北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题九 平面解析几何
9.1 直线的方程
考点 直线的方程
1.(2014四川文,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),
则|PA|+|PB|的取值范围是( )
A.[√5,2√5] B.[√10,2√5]
C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]
答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).
①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|
PB|=4.
1 1
②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为- ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵- ×m=-1,∴两条直线互相垂直,即
m m
点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值√10.当点P不与点A,
点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2√|PA|2+|PB|2
2
=2√5,∴|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
综合①②得|PA|+|PB|∈[√10,2√5].
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹.属中档题.
2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出
发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
8 4
A.2 B.1 C. D.
3 3
答案 D 以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程
为x+y-4=0.
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设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P 的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P 的
1 2
坐标为(-t,0),根据反射定理可知PP 就是光线RQ所在直线.由P、P 两点坐标可得直线PP 的方程为y=
1 2 1 2 1 2
4−t(x+t),设△ABC的重心为G,易知G(4 4).因为重心G(4 4)在光线RQ上,所以有4=
, ,
4+t 3 3 3 3 3
4−t(4 ),即3t2-4t=0.
+t
4+t 3
4 4 4
所以t=0或t= ,因为0<t<4,所以t= ,即AP= ,故选D.
3 3 3
3.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y-1=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
a 1
答案 A 由l∥l,得- =- ,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l∥l”的充分不必要条件,
1 2 2 a+1 1 2
故选A.
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.
4.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
答案 1
解析 依题意m≠0,所以由( 2)×1=-1,得m=1.
−
m 2
评析 本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.
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