北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.2 直线、圆的位置关系
专题检测
1.(2019黑龙江哈尔滨第六中学高三12月月考,5)过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦
长为( )
√3
A. B.1 C.√3 D.2√3
2
√3
答案 C 直线方程为y= (x-1),
3
即√3x-3y-√3=0,
|2√3-√3| 1
圆心(2,0)到直线的距离d= = ,
√12 2
√ 1
∴直线被圆截得的弦长l=2× 1- =√3.
4
故选C.
√3
2.(2019浙江高考模拟试卷(二),3)已知圆M:(x-2)2+y2=1和直线l:y=kx,则“k= ”是“直线l与圆M相切”
3
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
√3
答案 A 直线l:y= x⇒x-√3y=0,则圆心(2,0)到直线l的距离d=1,∴直线l与圆M相切,充分性成立;反之,
3
√3 √3
当圆M:(x-2)2+y2=1和直线l相切时,k=± ,必要性不成立.∴“k= ”是直线l与圆M相切的充分不必要条
3 3
件.故选A.
3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),6)已知直线ax+y-2=0与圆x2+y2=b总有2个不同的交点,则b的取值
范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(4,+∞)
C.(0,+∞) D.(√2,+∞)
答案 B 直线ax+y-2=0过定点(0,2),要使直线与圆总有2个不同的交点,定点(0,2)必须在圆内,从而02+22<b,
即b>4.故选B.
4.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l:mx+y-1=0,l:(3m-2)x+my-2=0,则“m=1”是“l∥l”的(
1 2 1 2
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 当m=1时,两直线方程分别为直线l:x+y-1=0,l:x+y-2=0,满足l∥l,即充分性成立.当m=0时,两直线
1 2 1 2
3m-2 m -2 3m-2 m
方程分别为y-1=0,-2x-2=0,不满足条件;当m≠0时,则l∥l⇒ = ≠ ,由 = 得m2-3m+2=0,
1 2 m 1 -1 m 1
m -2
解得m=1或m=2,由 ≠ 得m≠2,则m=1,即必要性成立.故“m=1”是“l∥l”的充要条件.
1 -1 1 2
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5.(2018北京通州一模,6)已知抛物线y2=8x的准线与圆心为C的圆x2+y2+2x-8=0交于A,B两点,则|⃗CA-⃗CB|
等于( )
A.2 B.2√2
C.2√5 D.4√2
答案 D 易知抛物线的准线方程为x=-2,圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为3,则|⃗CA-⃗CB|=|⃗BA|=2×
=4 ,故选D.
√32-[-1-(-2)]2 √2
6.(2018湖北四地七校3月联考,8)若圆O:x2+y2=5与圆O:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切
1 2
线互相垂直,则线段AB的长度是( )
A.3 B.4 C.2√3 D.8
答案 B 连接OA、OA,
1 2
由于☉O 与☉O 在点A处的切线互相垂直,
1 2
因此OA⊥OA,
1 2
所以O
1O2
=O
1
A2+O
2
A2,即m2=5+20=25,
2
设AB交x轴于点C.
√5
在Rt△OAO 中,sin∠AOO= ,
1 2 2 1
5
√5
∴在Rt△ACO 中,AC=AO·sin∠AOO=2√5× =2,
2 2 2 1
5
∴AB=2AC=4.故选B.
7.(2018北京顺义二模,8)已知点A(-1,-1).若曲线Γ上存在两点B,C,使△ABC为正三角形,则称Γ为“正三角
形”曲线.给定下列三条曲线:
①x+y-3=0(0≤x≤3);
②x2+y2=2(-√2≤x≤0);
1
③y=- (x>0).
x
其中,“正三角形”曲线的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C ①点A不在x+y-3=0(0≤x≤3)上,线段与坐标轴的交点为M(0,3),N(3,0),此时|MN|=3√2,|AM|=√17,|
AN|=√17.因为|AM|<|MN|,所以存在两点B,C,使△ABC为正三角形,所以①是“正三角形”曲线.
②x2+y2=2(-√2≤x≤0)表示y轴左侧的半个圆,曲线与y轴的交点为M(0,√2),N(0,-√2),此时∠MAN>60°,可知三
角形AMN不可能是正三角形,所以②不是“正三角形”曲线.
1
③利用数形结合思想,以A为圆心作圆,由图象可知当圆与曲线y=- (x>0)相交时,存在B,C,使△ABC为正三角
x
形,所以③为“正三角形”曲线.故选C.
8. (2017东北三省四市联考,9)已知圆C:(x-√3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得
∠APB=90°,则当t取得最大值时,点P的坐标是 ( )
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A.(3 3√2) B.(3√2 3)
, ,
2 2 2 2
C.(3 3√3) D.(3√3 3)
, ,
2 2 2 2
答案 D 解法一:设P的坐标为(a,b),由题意知,⃗AP·⃗BP=0,即(a+t)·(a-t)+b2=0,a2-t2+b2=0,所以t2=a2+b2=|OP|2,|
√3
OP| =√(√3)2+12+1=3,即t的最大值为3,此时k = ,所以OP所在直线的倾斜角为30°,所以点P的纵
max OP
3
坐标为3×1=3,横坐标为3×√3=3√3,即P(3√3 3).
,
2 2 2 2 2 2
解法二:设点P的坐标为(√3+cos θ,1+sin θ)(θ∈[0,2π]),由题意知⃗AP·⃗BP=0,所以(√3+cos θ+t)(√3+cos θ-t)
+(1+sin θ)2=0,得t2=5+2 cos θ+2sin θ=5+4sin( π),当θ+π=π,即θ=π时,t取得最大值,此时P
√3 θ+
3 3 2 6
(3√3 3).
,
2 2
9.(2018河北衡水中学期中考试,10)在平面直角坐标系xOy中,在以(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-
2m)y-5=0(m∈R)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是 ( )
A.(x+2)2+y2=16 B.(x+2)2+y2=20
C.(x+2)2+y2=25 D.(x+2)2+y2=36
答案 C 根据题意,记圆心为P(-2,0),
对于直线(3m+1)·x+(1-2m)y-5=0,
变形可得m(3x-2y)+(x+y-5)=0,
易知直线过定点M(2,3).
故在以点(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0相切的圆中,
面积最大的圆的半径r=|MP|,
则r2=|MP|2=25,
故其标准方程为(x+2)2+y2=25.
故选C.
10.(2019浙江高考模拟试卷(二),9)如图,已知F,F
为椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,过F
1 2 2
a2 b2
作直线PF 的垂线交椭圆于P,Q两点,设椭圆的离心率为e,若圆x2+y2=1与直线PF 相切,且|QF|=6,则e2等于
1 1 1
( )
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√13 √5-1
A. B.
4 2
23-5√17
C.5-2√17 D.
4
答案 D 设切点为M,连接OM,由题意得OM=1,OM∥PF,∵O为FF 的中点,∴|PF|=2,|PF|=2a-2,又|QF|=6,|
2 1 2 2 1 1
QF
1
|+|QF
2
|=2a,∴|QF
2
|=2a-6,∴|PQ|=2a-4,在△PF
1
F
2
中,由勾股定理得(2a-2)2+22=4c2①,
在△PF
1
Q中,由勾股定理得(2a-2)2+(2a-4)2=62②,
3+√17 26+6√17 22+2√17
由①②得a= ⇒a2= ,c2= .
2 4 4
23-5√17
∴e2= .故选D.
4
11.(2018天津部分区县期末,13)以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为
.
答案 x2+( 7) 2 =5
y-
2 4
解析 ∵以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),∴两点(0,b)和(1,3)所在直线与直线y=2x+1垂直,∴
b-3=-1,解得b=7,∴圆心坐标为( 7),
0,
0-1 2 2 2
∵圆的半径r=√ (0-1)2+ (7 -3 ) 2 =√5,
2 2
∴圆的方程为x2+( 7) 2 =5.
y-
2 4
12.(2019 5·3原创冲刺卷八,15)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),圆C:x2+y2-2x-6y+2=0,动直线l与圆C
相交于M,N两点,且△CMN的面积为4.若P为线段MN的中点,则△PAB的面积的最大值为 .
答案 5
d d
解析 由题易知圆C:(x-1)2+(y-3)2=8,且CP垂直于MN,设CP=d(d>0),则 ×|MN|= ×2√8-d2=4,
2 2
解得d=2,即P的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆.
2×5
又|AB|=2,P到x轴的距离的最大值为3+2=5,所以△PAB的面积的最大值为 =5.
2
13.(2017江苏南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+y2=2上
|PB|
一动点,则 的最大值是 .
|PA|
答案 2
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解析
设P(x,y),则由已知可得|PB|2 =(x-1)2+(y+1)2 =x2+ y2-2x+2y+2,
|PA|2 x2+(y+2)2 x2+ y2+4 y+4
∵P(x,y)在圆x2+y2=2上,∴|PB|2 =2-2x+2y+2=2-x+ y.
|PA|2 2+4 y+4 3+2y
2-x+ y
令 =t,则x+(2t-1)y+3t-2=0,
3+2y
圆心到直线x+(2t-1)y+3t-2=0的距离应满足
|3t-2|
≤
,解得0≤t≤4,故|PB|2
≤4,
√2
√1+(2t-1)2 |PA|2
|PB|
∴ 的最大值为2.
|PA|
14.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),13)已知直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:
(x-2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值集合为 .
答案 {1 }
,5
3
解析 设P(t,t+2),B(x,y),则⃗BP=(t-x,t+2-y),
∵直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,∴A(-2,0),
∴⃗AB=(x+2,y),
∵AB⊥BP,∴⃗AB·⃗BP=0,
即(x+2)(t-x)+y(t+2-y)=0.
整理得x2-(t-2)x+y2-(t+2)y=2t,
∴( t-2) 2 +( t+2) 2 =(t+2)2 ,
x- y-
2 2 2
又∵B(x,y)在圆(x-2)2+y2=2上,
∴点B可理解为圆( t-2) 2 +( t+2) 2 =(t+2)2 与圆(x-2)2+y2=2的交点,
x- y-
2 2 2
易得(x-2)2+y2=2的圆心C(2,0),半径r=√2,
1
设(
x-
t-2) 2 +(
y-
t+2) 2 =(t+2)2 的圆心N(t-2
,
t+2),半径r
2
=√2|t+2|,
2 2 2 2 2 2
由题意得圆C与圆N相切,
①外切时:CN=r+r,
1 2
∴√ ( t-2) 2 ( t+2) 2 = +√2|t+2|.
2- + 0- √2
2 2 2
整理得 =2+|t+2|.
√t2-4t+20
(i)若t≥-2,则|t+2|=t+2,∴ =t+4,
√t2-4t+20
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∴t2-4t+20=t2+8t+16.
1
∴t= .
3
(ii)若t<-2,则|t+2|=-t-2.
∴ =-t.
√t2-4t+20
∴t2-4t+20=t2,∴t=5(舍).
②内切时:CN=r-r,
2 1
∴√ ( t-2) 2 ( t+2) 2 =√2|t+2|- .
2- + 0- √2
2 2 2
整理得 =|t+2|-2.
√t2-4t+20
(i)若t≥-2,则|t+2|=t+2,∴ =t,
√t2-4t+20
∴t2-4t+20=t2,∴t=5.
(ii)若t<-2,则|t+2|=-t-2.
∴ =-t-4.
√t2-4t+20
1
∴t2-4t+20=t2+8t+16,∴t= (舍).
3
综上:t∈{1 }.
,5
3
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