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9.6 抛物线及其性质
考点1 抛物线的定义及标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3
的距离为5,则|MF|= ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 D 由抛物线C:y2=8x知F(2,0),准线方程为x=-2,
由M到直线x=-3的距离为5,知M到直线x=-2的距离为4.由抛物线定义可知|MF|=4.
2.(2022全国乙,理5,文6,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=
( )
A.2 B.2√2C.3D.3√2
答案 (
y2
)
y2
B 由题意可知,F(1,0),准线方程为x=-1,设A 0,y ,由抛物线定义可知|AF|= 0+1,又|BF|
4 0 4
=3-1=2,所以由|AF|=|BF|,可得y2
+1=2,解得y=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),则|AB|=
0 0
4
,故选B.
√(1−3) 2+(2−0) 2=√8=2√2
一题多解:由题意可知F(1,0),所以|BF|=2,又|AF|=|BF|,所以|AF|=2,所以A的横坐标为1,此时A的纵坐标
为2或-2,所以AF⊥x轴,所以△AFB为等腰直角三角形,所以|AB|=2√2,故选B.
3.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点
A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.|BF|−1 B.|BF|2−1
|AF|−1 |AF|2−1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
C.|BF|+1 D.|BF|2+1
|AF|+1 |AF|2+1
答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,
则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.
1
·|CB|·|CF|·sin∠BCF
S 2 |CB| |BN| |BF|−1
可知 △BCF= = = = ,故选A.
S 1 |CA| |AM| |AF|−1
△ACF ·|CA|·|CF|·sin∠BCF
2
4.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交
点.若⃗FP=4⃗FQ,则|QF|=( )
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
答案 B ∵⃗FP=4⃗FQ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|
|QM| |PQ|
=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则 = ,即
|FN| |PF|
|QM| 3
= .∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
4 4
5
5.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x,y)是C上一点,|AF|= x,则x=( )
0 0 0 0
4
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A 由y2=x得2p=1,即p=1,因此焦点F(1 ),准线方程为l:x=-1,设A点到准线的距离为d,由抛
,0
2 4 4
1 5
物线的定义可知d=|AF|,从而x+ = x,解得x=1,故选A.
0 0 0
4 4
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
6.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点
(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
p
答案 C ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=x + =5得M
M
2
( p √ ( p) ) .从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 (5 1√ ( p) ) ,
5− , 2p 5− , 2p 5−
2 2 2 2 2
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=1√ ( p),即p2-10p+16=0,解得
2p 5−
2 2
p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
7.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的
方程为( )
A.y=x-1或y=-x+1
√3 √3
B.y= (x-1)或y=- (x-1)
3 3
C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)
√2 √2
D.y= (x-1)或y=- (x-1)
2 2
答案 C 设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA,BB 垂直于准线于A,B.由抛物线
1 1 1 1
|BC| |BC| 1
的定义可设|BF|=|BB|=t,|AF|=|AA|=3t.由三角形的相似得 = = ,
1 1 |AB| 4t 2
π π 2
∴|BC|=2t,∴∠BCB= ,∴直线l的倾斜角α= 或 π.
1
6 3 3
又F(1,0),∴直线AB的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
8.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛
0
物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5
答案 B 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
由|MF|= +2=3得p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
2
∴点M的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3，故选B.
9.(2011课标文,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为
C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
答案 C 设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
∵当x= 时,|y|=p,
2
|AB| 12
∴p= = =6.
2 2
又P到AB的距离始终为p,
1
∴S = ×12×6=36.
△ABP
2
评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l的距离为p.
10.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛
a2 b2
物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
√2
答案 y=± x
2
解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.
设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
{
x2=2py,
p p p
因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4× =y 1 + +y 2 + ,即y 1 +y 2 =p①.由 x2 y2 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所
2 2 2 − =1
a2 b2
以y+y=2pb2 ②.由①②可得b=√2,故双曲线的渐近线方程为y=±√2x.
1 2
a2 a 2 2
思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y+y 的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去
1 2
b
x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y+y.从而得 的值,近而得渐近线方程.
1 2
a
b
解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半
a
径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y+y 这个
1 2
整体来建立等量关系便可求解.
11.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水
面宽 米.
答案 2√6
解析 建立坐标系如图所示.
则抛物线方程为x2=-2py.
∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±√6.
∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.
12.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案 9北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
解析 设M(x,y),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x+1=10,∴x=9,即点M到y轴的距
0 0 0 0
离为9.
考点二 抛物线的几何性质
1.(多选)(2023 新课标Ⅱ,10,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 y=-√3(x-1)过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
8
B.|MN|=
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D. OMN为等腰三角形
△
答案 AC 由于y2=2px的焦点为(p ),直线y=- (x-1)过焦点,所以- (p )=0,
,0 √3 √3 −1
2 2
解得p=2,A正确;联立{ y2=4x, 消去y得3x2-10x+3=0,
y=−√3(x−1),
10 16
设M(x ,y ),N(x ,y ),则x +x = ,所以|MN|=x +x +p= ,B不正确;
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
x +x 5 5 8 1
以MN为直径的圆的圆心的横坐标为 1 2= ,圆心到准线l的距离d= +1= = |MN|,
2 3 3 3 2
故以MN为直径的圆与l相切,C正确;
1 2√3
不妨令点M在第一象限,由3x2-10x+3=0得x = ,x =3,所以y = ,y =-2√3,
1 3 2 1 3 2
所以|ON|=
√32+(−2√3)
2=
√21
,|OM|=√ (1) 2
+
(2√3) 2 =√13,又|MN|=16,
3 3 3 3
所以△OMN不是等腰三角形,D不正确.故选AC.
k
2.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
x
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
k
答案 D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= (k>0)得k=1×2=2,故选D.
x
评析 利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.
1
3.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重
2
合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程
为x2 +y2 =1(a>b>0),因为离心率e=c=1,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|=2b2 =2×12=6.故选B.
a2 b2 a 2 a 4
评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.
4.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
p p p
答案 B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- ,由题设知- =-1,即 =1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.
2 2 2
1
5.(2014安徽文,3,5分)抛物线y= x2的准线方程是( )
4
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
1 p
答案 A 由y= x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- =-1.故选A.
4 2
6.(2013四川文,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-√3y=0的距离是( )
A.2√3 B.2 C.√3 D.1
答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F到直线x-√3y=0的距离
|2−√3×0|
d= =1.故选D.
√1+3
评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.
7.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|
AB|=4√3,则C的实轴长为( )
A.√2 B.2√2 C.4 D.8
答案 C 如图,AB为抛物线y2=16x的准线,
由题意可得A(-4,2√3).北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.
评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.
8.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4
√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x
1
,2
√2
),则x
1
=(2√2) 2 =4,由题意可知|OA|=|OD|,得(4) 2 +8=(p) 2
2p p p 2
+5,解得p=4.故选B.
思路分析 设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p的方程,解方程得
出结论.
9.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l,l,直线l 与C交于
1 2 1
A,B两点,直线l 与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
2
A.16 B.14 C.12 D.10
答案 A 如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A,B,
1 1
|AG| |AF|−p
则|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,过点F向AA 引垂线FG,得 = =cos θ,
1 1 1 |AF| |AF|
p p
则|AF|= ,同理,|BF|= ,
1−cosθ 1+cosθ
2p 4
则|AB|=|AF|+|BF|= ,即|AB|= ,
sin2θ sin2θ
π π
因l 与l 垂直,故直线DE的倾斜角为θ+ 或θ- ,
1 2
2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
4
4 4 4 4 16
则|DE|= ,则|AB|+|DE|= + = =(1 ) 2 = ,
cos2θ sin2θ cos2θ sin2θcos2θ sin2θ sin22θ
2
则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.
方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径.
如图,在抛物线y2=2px(p>0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为θ,
|AE| |AF|−p
则在△FEA中,cos θ=cos∠EAF= = ,
|AF| |AF|
p p
则可得到焦半径|AF|= ,同理,|BF|= ,
1−cosθ 1+cosθ
1 1 2
熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如: + = 等的
|AF| |BF| p
帮助很大.
10.(2015四川理,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为
线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
答案 D 当直线AB的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.
当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k >0和k <0时各有一条满足题意的直线l.
AB AB
x +x y + y
1 2 1 2
设圆的圆心为C(5,0),A(x,y),B(x,y),M(x,y),则x= ,y= ,
1 1 2 2 0 0 0 0
2 2
y −y
y −y 2 1 2
∴k AB = 2 1= y2 y2 = .
x −x 2− 1 y
2 1 0
4 4
y
∵k CM = 0 ,且k AB k CM =-1,∴x 0 =3.
x −5
0
∴r2=(3-5)2+
y2
>4(∵y
0
≠0),即r>2.
0
另一方面,由AB的中点为M知B(6-x,2y-y),
1 0 1
∵点B,A在抛物线上,∴(2y-y)2=4(6-x),①
0 1 1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
=4x,②
y2 1
1
由①,②得
y2
-2y
0
y
1
+2
y2
-12=0,
1 0
∵Δ=4
y2
-4(2
y2
-12)>0,∴
y2
<12.
0 0 0
∴r2=(3-5)2+
y2
=4+
y2
<16,∴r<4.
0 0
综上,r∈(2,4),故选D.
11.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|
=( )
√30
A. B.6 C.12 D.7√3
3
答案 C 焦点F的坐标为(3 ),直线AB的斜率为√3,所以直线AB的方程为y=√3( 3),
,0 x−
4 3 3 4
√3 √3 1 7 3
即y= x- ,代入y2=3x,得 x2- x+ =0,
3 4 3 2 16
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
21
则x+x= ,
1 2
2
3 21 3
所以|AB|=x+x+ = + =12,故选C.
1 2
2 2 2
12.(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条
切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
√15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
ABD
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由y2=4x得2p=4,p=2,因此准线l:x=-1,
显然l与☉A相切,选项A正确.
1
当P、A、B三点共线时,y =4,x = y2=4,
P P 4 P
∴|PA|=4,又|AQ|=1,∴|PQ|= = = ,选项B正确.
√|PA|2-|AQ|2 √16−1 √15
当|PB|=2时,x +1=2,即x =1,因此P(1,±2),
P P
若P点坐标为(1,2),则B(-1,2),又A(0,4),
∴ =(-1,2), =(-1,-2),∴ · =1-4=-3≠0,
⃗PA ⃗AB ⃗PA ⃗AB
此时,PA与AB不垂直,同理P点坐标为(1,-2)时,PA与AB也不垂直.选项C错误.
设抛物线的焦点为F,则F(1,0),由|PA|=|PB|得|PA|=|PF|,∴线段AF的垂直平分线经过P点.
线段AF垂直平分线的方程为y-2=1( 1),即2x-8y+15=0.由{ y2=4x, 消去x得y2-
x-
4 2 2x-8y+15=0
16y+30=0.
Δ=(-16)2-4×1×30=136>0.
∴线段AF的垂直平分线和抛物线有两个交点,
因此,满足题意的点P有2个,选项D正确.故选ABD.
13.(2024北京,11,5分,易)抛物线y2=16x的焦点坐标为 .
答案(4,0)
11
解析 y2=2px(p>0)的焦点在x轴正半轴上,焦点坐标为(p ),∴y2=16x的焦点坐标为(4,0).
,0
2
14.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线
的距离为 .
9
答案
4
解析 ∵点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,
5
∴(√5)2=2p×1,∴p= ,
2
p 5 9
∴A到C的准线的距离为x + =1+ = .
A
2 4 4
