北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.3 等比数列
一、选择题
1.(2021安徽安庆一模,6)数列{a}是各项均为正数的等比数列,3a 是a 与2a 的等差中项,则{a}的公比等于(
n 2 3 4 n
)
3
A.2 B. C.3 D.√2
2
3
答案 B 设等比数列{a}的公比为q(q>0),由题意得6a=a+2a,即6aq=aq2+2aq3,所以2q2+q-6=0,解得q=
n 2 3 4 1 1 1
2
或q=-2(舍).故选B.
2.(2021黑龙江齐齐哈尔一模,6)已知等比数列{a}中,aa =4n,则公比为( )
n n n+1
A.√2 B.2 C.±2 D.±√2
答案 B 设公比为q.因为a n a n+1 =4n,所以a n+1 a n+2 =4n+1,所以
a
n+1
a n+2=4n+1
=4,即q2=4,解得q=2或q=-2.又
a a 4n
n n+1
aa =4n>0,所以q>0,所以q=2.故选B.
n n+1
3.(2022届河北衡水一中调研一,7)在公差不为0的等差数列{a}中,a,a, , , 成公比为4的等比数列,则
n 1 2a a a
k k k
1 2 3
k=( )
3
A.84 B.86 C.88 D.96
答案 B 设等差数列{a}的公差为d.因为a,a, , , 成公比为4的等比数列,所以a=4a,所以
n 1 2a a a 2 1
k k k
1 2 3
a+d=4a,得d=3a.所以 =44a=256a,所以a+(k-1)d=256a,即(k-1)·3a=255a,易知a≠0,所以k=86.故选B.
1 1 1 a 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3
k
3
5
4.(2021哈尔滨六中期中,3)已知{a}为等比数列,若aa=2a,且a 与2a 的等差中项为 ,则a=( )
n 2 3 1 4 7 1
4
A.35 B.33 C.16 D.29
答案 C 设等比数列{a}的公比为q,由等比数列的性质知aa=aa=2a,所以a=2,由a 与2a 的等差中项为
n 2 3 1 4 1 4 4 7
5知a
4
+2a
7
=2×5,所以a
7
=1,所以q3= a 7=1,则a
1
= a 4=16.故选C.
4 4 4 a 8 q3
4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.(2022届四川绵阳第一次诊断,9)已知首项为1的数列{a}的前n项和为S,4aa =16n,则下列说法不正确的
n n n n+1
是( )
A.数列{a}是等比数列
n
B.数列{S}为单调递增数列
n
C.a=256
5
D.4a=3S+4n-1
n n
a
答案 D ∵4a
n
a
n+1
=16n,∴4a
n+1
a
n+2
=16n+1,∴ n+2=16,令n=1,可得a
2
=4,故数列{a
n
}的奇数项是以1为首项,16为
a
n
公比的等比数列;偶数项是以4为首项,16为公比的等比数列,故奇数项的通项公式为
a a
a 2n-1 =1·16n-1=16n-1(n∈N*),偶数项的通项公式为a 2n =4·16n-1(n∈N*),∴ 2n =4, 2n+1=4,故数列{a n }是公比为4
a a
2n-1 2n
的等比数列,故A中说法正确;
由于当n≥2时,S-S =a>0,故数列{S}为单调递增数列,故B中说法正确;
n n-1 n n
a=163-1=256,故C中说法正确;
5
1×(1-4n) 4n-1 4n-1 5
由于a=1·4n-1,S= = ,故4a=4n,3S+4n-1=3× +4n-1= ×4n-1,故D错误,故选D.
n n 1-4 3 n n 3 4
1
6.(2022届太原期中,9)已知{a}为等比数列,且首项为31,公比为 ,则数列的前n项积取得最大值时,n=( )
n
2
A.15 B.16 C.5 D.6
答案 C 由题意得a
n
=31·(1) n-1 ,设数列的前n项积为S
n
,则S
n
=a
1
a
2
a
3
…a
n
=31n·(1) 0+1+2+…+(n-1) =31n·
2 2
31n+1·
(1) n(n
2
+1)
(1) n(n
2
-1) ,∴ S n+1= 2 =31·(1) n = 31 ,可得当n≤4时, 31 >1,此时S
n+1
>S
n
,即
2 S
n 31n·
(1) n(n
2
-1) 2 2n 2n
2
31
S>S>S>S>S;当n≥5时, <1,此时S <S,即S>S>S>S>…,所以当n=5时,前n项积最大.故选C.
5 4 3 2 1 2n n+1 n 5 6 7 8
7.(2021江西红色七校联考,6)在各项均为正数的等比数列{a}中,aa +2aa+aa =25,则aa 的最大值是(
n 1 11 6 8 3 13 1 13
)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
25 2
A.25 B. C.5 D.
4 5
答案 B 由题意知a 1 a 11 +2a 6 a 8 +a 3 a 13 = a2 +2a 6 a 8 + a2 =(a 6 +a 8 )2=25,又因为a n >0,所以a 6 +a 8 =5,所以a 1 a 13 =a 6 a 8 ≤
6 8
(a
6
+a
8
) 2 =25,当且仅当a
6
=a
8
=5时取等号,故选B.
2 4 2
8.(2021云南名校检测,3)设等比数列{a}的前n项和为S,若S=4,S=16,则S= ( )
n n 2 4 6
A.52 B.75 C.60 D.70
答案 A 因为S,S-S,S-S 成等比数列,
2 4 2 6 4
即4,12,S-16成等比数列,
6
所以122=4(S-16),解得S=52,故选A.
6 6
9.(2022届吉林东北师范大学附属中学摸底,8)若正项等比数列{a}中的a,a 是方程x2-4x+2=0的两根,则
n 5 2 017
loga+loga+loga+…+loga =( )
2 1 2 2 2 3 2 2 021
2 022 2 021
A. B.1 010 C. D.1 011
3 2
1
答案 C 由根与系数的关系,得a
5
·a
2 017
=2,所以a
1
·a
2 021
=a
2
·a
2 020
=…=a
5
·a
2 017
=…=a
1
2
011
=2,所以a
1 011
=
22
,所
以log 2 a 1 +log 2 a 2 +…+log 2 a 2 021 =log 2 (a 1 ·a 2 ·…·a 2 020 ·a 2 021 )=log 2 a 1 2× 0 1 1 1 011 =log 2 1 011- 1=1 011-1=2 021.故选
a 2 2 2 2
1 011
C.
10.(2022届河南重点中学模拟一,8)已知公比不等于1的等比数列{a
n
}的前n项乘积为T
n
,若a
2a2
=
a2
,则(
8 6
)
A.T=T B.T=T C.T=T D.T=T
5 7 3 6 4 7 3 9
T T
答案 C 由a 2a2 =a 2 a 6 a 10 = a3 = a2 ,得a 6 =1,因为{a n }的公比不等于1,所以a 5 ≠1,a 7 ≠1,所以 7=a 6 a 7 =a 7 ≠1, 6
8 6 6 T T
5 3
T T
=a
4
a
5
a
6
=
a3
≠1,
7
=a
5
a
6
a
7
=
a3
=1,
9
=a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=
(a a )3
=
a3
≠1,所以T
4
=T
7
,故选C.
5 T 6 T 6 7 7
4 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.(2021豫南九校三模,6)音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”
3 3
为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的 ,得到“徵”;“徵”经过一次“益”,频率变为原来的 ,
2 4
得到“商”;……,依此规律损益交替变化,获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得(
)
3
A.“商”“羽”“角”的频率成公比为 的等比数列
4
3
B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为 的等比数列
2
9
C.“宫”“商”“角”的频率成公比为 的等比数列
8
1
D.“角”“商”“宫”的频率成公比为 的等比数列
2
3
答案 C 设“宫”的频率为a(a≠0),则“宫”经过一次“损”,可得“徵”的频率为 a;“徵”经过一次
2
3 3 9 9 3 27
“益”,可得“商”的频率是 a× = a;“商”经过一次“损”,可得“羽”的频率是 a× = a;“羽”经
2 4 8 8 2 16
27 3 81 9 81
过一次“益”,可得“角”的频率是 a× = a.因为a, a, a成等比数列,所以“宫”“商”“角”的
16 4 64 8 64
9
频率成等比数列,公比为 .故选C.
8
二、填空题
12.(2021福州模拟,13)已知实数x满足x+2x+3x+…+10x=110,则x+x2+x3+…+x10= .
答案 2 046
10(1+10)x
解析 ∵x+2x+3x+…+10x=x(1+2+3+…+10)= =110,∴x=2,
2
2(1-210)
∴x+x2+x3+…+x10=2+22+23+…+210= =2 046.
1-2
思路分析 先由题设求得x,再利用等比数列的前n项和公式求得结果.
13.(2022届甘肃顶级名校月考,16)已知公比大于1的等比数列{a}满足aa=144,a+a=30,则公比q等于
n 1 5 2 4
.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 2
解析 aa=aa=144,a+a=30,解得a=6,a=24或a=24,a=6,又等比数列{a}的公比大于1,故a=6,a=24,所以
2 4 1 5 2 4 2 4 2 4 n 2 4
q=2.
14.(2022届西南四省名校联考,15)设T 为等比数列{a}的前n项之积,a+a=18,a+a=9,则T 的最大值为
n n 1 4 2 5 n
.
答案 1 024
解析 设等比数列{a n }的公比为q,由题意得 {a 1 (1+q3)=18, 解得
{a
1
=1
1
6,
∴a n =16×(1) n-1 =25-
a q(1+q3)=9, q= , 2
1 2
n,∴T n = an q1+2+…+(n-1)=16n×(1) (n- 2 1)n = - 1 n2+ 9 n ,于是当n=4或5时,T n 取最大值,最大值为210=1 024.
1 2 2 2 2
15.(2021山西长治二中月考,16)已知数列{a
n
}各项均为正数,S
n
为其前n项和.若
a2
-a
n
a
n+1
-2
a2
=0,a
1
=1,则S
7
=
n+1 n
.
答案 127
解析 ∵ a2 -a n a n+1 -2 a2 =0,
n+1 n
∴(a -2a)(a +a)=0.
n+1 n n+1 n
又数列{a}各项均为正数,∴a +a>0,
n n+1 n
∴a -2a=0,即a =2a,
n+1 n n+1 n
∴数列{a}是以a=1为首项,2为公比的等比数列,
n 1
1-27
∴S= =127.
7 1-2
思路分析 根据 a2 -a n a n+1 -2 a2 =0化简得(a n+1 -2a n )·(a n+1 +a n )=0,根据数列{a n }各项均为正数可得a n+1 -2a n =0,即
n+1 n
证得数列{a}为等比数列,利用等比数列的前n项和公式即可得所求.
n
三、解答题
16.(2022届河北衡水一中调研一,18)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知2S
n
=a
n+1
-2n+1+1(n∈N*),且a
2
=5.
{a }
(1)证明 n+1 为等比数列,并求数列{a n }的通项公式;
2n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)设b
n
=log
3
(a
n
+2n),若对于任意的n∈N*,不等式b
n
(1+n)-λn(b
n
+2)-6<0恒成立,求实数λ的取值范围.
解析 (1)由题可得2S =a-2n+1(n≥2),则2a=2S-2S =a -2n+1+1-(a-2n+1)=a -a-2n,则a =3a+2n,从而有
n-1 n n n n-1 n+1 n n+1 n n+1 n
a n+1+1= 3( a n+1 ),n≥2,又当n=1时,2a 1 =2S 1 =a 2 -22+1=5-4+1=2,所以a 1 =1,且满足 a 2+1= 3( a 1+1 ),则
2n+1 2 2n 22 2 21
a n+1+1= 3( a n+1 ),n∈N*,故 {a n+1 } 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列,则 a n+1=(3) n ,故a n =3n-2n.
2n+1 2 2n 2n 2 2 2n 2
(2)由(1)知,b
n
=log
3
(a
n
+2n)=n,则∀n∈N*,n(1+n)-λn(n+2)-6<0恒成立,即λ>n(1+n)-6=n2+n-6=1-
n(n+2) n2+2n
1 1
n+6 n+6
=1- =1- 24 ,令f(t)=1- 24,t=n+6≥7,易知
n2+2n (n+6)2-10(n+6)+24 n+6-10+ t-10+
n+6 t
f(t)在[7,+∞)上单调递增,且t→+∞时, f(t)→1,则λ≥1.
17.(2022届陕西月考,18改编)已知函数f(x)=2sin(
2x+
π),数列{a
n
}满足a
1
=1,且a
n
是a
n+1
与3f(
-
π)的等
6 6
差中项.
(1)求证:数列{a+3}是等比数列;
n
(2)求数列{a}的前n项和S.
n n
解析 由已知得f(
-
π)=-1,数列{a
n
}中,a
n+1
=2a
n
+3.
6
b a +3
(1)由a n+1 =2a n +3得a n+1 +3=2(a n +3),令b n =a n +3,则b 1 =a 1 +3=4,且 n+1= n+1 =2.所以{a n +3}是以4为首项,2
b a +3
n n
为公比的等比数列.
(2)由(1)知a+3=4×2n-1=2n+1,所以a=2n+1-3,则S=22+23+…+2n+1-3n=2n+2-3n-4.
n n n
18.(2021甘肃顶级名校模拟,19)数列{a}的前n项和为S,a=1,a =2S+1,等差数列{b}的公差大于0.已知
n n 1 n+1 n n
S=b+1,且b,b,b 成等比数列.
2 2 1 2 5
(1)求数列{a}的通项公式;
n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)求数列{ 1 }的前n项和T.
n
b b
n n+1
解析 (1)因为a =2S+1,所以a=2S +1(n≥2),所以a -a=(2S+1)-(2S +1)=2a,即a =3a(n≥2),当n=1
n+1 n n n-1 n+1 n n n-1 n n+1 n
时,a=2S+1=2a+1=3,所以a=3a,所以{a}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以a=3n-1.
2 1 1 2 1 n n
(2)设{b}的公差为d(d>0),由S=b+1及(1)得b=3.
n 2 2 2
因为b
1
,b
2
,b
5
成等比数列,所以
b2
=b
1
b
5
,即(3-d)(3+3d)=9,解得d=2或d=0(舍去),所以b
1
=1,所以b
n
=2n-1,所以
2
1 = 1 =1( 1 1 ).
-
b b (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
n n+1
1 ( 1) (1 1) ( 1 1 ) 1( 1 ) n
1- - - 1-
所以T n =2 3 + 3 5 +…+ 2n-1 2n+1 =2 2n+1 =2n+1.
19.(2022届北京师大二附中期中,16)已知等比数列{a}中,公比q=2,a 是a+2,a-6的等差中项.
n 4 3 5
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)求数列{a}的前n项和S.
n n
解析 (1)∵a 是a+2,a-6的等差中项,
4 3 5
∴2a=a+2+a-6,即2a·q3=a·q2+2+a·q4-6,
4 3 5 1 1 1
又q=2,∴a
1
=1,∴a
n
=2n-1,n∈N*.
(2)S=a ·(1-qn)=1×(1-2n)=2n-1.
n 1
1-q 1-2
20.(2022届北京三中期中,17)已知等差数列{a}满足a=9,a+a=22.
n 5 3 9
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)等比数列{b}的前n项和为S,且b=a,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条
n n 1 1
件,求满足S<2 020的n的最大值.
n
条件①:b=a+a;
3 1 2
条件②:S=7;
3
条件③:b >b.
n+1 n
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,则a=a+(n-1)d.因为a=9,a+a=22,
n n 1 5 3 9
所以 { a 1 +4d=9, 解得{a 1 =1, 所以a n =2n-1.
2a +10d=22. d=2.
1
