(50)= ( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
答案 C
1
11.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x> 时, f
2
( 1)=f( 1).则f(6)= ( )
x+ x-
2 2
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D
12.(2021新高考适应卷,15,5分)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
答案 sin πx(答案不唯一)
13.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f ( 5)+
-
2
f(1)= .
答案 -2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 函数的单调性及最值
1.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
1 g 1
A.y= x2 B.y=2-x C.y=lo 1
2
x D.y=
x
答案 A 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是
直观想象.
1 1
A选项, >0,所以幂函数y= 在(0,+∞)上单调递增.
2
x2
B选项,指数函数y=2-x=(1) x 在(0,+∞)上单调递减.
2
1 g
C选项,因为0< <1,所以对数函数y=lo 1x在(0,+∞)上单调递减.
2 2
1
D选项,反比例函数y= 在(0,+∞)上单调递减.
x
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.
2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( )
1
A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x
1-x
1 1 1 1
答案 D 选项A中,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位得到的,故y= 在
1-x -(x-1) x 1-x
(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,
y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选
项D符合题意.
评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
1
3.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是 ( )
1+x2
A.(1 ) B.( 1)∪(1,+∞)
,1 -∞,
3 3
C.( 1 1) D.( 1)∪(1 )
- , -∞,- ,+∞
3 3 3 3
1 1 2x
答案 A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)- ,∴f '(x)= + >0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-
1+x2 1+x (1+x2)2
x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
1
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得 <x<1,故选A.
3
4.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b
答案 B 依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.
x
5.(2016北京文,10,5分)函数f(x)= (x≥2)的最大值为 .
x-1
答案 2
-1
解析 解法一:∵f '(x)= ,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立,
(x-1)2
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
x x-1+1 1
解法二:∵f(x)= = =1+ ,
x-1 x-1 x-1
1 1
∴f(x)的图象是将y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 在[2,+∞)上单调递减,
x x
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
1
解法三:由题意可得 f(x)=1+ .
x-1
1
∵x≥2,∴x-1≥1,∴0< ≤1,
x-1
1 x
∴1<1+ ≤2,即1< ≤2.
x-1 x-1
故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.
评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
{ x2, x≤1,
6.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)= 则f(f(-2))= , f(x)的最小值是
6
x+ -6, x>1,
x
.
1
答案 - ;2√6-6
2
6 1
解析 f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+ -6=- .
4 2
当x≤1时, f(x)=x2≥0,
6
当x>1时,f(x)=x+ -6≥2√6-6,
x
当且仅当x=√6时,等号成立,
又2√6-6<0,所以f(x) =2√6-6.
min
考点二 函数的奇偶性
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是 ( )
A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确
的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错
误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|
g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D
项错误,选C.
评析 本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数
奇偶性的定义是解决本题的关键.
3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是 ( )
A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
答案 B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.
评析 本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.
4.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln( -x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .
√1+x2
答案 -2
解析 本题考查函数的奇偶性.
易知f(x)的定义域为R,
令g(x)=ln( -x),
√1+x2
则g(x)+g(-x)=0,
∴g(x)为奇函数,
∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.
解题关键 观察出函数g(x)=ln( -x)为奇函数.
√1+x2
5.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
答案 12
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
6.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .
√a+x2
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0,
√a+x2 √a+x2 √a+x2 √a+x2
∴ln[( )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
√a+x2
7.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .
答案 3
解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
8.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinx
的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
x2+1
答案 2
解析
f(x)=x2+1+2x+sinx=1+2x+sinx,令g(x)=2x+sinx,则g(x)为奇函数,有g(x)
+g(x) =0,故
max min
x2+1 x2+1 x2+1
M+m=2.
考点三 函数的周期性
(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则f(919)=
.
答案 6
解析 本题考查函数的奇偶性与周期性.
由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),
故f(x)是周期为6的函数.
所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).
因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).
又x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.
从而f(1)=6,故f(919)=6.
方法小结 函数周期性的判断:
一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;
若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;
1
若f(x+T)= (f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.
f (x)
【3 年模拟】
时间:60分钟 分值:95分
一、单项选择题(每题5分,共50分)
1.(2019山东单县五中9月月考,8)若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2+1)>f(-m+1),则实数m的取值范围是
( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案 D
2.(2020四川绵阳南山中学9月月考,6)已知函数f(x)、g(x)分别是定义在实数集R上的奇函数和偶函数且满
足f(x)-g(x)=ex,则有 ( )
A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
答案 D
3.(2019山东师范大学附中二模,10)函数f(x)是R上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数
f(x)在[3,5]上是 ( )
A.增函数 B.减函数北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.先增后减的函数 D.先减后增的函数
答案 D
4.(2020福建南平第一次综合质量检测)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递减的是 ( )
1
A.y=2x-2-x B.y=xtan x C.y=x-sin x D.y= -2x
x
答案 D
5.(2020山西平遥中学第一次月考,6)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x), f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,
f(x)=log(x+1),则f(31)= ( )
2
A.0 B.1 C.-1 D.3
答案 C
6.(2020福建高三毕业班质量检查测试)已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称,给出下列关
于f(x)的结论:
①f(x)是周期函数;
②f(x)满足f(x)=f(4-x);
③f(x)在(0,2)上单调递减;
πx
④f(x)=cos 是满足条件的一个函数.
2
其中正确结论的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
7.(2020吉林白城通榆一中第一次月考,6)函数y=2- 的值域是 ( )
√-x2+4x
A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[-√2,√2]
答案 C
8.(2020福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试)已知函数g(x)=(x+1)ex-x+1,则下列说法错误的
ex+1
是 ( )
A.g(x)的定义域是R B.g(x)是偶函数
C.g(x)在(0,+∞)上单调递减 D.g(x)的最小值为1
答案 C
9.(2019山西长治二模,7)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)= ( )
A.336 B.337 C.338 D.339
答案 C
1+x
10.(2019福建厦门模拟,7)已知函数f(x)=ln +x,且f(a)+f(a+1)>0,则a的取值范围为 ( )
1-x
A.( 1) B.( 1 ) C.( 1 ) D.( 1 )
-1,- - ,0 - ,1 - ,+∞
2 2 2 2
答案 B
