北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.2 等差数列
专题检测
1.(2019 5·3原创冲刺卷一,4)已知等差数列{a}的前n项和为S,S=3,S=6,则S = ( )
n n 2 3 2n+1
A.(2n+1)(n+1) B.(2n+1)(n-1)
C.(2n-1)(n+1) D.(2n+1)(n+2)
答案 A 设等差数列{a}的公差为d,
n
则2a+d=3,3a+3d=6,
1 1
所以a=d=1,则a=1+(n-1)×1=n.
1 n
(2n+1)(1+2n+1)
因此S = =(2n+1)(n+1).
2n+1
2
2.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,
赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大
到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( )
A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
答案 B 用a,a,…,a 表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a,a,…,a 是公差为17的
1 2 8 1 2 8
等差数列,且这8项的和为996,
8×7
∴8a+ ×17=996,解得a=65.
1 1
2
∴a=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.选B.
8
3.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列{a}的各项都为整数,且a=-5,aa=-1,则|a|+|a|+…
n 1 3 4 1 2
+|a |= ( )
10
A.70 B.58 C.51 D.40
答案 B 设等差数列{a}的公差为d,由各项都为整数得d∈Z,因为a=-5,所以aa=(-5+2d)(-5+3d)=-1,化简得
n 1 3 4
13
6d2-25d+26=0,解得d=2或d= (舍去),所以a=2n-7,
n
6
7×(1+13)
所以|a|+|a|+…+|a |=5+3+1+1+3+…+13=9+ =58.故选B.
1 2 10
2
4.(2018安徽淮北一模,9)S 是等差数列{a}的前n项和,S <S ,S <S ,则S<0时n的最大值是 (
n n 2 018 2 016 2 017 2 018 n
)
A.2 017 B.2 018 C.4 033 D.4 034
4 034(a +a )
答案 D ∵S <S ,S <S ,∴a +a <0,a >0.∴S = 1 4 034 =2 017(a +a
2 018 2 016 2 017 2 018 2 018 2 017 2 018 4 034 2 018 2
2
)<0,
017
4 035(a +a )
1 4 035
S = =4 035a >0,可知S<0时n的最大值是4 034.故选D.
4 035
2
2 018 n
解题关键 由S <S ,S <S 得出a +a <0,a >0是解题的关键.
2 018 2 016 2 017 2 018 2 018 2 017 2 018
易错警示 本题中所求的是前n项和S<0时n的最大值,注意不要与S 最大时的n值混淆.求S<0时n的最
n n n
大值,运用前n项和公式求解;求S 最大时的n值一般借助通项公式联立a≥0与a ≤0求解.
n n n+1
5.设等差数列{a}满足a+a=36,aa=275,则( )
n 3 7 4 6
A.a=7n-17 B.a=-7n+53
n n
C.aa 的最小值为-12 D.aa 无最小值
n n+1 n n+1
答案 ABC 设等差数列{a}的公差为d,
n
第1页共4页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∵a+a=36,∴a+a=36,
3 7 4 6
{a +a =36, {a =11, {a =25,
由 4 6 解得 4 或 4
a a =275, a =25 a =11,
4 6 6 6
当
{a
4
=11, 时,得{a
1
=-10,
∴a n =7n-17,
a =25 d=7,
6
∴a=-3,a=4,故当n≤2时,a<0;当n≥3时a>0,
2 3 n n
∴aa=-12为aa 的最小值.
2 3 n n+1
当
{a
4
=25, 时,得{a
1
=46,
∴a n =-7n+53,∴a 7 =4,a 8 =-3.
a =11 d=-7,
6
易知当n≤7时,a>0;当n≥8时,a<0,
n n
∴aa=-12为aa 的最小值.故选ABC.
7 8 n n+1
S
6.(2018浙江金华十校高考模拟,15)已知等差数列{a
n
}满足:a
4
>0,a
5
<0,数列的前n项和为S
n
,则 5的取值范围是
S
4
.
答案 (5 )
,1
6
解析 设等差数列{a n }的公差为d,由题意知
{a
4
=a
1
+3d>0,
则-3d<a 1 <-4d.又a 5 <a 4 ,所以d<0,所以-4<
a
1
a =a +4d<0, d
5 1
5a
1+10
<-3.又
S 5
=
5a 1 +10d
=
d
,令x=
a 1
,则x∈(-4,-3),所以
S 5
=
5x+10
=
5
+
5
∈
(5 ,1 )
.
S 4a +6d 4a d S 4x+6 4 8x+12 6
4 1 1+6 4
d
7.(2018河南六市第一次联考,16)已知正项数列{a}的前n项和为S,若{a}和{ }都是等差数列,且公差相等,
n n n √S
n
则a= .
2
3
答案
4
解析 设数列{a}的首项为a,公差为d.
n 1
因为数列{a}的前n项和是S,
n n
所以 = , = , = ,
√S √a √S √2a +d√S √3a +3d
1 1 2 1 3 1
又{ }也是公差为d的等差数列,
√S
n
所以 = = +d,两边平方得
√S √2a +d √a
2 1 1
2a
1
+d=a
1
+2d
√a
+d2①,
1
第2页共4页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
= = +2d,两边平方得
√S √3a +3d √a
3 1 1
3a
1
+3d=a
1
+4d
√a
+4d2②,
1
②-①得a
1
=-2d+2d
√a
+3d2③,
1
1
把③代入①整理得d(2d-1)=0,所以d=0或d= .
2
当d=0时,a=0,不符合题意;
1
1 1 3
当d= 时,代入③解得a= .所以a=a+d= .
1 2 1
2 4 4
8.(2020四川宜宾四中开学考,18)已知数列{a}的首项a=1,2aa =a-a (n∈N*).
n 1 n n+1 n n+1
(1)证明:数列{1 }是等差数列;
a
n
1
(2)设b=aa ,数列{b}的前n项和为S,求证:S< .
n n n+1 n n n
2
证明 (1)由于a=1,2aa =a-a ,显然aa ≠0,
1 n n+1 n n+1 n n+1
1 1
所以两边同除以aa 可得, - =2,
n n+1 a a
n+1 n
所以数列{1 }是1为首项,2为公差的等差数列.
a
n
1 1
(2)由(1)知, =1+(n-1)×2=2n-1,所以a= .
a n 2n-1
n
所以b
n
=a
n
a
n+1
= 1 =1( 1
-
1 ),
(2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
所以S n = 1[( 1- 1) + (1 - 1) +…+ ( 1 - 1 )]
2 3 3 5 2n-1 2n+1
=1( 1 )<1.
1-
2 2n+1 2
9.(2019湖北武汉外国语学校3月模拟,17)若数列{a}的前n项和为S,首项a>0且2S= +a(n∈N*).
n n 1 n a2 n
n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
1
(2)若a>0(n∈N*),令b= ,求数列{b}的前n项和T.
n n a (a +2) n n
n n
解析 (1)当n=1时,2S= +a=2a,又a>0,则a=1,
1 a2 1 1 1 1
1
当n≥2时,a=S-S =a2+a -a2 +a ,
n n n-1 n n n-1 n-1
2 2
第3页共4页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
即(a+a )(a-a -1)=0⇒a=-a 或a=a +1,
n n-1 n n-1 n n-1 n n-1
∴a=(-1)n-1或a=n.
n n
(2)∵a
n
>0,∴a
n
=n,∴b
n
= 1 =1(1
-
1 ),
n(n+2) 2 n n+2
∴T
n
=1[(
1-
1)
+
(1
-
1)
+…+
(1
-
1 )]=1 （1+1- 1 - 1 ）=3- 2n+3 .
2 3 2 4 n n+2 2 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2)
第4页共4页
