北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
综合测试卷(三)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020北京八中10月月考,1)已知集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,那么m的值可以是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案 D 由A∪B=R结合数轴,可得m>1,因此m的值可以是2,故选D.
易错警示 本题易错认为m≥1,事实上m=1时,A=(1,+∞),B=(-∞,1),不满足A∪B=R.
3-i
2.(2020江西临川第二中学10月月考,2)已知i为虚数单位,若复数z= ,则|z|= ( )
1+i
A.1 B.2 C.√2 D.√5
3-i (3-i)·(1-i)
答案 D 因为z= = =1-2i,所以|z|=√12+(-2)2=√5,故选D.
1+i (1+i)·(1-i)
3.(2019北京西城月考,5)已知向量⃗OA=(3,-4),⃗OB=(6,-3),⃗OC=(2m,m+1),若⃗AB∥⃗OC,则实数m的值为 (
)
1 3 3
A.- B.-3 C.- D.
7 5 5
答案 B ⃗OA=(3,-4),⃗OB=(6,-3),则⃗AB=⃗OB-⃗OA=(3,1).∵⃗AB∥⃗OC,⃗OC=(2m,m+1),∴3(m+1)-
2m=0,∴m=-3,故选B.
易错警示 向量a=(x,y)与非零向量b=(x,y)共线的充分必要条件是存在μ使得a=μb,其坐标表示为xy-
1 1 2 2 1 2
xy=0.要注意与两向量垂直的坐标表示区分,此处容易混淆.
2 1
4.(2020内蒙古包头二模,5)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a<b成立的必要而不充分条件是 ( )
A.a<b-1 B.a<b+1 C.a2<b2 D.2a<2b
答案 B ∵a<b-1⇒a<b,反之不成立,∴a<b-1是使a<b成立的充分而不必要条件;∵a<b⇒a<b+1,反之不成立,
∴a<b+1是使a<b成立的必要而不充分条件;a2<b2是使a<b成立的既不充分也不必要条件;
∵2a<2b⇔a<b,∴2a<2b是使a<b成立的充分必要条件.故选B.
解题关键 正确理解充分条件和必要条件的定义,弄清楚前后推出关系是解决此类问题的关键.
5.(2020北京十三中开学摸底,3)投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},设事件
A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},则下列结论中正确的是 ( )
A.A,C为对立事件
B.A,B为对立事件
C.A,C为互斥事件,但不是对立事件
D.A,B为互斥事件,但不是对立事件
答案 C 本题考查互斥事件、对立事件的定义,考查学生对概念的理解,运用概念分析问题的能力,体现逻
辑推理的核心素养.
∵投掷一颗骰子,掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},
事件A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},当掷出的点数是3时,A,B同时发生,
故A,B不是互斥事件,故A,B也不是对立事件,故B,D错误.
A,C不可能同时发生,故A,C为互斥事件,
但A∪C={1,2,3,4,6}≠Ω,
故A,C不是对立事件,故A错误,C正确,故选C.
思路分析 结合已知中基本事件空间是Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1,3},B={3,5,6},C={2,4,6},分析A,B,C是否满足
互斥事件和对立事件的定义,可得结论.
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6.(2020福建邵武第一中学开学考试,4)已知a>0且a≠1,函数f(x)={ ax,x≥1, 在R上单调递增,那么
ax+a-2,x<1
实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]
答案 D ∵f(x)={ ax,x≥1, (a>0,且a≠1)在R上单调递增,∴{ a>1, 即{ a>1, 解得
ax+a-2,x<1 a≥a+a-2, a≥2a-2,
1<a≤2.故选D.
7.(2020吉林南关模拟,7)2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其
是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构个数
与对应年份编号的散点图(为便于计算,将2013年编号为1,2014年编号为2,…,2018年编号为6,把每年的公共
图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析),得到回归直线^
y
=13.743x+3095.7,其相关指数R2=0.9817,给出下列结论,其中正确的个数是 ( )
①公共图书馆业机构个数与年份的正相关性较强;
②公共图书馆业机构个数平均每年增加13.743;
③可预测2019年公共图书馆业机构个数为3192.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D 由散点图中各点散布情况可知公共图书馆业机构个数与年份成正相关,
又R2=0.9817趋近于1,所以相关性较强,所以①正确;
由回归直线方程为^=13.743x+3095.7,知②正确;
y
由回归直线方程^=13.743x+3095.7知,
y
当x=7时,^=13.743×7+3095.7=3191.901,
y
其估计值为3191.901≈3192,所以③正确.
综上所述,正确的命题个数为3.
故选D.
思路分析 由散点图中各点分布情况和R2的值判断①;由回归直线方程判断②;由回归直线方程计算x=7时
^的值从而判断③.
y
8.(2018天津耀华中学二模,5)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为
a2 b2
4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 ( )
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A.√3 B.2√3 C.√5 D.2√5
p
答案 D 根据题意,点(-2,-1)在抛物线的准线上,∵抛物线y2=2px的准线方程为x=- ,∴p=4,
2
∴抛物线的焦点坐标为(2,0),
又∵双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,
∴双曲线的左顶点的坐标为(-2,0),即a=2,
b 1
∵点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,∴渐近线的斜率k= = ,∴b=1,∴c=√b2+a2=√5,
a 2
∴双曲线的焦距为2c=2√5.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强
领导和统一指导下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下面的
图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况.根据该折线图判断,下列结论正确的是 ( )
A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
答案 BC 由题图可知,16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势,但具体到每一天有增有减,故A错误;因
为每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量,所以16天中每日新增确诊病例的中位数小于
新增疑似病例的中位数,故B正确;易知16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故
C正确;20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,故D错误,故选BC.
x2 y2
10.已知P是双曲线C: - =1上任一点,A,B是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线PA,PB的斜率分
3 m
2
别为k,k(kk≠0),若|k|+|k|≥t恒成立,且实数t的最大值为 √3,则下列说法正确的是 ( )
1 2 1 2 1 2
3
x2
A.双曲线的方程为 -y2=1
3
B.双曲线的离心率为2
C.函数y=log(x-1)(a>0,a≠1)的图象恒过C的一个焦点
a
D.直线2x-3y=0与C有两个交点
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答案 AC
设A(x,y),B(-x,-y),P(x,y)(x≠x,y≠y),则x2 -y2 =1,x2-y2=1,两式相减得x2-x2 +y2- y2
=0,即
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 m 3 m 3 m
x2-x
1
2 =y2- y
1
2 ,∴ (x-x
1
)(x+x
1
) = (y- y
1
)(y+ y
1
) ,∴m· x+x 1= y- y 1,∴|k
1
|+|k
2
|=
3 m 3 m 3 y+ y x-x
1 1
|y- y 1 | + |y+ y 1 | = |y+ y 1 | + m|x+x 1 | ≥2√m,又t的最大值为 2√3 ,∴m=1,故双曲线的方程为x2 -
x-x x+x x+x 3 y+ y 3 3 3
1 1 1 1
2√3
y2=1,故A正确;∵a=√3,b=1,∴c=2,∴e= ,故B错误;易知双曲线的一个焦点为(2,0),函数y=log(x-1)
a
3
√3 2 2 √3
(a>0,a≠1)的图象恒过点(2,0),故C正确;双曲线的一条渐近线为y= x,直线2x-3y=0的斜率为 , > ,且
3 3 3 3
该直线过原点,∴直线2x-3y=0与双曲线没有交点,故D错误,故选AC.
11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中,P,M分别为棱CD,CC 的中点,Q为面对角线AB上任一点,
1 1 1 1 1 1
则下列说法正确的是( )
A.平面APM内存在直线与AD 平行
1 1
9
B.平面APM截正方体ABCD-ABCD 所得截面面积为
1 1 1 1
8
C.直线AP和DQ所成角可能为60°
D.直线AP和DQ所成角可能为30°
答案 BC 易知直线AD∥平面ABCD,平面ABCD∩平面APM=AP,直线AP与直线AD 不平行,故A错误;
1 1 1 1
平面APM截正方体所得截面为四边形APMB,且四边形APMB 为等腰梯形, =1(√2 )×
1 1 S +√2
四边形APMB
1 2 2
√ √2 2
( √2- )
=
9
,故B正确;当Q与A 重合时,两直线的夹角最小,当Q与B重合时,两直线的
(1) 2
+12-
2
8
1
2 2
夹角最大,∴cosθ∈[√10 √10],故C正确,D错误.故选BC.
,
10 5
12.关于函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是 ( )
A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0
B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x 且-1<f(x)<0
0 0
C.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点
D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点
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答案 ABD 当a=1时,f(x)=ex+sinx,x∈(-π,+∞),∴f(0)=1,切点为(0,1),f'(x)=ex+cosx,∴f'(0)=2,∴切线方程为
y-1=2(x-0),即2x-y+1=0,故A正确;a=1时,f'(x)=ex+cosx,f″(x)=ex-sinx>0(x>-π)恒成立,∴f'(x)单调递增,f'( 3π)=
-
4
e
- 3
4
π+cos( - 3
4
π)<0,f'( - π
2
)=
e
- π
2
>0,故f(x)存在唯一极小值点x 0 ,且x 0 ∈( - 3
4
π ,- π
2
),则f'(x 0 )=0,即 ex
0
+cosx
0
=0,f(x
0
)=
ex 0
+sinx
0
=sinx
0
-cosx
0
=
√2
sin(
x -
π)∈(-1,0),故B正确;f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),令f(x)=0,则
0 4
ex ex
ex+asinx=0,当x=kπ,k>-1且k∈Z时,显然没有实根,故x≠kπ,k>-1且k∈Z,∴a=- ,令h(x)=- ,∴h'(x)=
sinx sinx
ex(cosx-sinx),令h'(x)=0,得x=π+kπ,k≥-1,k∈Z,∴h(x)在( 3π)上单调递减,在
-π,-
sin2x 4 4
( 3π ),( π )(k∈N)上单调递增,在(π ),
- +2kπ,2kπ 2kπ, +2kπ +2kπ,π+2kπ
4 4 4
( 5π )(k∈N)上单调递减,∴h(x)的极小值为h( 3π )= 3π ≥
π+2kπ, +2kπ - +2kπ - +2kπ
4 4 √2e 4
3π(k∈N),h(x)的极大值为h(π )=- π ≤- π(k∈N),∴a∈(0, 3π)时,y=a与
- +2kπ +2kπ -
√2e 4 4 √2e4 √2e4 √2e 4
y=h(x)的图象没有交点,即f(x)在(-π,+∞)上没有零点,故C错误;存在a<0,使得f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点,
π
此时a=- ,故D正确,故选ABD.
√2e4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
4
13.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+ ≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为
x-a
.
答案 1
4 4
解析 关于x的不等式x+ ≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即x-a+ ≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可
x-a x-a
4 √ 4
得x-a>0,则x-a+ ≥2 (x-a)· =4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a≤4,可
x-a x-a
得a≥1,则a的最小值为1.
14.
(2020甘肃兰州4月诊断考试,15)大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正
六边形ABCDEF,侧棱AA',BB',CC',DD',EE',FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形
构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有
人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到
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∠B'C'D'=109°28'16″.已知一个蜂房中,BB'=DD'=5√3,AB=2√6,tan54°44'08″=√2,则此蜂房的表面积是
.
答案 216√2
解析 本题主要考查多面体表面积的计算,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.
连接BD,B'D',则BDB'D',因为底面ABCDEF是边长为2√6的正六边形,所以BD=2×2√6cos30°=6√2,所以
∠B'C'D'
B'D'=6√2.连接OC',因为四边形OB'C'D'为菱形,∠B'C'D'=109°28'16″,tan =tan54°44'08″=
2
1
B'D'
2 B'D'
=√2,所以OC'= =6,所以B'C'=√(3√2)2+32=3√3,所以CC'=BB'-√B'C'2-BC2
1 √2
OC'
2
2√6×(5√3+4√3)
=5√3-√(3√3)2-(2√6)2=4√3,所以S = =27√2,所以此蜂房的表面积
梯形BB'C'C
2
1
S=6×27√2+3× ×6×6√2=216√2.
2
思路分析 由正六边形的性质求出BD,由菱形的性质求出OC',由此求出B'C',CC',从而求出梯形BB'C'C的面
积,进而求得此蜂房的表面积.
15.(2020山东潍坊三模)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切,且双曲线C的一
a2 b2
个焦点与圆F的圆心重合,则双曲线C的方程为 .
y2
答案 x2- =1
3
解析 由双曲线的渐近线与圆F:(x-2)2+y2=3相切可得 2b =2b= ,
√3
√a2+b2 c
又双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,
所以c=2,故b=√3,
又a2=c2-b2,所以a=1,
y2
所以双曲线的方程为x2- =1.
3
1 1 1 1 4
16.(2020五省创优名校第二次联考,16)在数列{a}中,a= ,a= ,且 - =-
n 1 4 2 5 na (n-1)a n(n-1)
n+1 n
1 1 1
(n≥2,n∈N*),则 + +…+ = .
a a a
10 11 84
答案 3750
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解析 本题考查了累加法及裂项相消法求通项及求和的方法,考查了等差数列的证明及求和公式,考查了运
算能力及推理论证能力.
因为 1 - 1 =- 4 =4(1 1 ),
-
na (n-1)a n(n-1) n n-1
n+1 n
所以 1 - 1 =- 4 =4(1 ),
-1
2a a 2×1 2
3 2
1 - 1 =- 4 =4(1 1),
-
3a 2a 3×2 3 2
4 3
……
1 - 1 =- 4 =4( 1 1 ),
-
(n-1)a (n-2)a (n-1)(n-2) n-1 n-2
n n-1
将以上等式累加可得 1 - 1 =4( 1 ),
-1
(n-1)a a n-1
n 2
1 1 1 1
即a= (n≥3).因为a= ,a= 符合上式,所以a= ,
n n+3 1 4 2 5 n n+3
则 1 =n+3.所以{1 }是以4为首项,1为公差的等差数列,
a a
n n
1 1 1 75×(13+87)
故 + +…+ =13+14+…+87= =3750.
a a a 2
10 11 84
思路分析 1 - 1 =- 4 =4(1 1 ),由此可用累加法及裂项相消法求得
-
na (n-1)a n(n-1) n n-1
n+1 n
1 - 1 =4( 1
-1
),可得a
n
= 1 ,进而求得 1 ,利用等差数列求和公式求得结果.
(n-1)a a n-1 n+3 a
n 2 n
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A+C
17.(10分)(2020黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin
2
=bsinA.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
A+C B
解析 (1)由asin =bsinA及正弦定理可得sinAcos =sinBsinA,∵sinA≠0,
2 2
B B B B 1
∴cos =sinB=2sin cos ⇒sin = (0<B<π),
2 2 2 2 2
π
∴B= .
3
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(2)解法一:由 a = c 得a= c sin(2π ),
-C
sin A sinC sinC 3
∴S =1a√3=√3( √3 1)=3· 1 +√3,
△ABC +
2 2 4 2tanC 2 8 tanC 8
π
{ 0<C< ,
由△ABC为锐角三角形可得 2 ⇒π<C<π⇒0< 1 < ,
√3
2π π 6 2 tanC
0< -C<
3 2
所以△ABC面积的取值范围为(√3 √3).
,
8 2
解法二:由余弦定理得b= ,
√a2-a+1
{a2+1>b2,
1
由题意得 a2+b2>1,⇒ <a<2.
2
b2+1>a2
则S=1a√3=√3a∈(√3 √3).
,
2 2 4 8 2
即△ABC面积的取值范围为(√3 √3).
,
8 2
18.(12分)(2019北京潞河中学10月月考文,17)已知等差数列{a}的前n项和为S,等比数列{b}满足
n n n
a=b=1,S=b+2,S=b-1.
1 1 3 3 5 5
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
(2)如果数列{b}为递增数列,求数列{ab}的前n项和T.
n n n n
解析
(1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b}的公比为q,则由题意得{3+3d=q2+2,
n n
5+10d=q4-1,
5
即9d2-4d-5=0,解得d=1或d=- (舍).
9
所以q=±2.
所以a=n,b=2n-1或b=(-2)n-1.
n n n
(2)因为数列{b}为递增数列,
n
所以b=2n-1,
n
所以T=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,
n
2T=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,
n
相减得-T=20+21+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n,
n
所以T=1+(n-1)2n.
n
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19.(12分)(2020北京二十七中期中,18)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客
使用自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果整理如下:
顾客年龄20以下[20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
使用人数 3 12 17 6 4 2
未使用人
0 0 3 14 36 3
数
(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率;
(2)从被抽取的年龄在[50,70]且使用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况,用X表示这3人中年龄
在[50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望;
(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人
购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
解析 本题考查古典概型概率、随机变量的分布列及数学期望、随机抽样,考查学生分析处理数据的能力,
体现数据分析的核心素养.
(1)在随机抽取的100名顾客中,年龄在[30,50)且未使用自由购的顾客共有3+14=17(人),所以随机抽取1名顾
17
客,估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为P= .
100
(2)X所有的可能取值为1,2,3,
P(X=1)= C1 4 C 2 2 =1 ;P(X=2)= C2 4 C1 2=3 ;
C3 5 C3 5
6 6
P(X=3)= C3 4 C 2 0 =1.
C3 5
6
所以X的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
所以X的数学期望EX=1× +2× +3× =2.
5 5 5
(3)在随机抽取的100名顾客中,使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44(人),
44
所以估计该超市当天至少应准备环保购物袋的个数为 ×5000=2200.
100
思路分析 (1)利用古典概型概率公式求解即可;
(2)求出X的所有可能取值,求出概率,得到分布列,然后求解期望即可;
(3)在随机抽取的100名顾客中,使用自由购的共有3+12+17+6+4+2=44人,然后求解即可.
20.(12分)(2020北京朝阳期中,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD⊥平面
ABCD,E为PD的中点,AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2,AD=4.
(1)求证:CE∥平面PAB;
(2)求二面角E-AC-D的余弦值;
AQ
(3)直线AB上是否存在点Q,使得PQ∥平面ACE?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
AB
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解析 (1)如图,取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E为PD的中点,AD=4,
1
所以EF∥AD,EF= AD=2.
2
又因为BC∥AD,BC=2,
所以EF∥BC,EF=BC,
所以四边形EFBC为平行四边形,
所以CE∥BF.
又因为CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,
所以CE∥平面PAB.
(2)取AD的中点O,连接OP,OB.
因为△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PO⊥平面ABCD.
因为OD∥BC,OD=BC=2,
所以四边形BCDO为平行四边形.
因为CD⊥AD,所以OB⊥OD.
如图建立空间直角坐标系O-xyz,
则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3).
所以⃗AC=(2,4,0),⃗AE=(0,3,√3).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
1
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{n ·⃗AC=0, {2x+4 y=0,
则 1 即
n ·⃗AE=0, 3 y+√3z=0.
1
令x=-2,则n=(-2,1,-√3).
1
显然,平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),
2
所以cos<n
1
,n
2
>= n
1
·n
2
=-√3=-√6.
|n ||n | 2√2 4
1 2
由图可知,二面角E-AC-D为锐角,
√6
所以二面角E-AC-D的余弦值为 .
4
(3)直线AB上存在点Q,使得PQ∥平面ACE.理由如下:
设⃗AQ=λ⃗AB.因为⃗AB=(2,2,0),⃗PA=(0,-2,-2√3),
所以⃗AQ=λ⃗AB=(2λ,2λ,0),⃗PQ=⃗PA+⃗AQ=(2λ,2λ-2,-2√3).
因为PQ∥平面ACE,所以⃗PQ·n=0,即(2λ,2λ-2,-2√3)·(-2,1,-√3)=0,解得λ=2.
1
AQ
所以直线AB上存在点Q,使得PQ∥平面ACE,此时 =2.
AB
21.(12分)(2020北京东直门中学期中,19)已知椭圆E:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为√2,焦距为2 .
√2
a2 b2 2
(1)求椭圆E的方程;
(2)若C,D分别是椭圆E上的左,右顶点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆E于点P,证明:⃗OM·⃗OP为定
值(O为坐标原点).
解析 本题考查椭圆的标准方程,圆锥曲线的定值问题,主要通过直线与圆锥曲线的综合问题考查学生运用
化归转化的思想方法解决问题的能力,体现数学运算与逻辑推理的核心素养.
(1)由椭圆E的焦距为2√2,
得2c=2√2,所以c=√2,
c √2
因为e= = ,所以a=√2c=2,
a 2
因为a2=b2+c2,所以b2=2.
x2 y2
所以椭圆的方程为 + =1.
4 2
(2)证明:因为直线CM不在x轴上,故可设l :x=my-2,
CM
{x2 y2
由 + =1, 得(m2+2)y2-4my=0,
4 2
x=my-2
∴y P = 4m ,x P = 2m2-4 ,即P(2m2-4 , 4m ).
m2+2 m2+2 m2+2 m2+2
在x=my-2中,令x=2,得y
M
=4,即M(
2,
4).
m m
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∴ · =4m2-8+ 16 =4.
⃗OM ⃗OP
m2+2 m2+2
∴⃗OP·⃗OM为定值4.
思路分析 (1)根据题意,分析可得椭圆中c的值,结合椭圆的离心率公式可得a的值,计算可得b的值,即可得
椭圆方程.
(2)根据题意,设l :x=my-2,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系分析,用m表示P的坐标,结合直线的方
CM
程分析可得M的坐标,进而可以用m表示⃗OM·⃗OP,化简可得答案.
22.(12分)(2020天津,20,16分)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,
(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
9
(ii)求函数g(x)=f(x)-f'(x)+ 的单调区间和极值;
x
(2)当k≥-3时,求证:对任意的x
1
,x
2
∈[1,+∞),且x
1
>x
2
,有f '(x
1
)+f '(x
2
) > f (x
1
)-f (x
2
) .
2 x -x
1 2
6
解析 (1)(i)当k=6时,f(x)=x3+6lnx,故f'(x)=3x2+ .可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
x
为y-1=9(x-1),即y=9x-8.
(ii)依题意,g(x)=x3-3x2+6lnx+3,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x+6- 3 ,整理可得g'(x)=3(x-1)3(x+1).
x x x2 x2
令g'(x)=0,解得x=1.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) ↘ 极小值 ↗
所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.
k
(2)证明:由f(x)=x3+klnx,得f'(x)=3x2+ .
x
x k k
对任意的x
1
,x
2
∈[1,+∞),且x
1
>x
2
,令 1=t(t>1),则(x
1
-x
2
)[f'(x
1
)+f'(x
2
)]-2[f(x
1
)-f(x
2
)]=(x
1
-x
2
) 3 x2+ +3 x2+ -2
x 1 x 2 x
2 1 2
( x3-x3+kln x 1 )= x3- x3-3 x2x 2 +3x 1x2+k( x 1- x 2 )-2kln x 1= x3(t3-3t2+3t-1)+k( t- 1 -2lnt ).①
1 2 x 1 2 1 2 x x x 2 t
2 2 1 2
令h(x)=x-1-2lnx,x∈[1,+∞).当x>1时,h'(x)=1+ 1 -2=( 1) 2 >0,由此可得h(x)在[1,+∞)单调递增,所以当t>1
1-
x x2 x x
1
时,h(t)>h(1),即t- -2lnt>0.
t
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因为x
2
≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,所以
x3
(t3-3t2+3t-1)+k(
t-
1
-2lnt
)>(t3-3t2+3t-1)-3(
t-
1
-2lnt
)=t3-
2 t t
3
3t2+6lnt+ -1.②
t
3 3
由(1)(ii)可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6lnt+ >1,故t3-3t2+6lnt+ -1>0.③
t t
由①②③可得(x 1 -x 2 )[f'(x 1 )+f'(x 2 )]-2[f(x 1 )-f(x 2 )]>0. f '(x )+f '(x ) f (x )-f (x )
1 2 1 2
所以,当k≥-3时,对任意的x,x∈[1,+∞),且x>x,有 >
1 2 1 2 2 x -x
1 2
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