北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.3 椭圆
【5 年高考】
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1. ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√n
√ m
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± - x
n
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
答案 ACD
2.(2019课标Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F(-1,0),F(1,0),过F 的直线与C交于A,B两点.若|AF|=2|FB|,|
1 2 2 2 2
AB|=|BF|,则C的方程为 ( )
1
x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
2 3 2 4 3 5 4
答案 B
3.(2021新高考适应卷,4,5分)椭圆 x2 + y2 =1(m>0)的焦点为F,F,上顶点为A,若∠FAF=π,则m= (
1 2 1 2
m2+1 m2 3
)
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 C
x2 y2
4.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MFF 为等
1 2 1 2
36 20
腰三角形,则M的坐标为 .
答案 (3,√15)
5.(2020课标Ⅲ,文21,理20,12分)已知椭圆C:x2+ y2 =1(0<m<5)的离心率为√15,A,B分别为C的左、右顶
25 m2 4
点.
(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
考点二 椭圆的几何性质
x2 y2
6.(2017浙江,2,4分)椭圆 + =1的离心率是 ( )
9 4
√13 √5 2 5
A. B. C. D.
3 3 3 9
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
7.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F,F
是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且
1 2
a2 b2
√3
斜率为 的直线上,△PFF 为等腰三角形,∠FFP=120°,则C的离心率为 ( )
1 2 1 2
6
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 D
8.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,A,且以线段AA 为直径的圆与
1 2 1 2
a2 b2
直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( )
√6 √3 √2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 A
9.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶
a2 b2
点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点,则C的离心率为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 A
10.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:x2 +y2
=1(a>b>0),双曲线N:
x2 -y2
=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆
a2 b2 m2 n2
M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离
心率为 .
答案 √3-1;2
11.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的焦点为F(-1,0),F(1,0).过
1 2
a2 b2
F 作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF 并延长交圆F 于
2 2 1 2
5
点B,连接BF 交椭圆C于点E,连接DF.已知DF= .
2 1 1
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
12.(2020课标Ⅱ理,19,12分)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合,C 的中心与
1 2 1
a2 b2
4
C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A,B两点,交C 于C,D两点,且|CD|= |AB|.
2 1 2
3
(1)求C 的离心率;
1
(2)设M是C 与C 的公共点.若|MF|=5,求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
x2 y2
13.(2020江苏,18,16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E: + =1的左,右焦点分别为F,F,点A在椭
1 2
4 3
圆E上且在第一象限内,AF⊥FF,直线AF 与椭圆E相交于另一点B.
2 1 2 1
(1)求△AFF 的周长;
1 2
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求⃗OP·⃗QP的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S,S,若S=3S,求点M的坐标.
1 2 2 1
考点三 直线与椭圆的位置关系
14.(2020天津,18,15分)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原
a2 b2
点.
(1)求椭圆的方程;(2)已知点C满足3⃗OC=⃗OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的
圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
15.(2019天津,18,13分)设椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为
a2 b2
√5
.
5
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|
OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
16.(2018天津,19,14分)设椭圆x2 +y2 =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√5,|AB|=
a2 b2 3
√13.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是
△BPQ面积的2倍,求k的值.
x2
17.(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为
2
(2,0).北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x2+ y2 =1(m>0)的左焦点为F(-4,0),则m= ( )
1
25 m2
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.
1
2.(2013广东文,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是 ( )
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
3 4 4 √3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
4 2 4 3
1 c 1
答案 D 由右焦点为F(1,0)可知c=1,因为离心率等于 ,即 = ,故a=2,由a2=b2+c2知b2=3,故椭圆C的方
2 a 2
x2 y2
程为 + =1.故选D.
4 3
x2 y2
3.(2014辽宁,理15,文15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分
9 4
别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
解析 根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F、F 为椭圆C的焦点,连接PF、PF.显然PF 是
1 2 1 2 1
△MAN的中位线,PF 是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF|+2|PF|=2(|PF|+|PF|)=2×6=12.
2 1 2 1 2
评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF、PF 利用椭圆的定义是求解的关键.
1 2
考点二 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:x2 +y2=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为
( )
a2 4
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3
答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
由题意可知c=2,b2=4,
∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2√2,
c 2 √2
∴e= = = ,故选C.
a 2√2 2
方法总结 求椭圆离心率的常用方法:
c
(1)求得a,c的值,直接代入e= 求解.
a
(2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.
2.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F,F 是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF⊥PF,且∠PFF=60°,则C
1 2 1 2 2 1
的离心率为 ( )
√3 √3-1
A.1- B.2-√3 C. D.√3-1
2 2
答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.
不妨设椭圆方程为x2 +y2
=1(a>b>0).
a2 b2
在Rt△FPF 中,因为∠PFF=60°,|FF|=2c,
1 2 2 1 1 2
所以|PF|=c,|PF|=√3c.
2 1
由椭圆的定义得|PF|+|PF|=2a,
1 2
即√3c+c=2a,
c 2
所以椭圆的离心率e= = =√3-1.故选D.
a √3+1
疑难突破 利用椭圆的定义|PF|+|PF|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是难点的突破口.
1 2
x2 y2
3.(2017课标Ⅰ文,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则
3 m
m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,√3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,√3]∪[4,+∞)
答案 A 本题考查圆锥曲线的几何性质.
当0<m<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).
图(1)
当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1;
当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,√m),B(0,-√m),M(√3,0).北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
图(2)
当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m≥3,即m≥9.
综上,m∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.
易错警示 在求解本题时,要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两个端点,并未
说明椭圆长轴所在的坐标轴,因此,要根据m与3的大小关系,讨论椭圆长轴所在的坐标轴.
1
4.(2016课标Ⅰ文,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该
4
椭圆的离心率为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
b c 1
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a· ,所以e= = .故选B.
2 a 2
1 b
易错警示 椭圆中心到直线l的距离为 ×2b= ,容易将短轴长误认为b.
4 2
评析 本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量关系是求解的关键.
5.(2015福建文,11,5分)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭
a2 b2
4
圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( )
5
A.( √3] B.( 3] C.[√3 ) D.[3 )
0, 0, ,1 ,1
2 4 2 4
答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则
由点M(0,b)到直线l的距离不小于4,得 4b ≥4,即b≥1.所以e2=c2 =a2-b2 =4-b2 ≤3,又
5 √32+(-4)2 5 a2 a2 4 4
0<e<1,所以e∈( √3],故选A.
0,
2
评析 本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于原点对称,从而
得出|AF|+|BF|=2a.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
6.(2013课标Ⅱ文,5,5分)设椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,P是C上的点,
1 2
a2 b2
PF⊥FF,∠PFF=30°,则C的离心率为 ( )
2 1 2 1 2
√3 1 1 √3
A. B. C. D.
6 3 2 3
2c
答案 D 在Rt△PFF 中,令|PF|=1,因为∠PFF=30°,所以|PF|=2,|FF|=√3.所以e= =
2 1 2 1 2 1 1 2
2a
|F
1
F
2
| =√3.故选D.
|PF |+|PF | 3
1 2
7.(2013四川文,9,5分)从椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F,A是椭圆与x轴正
1
a2 b2
半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( )
√2 1 √2 √3
A. B. C. D.
4 2 2 2
答案 C 左焦点为F(-c,0),PF⊥x轴,
1 1
当x=-c时, c2 + y2 P=1⇒ y2=b2( 1- c2 )= b4 ⇒y P =b2 (负值不合题意,已舍去),点P( -c, b2 ),
a2 b2 P a2 a2 a a
b b2
由斜率公式得k =- ,k =- .
AB a OP ac
b b2
∵AB∥OP,∴k =k ⇒- =- ⇒b=c.
AB OP a ac
∵a2=b2+c2=2c2,∴c2 =1⇒e=c=√2.故选C.
a2 2 a 2
8.(2013辽宁文,11,5分)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连
a2 b2
4
接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则C的离心率为 ( )
5
3 5 4 6
A. B. C. D.
5 7 5 7
82+102-x2 4
答案 B 如图,设|AF|=x,则cos∠ABF= = .
2×8×10 5
解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF|=8,且∠FAF=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF 是直角三
1 1 1
c 5
角形,∴|FF|=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴ = .故选B.
1
a 7
