北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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7.2 等差数列
考点一 等差数列及其前n项和
a
1.(2021北京,6,4分)已知{a
n
}和{b
n
}是两个等差数列,且
k
(1≤k≤5)是常数,若a
1
=288,a
5
=96,b
1
=192,则b
3
b
k
的值为 ( )
A.64 B.100 C.128 D.132
答案
C 命题意图:本题以定义新运算为出题背景,考查等差数列的性质,考查学生的运算求解能力,考
查的核心素养是逻辑推理及数学运算,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.
a
解题思路:解法一:因为{a n }是等差数列,所以2a 3 =a 1 +a 5 =288+96,所以a 3 =192,又因为当1≤k≤5时, k 是常值,
b
k
所以 a 3= a 1 ,即192 = 288,从而b 3 =128.
b b b 192
3 1 3
解法二:由题意可知 a 1= a 5 ,则b 5 =64,又{b n }是等差数列,所以b 3 = b 1 +b 5= 192+64=128.
b b 2 2
1 5
2.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称
为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD,CC,BB,AA 是举,
1 1 1 1
OD
1
,DC
1
,CB
1
,BA
1
是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD 1=0.5,CC 1=k
1
,BB 1=k
2
,A A 1=k
3
.已知
OD DC CB BA
1 1 1 1
k,k,k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k= ( )
1 2 3 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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图1
图2
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
答案
D 令OD=DC=CB=BA=a,
1 1 1 1
则CC=ka,BB=ka,AA=ka,DD=0.5a,
1 1 1 2 1 3 1
所以 A 的坐标为 ( 4 a , k a + k a + k a +0 . 5 a ),
1 2 3
k a+k a+k a+0.5a k +k +k +0.5
所以k = 1 2 3 = 1 2 3 =0.725,
OA
4a 4
所以k+k+k+0.5=2.9.
1 2 3
因为k,k,k 成公差为0.1的等差数列,
1 2 3
所以k+k+k+0.5=3k-0.3+0.5=2.9,
1 2 3 3
所以k=0.9,故选D.
3
3.(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石
板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一
层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇
面形石板(不含天心石) ( )
A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块
答案
C 由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a=9为首
1
项,9为公差的等差数列{a},且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S,中层总数为S,下层总数为
n 1 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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S,∴S-S=[ n(n−1) ] [ n(n−1) ]=9n2=729,解得n=9(负值
3 3 2 9(2n+1)·n+ ×9 − 9(n+1)·n+ ×9
2 2
舍去).
27×26
则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+ ×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3 402(块).故选C.
2
4.(2015课标Ⅱ文,5,5分)设S 是等差数列{a}的前n项和.若a+a+a=3,则S=( )
n n 1 3 5 5
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 A ∵{a}为等差数列,∴a+a=2a,
n 1 5 3
得3a=3,则a=1,
3 3
5(a +a )
1 5
∴S= =5a=5,故选A.
5 3
2
5.(2015课标Ⅰ文,7,5分)已知{a}是公差为1的等差数列,S 为{a}的前n项和.若S=4S,则a =( )
n n n 8 4 10
17 19
A. B. C.10 D.12
2 2
答案 B 由S
8
=4S
4
得8a
1
+8×7×1=4×(
4a +
4×3
×1
),解得a
1
=1,∴a
10
=a
1
+9d=19,故选B.
2 1 2 2 2
评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.
6.(2015浙江理,3,5分)已知{a}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S.若a,a,a 成等比数列,则( )
n n 3 4 8
A.ad>0,dS>0 B.ad<0,dS<0
1 4 1 4
C.ad>0,dS<0 D.ad<0,dS>0
1 4 1 4
5 5
答案 B 由a2=aa,得(a+2d)(a+7d)=(a+3d)2,整理得d(5d+3a)=0,又d≠0,∴a=- d,则ad=- d2<0,又
4 3 8 1 1 1 1 1 3 1 3
2 2
∵S=4a+6d=- d,∴dS=- d2<0,故选B.
4 1 4
3 3
7.(2013课标Ⅰ理,7,5分)设等差数列{a}的前n项和为S,若S =-2,S =0,S =3,则m=( )
n n m-1 m m+1
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 解法一:∵S =-2,S =0,S =3,∴a =S -S =2,a =S -S =3,∴公差d=a -a =1,由S=na+
m-1 m m+1 m m m-1 m+1 m+1 m m+1 m n 1
n(n−1) n(n−1)
d=na+ ,
1
2 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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{
m(m−1)
ma + =0,①
1 2
得
(m−1)(m−2)
(m−1)a + =−2.②
1 2
1−m
由①得a= ,代入②可得m=5.
1
2
解法二:∵数列{a}为等差数列,且前n项和为S,
n n
∴数列{S
n
}也为等差数列.
n
S S 2S −2 3
m−1 m+1 m
∴ + = ,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.
m−1 m+1 m m−1 m+1
8.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a}前9项的和为27,a =8,则a =( )
n 10 100
A.100 B.99 C.98 D.97
{ 9×8
S =9a + d=27,
答案 C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 9 1 2 解得
a =a +9d=8,
10 1
{a =−1,a=a+(n-1)d=n-2,∴a =100-2=98.故选C.
1 n 1 100
d=1,
思路分析 用a,d表示S,a ,列方程组求出a,d,从而可求得a .
1 9 10 1 100
9.(2022全国乙文,13,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和.若2S=3S+6,则公差d= .
n n 3 2
答案
2
解析
∵2S=3S+6,∴2(3a+3d)=3(2a+d)+6,即6d=3d+6,解得d=2.
3 2 1 1
10.(2014天津理,11,5分)设{a}是首项为a,公差为-1的等差数列,S 为其前n项和.若S,S,S 成等比数列,则a
n 1 n 1 2 4 1
的值为 .
1
答案 -
2
1
解析 S=a,S=2a-1,S=4a-6.故(2a-1)2=a×(4a-6),解得a=- .
1 1 2 1 4 1 1 1 1 1
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11.(2013课标Ⅱ理,16,5分)等差数列{a}的前n项和为S.已知S =0,S =25,则nS 的最小值为 .
n n 10 15 n
答案 -49
解析 由S n =na 1 + n(n−1)d得 { 10a 1 +45d=0,
2 15a +105d=25,
1
2
解得a=-3,d= ,
1
3
n(n−1) 2 1
则S=-3n+ · = (n2-10n),
n 2 3 3
1
所以nS= (n3-10n2),
n
3
1
令f(x)= (x3-10x2),
3
则 f '(x)=x2-20x=x( 20),当x∈( 20)时, f(x)递减,
x− 1,
3 3 3
当x∈(20 )时, f(x)递增,又6<20<7, f(6)=-48,
,+∞
3 3
f(7)=-49,所以nS 的最小值为-49.
n
评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n的取值范围.
2S
12.(2022全国甲,理17,文18,12分)记S 为数列{a}的前n项和.已知 n +n=2a+1.
n n n
n
(1)证明:{a}是等差数列;
n
(2)若a,a,a 成等比数列,求S 的最小值.
4 7 9 n
2S
解析 n
(1)证明:由已知条件 +n=2a+1可得,
n n
2S=2na+n-n2①,当n≥2时,由①可得2S =2(n-1)·a +(n-1)-(n-1)2②,由a=S-S 及①-②可得,(2n-2)a-
n n n-1 n-1 n n n-1 n
(2n-2)a =2n-2,n≥2,且n∈N*,
n-1
即a-a =1,因此{a}是等差数列,公差为1.
n n-1 n
(2)∵a,a,a 成等比数列,且a=a+3,a=a+6,a=a+8,∴ =a·a,即(a+6)2=(a+3)(a+8),
4 7 9 4 1 7 1 9 1 a2 4 9 1 1 1
7
解得a=-12,∴等差数列{a}的通项公式为a=-12+(n-1)·1=n-13,
1 n n
∴S
n
=(a
1
+a
n
)n
=
1
n2−
25
n=
1(
n−
25) 2
−
625,
2 2 2 2 2 8北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,S 最小,
n
最小值为-78.
2 1
+
13.(2021全国乙理,19,12分)记S 为数列{a}的前n项和,b 为数列{S}的前n项积,已知 =2.
n n n n S b
n n
(1)证明:数列{b}是等差数列;
n
(2)求{a}的通项公式.
n
解析
(1)证明:由b=S·S·…·S 可得,
n 1 2 n
b ,n=1,
{
1
S n = b
n ,n≥2.
b
n−1
2 1
+
由 =2知,
S b
n n
2 1 2 1 3
+ +
当n=1时, =2,即 =2,所以b=S= ,
S b b b 1 1 2
1 1 1 1
2 1
+
当n≥2时, =2,即2b=2b +1,即b-b =1,
b b n n-1 n n-1
n n 2
b
n−1
3 1
故数列{b}是首项为 ,公差为 的等差数列.
n
2 2
3 1 n+2
(2)由(1)知,b= +(n-1)× = ,
n
2 2 2
故当n≥2时,S n = b n = n+2,S 1 也符合该式,
b n+1
n−1
n+2
即S= (n∈N*),
n n+1
3
从而a=S= ,
1 1
2
n+2 n+1 1
当n≥2时,a=S-S = − =− ,a 不符合该式,
n n n-1 n+1 n n(n+1) 1
3
{ ,n=1,
所以a= 2
n
1
− ,n≥2.
n(n+1)北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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14.(2022浙江,20,15分)已知等差数列{a}的首项a=-1,公差d>1.记{a}的前n项和为S(n∈N*).
n 1 n n
(1)若S-2aa+6=0,求S;
4 2 3 n
(2)若对于每个n∈N*,存在实数c,使a+c,a +4c,a +15c 成等比数列,求d的取值范围.
n n n n+1 n n+2 n
解析
(1)∵{a}为等差数列,∴a=(n-1)d-1,
n n
∴S-2aa+6=6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
4 2 3
解得d=3或d=0,又d>1,∴d=3,则a=3n-4,n∈N*,
n
(−1+3n−4)n n(3n−5)
S= = ,n∈N*.
n
2 2
(2)∵a+c,a +4c,a +15c 成等比数列,
n n n+1 n n+2 n
∴(a +4c)2=(a+c)(a +15c),
n+1 n n n n+2 n
∴ a2 +16c2+8an+1cn=anan+2+15c2+(a n+2 +15a n )c n = a2 −d2+15c2+(a n+2 +15a n )c n ,
n+1 n n n+1 n
∴ c2+(8a
n+1
-a
n+2
-15a
n
)c
n
+d2=0,
n
由(1)知a=(n-1)d-1,
n
∴8a -a -15a=8+(14-8n)d,
n+1 n+2 n
则有 c2+[8+(14-8n)d]c
n
+d2=0对每个n∈N*都成立,
n
∴Δ=[8+(14-8n)d]2-4d2=[8+(16-8n)d][8+(12-8n)d]≥0对每个n∈N*都成立,
即( 1 )( 1 3)≥0对每个n∈N*都成立,
n− −2 n− −
d d 2
1 1 3 1 1 3
由于n为正整数,d>1,∴ +2和 + 只能同处于相邻的整数之间,又∵2< +2<3,∴2≤ + <3,
d d 2 d d 2
2
∴ <d≤2,故1<d≤2.
3
15.(2021全国甲文,18,12分)记S 为数列{a}的前n项和,已知a>0,a=3a,且数列{ }是等差数列.证明:
n n n 2 1 √S
n
{a}是等差数列.
n
解题指导:根据已知条件{ }为等差数列,求出数列{S}的通项公式,利用a=S-S (n≥2,n∈N*)即可求出
√S n n n n-1
n
{a}的通项公式,根据等差数列的定义可证明其为等差数列.
n
