曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第五章 三角函数与解三角形
5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱
导公式
三年模拟
一、选择题
1.(2022山西二模,3)若sin 10°=asin 100°,则sin 20°=( )
a a
A. B.-
a2+1 a2+1
2a 2a
C. D.-
a2+1 a2+1
答案 C 由题得a>0,sin 10°=asin 100°=asin(90°+10°)=acos 10°,又sin210°+cos210°=1,
解得sin 10°= a 1 ,
,cos 10°=
√a2+1 √a2+1
2a
∴sin 20°=2sin 10°cos 10°= .故选C.
a2+1
2.(2022江西临川一中期中,5)已知cos( π ) √3 ( π)=( )
θ- = ,则sin 2θ+
12 3 3
2 1 2 1
A.- B.- C. D.
3 3 9 3
答案 B 因为2θ+
π ( π ) π ( π) [ ( π ) π] [ ( π )] ( π ) ( π ) √3
=2 θ- + ,所以sin 2θ+ =sin 2 θ- + =cos 2 θ- =2cos2 θ- -1,将cos θ- =
3 12 2 3 12 2 12 12 12 3
2
代入,原式=2×(√3) 1,故选B.
-1=-
3 3
3.(2022陕西安康高新中学三模,7)已知tan θ=1 sin3θ+sinθ =( )
,则
2 cos3θ+sinθcos2θ
1 1
A.6 B. C. D.2
6 2
答案 C
sin3θ+sinθ sin3θ+sinθ(sin2θ+cos2θ)
=
cos3θ+sinθcos2θ cos3θ+sinθcos2θ
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=
(1) 3 1 3
2× +
2sin3θ+sinθcos2θ 2tan3θ+tanθ 1 2 2 4 1
= ,将tan θ= 代入,原式= = =
cos3θ+sinθcos2θ 1+tanθ 2 1 3 2
1+
2 2
.故选C.
4.(2022海淀期末,5)已知角α的终边在第三象限,且tan α=2,则sin α-cos α=( )
√5 √5
A.-1 B. 1 C. - D.
5 5
答案 C ∵角α的终边在第三象限,
∴sin α<0,cos α<0,
sinα
∵tan α=2,∴ =2,即sin α=2cos α,
cosα
又sin2α+cos2α=1,
√5
∴(2cos α)2+cos2α=1,∴cos α=- ,
5
∴sin α=-2√5 2√5 ( √5) √5.
,∴sin α-cos α=- - - =-
5 5 5 5
解题关键 由角α终边所在的位置判断三角函数值的正负,再结合同角三角函数关系式
即可得出.
2π
5.(2022海淀一模,7)已知角α的终边绕原点O逆时针旋转 后与角β的终边重合,且
3
cos(α+β)=1,则α的取值可以为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 C 由题意知β=α+
2π ( 2π) 2π=2kπ,k∈Z,解得α=-π
,又cos(α+β)=1,所以cos α+α+ =1,故有2α+
3 3 3 3
2π
+kπ,k∈Z,故当k=1时,α可取 .
3
6.(2022朝阳期中,4)在平面直角坐标系xOy中,角α和角β的顶点均与原点O重合,始边
2
均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于y轴对称,若cos α= ,则cos β=( )
3
√5 2 2 √5
A.- B.- C. D.
3 3 3 3
答案 B ∵角α和角β的终边关于y轴对称,∴β=π-α+2kπ,k∈Z.∴cos β=cos(π-
2
α+2kπ)=cos(π-α)=-cos α=- .
3
7.(2022云南师大附中第六次月考,7)已知tan( π) 1 2sin2α+1=( )
α- = ,则
4 3 sin2α
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5 13 13 13
A. B.- C. D.
3 4 5 4
答案 D 由tan
( π) tanα-1 1 2sin2α+1 3sin2α+cos2α 3tan2α+1 3×22+1 13
α- = = ,解得tan α=2,则 = = = =
4 1+tanα 3 sin2α 2sinαcosα 2tanα 2×2 4
,故选D.
8.(2022河南洛阳二模,4)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点
P(cos 15°+sin 15°,cos 15°-sin 15°),则tan α=( )
√3
A.2-√3B.2+√3C. D.√3
3
cos15°-sin15°
答案 C 由已知得tan α=
cos15°+sin15°
(cos15°-sin15°)2
=
(cos15°+sin15°)·(cos15°-sin15°)
1-2sin15°cos15° 1-sin30°
= =
cos215°-sin215° cos30°
1
1-
2 1 √3
= = = ,故选C.
√3 √3 3
2
9.(2022安徽芜湖3月模拟,6)已知函数f(n)=2sin(nπ
+
π)+1(n∈N*),则f(1)+f(2)+f(3)+…
2 4
+f(2 021)=( )
A.2 021 B.2 021+√2
C.2 022+√2D.2 022√2
答案 B 由f(n)=2sin(nπ
+
π)+1(n∈N*)得f(4k+m)=2sin
2 4
( mπ π) (mπ π)+1(k,m∈N*),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin
2kπ+ + +1=2sin +
2 4 2 4
(π π) (2π π) (3π π) (4π π) 2 020 (2 021π π)
+ +1+2sin + +1+2sin + +1+2sin + +1=4,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2 021)=4× +2sin + +1=2 021+√2
2 4 2 4 2 4 2 4 4 2 4
.故选B.
10.(2022兰州、张掖重点中学联考,8)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程
2x2+(√3-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin θ-cos θ的值为( )
1-√3 1+√3
A. B. C.√3D.-√3
2 2
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1-√3
答案 B ∵sin θ,cos θ是方程2x2+(√3-1)x+m=0(m∈R)的两根,∴sin θ+cos θ=
2
,sin θ·cos θ=m.由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,得(1-√3) 2 √3,又 ∵ θ
=1+m,∴m=-
2 2 2
为第二象限角 , ∴ sin θ>0,cos θ<0 , 即 sin θ-cos θ>0 ,
∵(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ=
4-2√3 2+√3 √2+√3 1+√3.故选B.
-2m= ,∴sin θ-cos θ= =
4 2 2 2
11.(2022哈尔滨重点中学期末联考,7)已知cos α=-
(π )
sinαcosβ+3sin +α sinβ
1 2 的值为(
,且α为第二象限角,tan β=√2,则
3 cos(π+α)cos(-β)-3sinαsinβ
)
2√2-4 3√2 √2 3√2
A.- B.- C. D.-
11 11 11 13
1 2√2
答案 C ∵cos α=- ,且α为第二象限角,∴sin α= ,又tan β=√2,
3 3
(π )
sinαcosβ+3sin +α sinβ
∴ 2
cos(π+α)cos(-β)-3sinαsinβ
sinαcosβ+3cosαsinβ sinα+3cosαtanβ √2
= = = ,故选C.
-cosαcosβ-3sinαsinβ -cosα-3sinαtanβ 11
12.(多选)(2022河北邢台“五岳联盟”部分重点学校期中,9)已知角α的终边经过点
(-1,2),则( )
sinα+cosα 1
A. =-
sinα-7cosα 9
α 1+√5
B.tan =
2 2
4
C.tan(π-2α)=-
3
π 2π
D.若α为钝角,则 <α<
2 3
答案 BCD 因为角α的终边过点(-1,2),
2√5 √5
所以sin α= ,cos α=- ,tan α=-2,
5 5
则
α α α
sin 2sin cos
sinα+cosα 1 α 2 2 2 sinα 2√5 1+√5 -2tanα 4 π 2π
= .tan = = = = = .tan(π-2α)=-tan 2α= =- .若α为钝角,则由tan α=-2<-√3,得 <α<
sinα-7cosα 9 2
cos
α
2cos2
α 1+cosα 5-√5 2 1-tan2α 3 2 3
2 2
二、填空题
13.(2022山西吕梁二模,13)sin 240°+tan 210°= .
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√3
答案 -
6
解析 sin 240°+tan 210°=sin(180°+60°)+tan(180°+30°)=-sin 60°+tan 30°=-
√3 √3 √3
+ =- .
2 3 6
√3-1
14.(2022南昌重点中学期末,14)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ= ,则tan θ的值为 .
2
答案 -√3
√3-1 √3
解析 由sin θ+cos θ= ①,得sin θcos θ=- <0,又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos
2 4
θ<0,
∴sin θ-cos θ>0,又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ=1+
√3 (√3+1)2 √3+1
= ,∴sin θ-cos θ= ②,
2 4 2
√3 1
由①②可得sin θ= ,cos θ=- ,∴tan θ=-√3.
2 2
15.(2022豫北名校联盟2月联考,14)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则sin α+cos
α+tan α= .
11 19
答案 - 或-
20 20
解析 ∵角α的终边在直线3x+4y=0上,∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则点P
到原点的距离r=
√16t2+9t2
=5|t|.
当t>0时,r=5t,由三角函数定义可知,sin α=
-3t 3 4t 4 -3t 3 3 4 3 11
=- ,cos α= = ,tan α= =- ,∴sin α+cos α+tan α=- + - =-
5t 5 5t 5 4t 4 5 5 4 20
;
当t<0时,r=-5t,由三角函数定义可知,sin α=
-3t 3 4t 4 -3t 3 3 4 3 19
= ,cos α= =- ,tan α= =- ,∴sin α+cos α+tan α= - - =-
-5t 5 -5t 5 4t 4 5 5 4 20
.
11 19
综上可知,sin α+cos α+tan α=- 或- .
20 20
一年创新
1.(2022哈尔滨三中二模,5)黑洞原指非常奇怪的天体,它的密度大,吸引力强,任何物体到
了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”,任意取一个数字串,长度不限,依次
写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成
一个新数字串;重复以上操作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑
洞”,如果把这个数设为a,则sin(a π)=( )
π+
2 6
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1 1 √3 √3
A. B.- C. D.-
2 2 2 2
答案 D 根据“数字黑洞”的定义,任取数字2 021,经过一步之后为314,经过第二步
之后为123,经过第三步之后为123,所以数字黑洞为123,即a=123,
∴sin(a π) (123 π) (3 π)
π+ =sin π+ =sin π+
2 6 2 6 2 6
π √3
=-cos =- .故选D.
6 2
2.(2022兰州重点中学期末,8)平面直角坐标系中,设角α的终边上任意一点P的坐标是
(x,y),它与原点的距离是r(r>0),规定:比值
y-x 1
叫做α的正余混弦,记作sch α.若sch α= (0<α<π),则tan α=( )
r 5
3 3 4 4
A.- B. C.- D.
4 4 3 3
答案 D 由题意得sch α=1 y-x y-x (0<α<π),
= =
5 r √x2+ y2
∴25(y-x)2=x2+y2,且y>x,即24( y) 2 y y 4 4.
-50 +24=0,且y>x,解得 = .故tan α=
x x x 3 3
故选D.
π
3.(2022甘肃顶级名校3月模拟,8)已知角θ和φ都是任意角,若满足θ+φ= +2kπ,k∈Z,则
2
1
称θ与φ“广义互余”.若sin(π+α)=- ,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )
4
√15 1
A.sin β= B.cos(π+β)=
4 4
√15 √15
C.tan β= D.tan β=
4 5
π π
答案 A 若角α与β广义互余,则α+β= +2kπ(k∈Z),即β= +2kπ-α(k∈Z),由sin(π+α)=-
2 2
1 ,可得sin α= 1 ,对于A,若α与β广义互余,则sin β=sin (π +2kπ-α ) =cos α=±√1-sin2α=± √15 ,由sin β= √15 可得α与β可能广义互余,故A正确;对于B,若α与β广义互余,则cos β=cos (π +2kπ-α ) =sin α= 1 ,而由cos(π+β)= 1 得cos β=- 1 ,故B错误;对于C,若α与β广义互余,则sin β=± √15 ,cos β= 1 ,所以tan β= sinβ =±√15
4 4 2 4 4 2 4 4 4 4 4 cosβ
,故C错误,同理D也错误,故选A.
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