北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题九 平面解析几何
9.1 直线与圆
一、选择题
1.(2022届山西怀仁一中月考,3)直线xsin α-y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π] B.[ π]∪[3π )
0, ,π
4 4
C.[ π] D.[ π]∪(π )
0, 0, ,π
4 4 2
答案 B 设直线xsin α-y+2=0的倾斜角为θ(0≤θ<π),则tan θ=sin α,∵-1≤sin α≤1,
∴-1≤tan θ≤1,∴倾斜角θ的取值范围是[ π]∪[3π ),故选B.
0, ,π
4 4
2.(2021黑龙江齐齐哈尔八中月考,6)已知点(-1,2)和(√3 )在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l的倾斜
,0
3
角的取值范围为( )
A.(π π) B.( π)∪(3π )
, 0, ,π
4 3 3 4
C.(3π 5π) D.(2π 3π)
, ,
4 6 3 4
答案 D 因为点(-1,2)和(√3 )在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,所以(-a-2+1)·(√3 )>0,即
,0 a-0+1
3 3
(a+1)·(a+√3)<0,解得-√3<a<-1,又直线l的斜率k=a,所以-√3<k<-1,又直线的倾斜角范围为[0,π),所以直线l
的倾斜角的取值范围为(2π 3π),故选D.
,
3 4
3.(2021吉林第三次调研,5)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标
准方程是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.(x-3)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y-3)2=1
C.(x-2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-2)2=1答案 C 因为圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线
|4a-3|
4x-3y=0和x轴均相切,所以圆心的纵坐标为1,从而设圆心坐标为(a,1),a>0,则有 =1,解得a=2
√42+(-3)2
1
或a=- (舍去),所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选C.
2
5π
4.(2022届河南开学考,7)已知圆C与倾斜角为 的直线相切于点N(3,-√3),且与曲线(x-1)2+y2=1相外切,则
6
圆C的方程为( )
A.(x-4)2+y2=4和x2+(y+2√3)2=12
B.(x+4)2+y2=4和x2+(y+2√3)2=12
C.(x+4)2+y2=4和x2+(y-4√3)2=36
D.(x-4)2+y2=4和x2+(y+4√3)2=36
5π
答案 D 过点N(3,-√3)且倾斜角为 的直线方程为x+√3y=0,设圆C的圆心为(m,n),半径为R,由题意知,
6
n+√3
直线NC垂直于直线x+√3y=0,∴k = =√3,∴n=√3m-4√3,∴R=|NC|=√(m-3)2+(n+√3)2=2|
NC m-3
m-3|,由圆C与曲线(x-1)2+y2=1外切,可得 =1+R=1+2|m-3|.当m≥3时,解得m=4,n=0,R=2,故圆
√(m-1)2+n2
C的方程为(x-4)2+y2=4;当m<3时,解得m=0,n=-4√3,R=6,故圆C的方程为x2+(y+4√3)2=36.故选D.
5.(2022届陕西榆林第十中学月考,11)已知M(3,4)是半径为1的动圆C上一点,P为圆O:x2+y2=1上一动点,过
点P作圆C的切线,切点分别为A,B,则当|AB|取最大值时,△PAB的外接圆的方程为( )
A.x2+y2-3x-4y-6=0 B.x2+y2-3x-4y+6=0
C.x2+y2-3x-4y=0 D.x2+y2-4x-3y=0
答案 A 由|MC|=1,易知动圆圆心C的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=1,∵P为圆O:x2+y2=1上的动点,且|OM|
=5,∴3≤|PC|≤7,又∵|PC|·|AB|=2|AC|·|PA|,|AC|=1,|PC|2=|PA|2+|AC|2,∴|AB|=2|PA| =2√ 1 ,
1-
|PC| |PC|2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∴当|PC|最小时,|AB|最小,当|PC|最大时,|AB|最大,即当|PC|=7时,|AB|取最大值.∵△PAB的外接圆以线段PC为
直径,而线段PC的中点,即线段OM的中点,为(3 ),∴△PAB的外接圆方程为( 3) 2 +(y-2)2=49,即
,2 x-
2 2 4
x2+y2-3x-4y-6=0,故选A.
6.(2021四川宜宾二诊,6)已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若∠ACB=120°,则实数m
的值为 ( )
A.3+√6或3-√6 B.3+2√6或3-2√6
C.9或-3 D.8或-2
|0-3+m| |m-3|
答案 A 由题意知圆心C(0,3)到直线l的距离d= = ,因为∠ACB=120°,所以
√3+1 2
|m-3|
×2=√6,解得m=3±√6,故选A.
2
7.(2022届甘肃兰大附中月考,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+c=0上存在点
P,使得PB=2PA,则实数c的取值范围是( )
A.(-√5,√5) B.[-√5,√5]
C.(-2√5,2√5) D.[-2√5,2√5]
答案 D 设P(x,y),∵A(0,1),B(0,4),PB=2PA,
1
∴√x2+(y-1)2= √x2+(y-4)2,整理得x2+y2=4,∴点P的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.由直
2
|c|
线2x-y+c=0上存在点P,使得PB=2PA,得直线与圆相交或相切.∴d= ≤2,解得-2√5≤c≤2√5.故选D.
√5
8.(2022届江西月考,10)已知点A(0,2),B(1,1),且点P在圆C:(x-2)2+y2=4上,C为圆心,则下列说法错误的是(
)
A.|PA|+|PB|的最小值为√2
B.当∠PAB最大时,△APB的面积为2
C.|PA|-|PC|的最大值为2√2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
D.||PA|-|PB||的最大值为√2
答案 B 对于A,如图,当P为线段AB与圆C的交点时,即|PA|+|PB|=|AB|=√2时,此时|PA|+|PB|取得最小值
1
为√2,故A中说法正确;对于B,由题可知点B在圆C内,∴当AP与圆C相切时,∠PAB最大,此时S
△APB
=
2
×2×1=1,故B中说法错误;
对于C,∵点P在圆C:(x-2)2+y2=4上,C为圆心,∴|PC|=r=2,∴当|PA|最大时,|PA|-|PC|也最大,即当A,C,P三点共线,
且C在A,P之间时,|PA|-|PC|取得最大值,为2√2,故C中说法正确;对于D,当P为射线BC与圆C的交点时,||
PA|-|PB||取得最大值,为|AB|=√2,故D中说法正确.故选B.
9.(2022届云南玉溪月考,8)已知圆O:x2+y2-ax=0(a<0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆O 与圆O:
1 1 2
(x-2)2+y2=4的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
|a|
答案 C 由题意可知圆O 的圆心O(a ),半径r=-a(a<0),则O 到直线x+y=0的距离d= =-√2a
1 1 ,0 1 1 2
2 2 4
√2
(a<0),∴直线被圆O 所截弦长为2 =2√a2 2a2=-√2a=2 ,解得a=-4,则O(-2,0),r=2,又
1 √r2-d2 - √2 1 1
1 4 16 2
∵O(2,0),r=2,∴圆心距|OO|=4=r+r,∴两圆外切.故选C.
2 2 1 2 1 2
10.(2022届四川巴中月考,8)已知点A(1,0)和圆O:x2+y2=1,动点P在圆O上,点Q满足⃗AP=⃗PQ,记动点Q的
轨迹为曲线C,则曲线C与圆O的位置关系为( )
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 C 设Q(x,y),由 = 得P为线段AQ的中点,则P(x+1 y).∵点P在圆O:x2+y2=1上,∴
⃗AP ⃗PQ ,
2 2
(x+1) 2 +( y) 2 =1,整理得(x+1)2+y2=4.∴曲线C:(x+1)2+y2=4是以点B(-1,0)为圆心,2为半径的圆,而|BO|
2 2
=1=2-1,即曲线C与圆O内切于点A,故曲线C与圆O内切.故选C.
11.(2020郑州二模,4)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为( )
A.(x+3)2+(y+2)2=4
B.(x+4)2+(y-6)2=4
C.(x-4)2+(y-6)2=4
D.(x+6)2+(y+4)2=4
答案 C 圆关于直线的对称图形仍然是圆,只不过圆心位置发生了变化,但半径不变,因此只需求出圆心
n-12
{ =-1,
(-2,12)关于直线x-y+8=0的对称点.设对称圆的圆心为(m,n),则 m+2 解得{m=4, 所
m-2 n+12 n=6,
- +8=0,
2 2
以所求圆的圆心为(4,6),故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4,故选C.
1
12.(2020课标Ⅲ,10,5分)若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2= 都相切,则l的方程为( )
5
1
A.y=2x+1 B.y=2x+
2
1 1 1
C.y= x+1 D.y= x+
2 2 2
答案 D 由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l为y=kx+m,直线l与曲线y=√x的切点为A(x,y).由
0 0
1 1 {y =kx +m,
导数的几何意义可知 =k,即 √x = ,点A既在直线l上,又在曲线y= √x 上,∴ 0 0
2√x 0 2k y =√x .
0 0 0
∴kx 0 +m= √x ,即k·( 1 ) 2 +m= 1 ,化简可得m= 1 ,又∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴ |m| =√5,将m=
0 2k 2k 4k 5 √1+k2 5北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1 5 1 1
代入,化简得16k4+16k2-5=0,解得k2= 或k2=- (舍去).∵y=√x的图象在第一象限,∴k>0,∴k= ,∴m=
4k 4 4 2 2
1 1
,∴l的方程为y= x+ .故选D.
2 2
13.(2022届江西景德镇一中10月月考,4)直线l:mx-y-5m+1=0(m∈R)被圆N:x2+y2-10x-2y+25=0截得的线段的
长是( )
A.1 B.2 C.4 D.不确定
答案 B 圆N的标准方程为(x-5)2+(y-1)2=1,圆心N(5,1),半径为1.将直线l的方程变形为m(x-5)+(1-y)=0,易
知直线l必过圆心,所以直线l被圆N截得的线段的长是2.故选B.
2
14.(2022届贵阳一中月考,9)若直线mx-ny+3=0(m>0,n>0)被圆C:x2+y2+6x-4y+5=0截得的弦长为4√2,则 +
m
1
的最小值为( )
n
4√3 8+4√3
A.8- B. C.8-4√3 D.8+4√3答案 B 由题意得,圆心C(-3,2),半径r=2√2
3 3
2 1 1
,∵直线mx-ny+3=0被圆截得的弦长为4√2,∴直线mx-ny+3=0过圆心C(-3,2),即3m+2n=3,∴ + =
m n 3
(3m+2n)·( 2 1)=1( 3m 4n)≥8+4√3,当且仅当3m=4n,即m=3-√3,n=3√3-3时,等
+ 8+ +
m n 3 n m 3 n m 2 4
2 1 8+4√3
号成立.∴ + 的最小值为 .故选B.
m n 3
15.(2021河南安阳二模,9)已知曲线y= 与直线kx-y+k-1=0有两个不同的交点,则实数k的取
√-x2+4x-3
值范围是( )
A.[1 3) B.( 3)
, 0,
2 4 4
C.[1 2) D.[1 2)
, ,
2 3 4 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 整理y= 得(x-2)2+y2=1(y≥0),则该曲线表示圆心为(2,0),半径为1的圆的上半部分,
√-x2+4x-3
1 3
直线kx-y+k-1=0过定点(-1,-1),如图,当k∈[k
1
,k
2
)时,曲线与直线有两个不同的交点,易得k
1
= ,k
2
= ,所以实数
2 4
k的取值范围是[1 3).
,
2 4
16.(2021四川南充二模,9)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之
比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P
与A,B距离之比为√2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是( )
A.2√2 B.√2
2√2 √2
C. D.
3 3
答案 A 如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,由于AB=2,
则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),由于
|PA|
= ,则
√(x+1)2+ y2
= ,两边平方整理可得x2+y2-6x+1=0,即
√2 √2
|PB| √(x-1)2+ y2
1
(x-3)2+y2=(2√2)2=8,所以当x=3时,|y|取得最大值2√2,所以△PAB面积的最大值为 ×2×2√2=2√2,故选A.
2
二、填空题
x y
17.(2022届江西10月大联考,15)已知直线l: + =1经过点P(1,2),且与直线l:2x+y+m=0平行,则a+b=
1 2
a b
.若这两条平行线之间的距离为√5,且l 不经过第一象限,则m= .
2
答案 6;1
