北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第十章 圆锥曲线
§10.1 椭圆
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京东城一模,9)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点
1 2
a2 b2
重合,P为椭圆C 与抛物线C 的公共点,且PF⊥x轴,那么椭圆C的离心率为 ( )
1 2
√3 √2
A.√2-1 B. C. D.√3-1
3 2
答案 A 由点P在抛物线C
2
上且PF⊥x轴,得P(p
,±p
),又由点P在椭圆C
1
上得P
2
( b2 ),因为P为椭圆C 与抛物线C 的公共点,所以b2 =2c,即2ac=a2-c2,结合离心率e=c,得
c,± 1 2
a a a
e2+2e-1=0,解得e=√2-1,或e=-√2-1(舍),故选A.
思路分析 先分别由椭圆、抛物线的标准方程求得点P的坐标,再由点P是椭圆与抛物线的公共
b2 c
点,从而得 =2c,最后结合离心率的定义e= 与a2=b2+c2求解.
a a
2.(2021浙江“超级全能生”3月模拟,7)在直角坐标系中,已知O为坐标原点,A(-1,0),B(1,0).点P满
足k ·k =3且|PA|+|PB|=4,则|OP|=( )
PA PB
7√13 √85 5√13 √13
A. B. C. D.
13 5 13 2
y y
答案 B 设点P(x,y),由k ·k =3得 · =3,
PA PB x+1 x-1
y2
即x2- =1(x≠±1)①.
3
又|PA|+|PB|=4>2=|AB|,所以点P在以A,B为焦点且长轴长2a=4的椭圆上,
x2 y2
所以点P的坐标满足椭圆方程 + =1②,
4 3
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8
{x2= ,
联立①②,解得 5 所以|OP|= =√85,故选B.
√x2+ y2
9 5
y2= ,
5
3.(2021浙江新高考研究卷(一),8)设椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,O为坐标原点,过F且斜率
a2 b2
为1的直线交椭圆于A,B两点(A在x轴上方).A关于x轴的对称点为D,连接DB并延长交x轴于
点E,若S ,S ,S 成等比数列,则椭圆的离心率e的值为 ( )
△DOF △DEF △DOE
√3-1 √2 √5-1 √3
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 C 由题意知 =S ·S ,
S2 △DOF △DOE
△DEF
所以|EF|2=|OF|·|OE|①.
易知l :y=x+c,设A(x,x+c),B(x,x+c),x+c>0,x+c<0,则D(x,-x-c),
AB 1 1 2 2 1 2 1 1
x +x +2c
直线DB的方程为y-x 2 -c= 1 2 (x-x 2 ),
x -x
2 1
-(x -x )(x +c) 2x x +c(x +x )
令y=0,则x
E
=
2 1 2
+x
2
=
1 2 1 2
②.
x +x +2c x +x +2c
1 2 1 2
{x2 y2
联立得
+ =1,
消去y可知,(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0,
a2 b2
y=x+c,
{
-2a2c
x +x = ,
1 2 a2+b2 a2
则 将其代入②,得x =- ,
E
a2c2-a2b2 c
x x = ,
1 2 a2+b2
由①得c·a2 =(a2 ) 2 ⇒c2a2=(a2-c2)2,
-c
c c
即a4-3c2a2+c4=0,
3-√5 √5-1
所以e4-3e2+1=0⇒e2= ,即e= .选C.
2 2
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4.(2021河南驻马店一模,7)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的一个焦点为F,点P是椭圆C上的一个
a2 b2
动点,|PF|的最小值为√3-1,且存在点P,使得△OPF(点O为坐标原点)为正三角形,则椭圆C的焦距
为 ( )
A.2 B.2√2
C.2√3 D.4
答案 D 不妨设F为椭圆C的右焦点,F 为椭圆C的左焦点,如图,连接PF.因为△OPF为等边三
1 1
角形,所以|OF|=|OF|=|OP|=|PF|=c,所以△FPF是直角三角形,所以|PF|=√3c.因为|PF|+|PF|=c+√3
1 1 1 1
c 2
c=2a,所以e= = =√3-1.因为|PF|的最小值为√3-1,所以a-c=√3-1,所以c=2,故椭圆C的焦距
a √3+1
为4.
5.(2021云南昆明“三诊一模”高三复习教学质量检测,10)已知F,F
分别是椭圆E:x2 +y2
1 2
a2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,M是椭圆短轴的端点,点N在椭圆上,若 =3 ,则椭圆E的离心率
⃗M F ⃗N F
1 2
为 ( )
1 1
A. B.
3 2
√2 √6
C. D.
2 3
4
{x= c,
答案 C 设M(0,b),F(-c,0),F(c,0),N(x,y),因为 =3 ,所以(-c,-b)=3(c-x,-y),所以 3
1 2 ⃗M F ⃗N F
1 2 b
y= ,
3
16 1 √2
代入椭圆方程并化简得, e2+ =1,解得e= ,故选C.
9 9 2
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x2 y2
6.(2021山西运城3月模拟,7)已知椭圆 + =1上一点P,F,F 分别为椭圆的左、右焦点,若
1 2
4 2
△FPF 为直角三角形,则满足条件的点P有 ( )
1 2
A.8个 B.6个
C.4个 D.2个
答案 B 由椭圆的方程可知c= = ,所以当点P为直角顶点时,点P只能在短轴端点处,
√a2-b2 √2
所以满足条件的点P有2个;当F 或F 为直角顶点时,结合椭圆的对称性可知满足条件的点P有4
1 2
个,综上可知符合条件的点P有6个,故选B.
知识拓展
已知点P是椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)上的一点,F,F 分别为椭圆的左、右焦点,满足
1 2
a2 b2
PF⊥PF 的点P的个数:①当b>c时,椭圆上不存在满足条件的点P;②当b=c时,椭圆上有2个满
1 2
足条件的点P;③当b<c时,椭圆有4个满足条件的点P.
7.(2021江西吉安重点高中4月模拟,9)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,点P
1 2
a2 b2
为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点,I为△FPF 的内心,且 =λ - .若椭圆的
1 2 S S S
△IPF △IF F △IPF
1 1 2 2
离心率为e,则λ= ( )
1 2
A. B. C.e D.2e
e e
1 1 1
答案 A 设△PFF 内切圆的半径为r,则S = r·|PF|,S = r·|PF|,S = r·|FF|,因
1 2 △IPF 1 2 1 △IPF 2 2 2 △IF 1 F 2 2 1 2
1 λ 1
为S =λS -S ,所以 r·|PF|= ·r·|FF|- r·|PF|,整理得,λ|FF|=|PF|+|PF|,又因为点
△IPF 1 △IF 1 F 2 △IPF 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
1
P为椭圆上的点,所以λ·2c=2a,解得λ= ,故选A.
e
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8.(2021黑龙江顶级名校4月联考,10)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,点P在
1 2
a2 b2
2
椭圆上,O是坐标原点,∠FPF=∠FOP= π,则椭圆的离心率为 ( )
1 2 1
3
3-√2 3-√3
A. B.
2 2
√10-√3 √10-√2
C. D.
2 2
答案 D 根据∠FPF=∠FOP=2π以及∠PFF=∠OFP,得△PFO∽△FFP,于是 |PF | =
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
3 |F F |
1 2
|F O|
,所以|PF|= c,又|PF|+|PF|=2a,所以|PF|=2a- c,在△FFP中,由余弦定理,得4c2=(
1 1 √2 1 2 2 √2 2 1 √2
|PF |
1
c)2+(2a- c)2-2× c×(2a- c)×( 1),即c2+ ac-2a2=0,所以e2+ e-2=0,又0<e<1,解得e=
√2 √2 √2 - √2 √2
2
√10-√2 √10-√2
,即椭圆的离心率为 ,故选D.
2 2
二、多项选择题
9.(2021届河北邯郸摸底考试,11)如图,已知F,F
分别是椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,点P
1 2
a2 b2
是该椭圆在第一象限内的点,∠FPF 的平分线交x轴于Q点,且满足 =4 ,则椭圆的离心率
1 2 ⃗OF ⃗OQ
2
e可能是 ( )
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1 1 1 3
A. B. C. D.
8 4 2 4
3 1 5
答案 CD ∵⃗OF =4⃗OQ,∴|⃗QF |= c,|⃗OQ|= c,|⃗QF |= c.∵PQ是∠FPF 的平分线,∴
2 2 4 4 1 4 1 2
|PF | = |QF | =5,又|PF|+|PF|=2a,∴|PF|=5a,|PF|=3a.在△PFF 中,由余弦定理的推论得
1 1 1 2 1 2 1 2
|PF | |QF | 3 4 4
2 2
25 9
a2+ a2-4c2
16 16 17 32 17 32 1
cos∠FPF= = - e2,∵-1<cos∠FPF<1,∴-1< - e2<1,解得 <e<1.所以
1 2 1 2
5a 3a 15 15 15 15 4
2× ×
4 4
选CD.
10.(2020山东泰安第五次模拟,11)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点
a2 b2
Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为2√5-6,且椭
圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是 ( )
A.椭圆C的焦距为2
B.椭圆C的短轴长为√3
C.|PQ|+|PF|的最小值为2√5
-4±√7
D.过点F的圆E的切线斜率为
3
答案 AD 圆E的圆心为E(-3,4),半径长为2,
由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则2a=4,可得a=2,
设椭圆的左焦点为点F,
1
由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a=4,
1
∴|PF|=4-|PF|,
1
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∴|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF|)=|PF|+|PQ|-4≥|PF|+|PE|-2-4≥|EF|-6=2√5-6,当且仅当P、Q、E、F 四点
1 1 1 1 1
共线,且P、Q分别为线段EF 与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,
1
则|EF|= = =2 ,
1 √(-3+c)2+(4-0)2 √(c-3)2+16 √5
∵0<c<a=2,解得c=1,
∴椭圆C的焦距为2c=2,A选项正确;
椭圆C的短轴长为2b=2 =2 ,B选项错误;
√a2-c2 √3
|PQ|+|PF|≥|PE|+|PF|-2≥|EF|-2= -2=4 -2,
√(-3-1)2+(4-0)2 √2
当且仅当P、Q、E、F四点共线,且P、Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,C
选项错误;
若所求切线的斜率不存在,
则直线方程为x=1,圆心E到该直线的距离为|-3-1|=4>2,
则直线x=1与圆E相离,不合题意;
则所求切线的斜率存在,可设切线的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
由题意可得 |-3k-4-k| =4|k+1| =2,整理得3k2+8k+3=0,解得k=-4±√7,
√k2+1 √k2+1 3
D选项正确.故选AD.
x2 1
11.(2020山东4月全真模拟,11)已知P是椭圆C: +y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2= 上的动点,
6 5
则 ( )
√30
A.C的焦距为√5 B.C的离心率为
6
2√5
C.圆D在C的内部 D.|PQ|的最小值为
5
答案 BC 依题意可得c=√6-1=√5,
√5 √30
则C的焦距为2√5,e= = .
√6 6
设P(x,y)(-√6≤x≤√6),
由题意知D(-1,0),
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则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x2=5( 6) 2 +4≥4>1,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为
x+
6 6 5 5 5 5
√4 √1 √5
- = .故选BC.
5 5 5
12.(2020山东菏泽期中,8)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如
图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千
米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分
别为2a、2b、2c,则( )
A.a-c=m+R B.a+c=n+R
C.2a=m+n D.b=√(m+R)(n+R)
{m=a-c-R,①
答案 ABD 由题设条件可得
n=a+c-R,②
∴a-c=m+R,故A正确;a+c=n+R,故B正确;
①+②得m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确;
{m+R=a-c,
由 可得(m+R)(n+R)=a2-c2,∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R)⇒b=√(m+R)(n+R),故D
n+R=a+c
正确.故选ABD.
三、填空题
13.(2021浙江温州二模,14)已知F,F
分别是椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,过F 的直线与椭
1 2 1
a2 b2
圆交于P、Q两点,若|PF|∶|PF|∶|QF|=2∶3∶1,则cos∠FPF= ,椭圆的离心率为 .
1 2 1 1 2
1 √105
答案 ;
9 15
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解析 连接QF 2 ,由{|PF 1 |∶|PF 2 |∶|QF 1 |=2∶3∶1, 解得|PF 1 |=4a,|PF 2 |=6a,|
|PF |+|PF |=2a, 5 5
1 2
2a 8a
QF|= ,则|QF|= .
1 2
5 5
在△QPF 中,由余弦定理得
2
52
a2-4c2
|PQ|2+|PF |2-|QF |2
1 25 1
cos∠QPF= 2 2 = ,在△FPF 中,cos∠FPF= = ,解得e=
2 1 2 1 2
2|PQ|·|PF | 9 48 9
2 a2
25
c √105
= .
a 15
14.(2021河南顶级名校4月冲刺考试,15)已知点F,F
分别为椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,右焦点,
1 2
a2 b2
点A为C的左顶点,C上的点到点F 的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF
2 1
交AP于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C的标准方程为 .
x2 y2
答案 + =1
9 8
解析 如图,
连接OB,AQ,则OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以|OB| = |OF | =1,即 c =1,所以
1
|AQ| |F A| 2 a-c 2
1
a=3c.由C上的点到点F 的最小距离为2,得a-c=2,解得a=3,c=1,所以b=2√2.故椭圆C的标准方程
2
x2 y2
为 + =1.
9 8
15.(2021四川绵阳二模,15)已知F(1,0)为椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点,过E的下顶点B和F
a2 b2
的直线与E的另一个交点为A,若4⃗BF=5⃗FA,则a= .
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答案 3
解析 如图,设椭圆的左焦点为F',则F'(-1,0),连接AF',BF',则|BF|=|BF'|=a,由4⃗BF=5⃗FA,得|AF|=
4a 6
,由椭圆的定义可知,|AF'|=2a-|AF|= a,设∠AFF'=θ,则∠BFF'=π-θ,则cos θ=
5 5
(4 a ) 2 +4- (6 a ) 2 4- 20 a2
|AF|2+|FF'|2-|AF'|2 5 5 25 5-a2
= = = ①,而cos(π-θ)=
2×|AF|×|FF'| 4 16 4a
2× a×2 a
5 5
|BF|2+|FF'|2-|BF'|2 a2+4-a2 1 1 5-a2
= = ②,由①+②得 + =0,解得a=3.
2×|BF|×|FF'| 2×a×2 a a 4a
16.(2021安徽皖北协作体4月联考,14)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,
将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10
日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个
焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最
远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里,
火星半径约为3 400公里,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为
.(精确到0.1)
答案 0.6
解析
设椭圆的方程为x2 +y2
=1(a>b>0),由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值
a2 b2
为a-c,最大值为a+c,根据题意可得近火点满足a-c=3 400+265=3 665,远火点满足a+c=3 400+11
c 5 840
945=15 345,解得a=9 505,c=5 840,所以椭圆的离心率为e= = ≈0.6.
a 9 505
思路分析 设出椭圆方程,利用椭圆的几何性质得出a-c,a+c的几何意义,然后根据已知条件求出
a,c的值,进而求出离心率.
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四、解答题
17.(2021北京首师大二附中高三开学测试,19)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的
a2 b2
左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S为椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直
10
线l:x= 分别交于M,N两点.
3
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:直线AS与BS的斜率的乘积为定值;
(3)求线段MN的长度的最小值.
解析 本题考查椭圆的标准方程、直线方程、基本不等式,考查学生运用代数的方法分析与解决
几何问题的能力,渗透逻辑推理与数学运算的核心素养,试题体现综合性.
(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),∴a=2,b=1,
x2
故椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)证明:设S(x,y),得x2
+ =1,
0 0 0 y2
4 0
∴
=1-x2
,
y2 0
0 4
y y y2 1
故k AS ·k BS = 0 · 0 = 0 =- .
x +2 x -2 x2-4 4
0 0 0
(3)设直线AS的斜率为k,k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M(10 16k)
,
3 3
,由(2)知k
AS
·k
BS
=-1,因而有k
BS
=- 1 ,所以直线BS的方程为y=- 1 ·(x-2),∴N(10
,-
1 ),
4 4k 4k 3 3k
故|MN|=|16k 1 |,
+
3 3k
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16k 1 √16k 1 8
又k>0,∴|MN|= + ≥2 · = ,
3 3k 3 3k 3
16k 1 1
当且仅当 = ,即k= 时等号成立,
3 3k 4
1 8
∴k= 时,线段MN的长度取最小值 .
4 3
思路分析 (1)先求得椭圆C的左顶点A和上顶点D的坐标,从而可得a,b,然后可求椭圆C的方程;
y y y2
(2)设点S(x 0 ,y 0 ),可得k AS ·k BS = 0 · 0 = 0 ,然后由点S在椭圆上可证明k AS ·k BS 为定值;
x -2 x +2 x2-4
0 0 0
1
(3)设直线AS的方程得M的坐标,然后利用k ·k =- ,进而得直线BS的方程,从而得N的坐标,求
AS BS
4
出|MN|后,利用基本不等式求线段MN长度的最小值.
18.(2021天津和平二模,18)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点为F,点A(-a,0)与点B(0,b)是椭圆
a2 b2
2
的顶点,|BF|= |AF|.
3
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)设以离心率e为斜率的直线l经过点A,与椭圆C相交于点P(点P不在坐标轴上).
(i)证明:点F在以线段AP为直径的圆上;
(ii)若⃗AP·⃗BF+⃗AB·⃗BP=8,求椭圆C的方程.
解析 (1)设点F的坐标为(c,0),则|BF|= =a,|AF|=a+c,
√b2+c2
2 c 1
由|BF|= |AF|,求得a=2c,所以离心率e= = .
3 a 2
(2)设直线l的方程为y=1(x+2c),由(1)可知b= = c,所以椭圆C的方程可化为 x2 + y2
√a2-c2 √3
2 4c2 3c2
=1.
{ 1
y= x+c,
(i)证明:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,
2
3x2+4 y2=12c2,
消去y得x2+cx-2c2=0,解得x=-2c或x=c,
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结合题意可得P( 3 ),
c, c
2
因此AF⊥FP,所以点F在以线段AP为直径的圆上.
(ii) =( 3 ), =(c,- c), =(2c, c), =( (3 ) ),故 · + · =3c2-
⃗AP 3c, c ⃗BF √3 ⃗AB √3 ⃗BP c, -√3 c ⃗AP ⃗BF ⃗AB ⃗BP
2 2
3√3 3√3
c2+2c2+ c2-3c2=2c2=8,解得c2=4.
2 2
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
16 12
19.(2021四川顶级名校3月联考,19)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率是1,椭圆C过点
a2 b2 2
( 3).
1,
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知F,F 是椭圆C的左、右焦点,过点F 的直线l(不过坐标原点)与椭圆C交于A,B两点,求
1 2 2
· 的取值范围.
⃗F A ⃗F B
1 1
{ a2-b2 1
= ,
a2 4 {a2=4,
解析 (1)由条件知 解得
1 9 b2=3,
+ =1,
a2 4b2
x2 y2
因此椭圆C的方程为 + =1.
4 3
(2)由(1)知F(-1,0),F(1,0).设A(x,y),B(x,y),
1 2 1 1 2 2
则 =(x+1,y), =(x+1,y),
⃗F A 1 1 ⃗F B 2 2
1 1
设直线l的方程为x=my+1,
代入椭圆C的方程消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,
-6m -9
由根与系数的关系得y+y= ,yy= ,
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
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· =(x+1)(x+1)+yy=(my+2)(my+2)+yy
⃗F A ⃗F B 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
=(1+m2)yy+2m(y+y)+4
1 2 1 2
=(1+m2)-9 +2m-6m +4=-9m2+7=-3+ 19 ,
3m2+4 3m2+4 3m2+4 3m2+4
19 19 19 7
∵3m2+4≥4,∴0< ≤ ,∴-3<-3+ ≤ ,
3m2+4 4 3m2+4 4
所以 · ∈( 7].
⃗F A ⃗F B -3,
1 1 4
20.(2021河南3月适应性测试,20)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0),直线l:y=kx+a,直线l与椭圆C交
a2 b2
于M,N两点,与y轴交于点P,O为坐标原点.
(1)若k=1,且N为线段MP的中点,求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2,0),直线QM,QN与y轴分别交于A,B两点,当⃗PA·⃗PB=1时,求椭圆
C的方程.
解析 (1)由题意知直线l:y=x+a与x轴交于点(-a,0),∴点M为椭圆C的左顶点,即M(-a,0).
∴N( a a),代入x2 +y2 =1,得1+ a2 =1,
- ,
2 2 a2 b2 4 4b2
即b2 =1.∴e2=c2 =1-b2 =2.∴e=√6,
a2 3 a2 a2 3 3
√6
即椭圆C的离心率e= .
3
(2)由题意得a=2,∴椭圆C的方程为b2x2+4y2=4b2(b>0).
由{b2x2+4 y2=4b2,消去y,得(4k2+b2)x2+16kx+16-4b2=0.
y=kx+2
Δ=16b2(4k2+b2-4)>0,
{
16k
x +x =- ,
∴ M N 4k2+b2
16-4b2
x ·x = .
M N 4k2+b2
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y
∵直线QM:y= (x-2),
M
x -2
M
2y 2y +2x -4
∴A(
0,- M
),
⃗PA
=(
0, M M
).
x -2 2-x
M M
2(k+1)x
∵y M =kx M +2,∴y M -2=kx M ,即 ⃗PA =( 0, M ).
2-x
M
2(k+1)x
同理 ⃗PB =( 0, N ),
2-x
N
∴ · = 4(k+1)2x x =4-b2=1.∴b2=3.
⃗PA ⃗PB M N
x x -2(x +x )+4
M N M N
x2 y2
∴椭圆C的标准方程为 + =1.
4 3
21.(2021浙江百校3月联考,21)如图,已知椭圆E:x2 +y2 =1(a>b>0),离心率为√3,F(- ,0),F(
1 √3 2 √3
a2 b2 2
,0)为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一动点,Q为△PFF 的内心,连接PQ并延长,交x轴于点M.
1 2
(1)求椭圆E的方程;
S
(2)设△FQM,△FQP的面积分别为S,S,求 的取值范围.
1 2 1 2 1
S
2
√3 c √3
解析 (1)因为离心率为 ,所以 = .
2 a 2
因为F(-√3,0),F(√3,0)为椭圆的左、右焦点,
1 2
所以c=√3,所以a=2,则b=1,
x2
所以椭圆E的方程为 +y2=1. (6分)
4
(2)因为Q为△PFF 的内心,所以Q为△PFF 各内角角平分线的交点,
1 2 1 2
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故根据角平分线定理可知,|PQ| = |PF | ,|PQ| = |PF | ,
1 2
|QM| |F M| |QM| |F M|
1 2
∴|PQ| = |PF | = |PF | = |PF |+|PF | =2a=a= 2 . (8分)
1 2 1 2
|QM| |F M| |F M| |F M|+|F M| 2c c √3
1 2 1 2
设△FQM,△FQP中QM,PQ上的高分别为h,h,
1 2 1 2
1
|QM|·h
S 2 1 |QM|·h √3·h
则 1= = 1= 1. (10分)
S 1 |PQ|·h 2·h
2 |PQ|·h 2 2
2 2
h |F M| |PF |
又 1 = 1 = 1 ,设P(x 0 ,y 0 ),
h |F M| |PF |
2 2 2
∴|PF|=a+ex,|PF|=a-ex,(12分)
1 0 2 0
√3 √3
2+ x -2+ x +4 4
S √3 2 0 √3 2 0 √3 (-1+ )
∴ 1= · = · = · √3 .
S 2 √3 2 √3 2 2- x
2 2- x 2- x 2 0
2 0 2 0
∵P为椭圆上一动点,且P,F,F 能构成三角形,
1 2
∴x∈(-2,2),
0
4
∴ S 1=√3· (-1+
√3
) ∈(7√3
-6,
7√3
+6
). (15分)
S 2 2- x 2 2
2 2 0
22.(2021浙江湖丽衢三地市4月联考,21)已知F,F
是椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,动点
1 2
a2 b2
P在椭圆上,且|PF|的最小值和最大值分别为1和3.
1
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,动点M在抛物线C:y2=4x上,且在直线x=a的右侧,过点M作椭圆E的两条切线分别交直
线x=-a于A,B两点,当|AB|=10时,求点M的坐标.
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{a-c=1,
解析 (1)由 解得a=2,c=1,则b=√3,
a+c=3,
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1.
4 3
(2)不妨设k =k,k =k,A(x,y),B(x,y),M(t2,2t),t2>2,
MA 1 MB 2 1 1 2 2
设过点M所作椭圆的切线方程为y=k(x-t2)+2t,
由{y=kx+(2t-t2k),
3x2+4 y2=12,
得(3+4k2)x2+8k(2t-t2k)x+4(2t-t2k)2-12=0.
由Δ=0得(t4-4)k2-4t3k+4t2-3=0,
所以k+k=
4t3 ,k·k=4t2-3,
1 2 1 2
t4-4 t4-4
令x=-2,则|AB|=|y-y|=(t2+2)|k-k|.
1 2 1 2
因为|k-k|= √Δ =2√3t4+16t2-12,
1 2
|a| |t4-4|
所以|AB|=(t2+2) 2√3t4+16t2-12 =2√ 4(7t2-6)=10,
3+
|(t2-2)(t2+2)| t4-4t2+4
解得t2=4(
t2=
14
舍去
),所以点M的坐标为(4,±4).
11
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