北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.6 函数与方程及函数的综合应用
一、选择题
1
1.(2022届四川南充月考,4)函数f(x)= -ln x的零点所在的区间为( )
x
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
1
答案 B 易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=1>0,f(2)= -ln 2<0,故f(x)有唯一零点,且在区间(1,2)上,故选
2
B.
2.(2021江西顶级名校月考,3)利用二分法求方程logx=3-x的近似解,可以取的一个区间是( )
3
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案 C 设f(x)=logx-3+x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=log2-1<0,f(3)=1-3+3=1>0,故f(x)在(2,3)上
3 3
有唯一零点,故方程logx=3-x在区间(2,3)上有解,故选C.
3
1
3.(2021山西吕梁一模,9)函数f(x)=2x+ x-5的零点x 0∈(a-1,a),a∈N*,则a=( )
4
A.1 B.2 C.3 D.4
1 1 3
答案 C 因为f(1)=2+ -5<0, f(2)=4+ -5<0, f(3)=8+ -5>0,所以f(2)·f(3)<0,又知f(x)在R上单调递增,且
4 2 4
其图象是一条连续不断的曲线,故函数零点所在区间为(2,3),故a=3.故选C.
4.(2022届湖北襄阳五中10月月考,3)下列函数在(0,+∞)上单调递增且存在零点的是( )
A.y=x2-x-3 B.y=-0.2x
1
C.y=sin 2x D.y=x-
x
答案 D 对于A,y=x2-x-3在( 1)上单调递减,故A不符合题意;对于B,令-0.2x=0,方程无解,故B不符合
0,
2
题意;对于C,y=sin 2x在(π 3π)上单调递减,故C不符合题意;对于D,y=x-1在(0,+∞)上单调递增,令x-
,
4 4 x
1
=0,得x=±1,在(0,+∞)上存在零点x=1,D符合题意.故选D.
x北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.(2020四川石室中学月考,7)已知函数f(x)=(1) x -log
2
x,设0<a<b<c,且满足f(a)·f(b)·f(c)<0,若实数x
0
是方程
3
f(x)=0的一个解,那么下列不等式中不可能成立的是( )
A.x<a B.x>c C.x<c D.x>b
0 0 0 0
答案 B 易得f(x)=(1) x -log
2
x在(0,+∞)上是连续的减函数.由f(a)·f(b)·f(c)<0,得f(a)<0, f(b)<0, f(c)<0或
3
f(a)>0, f(b)>0, f(c)<0,∴x<a或b<x<c.故选B.
0 0
6.(2022届黑龙江八校期中联考,11)已知f(x)=e-x-ln x-2x,若x 是函数f(x)的一个零点,则x+ln x 的值为(
0 0 0
)
1
A.0 B. -1 C.1 D.e+1
e
答案 A 由题意可知, f(x
0
)=e -x 0-ln x
0
-2x
0
=0,所以e -x 0-x
0
=x
0
+ln x
0
.设g(x)=x+ln x(x>0),故g(e-x)=e-x+ln e-
x=e-x-x,从而g(e -x 0)=g(x
0
),易知g(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,故e -x 0=x
0
,即ln e -x 0=ln x 0⇒-x
0
=ln x
0
,从而
x+ln x=0.故选A.
0 0
7.(2022届北京一六六中学10月月考,9)已知函数f(x)=x2-1+a(ex+e-x)有唯一的零点,则a的值为( )
1 1 1 1
A.- B. C. D.-
2 2 3 3
答案 B 因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=x2-1+a(e-x+ex)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y
1
轴对称,因为f(x)=x2-1+a(ex+e-x)有唯一的零点,所以零点为x=0,即f(0)=-1+a×(1+1)=0,解得a= .故选B.
2
8.(2022届北京交大附中开学测试,6)已知x
0
是函数f(x)=(1) x +1的一个零点,且x 1∈(-∞,x
0
),x 2∈(x
0
,0),则(
2 x
)
A.f(x)<0, f(x)<0
1 2
B.f(x)>0, f(x)>0
1 2
C.f(x)<0, f(x)>0
1 2
D.f(x)>0, f(x)<0
1 2
答案 D ∵y=(1) x 在(-∞,0)上单调递减,y=1在(-∞,0)上单调递减,∴f(x)=(1) x +1在(-∞,0)上单调递
2 x 2 x
减,∵f(x)=0,x<x,x<x<0,∴f(x)>0, f(x)<0.故选D.
0 1 0 0 2 1 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9. (2021合肥质监,6)2019年1月1日起,我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数据确
定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合
所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中,“基本减除费用”(免征额)为
每年60 000元.部分税率与速算扣除数见下表:
全年应纳税所得 速算
级数 税率(%)
额所在区间 扣除数
1 [0,36 000] 3 0
2 (36 000,144 000] 10 2 520
3 (144 000,300 000] 20 16 920
4 (300 000,420 000] 25 31 920
5 (420 000,660 000] 30 52 920
若某人全年综合所得收入额为249 600元,专项扣除占综合所得收入额的20%,专项附加扣除是52 800元,依
法确定其他扣除是4 560元,则他全年应缴纳的个人所得税应该是( )
A.5 712元 B.8 232元
C.11 712元 D.33 000元
答案 A 由题意可得应纳税所得额为249 600-60 000-249 600×20%-52 800-4 560=82 320(元),根据表格
可知,应纳税所得额位于区间(36 000,144 000],所以他全年应缴纳的个人所得税为82 320×10%-2 520=5
712(元),故选A.
10.(2022届山西忻州顶级名校联考,12)已知函数f(x)={ ex,x≥0, 若关于x的方程[f(x)]2+f(x)+t=0有
lg(-x),x<0,
三个不同的实数根,则t的取值范围为( )
A.(-∞,-2]
B.[1,+∞)
C.[-2,1]
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 作出f(x)的图象,如图所示,令f(x)=m,当m<1时,y=f(x)的图象与直线y=m有1个交点,即f(x)=m有
1个根.当m≥1时,y=f(x)的图象与直线y=m有2个交点,即f(x)=m有2个根,则关于x的方程
1
[f(x)]2+f(x)+t=0转化为m2+m+t=0,由题意得Δ=12-4t>0,解得t< ,方程m2+m+t=0的两根 为m=
1
4
-1-√1-4t -1+√1-4t
,m= ,
2
2 2
{
-1-√1-4t
<1,
因为关于x的方程有三个不同的实数根,所以 2 解得t≤-2,满足t< 1 .故t的取值范围是(-
-1+√1-4t 4
≥1,
2
∞,-2].
11.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f '(x)>0(x≠3),若
f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内( )
A.没有零点 B.有且仅有1个零点
C.至少有2个零点 D.可能有无数个零点
答案 B 因为f(6-x)=f(x),所以函数图象关于直线x=3对称,因为(x-3)f '(x)>0,所以当x>3时, f '(x)>0;当
x<3时, f '(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,因为f(0)·f(1)<0,所以f(0)>0, f(1)<0,
根据对称性可知f(6)=f(0)>0, f(5)=f(1)<0,根据零点存在性定理可知,函数f(x)在区间(5,6)内有且仅有1个零
点,故选B.
方法总结 本题考查函数零点问题.函数零点问题一般有两种解决方法,一种是利用函数零点存在性定理求
解,另一种是构造两个函数,利用两个函数图象的交点来求解.
{|2x-1|,x<2,
12.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)= 则函数g(x)=f[f(x)]-2的零点个
3
,x≥2,
x-1
数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 B 函数g(x)=f[f(x)]-2的零点即方程f[f(x)]=2的根,设t=f(x),则f(t)=2,t<2时,由|2t-1|=2得t=log3;t≥2
2
3 5
时,由 =2得t= .
t-1 2
{|2x-1|,x<2,
函数f(x)= 的图象如图所示,
3
,x≥2
x-1
5
方程f(x)=log
2
3∈(1,3)和方程f(x)= ∈(1,3)各有两个解,
2
即方程f[f(x)]=2共有4个解,
故g(x)=f[f(x)]-2的零点有4个.
故选B.
13.(2022届兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,
x
f(x)=(√2) -1,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log(x+2)=0的解的个数为( )
8
2
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B 由题意,原方程解的个数等价于y=f(x)与y=log(x+2)的图象的交点个数,由f(x+2)=f(2-x),可知f(x)
8
的图象关于直线x=2对称,作出f(x)在(0,2)上的图象,再根据f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,作出f(x)在(-2,6)
上的图象,如图所示.再在同一坐标系下,画出y=log(x+2)的图象,同时注意其图象过点(6,1),由图可知,两图象
8
在区间(-2,6)内有三个交点,从而原方程有三个解.故选B.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
14.(2022届河北衡水第一中学调研一,8)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时, f(x)=
{ ex-1,0≤x≤1, 若关于x的不等式m|x|≤f(x)的整数解有且仅有9个,则实数m的取值范围为(
x2-4x+4,1<x≤2.
)
A.(e-1
,
e-1] B.[e-1
,
e-1]
7 5 7 5
C.(e-1
,
e-1] D.[e-1
,
e-1]
9 7 9 7
答案 C 因为定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),所以f(2-x)=f(2+x)=f(x-2),从而函数f(x)的周期为
4.根据函数性质画出函数f(x)的图象.因为关于x的不等式m|x|≤f(x)的整数解有且仅有9个,所以
{7m≤e-1, 解得实数m的取值范围为(e-1
,
e-1].故选C.
9m>e-1, 9 7
15.(2020吉林延边自治州4月模拟,12)已知函数f(x)={|log
2
(x-1)|,1<x≤3,
若方程f(x)=m有4个
x2-8x+16,x>3,
不同的实根x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,且x 1 <x 2 <x 3 <x 4 ,则( 1 + 1 )(x 3 +x 4 )=( )
x x
1 2
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 C
作出函数f(x)={|log
2
(x-1)|,1<x≤3,
的图象如图:
x2-8x+16,x>3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
f(x)=m有4个不同的实根x,x,x,x,且x<x<x<x,可得x+x=8,且|log(x-1)|=|log(x-1)|,即log(x-
1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 2 1 2 2 2 1
1)+log(x-1)=0,
2 2
即(x-1)(x-1)=1,即xx=x+x,
1 2 1 2 1 2
可得( 1 + 1 )(x 3 +x 4 )=x 3 +x 4 =8.故选C.
x x
1 2
二、填空题
16.(2022届赣州十七校期中联考,15)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=ex(x+1),若关于x
的方程f(x)=m有三个不同的实数根,则实数m的取值范围为 .
答案 ( - 1 , 1 )
e2 e2
解析 当x<0时, f(x)=ex(x+1),则f '(x)=ex(x+2),令f '(x)=0,得x=-2,当x<-2时, f '(x)<0,当-2<x<0时, f '(x)>0,
1
所以当x=-2时,函数取得极小值f(-2)=- ,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x=2时,函数取得
e2
1
极大值f(2)= ,作出其大致图象,如图所示:
e2
由图象知实数m的取值范围为(
-
1
,
1 ).
e2 e2
17.(2021河南焦作二模,15)若函数f(x)=|ex-a|-1有两个零点,则实数a的取值范围是 .
答案 (1,+∞)
解析 ∵函数f(x)=|ex-a|-1有两个零点,∴|ex-a|-1=0有两个实数解,则ex=a+1和ex=a-1都有实数解,∴
{a+1>0,
解得a>1,故a的取值范围是(1,+∞).
a-1>0,
解题关键 本题考查根据函数零点个数求参数范围,解题的关键是得出ex=a+1和ex=a-1都有实数解.
