北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
8.5 空间角与距离、空间向量及其应用
考点1用向量法判定空间中的位置关系
1.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-ABC 中,AB=AA=1,点P满足 ,
1 1 1 1 ⃗BP=λ⃗BC+μ⃗BB
1
其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 ( )
A.当λ=1时, ABP的周长为定值
1
B.当μ=1时,△三棱锥P-ABC的体积为定值
1
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得AP⊥BP
1
2
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP
1 1
2
答案
BD 选项A,当λ=1时,点P在线段CC 上,设CP=x(0≤x≤1),若x=0,则△ABP即为△ABC,此时
1 1 1
△ABP的周长为2√2+1;若x=1,则△ABP即为△ABC,此时△ABP的周长为2√2+1.若0<x<1,PC=1-x,
1 1 1 1 1 1
在Rt PCA中,PA= ,
√1+x2
△
在Rt BCP中,PB= ,
1 1 1 √1+(1−x) 2=√x2−2x+2
△
而AB= ,所以△ABP的周长为 ,不为定值,故选项A错误;
1 √2 1 √2+√x2−2x+2+√1+x2
选项B,当μ=1时,点P在线段BC 上,
1 1
因为BC∥BC,BC 平面ABC,BC 平面ABC,
1 1 1 1 1 1
所以BC∥平面AB⊄C, ⊂
1 1 1
所以直线BC 上的任何一点到平面ABC的距离均相等,
1 1 1
所以三棱锥P-ABC的体积为定值,故选项B正确;
1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
取BC,BC 的中点分别为O,O,连接OO,AO,易知OO⊥平面ABC,AO⊥BC,以OB,OA,OO 所在直线分
1 1 1 1 1 1
别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1 ),A( √3 ),A( √3 ),
,0,0 0,− ,0 1 0,− ,1
2 2 2
1
选项C,当λ= 时,点P在线段OO 上,设P(0,0,z)(0≤z≤1),则
1
2
⃗A P= ( 0, √3 ,z−1 ) ,⃗BP= ( − 1 ,0,z ),若A 1 P⊥BP,则 ⃗A P·⃗BP =0,
1 2 2 1
1
即z(z-1)=0,解得z=0或z=1,即当λ= 时,存在两个点P,使得AP⊥BP,故选项C错误;
1
2
选项D,当μ=1时,点P在线段MN上(M,N分别是线段BB
1
,CC
1
的中点),设P(
x,0,
1)(
−
1
≤x≤
1),
2 2 2 2
则 ( √3 1),
⃗AP= x, ,
2 2
若AB⊥平面ABP,则AB⊥AP,则 =0,
1 1 1 ⃗A B·⃗AP
1
即(1 √3 ) ( √3 1) 1 3 1=0,解得x=-1,所以P( 1 1),易验证此时满足
, ,−1 · x, , = x+ − − ,0,
2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
AB⊥平面ABP,
1 1
1
所以当μ= 时,有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP,故选项D正确.故选BD.
1 1
2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
命题立意:本题以正三棱柱为载体,考查正三棱柱的性质,平面向量基本定理,空间几何体的体积,以及线面
垂直的判定等,考查学生空间想象能力和逻辑推理能力,通过研究点P的位置,考查数形结合思想,体现数学
运算与直观想象的核心素养,落实对试题的创新性和综合性的考查.
考点2 空间角与距离
52
1.(2024新课标Ⅱ,7,5分,中)已知正三棱台ABC-ABC 的体积为 ,AB=6,AB=2,则AA与平面ABC
1 1 1 3 1 1 1
所成角的正切值为( )
1
A. B.1 C.2 D.3
2
B
7
如图,延长AA ,BB ,CC 交于一点P,过P作PO⊥平面ABC,垂足为O,PO与平面A B C 交于点O ,连
1 1 1 1 1 1 1
接O A ,OA.
1 1
∵ABC-A B C 是正三棱台,
1 1 1
∴三棱锥P-ABC是正三棱锥.
设△A B C ,△ABC的面积分别为S ,S ,
1 1 1 1 2
1 52
则V = (S +S +√S S )·O O= .
ABC-A 1 B 1 C 1 3 1 2 1 2 1 3
1 √3 1 √3
又∵S = ×22× =√3,S = ×62× =9√3,
1 2 2 2 2 2
1 52 4√3
∴ (√3+9√3+√√3×9√3)·O O= ,∴O O= .
3 1 3 1 3
PO PA
∵△PO A ∽△POA,∴ 1= 1.
1 1
PO PA
PA A B 2 1
又∵△PB A ∽△PBA,∴ 1= 1 1= = ,
1 1 PA AB 6 3
PO 1
∴ 1= ,∴PO=2√3,
PO 3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
∵PO⊥平面ABC,∴∠PAO是AA 与平面ABC所成角.
1
2 √3
AO= × ×AB=2√3,
3 2
PO 2√3
在Rt△PAO中,tan∠PAO= = =1.故选B.
AO 2√3
2.(2023全国乙理,9,5分,中)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边, ABD为等边
三角形.若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为△ ( )
1 √2 √3 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 C 取AB的中点E,连接CE,DE,则CE⊥AB,DE⊥AB,所以∠DEC是二面角C-
AB-D的平面角,所以∠DEC=150°,因为DE∩CE=E,所以AB⊥平面DCE,因为AB 平面
ABC,所以平面 DCE⊥平面 ABC,易知∠DCE 为直线 CD 与平面 ABC 所成的⊂角,设
AB=a,
1
在等腰直角△ABC中,CE= a,
2
√3
在等边△ABD中,DE= a,
2
在△DCE中,由余弦定理,得
DC2=(1 ) 2 (√3 ) 2 1 √3a·cos 150°
a + a −2· a·
2 2 2 2
7 √7
= a2,∴DC= a,
4 2
(√7 ) 2 (1 ) 2 (√3 ) 2
a + a − a
则cos∠DCE= 2 2 2 5√7,
=
√7 1 14
2· a· a
2 2
∵0°<∠DCE<30°,
∴sin∠DCE=√ (5√7) 2 √21,
1− =
14 14
sin∠DCE √3
∴tan∠DCE= = .故选C.
cos∠DCE 5北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.(2020新高考Ⅰ,4,5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子
来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点
A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处
的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案 B 由题意作出如图所示的截面图,设所求角为α,
由图易知α=40°.故选B.
4.(2022全国甲,理7,文9,5分)在长方体ABCD-ABCD 中,已知BD与平面ABCD和平面AABB所成的
1 1 1 1 1 1 1
角均为30°,则 ( )
A.AB=2AD
B.AB与平面ABCD所成的角为30°
1 1
C.AC=CB
1
D.BD与平面BBCC所成的角为45°
1 1 1
答案
D 如图,连接BD.由题可知,BB⊥平面ABCD,AD⊥平面AABB,
1 1 1
易知B D 与平面 ABCD 和平面 AA B B 所成的角分别为 ∠ B DB , ∠ AB D , ∴∠BDB=∠ABD=30°.
1 1 1 1 1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
设AD=1,则AB=√3,BD=2,
1 1
∴BB=1,BD=√3,∴AB=√2,
1
∴AB=√2AD,故A错误.
过B作BH⊥AB,交AB 于H,
1 1
易知∠HAB为AB与平面ABCD所成的角.
1 1
∵BH= AB·BB
1=
√6,
AB 3
1
BH √3
∴sin∠HAB= = ,故B错误.
AB 3
易知AC=√3,CB=√2,∴AC≠CB,故C错误.
1 1
易知∠DBC为BD与平面BBCC所成的角,
1 1 1 1
∴sin∠DBC= DC √2,∴∠DBC=45°,故D正确.
1 = 1
B D 2
1
5.(多选)(2022新高考Ⅰ,9,5分)已知正方体ABCD-ABCD,则 ( )
1 1 1 1
A.直线BC 与DA 所成的角为90°
1 1
B.直线BC 与CA 所成的角为90°
1 1
C.直线BC 与平面BBDD所成的角为45°
1 1 1
D.直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1
答案
ABD 连接BC,交BC 于O,∵AD∥BC,∴∠BOC(或其补角)为直线BC 与DA 所成的角,又
1 1 1 1 1 1 1 1
BC⊥BC,∴∠BOC=90°,即直线BC 与DA 所成角为90°.故选项A正确.
1 1 1 1 1 1
由AB⊥平面BBCC,BC 平面BBCC知AB⊥BC,又BC⊥BC,AB∩BC=B,∴BC⊥平面ABC,又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
CA 平面ABC,∴BC⊥C ⊂ A,∴直线BC 与CA 所成角为90°.故选项B正确.
1 1 1 1 1 1 1
⊂北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
连接AC,交BD 于点O,连接OB,易证CO⊥平面BBDD,∴BC 在平面BBDD内的射影为OB,∴BC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
与平面BB 1 D 1 D所成角为∠C 1 BO 1 .在Rt BO 1 C 1 中,sin∠C 1 BO 1 = C 1 O 1= 1,则∠C 1 BO 1 =30°,故选项C错误.
BC 2
△ 1
∵CC⊥平面ABCD,∴∠CBC是BC 与平面ABCD所成的角,而∠CBC=45°,故选项D正确.故选ABD.
1 1 1 1
6.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-ABC 中,∠BCA=90°,M,N分别是AB,AC 的中点,BC=CA=CC,则
1 1 1 1 1 1 1 1
BM与AN所成角的余弦值为( )
1 2
A. B.
10 5
√30 √2
C. D.
10 2
答案 C 解法一:以C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
1
设BC=CA=CC=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),
1
∴⃗AN=(-1,0,-2),⃗BM=(1,-1,-2),
∴cos< , >= ⃗AN·⃗BM = −1+4 = 3 =√30,故选C.
⃗AN ⃗BM
|⃗AN||⃗BM| √5×√6 √30 10
解法二:取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求,
设BC=CA=CC=2,
1
则AQ=√5,AN=√5,QN=√6,
AN2+NQ2−AQ2 5+6−5 6 √30
∴cos∠ANQ= = = = ,
2AN·NQ 2√5×√6 2√30 10
故选C.
7.(2013北京,8,5分)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,P为对角线BD 的三等分点,P到各顶点的距离的不同
1 1 1 1 1
取值有( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案 B 过P作平面ABCD、ABCD的垂线分别交DB、DB于E、F点,易知P也是EF的三等分点,设
1 1 1 1 1 1
2 √3 √6 √6
正方体的棱长为a,则PA=PC=a;PD= √3a;PB= a;PB= a,PA=PC= a;PD=a.故有4个不同的值.
1 1 1 3 3 1 3 3
故选B.
思路分析 设正方体的棱长为a,利用正方体中的直角三角形分别计算P到各顶点的距离即可.
解后反思 本题考查了线面的垂直关系、空间想象力及运算能力.构造直角三角形是解题关键.
8.(2012陕西,5,5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-ABC,CA=CC=2CB,则直线BC 与直线
1 1 1 1 1
AB 夹角的余弦值为( )
1
√5 √5
A. B.
5 3
2√5 3
C. D.
5 5
答案 A 不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B(0,2,1).
1 1
∴ =(0,2,-1), =(-2,2,1).
⃗BC ⃗AB
1 1
cos<⃗BC ,⃗AB >= ⃗BC 1 ·⃗AB 1 = 0+4−1 =√5,故选A.
1 1 |⃗BC |·|⃗AB | √5×3 5
1 1
评析 本题考查利用空间坐标运算求异面直线所成的角,考查了运算求解能力.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.(2024全国甲理,19,12分,中)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF
均为等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED= ,FB=2 ,M为AD的中点.
√10 √3
(1)证明:∥平面CDE;
(2)求二面角F-BM-E的正弦值.
解析
19
(1)证明:∵M为AD的中点,且AD=4,
∴MD=2,∴MD=BC,
又∵MD∥BC,∴四边形BCDM为平行四边形,
∴BM∥CD,
又BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,
∴BM∥平面CDE.
(2)设AM的中点为O,连接FO,BO,
∵AB=BM=AM=2,∴OB⊥AM,OB= ,
√3
在等腰梯形ADEF中,EF∥MD,EF=MD,
∴四边形MDEF为平行四边形,∴FM=DE= ,
√10
1
∴AF=MF,又∵O为AM的中点,∴OF⊥AM,OA= AM=1,
2
∴OF= =3,又∵OB= ,FB=2 ,
√AF2-AO2 √3 √3
∴OF2+OB2=BF2,∴OB⊥OF,
又∵OB⊥AD,OF⊥AD,
∴分别以OB,OD,OF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
则F(0,0,3),B( ,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3),
√3
∴ =(- ,1,0), =( ,0,-3), =(0,1,3),
⃗BM √3 ⃗FB √3 ⃗ME
设平面FBM的法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1
{n ·⃗BM=0, {-√3x + y =0,
则 1 即 1 1
n ·⃗FB=0, √3x -3z =0,
1 1 1
不妨取x = ,则n =( ,3,1).
1 1
√3 √3
设平面EBM的法向量为n =(x ,y ,z ),
2 2 2 2
{n ·⃗BM=0, {-√3x + y =0,
则 2 即 2 2
n ·⃗ME=0, y +3z =0,
2 2 2
不妨取y =3,则x = ,z =-1,则n =( ,3,-1).
2 2 2 2
√3 √3
|n ·n |
设二面角F-BM-E的平面角为θ,则|cos θ|=|cos<n ,n >|= =
1 2 1 2
|n ||n |
1 2
√3×√3+3×3+1×(−1) =11,
√(√3)2+32+12×√(√3)2+32+(−1)2 13
∵0≤θ≤π,∴sin θ=
√1−cos2θ
=√
1−
(11) 2=4√3,
13 13
4√3
∴二面角F-BM-E的正弦值为 .
13
10.(2024新课标Ⅰ,17,15分,中)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
√42
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为 ,求AD.
7
