北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2024北京,3,4分,易)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为( )
A. B.2 C.3 D.3
√2 √2
D
3
把圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y+3)2=10,∴圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离
|1+3+2|
d= =3√2,故选D.
√2
2.(2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,
则sin α= ( )
√15 √10 √6
A.1 B. C. D.
4 4 4
答案 B 设圆心为C.圆的方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心为C(2,0),半径
r=√5,
设点P(0,-2),切点分别为A,B,如图所示.
α √10 α √6
易得|CA|=√5,|PC|=2√2,|AP|=√3,∴cos = ,sin = (α 是∠APB 的补角)∴sin
2 4 2 4
α α √15
α=2sin cos = ,故选B.
2 2 4
3.(2023全国乙文,11,5分,中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 (
)
3√2
A.1+ B.4
2
C.1+3√2 D.7
答案 C 由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
此方程表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆.
设t=x-y,则x-y-t=0,设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d=
|2−1−t|
=
|1−t|,
√12+(−1) 2 √2
依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,
|1−t|
∴d= ≤3,即|1-t|≤3√2,∴-3√2≤t−1≤3√2,即1-3√2≤t≤1+3√2,
√2
∴t的最大值为1+3√2,即x-y的最大值为1+3√2,故选C.
一 题 多 解 由 x2+y2-4x-2y-4=0, 得 (x-2)2+(y-1)2=9. 设 x=2+3cos θ,y=1+3sin
θ,θ∈[0,2π),
∴x-y=2+3cos θ-1-3sin θ=1+3(cos θ-sin θ)=1+3 ( π),
√2cos θ+
4
∵θ+π [π 9 ),∴cos( π)∈[-1,1],
∈ , π θ+
4 4 4 4
∴(x-y) =1+3√2,故选C.
max
4.(2024全国甲理,12,5分,难)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B
两点,则|AB|的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.2
√5
C
12
a+c a+c
由题知b= ,∴ax+ y+c=0,
2 2
∴a( y)+c(y+2)=0,
x+
2 2
{ y
∴ x+ =0,解得{ x=1,
2
y=−2,
y+2=0,
∴直线ax+by+c=0过定点(1,-2),
将x2+y2+4y-1=0化为标准方程x2+(y+2)2=5.
圆心(0,-2)到定点(1,-2)的距离为1.
当直线ax+by+c=0的斜率不存在,即b=0时,圆心到直线的距离d=1,
当直线斜率存在,即b≠0时,d<1.
综上所述,d≤1.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
|AB|=2 ≥2 =4.∴|AB|的最小值为4.故选C.
√5−d2 √5−1
5.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB
与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=√2,则⃗PA·⃗PD的最大值为 ( )
1 √2 1
A. + B. +√2
2 2 2
C.1+√2D.2+√2
答案 A 以O为坐标原点,⃗OP的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则圆O的
方程为x2+y2=1,点P的坐标为(√2,0).因为D是BC的中点,所以OD⊥PB,所以点D的
轨迹是以OP为直径的圆在圆O内部的那段圆弧.由题意得以OP为直径的圆的方程为
{ x=
√2
,
x2+y2- x=0,由{ x2+ y2=1, 解得 2 则点 D(x,y)在圆 x2+y2- x=0 上,且
√2 √2
x2+ y2−√2x=0, √2
y=± .
2
0≤x<√2,-√2 √2.根据题意,不妨令点A的坐标为(√2 √2),
<y< ,
2 2 2 2 2
则 ( √2 √2) =(x- ,y),所以 √2(x- )+√2 √2 √2y+1.
⃗PA= − , ,⃗PD √2 ⃗PA·⃗PD=− √2 y=− x+
2 2 2 2 2 2
√2 √2
令- x+ y+1=t,则y=x-√2+√2t,显然直线y=x-√2+√2t在y轴上的截距最大时,t取
2 2
最大值,此时直线 y=x-√2+√2t 与圆 x2+y2-√2x=0 相切(切点在第一象限),所以圆心
|√2 |
(√2 )到直线y=x- t的距离d= −√2+√2t ,解得t=1 √2或t=1 √2
,0 √2+√2 2 √2 + −
2 = 2 2 2 2
√2 2
1 √2
(舍).所以t = + .故选A.
max
2 2
6.(2022北京,3,4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a= ( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 1
A. B.− C.1 D.-1
2 2
1
答案 A 由题意可知圆心(a,0)在直线2x+y-1=0上,故2a+0-1=0,解得a= .故选A.
2
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
x y
答案 ACD 由题意可知直线AB的方程为 + =1,即x+2y-4=0,
4 2
则圆心(5,5)到直线AB的距离d= |5+2×5−4|
=
11√5>4,
√12+22 5
∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,
∴点P到直线AB的距离的取值范围为[11√5 11√5 ],
−4, +4
5 5
11√5 11√5
∵ -4∈(0,1), +4∈(8,9),
5 5
∴选项A正确,选项B错误.
过点B作圆的两条切线,切点分别为P,P,如图,当点P在切点P 的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P
1 2 1 2
的位置时,∠PBA最大,易知|PB|=|PB|,圆心(5,5)到点B的距离为√34,圆的半径为4,所以|PB|=|PB|=
1 2 1 2
√34−16=√18=3√2,故选项C,D均正确.故选ACD.
方法点拨:1.当直线与圆C相离时,圆上的点P到直线的距离的取值范围为[d-r,d+r],其中r为半径,d为圆
心到直线的距离.2.从圆外一点Q(x,y)向圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)引切线,切点为A,则|QA|=
0 0
.
√x2+ y2+Dx +E y +F
0 0 0 0
7.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
|c|
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 =√5,解得
√5
c=±5.故选A.
8.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线
的斜率为( )
5 3 3 2
A.- 或- B.- 或-
3 5 2 3
5 4 4 3
C.- 或- D.- 或-
4 5 3 4
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ |−3k−2−2k−3| =1,解得k=-4或k=-3.
√k2+1 3 4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
9.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一
条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点
C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故选C.
√|AC|2−22 √40−4
10.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的取值范围是(
0 0
)
A.[-1,1] B.[ 1 1]
− ,
2 2
C.[- , ] D.[ √2 √2]
√2√2 − ,
2 2
答案 A 过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使∠OMN=45°,则
∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x≤1,故选A.
0北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
11.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
答案 B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=√2−a,圆心到直线
|−1+1+2|
x+y+2=0的距离d= =√2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.
√2
12.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.( π] B.( π] C.[ π] D.[ π]
0, 0, 0, 0,
6 3 6 3
答案 D 过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.
π
显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=√(−√3) 2+(−1) 2=2,PA=√3,OA=1,因此∠OPA= ,由对称性知,直线
6
PB的倾斜角为π.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是[ π].故选D.
0,
3 3
13.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:
(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,所以圆心
|a|
M到直线x+y=0的距离d= =√a2−2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则
√2
R-r<√2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.
思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径,根据两圆圆
心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
14.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得
∠APB=90°,则m的最大值为( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B 若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1
与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的最大值为6.选B.
15.(2013重庆理,7,5分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C,C 上的动点,P为x轴
1 2 1 2
上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17
答案 A 圆C,C 如图所示.
1 2
设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC|-1,同理可得|PN|的最小值为|PC|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|
1 2
PC|+|PC|-4.作C 关于x轴的对称点C'(2,-3),连接C'C,与x轴交于点P,连接PC,根据三角形两边之和大于
1 2 1 1 1 2 1
第三边可知|PC|+|PC|的最小值为|C'C|,则|PM|+|PN|的最小值为5√2-4.选A.
1 2 1 2
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段
长的和转化成两点间的距离是本题的关键.
16.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
|a+4−1|
√a2+1
4
=1,解得a=- .故选A.
3
思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,
解方程即可求得a的值.
17.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
A.1 B.2 C.√2 D.2√2
