北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.2 等差数列
一、选择题
1.(2022届广西北海模拟,10)已知递增等差数列{a}的前n项和为S,若S=10,且a,a,a+1成等比数列,则公差
n n 4 1 2 3
d=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4×3
答案 A ∵S
4
=10,∴4a
1
+ d=10,即2a
1
+3d=5①,
2
∵a
1
,a
2
,a
3
+1成等比数列,∴(a
1
+d)2=a
1
(a
1
+2d+1),即
a2
+2a
1
d+d2=
a2
+2a
1
d+a
1
,也即d2=a
1②,联立①②解得{d=1,
1 1 a =1
1
5
{d=- ,
或 2 (舍去).
25
a =
1 4
2.(2021皖北协作体模拟,4)等差数列{a}的公差为d,当首项a 与d变化时,a+a +a 是一个定值,则下列选项
n 1 2 10 21
中一定为定值的是( )
A.a B.a C.a D.a
10 11 12 13
答案 B ∵等差数列{a}的公差为d,∴a+a +a =a+d+a+9d+a+20d=3(a+10d)=3a .∵当a 与d变化
n 2 10 21 1 1 1 1 11 1
时,a+a +a 是一个定值,∴3a 是定值,即a 是一个定值.故选B.
2 10 21 11 11
3.(2021陕西宝鸡一模,3)在1和2两数之间插入n(n∈N*)个数,使它们与1,2组成一个等差数列,则当n=10时,
该数列的所有项的和为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
答案 D 设在1和2两数之间插入n(n∈N*)个数,使它们与1,2组成一个等差数列{a
n
},a
1
=1,当n=10时,可得
12(a +a ) 12×(1+2)
1 12
a =2,所以数列的所有项的和为 = =18.故选D.
12 2 2
4.(2022届河南三市联考,4)设S 是等差数列{a}的前n项和,若a+a+a=3,则S=( )
n n 1 3 5 5
A.5 B.7 C.9 D.11
5(a +a )
1 5
答案 A 由等差数列{a}的性质及a+a+a=3,得3a=3,∴a=1,∴S= =5a=5.故选A.
n 1 3 5 3 3 5 3
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5.(2020呼和浩特一模,3)在等差数列{a}中,若a+a=5,a+a=15,则a+a=( )
n 1 2 3 4 5 6
A.10 B.20 C.25 D.30
答案 C 设{a}的公差为d.由题意得4d=10,
n
则a+a=a+4d+a+4d=5+20=25.故选C.
5 6 1 2
6.(2021陕西宝鸡二模,5)已知{a}是等差数列,满足3(a+a)+2(a+a+a)=18,则该数列的前8项和为( )
n 1 5 3 6 9
A.36 B.24 C.16 D.12
答案 D 由等差数列的性质可得a+a=2a,a+a+a=3a,所以3×2a+2×3a=18,即a+a=3,所以S=
1 5 3 3 6 9 6 3 6 3 6 8
8(a +a ) 8(a +a )
1 8 = 3 6 =12.故选D.
2 2
7. (2021河南安阳模拟,5)已知数列{a},{b},{c}均为等差数列,且a+b+c=1,a+b+c=3,则a +b +
n n n 1 1 1 2 2 2 2 020 2 020
c =( )
2 020
A.4 037 B.4 039 C.4 041 D.4 043
答案 B 因为数列{a},{b},{c}均为等差数列,所以数列{a+b+c}也是等差数列,且首项为a+b+c=1,公差
n n n n n n 1 1 1
d=(a+b+c)-(a+b+c)=3-1=2,所以a +b +c =1+(2 020-1)×2=4 039.故选B.
2 2 2 1 1 1 2 020 2 020 2 020
思路分析 根据等差数列的性质得出数列{a+b+c}也是等差数列,利用等差数列通项公式可求相应项.
n n n
8.(2021吉林丰满月考,4)在数列{a}中,a=0,a -a=2,S 为其前n项和,则S =( )
n 1 n+1 n n 10
A.200 B.100 C.90 D.80
10×9
答案 C 因为数列{a}中,a=0,a -a=2,所以数列{a}是以0为首项,2为公差的等差数列,则S =
n 1 n+1 n n 10
2
×2=90.
a
9.(2021安徽马鞍山质监,11)在等差数列{a
n
}中, 8<-1,且它的前n项和S
n
有最小值,当S
n
<0时,n的最大值为(
a
7
)
A.7 B.8 C.13 D.14
a
答案 C 因为等差数列{a
n
}的前n项和S
n
有最小值,所以d>0,又 8<-1,所以a
7
<0,a
8
>0,所以a
7
+a
8
>0,
a
7
13(a +a )
1 13
又S = =13a<0,
13 7
2
14(a +a )
S = 1 14 =7(a+a)>0,
14 7 8
2
所以当S<0时,n的最大值为13.
n
方法总结 利用等差数列的性质,可将前n项和与项建立关系:S =(2n+1)a ,S =n(a+a ).
2n+1 n+1 2n n n+1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
10.(2021宁夏吴忠一模,7)数列{a}是等差数列,S 为其前n项和,且a<0,a +a <0,a ·a <0,则使S<0
n n 1 2 020 2 021 2 020 2 021 n
成立的最大正整数n是( )
A.2 020 B.2 021 C.4 040 D.4 041
答案 C 设数列{a}的公差为d,由a<0,a +a <0,a ·a <0,可知a <0,a >0,所以d>0,数列{a}为
n 1 2 020 2 021 2 020 2 021 2 020 2 021 n
4 041(a +a )
1 4 041
递增数列,S = =4 041a >0,S =2 020(a+a )=2 020(a +a )<0,所以可
4 041 2 021 4 040 1 4 040 2 020 2 021
2
知n的最大值为4 040.故选C.
11.(2021山西吕梁一模,3)等差数列{a}的前n项和为S,已知a=2,S=28,则S<0时,n的最小值为( )
n n 5 4 n
A.10 B.11 C.12 D.13
4(a +a )
1 4
答案 C 设等差数列{a}的公差为d,因为a=2,S=28,故a+4d=2, =28,即2a+3d=14,解得
n 5 4 1 1
2
1
a
1
=10,d=-2,故S
n
=n×10+ n(n-1)×(-2)=-n2+11n=-n(n-11),n∈N*,令S
n
=-n(n-11)<0,得n>11,且n∈N*,故n的最小值
2
为12.故选C.
12.(2022届西南名校联考,6)设等差数列{a}的前n项和是S,若a<-a <a,则( )
n n 2 11 1
A.S >0且S <0 B.S <0且S <0
11 12 11 12
C.S >0且S >0 D.S <0且S >0
11 12 11 12
11(a +a ) 12(a +a )
1 11 1 12
答案 A 由题意知,a+a >0,a+a =a+a <0,得S = >0,S = <0.故选A.
1 11 2 11 1 12 11 12
2 2
13.(2022届陕西宝鸡期末,10)设等差数列{a}的前n项和为S,公差为d.已知a=12,S >0,a<0,则下列选项不
n n 3 10 6
正确的是( )
{S }
A.数列 n 的最小项为第6项
a
n
24
B.- <d<-4
5
C.a>0
5
D.S>0时,n的最大值为5
n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
10
答案 D S = (a+a )=5(a+a)>0,又a<0,所以a>0,故选项C正确;由a=12,且a>0,a<0,a+a>0,得
10 1 10 5 6 6 5 3 5 6 5 6
2
{ a =12+2d>0,
5 24
a =12+3d<0, 解得- <d<-4,选项B正确;由上分析知,当1≤n≤5时,a n >0,当n≥6时,a n <0,所以
6 5
a +a =24+5d>0,
5 6
S =11a<0,又S >0,故S>0时,n的最大值为10,故选项D错误;由于d<0,因此数列{a}是递减数列,由上述分
11 6 10 n n
S S S {S }
析知当1≤n≤5时, n>0,当6≤n≤10时, n<0,当n≥11时, n>0,故数列 n 中最小的项为第6项,选项A正
a a a a
n n n n
确.故选D.
14.(多选)(2021山东济宁鱼台一中月考,11)设{a}是等差数列,S 为其前n项和,且S<S,S=S>S ,则下列结论
n n 7 8 8 9 10
正确的是( )
A.公差d<0
B.a=0
9
C.S >S
11 7
D.S、S 均为S 的最大值
8 9 n
答案ABD 由S<S 得a+a+a+…+a<a+a+…+a+a,即a>0,又∵S=S,∴a+a+…+a=a+a+…+a+a,∴a=0,
7 8 1 2 3 7 1 2 7 8 8 8 9 1 2 8 1 2 8 9 9
故B中结论正确;同理由S>S 得a <0,∴公差d=a -a<0,故A中结论正确;
9 10 10 10 9
对于C,若S >S,则a+a+a +a >0,可得2(a+a )>0,由结论a=0,a <0,知a+a <0,矛盾,故C中结论错
11 7 8 9 10 11 9 10 9 10 9 10
误;∵S<S,S=S>S ,d<0,∴S 与S 均为S 的最大值,故D中结论正确.故选ABD.
7 8 8 9 10 8 9 n
二、填空题
15.(2022届豫南名校联考(二),15)已知S n 为数列{a n }的前n项和,数列{S n }是等差数列,若a 2 =2a 1 ,S 12 =468,则
n
a= .
1
答案 6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 设等差数列{S n }的公差为d,则d= S 2 - S 1 = a 1 +a 2 -a 1 = 3a 1 -a 1 = a 1 ,所以 S n =a 1 +(n-1)× a 1 = na 1 +
n 2 1 2 2 2 n 2 2
a ,所以S=n2a +na ,由S =122a +12a =468,可得a=6.
1 n 1 1 12 1 1 1
2 2 2 2 2
16.(2021吉林顶级名校月考,14)记S 分别为等差数列{a}的前n项和,若a=21-2n,则S = .
n n n 10
答案 100
19+1
解析 由a=21-2n得a=19,a =1,所以前10项的和S = ×10=100.
n 1 10 10
2
17.(2021广东深圳外国语学校模拟,13)已知等差数列{a}的前n项和S=225,其前三项和为6,后三项和为39,
n n
则该数列有 项.
答案 30
解析 设等差数列{a}共有n项(n≥3),其前三项和为6,即a+a+a=6,则有3a=6,解得a=2.后三项和为39,即
n 1 2 3 2 2
(a +a )×n
1 n
a +a +a=39,则有3a =39,解得a =13.等差数列{a}的前n项和S=225,即S= =
n-2 n-1 n n-1 n-1 n n n
2
(a +a )×n 15n
2 n-1 = =225,解得n=30.故该数列有30项.
2 2
思路分析 设等差数列{a}共有n项(n≥3),由等差数列的性质求出a、a ,由等差数列的前n项和的公式可
n 2 n-1
(a +a )×n (a +a )×n
1 n 2 n-1
得S= = =225,解方程可得n的值.
n
2 2
18.(2022届四川绵阳第一次诊断,13)设S 是等差数列{a}的前n项和,若a=2,S=35,则a= .
n n 1 7 6
答案 7
7(a +a )
1 7
解析 由等差数列性质知S= =7a=35,故a=5.又∵a=2,∴公差d=1.∴a=n+1,则a=7.
7 4 4 1 n 6
2
19.(2022届广西模拟,15)在等差数列{a}中,a+a+a=105,a+a+a=99,以S 表示{a}的前n项和,则使S 达到
n 1 3 5 2 4 6 n n n
最大值的n是 .
答案 20
1
解析 因为a+a+a=3a=105,a+a+a=3a=99,所以a=35,a=33,从而公差d=-2,则a=39,S=39n+ n(n-1)
1 3 5 3 2 4 6 4 3 4 1 n
2
(-2)=-n2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,S 取最大值.
n
三、解答题北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
20.(2022届吉林一调,17)已知数列{a}是等差数列,S 是{a}的前n项和,a=-10,S=S.
n n n 4 8 9
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)求S.
n
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,可知 { a 1 +8d=0, 解得{a 1 =-16,
a +3d=-10, d=2.
1
从而a
n
=-16+2(n-1)=2n-18(n∈N*).
n(n-1)
(2)由(1)知,a
1
=-16,d=2,则S
n
=-16n+ ×2=n2-17n(n∈N*).
2
21.(2022届河南调研,18)已知数列{a
n
}满足a
1
=4,a
n+1
=2a
n
+2n+1(n∈N*),设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.
{a }
(1)证明:数列 n 是等差数列.
2n
(2)求S.
n
a a
解析 (1)证明:由a
n+1
=2a
n
+2n+1,得 n+1- n=1.
2n+1 2n
a {a }
因为 1=2,所以数列 n 是以2为首项,1为公差的等差数列.
21 2n
a
(2)由(1)得 n=2+(n-1)×1=n+1,所以a
n
=(n+1)·2n,所以S
n
=2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n①,2S
n
=2×22+3×23+…
2n
+n×2n+(n+1)×2n+1②,①-②得-S
n
=2×21+22+…+2n-(n+1)×2n+1=-n·2n+1,所以S
n
=n·2n+1.
1
22.(2022届陕西宝鸡月考,18)已知正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
= (a
n
+1)2(n∈N*).
4
(1)求a,a;
1 2
(2)求证:数列{a}是等差数列.
n
解析 (1)在S
n
=1(a
n
+1)2(n∈N*)中,令n=1,可得a
1
=S
1
=(a
1
+1)2 ,∴a
1
=1.
4 4
令n=2,可得1+a=(a +1)2 ,得a=3或-1(舍去).
2 2 2
4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1 1 1
(2)证明:∵a
1
=1,S
n
= (a
n
+1)2(n∈N*),∴当n≥2时,S
n-1
= (a
n-1
+1)2,∴S
n
-S
n-1
=a
n
= (a
n
+1)2- (a
n-1
+1)2=
4 4 4 4
(a -a )(a +a +2)
n n-1 n n-1 ,化简得(a+a )·(a-a -2)=0.
n n-1 n n-1
4
∵a>0,∴a-a =2(n≥2),∴{a}是以1为首项,2为公差的等差数列.
n n n-1 n
23.(2022届哈尔滨期中,20)在数列{a}中,a=4,na -(n+1)a=2n2+2n.
n 1 n+1 n
(1)求证:数列{a
n
}是等差数列;
n
(2)求数列{1 }的前n项和S.
n
a
n
a a
解析 (1)证明:na -(n+1)a=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得 n+1 - n =2.
n+1 n n+1 n
又 a 1 =4,所以数列{a n }是首项为4,公差为2的等差数列.
1 n
(2)由(1)得a
n
=4+2(n-1),即a
n
=2n+2,所以a
n
=2n2+2n,故 1 = 1 =1(1
-
1 ),
n n a 2n2+2n 2 n n+1
n
1 ( 1) (1 1) (1 1 ) 1 ( 1 ) n
1- - - 1-
所以S n =2 2 + 2 3 +…+ n n+1 =2· n+1 =2(n+1).
24.(2021石景山一模,17)已知有限数列{a}共有30项,其中前20项成公差为d的等差数列,后11项成公比为
n
q的等比数列.记数列的前n项和为S.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.求:
n
(1)d,q的值;
(2)数列{a}中的最大项.
n
条件①:a=4,S=30,a =20;
2 5 21
条件②:S=0,a =-36,a =-9;
3 20 22
条件③:S=48,a =20,a =160.
1 21 24
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析 选择条件①:a=4,S=30,a =20.
2 5 21
(1)因为{a}的前20项成等差数列,a=4,S=30,
n 2 5
