北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§5.2 三角恒等变换
专题检测
1.(2019山东淄博模拟文,4)2√1+sin4+√2+2cos4= ( )
A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2
答案 B =
√1+sin4 √sin22+2sin2cos2+cos22
= =sin 2+cos 2, = = =
√(sin2+cos2)2 √2+2cos4 √2(1+cos4) √2(1+2cos22-1)
=-2cos 2,
√4cos22
∴2√1+sin4+√2+2cos4=2sin 2+2cos 2-2cos 2=2sin 2.
故选B.
2.(2018福建福州3月模拟,4)√3cos 15°-4sin215°cos 15°= ( )
1 √2
A. B. C.1 D.√2
2 2
答案 D 解法一:√3cos 15°-4sin215°cos 15°=√3cos 15°-2sin 15°·2sin 15°cos 15°=
√3cos 15°-2sin 15°·sin 30°=√3cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=2cos 45°=√2.故选D.
√6+√2 √6-√2 √6+√2
解法二:因为cos 15°= ,sin 15°= ,所以√3cos 15°-4sin215°·cos 15°=√3× -4×
4 4 4
(√6-√2) 2 ×√6+√2=√6+√2×( 8-4√3)= .故选D.
√3- √2
4 4 4 4
3.(2020山东省实验中学第二次诊断,6)已知cos(π )=2cos(π+α),且tan(α+β)=1,则tan β的值为( )
-α
2 3
A.-7 B.7 C.1 D.-1
答案 B 本题考查了诱导公式及两角和的正切公式,重点考查了运算能力.
因为cos(π )=2cos(π+α),所以sin α=-2cos α,即tan α=-2,又tan(α+β)=1,则 tanα+tanβ =1,代入
-α
2 3 1-tanαtanβ 3
tan α=-2,解得tan β=7,故选B.
思路分析 由诱导公式得sin α=-2cos α,由同角三角函数的基本关系可得tan α=-2,再由两角和的正切公式
tanα+tanβ
得tan(α+β)= ,将tan α=-2代入运算即可.
1-tanαtanβ
4.(2019四川成都二诊,6)若α,β∈(π ),且sin α=2√5,sin(α-β)=-√10,则sin β= ( )
,π
2 5 10
7√2 √2 1 1
A. B. C. D.
10 2 2 10
答案 B 由α,β∈(π ,π ),且sin α=2√5 ,可得cos α=- √ 1- (2√5) 2 =- √5.
2 5 5 5
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√10 √10
由sin(α-β)=- ,可得sin αcos β-cos αsin β=- ,
10 10
2√5 √5 √10
cos β+ sin β=- ,
5 5 10
√2 √2
即2cos β+sin β=- ,又sin2β+cos2β=1,所以sin β= .故选B.
2 2
3 1
5.(2019云南师大附中4月联考,4)已知sin(α+2β)= ,cos β= ,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为 ( )
4 3
3√7-2√2 3-2√14 3√7+2√2 3+2√14
A. B. C. D.
12 12 12 12
1 1 π π 2√2 2π 3
答案 D 由cos β= < ,β为锐角,得 <β< ,sin β= ,又α为锐角,∴ <α+2β< π.
3 2 3 2 3 3 2
3 2π √7
∵sin(α+2β)= >0,∴ <α+2β<π,∴cos(α+2β)=- ,
4 3 4
∴sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]
=sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β
=3×1-( √7)×2√2=3+2√14,故选D.
-
4 3 4 3 12
6.(2019安徽十校联考,5)已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin( π)= ( )
α+
3
1+3√5 1+5√3 1-3√5 1-5√3
A. B. C. D.
8 8 8 8
1
答案 A 由7sin α=2cos 2α得7sin α=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sin α-2=0,解得sin α=-2(舍去)或sin α= ,
4
又由α为锐角,可得cos α=√15,∴sin( π)=1sin α+√3cos α=1+3√5.
α+
4 3 2 2 8
7.(2019吉林实验中学期中,10)设α∈( π),β∈( π),且cos β=tan α(1+sin β),则 ( )
0, 0,
2 2
π π
A.α-β= B.α+β=
4 2
π π
C.2α-β= D.2α+β=
2 2
sinα
答案 D 由cos β=tan α(1+sin β),可得cos β= (1+sin β),cos βcos α-sin αsin β=
cosα
sin α=cos(π ),即cos(α+β)=cos(π ),又α∈( π),β∈( π),则α+β∈(0,π),π-α∈( π).
-α -α 0, 0, 0,
2 2 2 2 2 2
π π
故α+β= -α,即2α+β= .故选D.
2 2
解后反思 三角恒等变换主要有以下四变:
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(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有切化弦、正弦与余弦互化等.
(3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是方便应用公式.
(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆
用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等.
8.(2020河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考,7)
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其
中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦
苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇
的长度各是多少?”设θ=∠BAC,现有下述四个结论:
①水深为12尺;②芦苇长为15尺;
③tanθ=2;④tan( π)=-17.
θ+
2 3 4 7
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④
答案 B 本题以数学文化为背景考查二倍角公式,两角和的正切公式,考查的核心素养为逻辑推理和数学运
算.
设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,在Rt△ABC中,
∵AB=5,
∴52+x2=(x+1)2,∴x=12.
θ
2tan
12 2 12 θ 2 12 ( π) 1+tanθ
∴tan θ= ,∴tan θ= = ,解得tan = (负根舍去).∵tan θ= ,∴tan θ+ = =-
5 θ 5 2 3 5 4 1-tanθ
1-tan2
2
17
,故正确结论的编号为①③④.
7
9.(2016吉林东北师大附中等校联考,14)已知0<θ<π,tan( π)=1,那么sin θ+cos θ= .
θ+
4 7
1
答案 -
5
解析 由tan( π)=tanθ+1=1,解得tan θ=-3,即sinθ=-3,∴cos θ=-4sin θ,
θ+
4 1-tanθ 7 4 cosθ 4 3
16 25
∴sin2θ+cos2θ=sin2θ+ sin2θ= sin2θ=1,
9 9
3
∵0<θ<π,∴sin θ= ,
5
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4 1
∴cos θ=- ,∴sin θ+cos θ=- .
5 5
√3 1
10.(2017甘肃兰州实战模拟)若sin α-sin β=1- ,cos α-cos β= ,则cos(α-β)= .
2 2
√3
答案
2
7 1
解析 将已知条件两边平方得sin2α+sin2β-2sin αsin β= -√3,cos2α+cos2β-2cos αcos β= ,两式相加并化简
4 4
√3
得cos(α-β)= .
2
1
11.(2017江苏盐城调研,4)若3sin α+cos α=0,则 的值为 .
cos2α+2sinαcosα
10
答案
3
1
解析 ∵3sin α+cos α=0,∴tan α=- ,
3
10
1 sin2α+cos2α tan2α+1 9 10
∴ = = = = .
cos2α+2sinαcosα cos2α+2sinαcosα 1+2tanα 1 3
3
1 13 π
12.(2018河南六市4月联考,4)已知cos α= ,cos(α-β)= ,若0<β<α< ,则β= .
7 14 2
π
答案
3
解析 由cos α=1 ,0<α<π ,得sin α=
√1-cos2α
=√
1-
(1) 2 =4√3,由0<β<α<π ,得0<α-β<π.
7 2 7 7 2 2
13
又cos(α-β)= ,
14
∴sin(α-β) =
√1-cos2(α-β)
=√
1-
(13) 2 =3√3.
14 14
1 13 4√3 3√3 1
由β=α-(α-β)得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= × + × = .
7 14 7 14 2
∵β∈( π),∴β=π.
0,
2 3
思路分析 β=α-(α-β),求出sin α与sin(α-β)的值,即可利用两角差的余弦公式求cos β的值,从而得出β的大小.
解题关键 细化角的范围及合理利用凑角法是解决本题的关键.
4 √5
13. (2019台州中学第一次模拟,15)已知α,β为锐角,tan α= ,cos(α+β)=- ,
3 5
则cos 2α= ,tan(α-β)= .
7 2
答案 - ;-
25 11
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16
1-
cos2α-sin2α 1-tan2α 9 7 24
解析 cos 2α=cos2α-sin2α= = = =- .因为2α∈(0,π),所以sin 2α= .
cos2α+sin2α 1+tan2α 16 25 25
1+
9
√5 2√5
由α+β∈(0,π)且cos(α+β)=- ,得sin(α+β)= ,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+
5 5
sin 2αsin(α+β)=- 7 ×( √5)+24×2√5=11√5,sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]=sin 2αcos(α+β)-
-
25 5 25 5 25
cos 2αsin(α+β)=24×( √5)+ 7 ×2√5=-2√5,所以tan(α-β)=sin(α-β)=- 2 .
-
25 5 25 5 25 cos(α-β) 11
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