北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
基础篇 固本夯基
考点 导数的概念及运算
lnx
1.(2022届重庆南开中学质检一,4)若曲线y= -ax2(a∈R)在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行,则a=(
x
)
1 1
A.- B.-
2 4
1
C. D.2
2
答案 A
2.(2021山东师大附中一模,4)设f(x)=sin x,f(x)=f '(x), f(x)=f '(x),……, f (x)=f '(x),n∈N*,则f (x)=(
1 2 1 3 2 n+1 n 2 020
)
A.sin x B.-sin x
C.cos x D.-cos x
答案 D
3.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
答案 y=2x
ex e
4.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= .
x+a 4
答案 1
lim f(1)−f(1−2Δx)
5.(2021河北邯郸一模,13)已知函数f(x)=ax2+ln x满足 =2,则曲线y=f(x)在点
Δx→0
3Δx
(1
, f
(1))处的切线斜率为
.
2 2
答案 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
lnx
6.(2022届长沙长郡中学月考一,15)设函数f(x)= -ax,若曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2,-1),则实数a
x
的值为 ;f(x)在[1 ](e为自然对数的底数)上的最小值为 .
,e
e
1
答案 1;-e-
e
2x−1
7.(2021全国甲理,13,5分)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
答案 y=5x+2
8.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距
为 .
答案 1
9.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 .
答案 e
10.(2021湖南衡阳一模,13)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=1, f(x)的导函数为f '(x),则f '(-2 019)-f
'(2 021)= .
答案 0
11.(2021辽宁铁岭一模,13)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=ax2-2x+1,且曲线y=f(x)在点
(1, f(1))处的切线斜率为4,则a= .
答案 -3
12.(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): .
①f(xx)=f(x)f(x);②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数.
1 2 1 2
答案 f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)
13.(2021山东聊城三模,13)曲线y=ex+x2-2x在x=0处的切线的倾斜角为α,则sin( π)= .
2α+
3 2
4
答案
5
综合篇 知能转换
考法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数的方法北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1.(2022届华大新高考联盟联考,5)已知f(x)=ax+a+cos x(a∈R),则曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为( )
A.x-y+2=0 B.x+y-2=0
C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0
答案 A
2.(2022届福建南平10月联考,5)若直线y=x+m与曲线y=ex-2n相切,则( )
1
A.m+n为定值 B. m+n为定值
2
1 1
C.m+ n为定值 D.m+ n为定值
2 3
答案 B
3.(2022届百师联盟9月一轮复习联考(一),9)已知点A是函数f(x)=x2-ln x+2图象上的点,点B是直线y=x上
的点,则|AB|的最小值为 ( )
4√3 16
A.√2 B.2 C. D.
3 3
答案 A
lnx
4.(2022届“四省八校”期中,4)已知曲线y=x+ 在点(1,1)处的切线与直线x+2y=0垂直,则k的值为(
k
)
1 1
A.1 B.-1 C. D.-
2 2
答案 A
5.(2022届山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,则曲线f(x)与g(x)的公切线
条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
6.(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
1
7.(2021广东肇庆二模,5)曲线f(x)=ln x- 在(1, f(1))处的切线方程为( )
x
A.2x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.2x+y-3=0 D.2x+y-1=0
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.(2018课标Ⅰ理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(
)
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
9.(2021广东深圳中学达标测试,5)已知函数f(x)=x2-2m,g(x)=3ln x-x,若曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切
线相同,则m=( )
A.-3 B.1 C.2 D.5
答案 B
10.(2021广东深圳中学达标测试,6)已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则曲线y=f(x)在点(3,0)处的切线方
程为( )
A.y=4x+12 B.y=-4x+12
C.y=-4x-12 D.y=4x-12
答案 D
11.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a B.ea<b
C.0<a<eb D.0<b<ea
答案 D
12.(多选)(2021济南一模,10)已知函数f(x)=x3-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下列说法正确的是(
)
A.a=3
B. f(x)在x=-1处取得极大值
C.当x∈(-2,1]时, f(x)∈(-1,3]
D. f(x)的图象关于点(0,1)中心对称
答案 ABD
13.(2021百师联盟联考(二),15)直线y=2x+m与函数f(x)=xex-2ln x+3(e为自然对数的底数)的图象相切于点
A(x,y),则x+ln x= .
0 0 0 0
答案 ln 2
14.(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x<0,x>0,函数f(x)的图象在点A(x, f(x))和点B(x, f(x))处
1 2 1 1 2 2
|AM|
的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是 .
|BN|
答案 (0,1)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
cosax
15.(2021山东日照二模,21改编)已知f(x)=acos x- ,其中a>0且a≠1.若a=2,φ(x)=f '(x),曲线y=φ(x)在
a
点(t,φ(t))处的切线为l,求直线l的斜率k的取值范围.
cos2x
解析 当a=2时, f(x)=2cos x- ,
2
φ(x)=f '(x)=sin 2x-2sin x,则φ'(x)=2cos 2x-2cos x=4cos2x-2cos x-2,所以k=φ'(t)=4cos2t-2cos t-2,
令m=cos t,m∈[-1,1],则k=4m2-2m-2,
当m=1时,k =-9,当m=-1时,k =4,所以直线l的斜率k的取值范围是[ 9 ].
min max − ,4
4 4 4
16.(2021全国乙文,21,12分)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
解析 (1)由f(x)=x3-x2+ax+1可得f '(x)=3x2-2x+a,
对于3x2-2x+a=0,Δ=4-12a.
1
①当a≥ 时,Δ≤0,即f '(x)≥0在R上恒成立,此时f(x)在R上单调递增.
3
1 1−√1−3a 1+√1−3a
②当a< 时,Δ>0,方程3x2-2x+a=0的两个根为x= ,x= ,故当x∈
3 1 3 2 3
( 1−√1−3a) 1+√1−3a 1−√1−3a 1+√1−3a
−∞, ∪ ,+∞ 时, f '(x)>0,当x∈ , 时, f
3 3 3 3
( 1−√1−3a) (1+√1−3a ) 1−√1−3a
'(x)<0,所以f(x)在 −∞, 和 ,+∞ 上单调递增,在 ,
3 3 3
1+√1−3a
上单调递减.
3
(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x
0
,y
0
),则切线的斜率为f '(x
0
)=3
x2
-2x
0
+a,
0北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
故以点P为切点的切线方程为y=(3
x2
-2x
0
+a)(x-x
0
)+y
0
.由y
0
=
x3
-
x2
+ax
0
+1,且切线过原点,得2
x3
-
x2
-1=0,即
0 0 0 0 0
(x
0
-1)(2 x2+x
0
+1)=0,解得x
0
=1,从而得P(1,1+a).所以切线方程为y=(1+a)x,联立{ y=(1+a)x, 消去y
0 y=x3−x2+ax+1,
得x3-x2-x+1=0,即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1,∴公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a).
17.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
1
解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex-1- .
x
(1)当a=e时, f(x)=ex-ln x+1, f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即
y=(e-1)x+2.
−2 2
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为 ,2.因此所求三角形的面积为 .
e−1 e−1
(2)当0<a<1时, f(1)=a+ln a<1.
1
当a=1时, f(x)=ex-1-ln x, f '(x)=ex-1- .当x∈(0,1)时,f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以当x=1时, f(x)取
x
得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时, f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
