北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.4 数列求和、数列的综合
一、选择题
1.(2022届河南期中联考,8)设数列{a}和{b}的前n项和分别为S,T,已知数列{b}是等差数列,且b=
n n n n n n
a +n2
n
,a
3
=3,b
4
+b
5
=11,则S
n
+T
n
=( )
a
n
A.n2-2n B.2n2-n C.2n2+n D.n2+2n
答案 D 由a 3 =3,得b 3 = a 3 +32 =3+32 =4,设等差数列{b n }的公差为d,所以 { b 1 +2d=4, 解得
a 3 2b +7d=11,
3 1
{b 1 =2, 所以b n =2+(n-1)×1=n+1,则b n = a n +n2 =n+1,所以a n =n.所以S n =n(1+n) =n2 +n,T n =
d=1, a 2 2 2
n
n(2+n+1) n2 3n
= + ,则S+T=n2+2n.故选D.
2 2 2 n n
2.(2021江西上饶二模,9)函数f(x)=2sin x-x(x>0)的所有极大值点从小到大排成数列{a},设S 是数列{a}的前
n n n
n项和,则cos S =( )
2 021
1 1
A.1 B. C.- D.0
2 2
π
答案 B f '(x)=2cos x-1(x>0),且f '(x)是周期为2π的周期函数.当x∈(0,2π]时, f '(x)=0的根为x= 和x=
3
5π π
. f '(x)的图象如图,易知, f(x)在(0,2π]上的极大值点为 .
3 3
π π 2 021×2 020 5π
即{a}是以 为首项,2π为公差的等差数列,故S =2 021× + ×2π=672π+ +2 021×
n 2 021
3 3 2 3
5π 1
2 020π,则cos S =cos = ,故选B.
2 021
3 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.(2022届山西长治第二中学月考,10)已知数列{a}、{b}的前n项和分别为A、B,记c=aB+bA-
n n n n n n n n n
ab(n≥1).则数列{c}的前10项和为( )
n n n
A +B
A.A +B B. 10 10 C.A B D.√A B
10 10 2 10 10 10 10
答案 C 当n=1时,c=ab;当n≥2时,c=(A-A )B+(B-B )A-(A-A )(B-B )=AB-A B .故c+c+…
1 1 1 n n n-1 n n n-1 n n n-1 n n-1 n n n-1 n-1 1 2
+c =AB+(AB-AB)+(AB-AB)+…+(A B -AB)=A B .故选C.
10 1 1 2 2 1 1 3 3 2 2 10 10 9 9 10 10
1
4.(2022届安徽安庆月考,9)已知等差数列{a}的公差为2,前n项和为S,且S,S,S 成等比数列.令b=
n n 1 2 4 n a a
n n+1
,则数列{b}的前50项和T =( )
n 50
50 49 100 50
A. B. C. D.
51 50 101 101
2×1 4×3
答案 D S=a,S=2a+ ×2=2a+2,S=4a+ ×2=4a+12.
1 1 2 1 1 4 1 1
2 2
由题意得(2a+2)2=a(4a+12),解得a=1,所以a=2n-1,
1 1 1 1 n
则b
n
= 1 =1( 1
-
1 ),
(2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 50
则T
50
=2 1-3+3-5+5-7+…+99-101 =101.
5.(2021甘肃名校模拟,12)已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=2n+1-2,若∀n∈N*,λa
n
≤4+S
2n
恒成立,则实数λ的最大值
是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 数列{a}的前n项和S=2n+1-2,当n≥2时,a=S-S =(2n+1-2)-(2n-2)=2n;
n n n n n-1
当n=1时,a
1
=S
1
=22-2=2满足上式,所以a
n
=2n(n∈N*).北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
又∀n∈N*,λa
n
≤4+S
2n
恒成立,所以∀n∈N*,λ≤
4+S
2n恒成立.令b
n
=
4+S 2n=4+22n+1-2=22n+1+2=2n+1+
a a 2n 2n
n n
2 ,则b
n+1
-b
n
=( 2n+2+ 2 )-( 2n+1+ 2 )=2n+1- 1 >0对任意n∈N*都成立,所以b
n
=2n+1+ 2 单调递增,因此
2n 2n+1 2n 2n 2n
(b
n
)
min
=b
1
=22+2=5,即 4+S 2n的最小值为5,所以λ≤5,即实数λ的最大值是5.
2 a
n
1
6.(多选)(2020百师联盟练习题五,6)对于数列{a },令b=a- ,下列说法正确的是( )
n n n a
n
A.若数列{a}是单调递增数列,则数列{b}也是单调递增数列
n n
B.若数列{a}是单调递减数列,则数列{b}也是单调递减数列
n n
C.若a=3n-1,则数列{b}有最小值
n n
D.若a
n
=1-(
-
1) n ,则数列{b
n
}有最大值
2
1
答案CD 如果a=-1,a=1,则b=b=0,A不正确;如果a=1,a=-1,则b=b=0,B不正确;函数f(x)=x- 在(0,+∞)
1 2 1 2 1 2 1 2
x
上为增函数,若a=3n-1,则{a}为递增数列,当n=1时,a 取最小值,a=2>0,从而数列{b}有最小值,C正确;若
n n n 1 n
a
n
=1-(
-
1) n ,当n=1时,a
n
取最大值3,且a
n
>0,从而数列{b
n
}有最大值,D正确.故选CD.
2 2
7.(多选)(2021长沙一中月考(三),12)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如:
a a a … a
11 12 13 1n
a a a … a
21 22 23 2n
a a a … a
31 32 33 3n
… … … … …
a a a … a
n1 n2 n3 nn
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的
等比数列(其中m>0).已知a =2,a =a +1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )
11 13 61
A.m=3
B.a =17×37
67北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
C.a=(3i-1)×3j-1
ij
1
D.S= n(3n+1)(3n-1)
4
答案ACD 由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成
以m为公比的等比数列,且a =2,a =a +1,可得a =a m2=2m2,a =2+5m,所以2m2=2+5m+1,
11 13 61 13 11 61
1
解得m=3或m=- (舍去),所以A中结论正确;
2
a =a m6=(2+5×3)×36=17×36,所以B中结论不正确;
67 61
因为a=a mj-1=[a +(i-1)×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以C中结论正确;
ij i1 11
S=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )+…+(a +a +…+a )=a (1-3n)+a (1-3n)+…+a (1-3n)
11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn 11 21 n1
1-3 1-3 1-3
1 (2+3n-1)n 1
= (3n-1)· = n(3n+1)(3n-1),
2 2 4
所以D中结论正确,故选ACD.
二、填空题
8.(2021皖江名校联盟考试,16)已知S
n
是各项均不为零的等差数列{a
n
}的前n项和,且S
2n-1
=
a2
(n∈N*),若存在
n
n∈N*,使不等式 1 + 1 + 1 +…+ 1 ≥(1 n2+ 1 n )λ成立,则实数λ的最大值
a a a a a a a a a a a a 4 2
1 2 3 2 3 4 3 4 5 n n+1 n+2
是 .
4
答案
45
(2n-1)(a +a )
解析 ∵S
2n-1
=
2
1 2n-1 =(2n-1)a
n
=a2
n
,又a
n
≠0,∴a
n
=2n-1,n∈N*.等差数列{a
n
}的首项a
1
=1,公差
1 1( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) ( 1 1 )
- - -
d=2.∵a a a =4 a a a a ,∴原式=4 a a a a + a a a a +…+
n n+1 n+2 n n+1 n+1 n+2 1 2 2 3 2 3 3 4
( 1 1 ) 1 1 1 n2+2n n2+2n
-
a a a a =4 a a -a a =3(2n+1)(2n+3).即3(2n+1)(2n+3)
n n+1 n+1 n+2 1 2 n+1 n+2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
≥(1 n2+ 1 n )λ,∴存在n∈N*,使λ≤ 4 成立,∴λ≤[ 4 ] ,当
4 2 3(2n+1)(2n+3) 3(2n+1)(2n+3)
max
4 4 4
n=1时, = ,故实数λ的最大值是 .
3×(2+1)×(2+3) 45 45
2n+1
9.(2022届湖南名校10月联考,16)已知正项数列{a}的前n项和为S,且2S=a2
+a.若b=(-1)n ,则数列
n n n n n n 2S
n
{b}的前2 021项和为 .
n
2 023
答案 -
2 022
解析 当n=1时,2a 1 = a2 +a 1 ,因为a n >0,所以a 1 =1.
1
当n≥2时,2S
n-1
=
a2
+a
n-1
,所以2(S
n
-S
n-1
)=
a2
-
a2
+a
n
-a
n-1
,整理得(a
n
+a
n-1
)(a
n
-a
n-1
-1)=0.因为a
n
>0,所以a
n
-a
n-1
=1,所
n-1 n n-1
n(n+1) 2n+1
以数列{a}是首项为1,公差为1的等差数列,则a=n,S= ,所以b=(-1)n =(-1)n
n n n 2 n n(n+1)
(1
+
1 ),所以b
1
+b
2
+b
3
+…+b
2 020
+b
2 021
=-1-1+1+1-1-1+…+ 1 + 1 - 1 - 1
n n+1 2 2 3 3 4 2 020 2 021 2 021 2 022
1 2 023
=-1- =- .
2 022 2 022
三、解答题
10.(2022届河南尖子生二诊,19)等比数列{a}的首项a=2,前n项和记作S,且{S+1}也是等比数列,公比为q.
n 1 n n
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)记b n =log 2 a n ,求数列{ n+ 1 }的前n项和T n .
b b
n n+1
解析 (1)由已知得S+1=(S+1)qn-1,
n 1
又S=a=2,∴S=3×qn-1-1.
1 1 n
当n≥2时,a=S-S =3(q-1)qn-2.
n n n-1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∵{a
n
}为等比数列, a n+1=3(q-1)qn-1 =q(n≥2,n∈N*),∴ a 2=q,即3(q-1)=q,∴q=3,∴数列{a
n
}的公比也
a 3(q-1)qn-2 a 2
n 1
为q,且q=3,∴a=2×3n-1.
n
(2)b=log(2×3n-1)=1+(n-1)log3,∴{b}为等差数列,首项为1,公差d为log3.
n 2 2 n 2
∵ 1 = 1( 1 - 1 )=( 1 - 1 )·log 3 2,
b b d b b b b
n n+1 n n+1 n n+1
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (1+n)n ( 1 1 )
- - - -
∴T n =(1+2+3+…+n)+ b b + b b +…+ b b ·log 3 2= 2 + b b
1 2 2 3 n n+1 1 n+1
·log 3 2= (1+n)n+( 1- 1 )· log 3 2= (1+n)n+ n .
2 1+nlog 3 2 1+nlog 3
2 2
11.(2022届河南三市联考,17)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(n,S
n
)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象
上,且a=C.
1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若b=a( +1),求数列{b}的前n项和T.
n n a n n
2n-1
解析 (1)设数列{a
n
}的公差为d,则S
n
=na
1
+n(n-1)d=dn2+(
a -
d)n,又S
n
=n2+Bn+C-1,两式对照得
2 2 1 2
{ d
=1, 即{d=2,又a=C,所以a=1,
2 1 1
C=1,
C-1=0,
所以数列{a}的通项公式为a=2n-1.
n n
(2)b
n
=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,则T
n
=1×2+3×22+…+(2n-1)2n①,
2T
n
=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1②,
22(1-2n-1)
②-①得T
n
=(2n-1)2n+1-2(22+…+2n)-2=(2n-1)2n+1-2·
1-2
-2=(2n-3)2n+1+6.
12.(2022届安徽蚌埠质检,20)已知数列{a}的前n项和为S,满足S=2a-2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
S +T
(2)记b n =log 2 a n ,数列{a n ·b n }的前n项和为T n ,求证: n n为定值.
a b
n n
解析 (1)当n=1时,a=S=2a-2,解得a=2.
1 1 1 1
当n≥2时,S =2a -2,从而S-S =a=2a-2a ,化简得a=2a (n≥2),所以数列{a}是首项为2,公比为2的等比数
n-1 n-1 n n-1 n n n-1 n n-1 n
列,则a=2×2n-1,即a=2n.
n n
(2)证明:b=loga=log2n=n,a·b=n·2n,所以T=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,从而2T=1×22+2×23+3×24+…+
n 2 n 2 n n n n
(n-1)×2n+n×2n+1,
两式相减,得-T=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
n
即-T=(1-n)×2n+1-2,所以T=(n-1)2n+1+2,
n n
而S n =2a n -2=2n+1-2,所以
S
n
+T n=n·2n+1-2n+1+2+2n+1-2=2,为定值.
a b n·2n
n n
13.(2022届长春月考,19)在公差不为零的等差数列{a}中,a=5,a,a,a 成等比数列.
n 2 1 3 11
(1)求数列{a}的通项公式;
n
9 1
(2)已知b= ,设数列{b}的前n项和为S,求证: ≤S<1.
n (a +1)(a +4) n n 2 n
n n
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0).
n
{ a =5, { a +d=5,
因为 2 所以 1
a a =a2, a (a +10d)=(a +2d)2,
1 11 3 1 1 1
解得{a
1
=2, 所以a
n
=3n-1,n∈N*.
d=3,
(2)证明:b
n
= 9 = 9 = 1 =1- 1 ,所以S
n
=(
1-
1)+(1
-
1)+…
(a +1)(a +4) 3n(3n+3) n(n+1) n n+1 2 2 3
n n
+(1 1 )=1- 1 .
-
n n+1 n+1
1
因为 >0,所以S<1.
n+1 n
1
又知数列{S}是递增数列,于是S≥S= .
n n 1
2
1
综上, ≤S<1.
n
2
