北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.1 函数的概念
专题检测
{ 1
x+ ,x>2,
1.(2018安徽合肥一模,3)已知函数f(x)= 则f(f(1))= ( )
x-2
x2+2,x≤2,
1
A.- B.2 C.4 D.11
2
{ 1
答案 C ∵函数f(x)= x+ ,x>2, ∴f(1)=12+2=3, ∴f(f(1))=f(3)=3+ 1 =4.故选C.
x-2
3-2
x2+2,x≤2,
a π
2.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),8)已知函数f(x)= +bcos x+x,且满足f(1-√2)=3,则f(1+√2)=
1-x 2
( )
A.2 B.-3 C.-4 D.-1
答案 D 当x
1
+x
2
=2时, f(x
1
)+f(x
2
)= a +bcos(π
x
)+x
1
+ a +bcos(π
x
)+x
2
= a +bcos
1-x 2 1 1-x 2 2 1-x
1 2 1
(π )+x+ a +bcos π (2-x) +x=x+x=2.
x 1 1 2 1 2
2 1 x -1 2
1
所以函数f(x)的图象关于(1,1)对称,从而f(1+√2)=2-f(1-√2)=2-3=-1,故选D.
3.(2017河北石家庄二中三模,5)已知函数f(x)={-log
2
(3-x),x<2,
若f(2-a)=1,则f(a)= ( )
2x-2-1,x≥2,
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 A 当2-a≥2,即a≤0时, f(2-a)=22-a-2-1=1,
解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-log[3-(-1)]=-2;
2
当2-a<2,即a>0时, f(2-a)=-log[3-(2-a)]=1,
2
1
解得a=- ,舍去,∴f(a)=-2.故选A.
2
{
|log x|,0<x≤3,
3
4.(2018天津南开三模,8)已知f(x)= a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),
1 10
x2- x+8,x>3,
3 3
则abcd的取值范围是 ( )
A.(18,28) B.(18,25) C.(20,25) D.(21,24)
答案 D 作出函数f(x)的图象,如图所示,
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∵a,b,c,d是互不相同的正数,
且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),
不妨设a<b<c<d,
则有-loga=logb,3<c<4,d>6,
3 3
且c+d=10,
∴ab=1,d=10-c,
∴abcd=c(10-c)=-c2+10c(3<c<4),
由二次函数图象及性质得-32+10×3<-c2+10c<-42+4×10,
∴21<abcd<24,故选D.
5.(2017山西名校联考,5)设函数f(x)=lg(1-x),则函数f[f(x)]的定义域为 ( )
A.(-9,+∞) B.(-9,1) C.[-9,+∞) D.[-9,1)
{ 1-x>0,
答案 B f[f(x)]=f[lg(1-x)]=lg[1-lg(1-x)],则 ⇒-9<x<1.故选B.
1-lg(1-x)>0
6.(2017重庆巴蜀中学期中,5)下列函数中与y=x相等的函数是 ( )
A.y=(√x)2 B.y=log2x
2
C.y=2logx D.y=
2 √x2
答案 B A中函数y=(√x)2=x(x≥0)的定义域与y=x不同,故不是相等函数;
B中函数y=log2x的定义域与解析式与y=x均相同,故是相等函数;
2
C中函数y=logx(x>0)的定义域与y=x不同,故不是相等函数;
2
D中函数y= =|x|的解析式与y=x不同,故不是相等函数.故选B.
√x2
思路分析 分析函数的定义域和解析式,进而根据相等函数的定义得到答案.
方法总结 两个函数是同一函数需要两个条件:①两个函数的定义域是同一个集合;②两个函数的解析式可
以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足.
7.(2016浙江镇海中学测试(五),1)下列函数中,与函数 f(x)=x的定义域、值域均相同的是( )
1
A.y=2x- B.y=x2
2x
1
C.y=x+ D.y=tan x
x
1
答案 A 由题意知,函数f(x)=x的定义域和值域都为R.y=x2的值域为[0,+∞),y=x+ 的值域是(-
x
∞,-2]∪[2,+∞),y=tan x的定义域为 {
x∈R
|
x≠kπ+
π
,k∈Z
}.故选A.
2
8.(2018豫南九校第六次质量考评,6)已知函数f(x)={(a-2)x+3a+1,x≤3,
(a>0且a≠1),若f(x)有最
2ax-2,x>3
小值,则实数a的取值范围是 ( )
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A.( 5] B.( 5)
0, 1,
6 4
C.( 5]∪( 5] D.(0,1)∪[5 )
0, 1, ,+∞
6 4 4
答案 C 根据题意,可得f(x)的最小值为f(3)=6a-5,则a-2≤0, f(x)的图象如图所示:
{ 1<a≤2, { 0<a<1, 5 5
∴ 或 解得1<a≤ 或0<a≤ ,
6a-5≤2a 6a-5≤0, 4 6
则实数a的取值范围是( 5]∪( 5].故选C.
0, 1,
6 4
易错警示 分段函数求最值应该分别求出每个区间上的最值,然后比较大小,最小的就是分段函数的最小值.
此题有两种情况,考虑不全面是失分的主要原因.
9.(2018陕西西安八校第一次联考,16)设函数f(x)={x+1,x≤0,
则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是
2x,x>0,
.
答案 (0,+∞)
解析 ①当x≤0时,x-1≤-1,
∴f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+1>1,即x>0,此时无解.
②当0<x≤1时,x-1≤0,
∴f(x)+f(x-1)=2x+(x-1)+1=2x+x,
∵2x>20=1,
∴此时f(x)+f(x-1)>1恒成立.
③当x>1时,x-1>0,
∴f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=3·2x-1,
∵2x-1>20=1,
∴此时f(x)+f(x-1)>1恒成立.
综上所述,满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是(0,+∞).
解题关键 解答本题的关键是利用分类讨论的思想进行求解,分x≤0,0<x≤1和x>1三种情况讨论,并结合函
数的单调性解答.
10.(2018江苏淮安、宿迁期中,12)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称,且它们的图象拼成如图所示的
“Z”形折线段ABOCD,不含A(0,1),B(1,1),O(0,0),C(-1,-1),D(0,-1)五个点.则满足题意的函数f(x)的一个解析式
为 .
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{x,x∈(-1,0)
答案 f(x)= (答案不唯一)
1,x∈(0,1)
解析 由题图可知,线段OC与线段OB是关于原点对称的,
线段CD与线段BA也是关于原点对称的,
因为f(x)与g(x)的图象关于原点对称,
所以f(x)的图象可以在OC或CD中选取一个,再在AB或OB中选取一个,
组合形式为OC和AB,CD和OB,
OC的方程为y=x(-1<x<0),OB的方程为y=x(0<x<1),
{x,x∈(-1,0), {-1,x∈(-1,0),
所以f(x)= g(x)=
1,x∈(0,1), x,x∈(0,1)
{-1,x∈(-1,0), {x,x∈(-1,0),
或f(x)= g(x)=
x,x∈(0,1), 1,x∈(0,1).
1
{ 1,0≤x< ,
2
11.(2017北京东城一模,14)已知函数f(x)= 和g(x)={ 1,0≤x<1, 则g(2x)=
1
-1, ≤x<1, 0,x<0或x≥1,
2
0,x<0或x≥1
;若m,n∈Z,且m·g(n·x)-g(x)=f(x),则m+n= .
1
{ 1,0≤x< ,
答案 2 4
1
0,x<0或x≥ ;
2
1
{ 1,0≤x< ,
解析 由题意可得g(2x)= 2
1
0,x<0或x≥ .
2
1
{ 2,0≤x< ,
∵m·g(n·x)-g(x)=f(x),∴m·g(n·x)=f(x)+g(x)= 2 =2g(2x),
1
0,x<0或x≥
2
∴m=n=2,即m+n=4.
思路分析 先利用分段函数的定义域求出g(2x),再求出f(x)+g(x)的结果,最后利用待定系数法求出m、n的值,
并求和.
1
12.(2018重庆万州二模,13)设函数y=ex+ -a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是 .
ex
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答案 a≤2
解析 ∵ex+ 1 ≥2√ 1 ·ex=2,当且仅当x=0时取等号,∴函数y=ex+ 1 -a的值域A=[2-a,+∞).
ex ex ex
又∵A⊆[0,+∞),∴2-a≥0,即a≤2.
方法总结 求函数值域的常用方法:换元法、单调性法、基本不等式、数形结合法.
13.(2019浙江温州高三适应性检测,15)已知函数f(x)={x2+λx+3,x≤2,
当λ=5时,不等式f(x)<-1的解集
2-log x,x>2.
2
是 ;若函数f(x)的值域是R,则实数λ的取值范围是 .
答案 (-4,-1)∪(8,+∞);(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞)
解析 若x≤2,则f(x)<-1,即x2+5x+4<0,
解得x∈(-4,-1);
若x>2,则f(x)<-1,即2-logx<-1,解得x∈(8,+∞),取并集得到不等式的解集为(-4,-1)∪(8,+∞).
2
当x>2时, f(x)=2-log
2
x<2-log
2
2=1,要使函数f(x)的值域为R,则需当x≤2时, f(x)的最小值不大于1.①当对称轴
λ 12-λ2 λ
x=- <2,即λ>-4时,必须 ≤1,解得λ∈(-4,-2√2]∪[2√2,+∞),②当对称轴x=- ≥2,即λ≤-4时,必须
2 4 2
4+2λ+3≤1,解得λ∈(-∞,-4],取并集可得λ的取值范围是(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞).
14.(2018南通如皋教学质量调研(一)改编,19)已知二次函数f(x)为偶函数且图象经过原点,其导函数f '(x)的图
象过点(1,2).求函数f(x)的解析式.
解析 由二次函数f(x)的图象经过原点,
可设f(x)=ax2+bx(a≠0),
又因为f(x)为偶函数,
所以对任意实数x∈R,都有f(-x)=f(x),即a(-x)2+b(-x)=ax2+bx,
所以2bx=0对任意实数x∈R都成立,故b=0.
所以f(x)=ax2, f '(x)=2ax,
又因为导函数f '(x)的图象过点(1,2),
所以2a×1=2,解得a=1.
所以f(x)=x2.
15.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R恒有f(x)≤g(x)
成立.
(1)求证:g(x)>0恒成立;
g(x)
(2)设b=0时,记h(x)= (x∈[2,+∞)),求函数h(x)的值域;
f (x)
(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
解析 (1)证明:f(x)≤g(x)恒成立,即x2+(b-2)x+c-b≥0,
∴Δ=(b-2)2-4(c-b)≤0,
∴b2-4c+4≤0,∴b2-4c≤-4<0,∴g(x)>0恒成立.
(2)∵b=0,∴h(x)=1( c),由(1)知c≥1.
x+
2 x
当1≤c≤4时,h(x)在[2,+∞)上为增函数,
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∴h(x)的值域为[ c );
1+ ,+∞
4
当c>4时,h(x)在[2,√c]上为减函数,在[√c,+∞)上为增函数,
∴h(x)的值域为[√c,+∞).
综上,1≤c≤4时,h(x)的值域为[ c ),c>4时,h(x)的值域为[ ,+∞).
1+ ,+∞ √c
4
(3)由(1)推得b2-4c+4≤0,∴4c-4b≥b2-4b+4=(b-2)2≥0,∴c-b≥0,
同理,c+b≥0,又g(c)-g(b)≤M(c2-b2),即(c+2b)(c-b)≤M(c2-b2),
当c2=b2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b2,∴M∈R;
c+2b b
当c-b>0且c+b>0时,M≥ =1+ 恒成立,
c+b c+b
∴只需求当c>b>0时,
1
b b
的最大值即可,而 =c ,
c+b c+b +1
b
c b 1
∵ >1,∴ < ,
b c+b 2
3 3
∴M≥ ,即M的最小值为 .
2 2
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