北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.2 椭圆及其性质
一、选择题
y2 √3
1.(2022届黑龙江大庆月考,4)与双曲线 -x2=1共焦点,且离心率为 的椭圆的标准方程为 ( )
2 2
y2 x2
A. +x2=1 B. +y2=1
2 2
y2 x2
C. +x2=1 D. +y2=1
4 4
c √3
答案 C 设椭圆的半焦距为c,由题意知,椭圆的焦点坐标为(0,-√3),(0,√3),所以c=√3.又e= = ,所以
a 2
y2
a=2,b=1,故椭圆的标准方程为 +x2=1.故选C.
4
2.(2021合肥一模,5)已知F是椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点,椭圆E上一点P(2,1)关于原点的对称点为
a2 b2
Q,若△PQF的周长为4√2+2√5,则a-b=( )
√2 √3
A.√2 B. C.√3 D.
2 2
答案 A 根据椭圆的对称性以及椭圆的定义可知,△PQF的周长为2a+2× =2a+2 ,又△PQF的周
√22+12 √5
长为4 +2 ,所以2a=4 ,解得a=2 ,又点P(2,1)在椭圆上,所以
22 +12
=1,解得b= ,所以a-
√2 √5 √2 √2 √2
(2√2)2 b2
b=√2,故选A.
知识拓展 若F是椭圆的一个焦点,A,B是椭圆上关于原点对称的两点,则有|FA|+|FB|=2a.
x2 y2
3.(2022届云南师大附中月考,8)已知椭圆 + =1,F是椭圆的左焦点,P是椭圆上一点,若椭圆内一点
4 3
A(1,1),则|PA|+|PF|的最小值为 ( )
1
A.3 B.√10 C.√5+ D.√5+1
2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 由椭圆的方程可得2a=4,焦点F(1,0),设椭圆的右焦点为F,则F(1,0),|AF|=1,又|PA|+|PF|=|PA|+4-|
2 2 2
PF|=4+|PA|-|PF|,||PA|-|PF||≤|AF|=1,所以3≤4+|PA|-|PF|≤5,当且仅当P,A,F 三点共线时取等号,故|PA|+|PF|的
2 2 2 2 2 2
最小值为3(取最小值时P是射线FA与椭圆的交点).故选A.
2
4.(2021河南、河北名校联盟联考,11)点P在椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)上,F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,∠F
1
PF
2
=90°,
a2 b2
且△FPF 的三条边长成等差数列,则此椭圆的离心率为( )
1 2
5 5 4 3
A. B. C. D.
7 6 5 5
答案 A 设|PF|=m<|PF|,则由椭圆的定义可得|PF|=2a-|PF|=2a-m,而|FF|=2c,因为△FPF 的三条边长成等
1 2 2 1 1 2 1 2
1 1 1 1
差数列,所以2|PF|=|PF|+|FF|,即2(2a-m)=m+2c,解得m= (4a-2c),即|PF|= (4a-2c),|PF|=2a- (4a-2c)=
2 1 1 2 1 2
3 3 3 3
2 2
(2a+2c),在Rt△F
1
PF
2
中,|F
1
F
2
|2=|PF
1
|2+|PF
2
|2,即4c2=[1
(4a-2c)
] +[1
(2a+2c)
] ,整理得5a2-
3 3
7 5
2ac-7c2=0,解得a= c或a=-c(舍),所以离心率e= .故选A.
5 7
5.(2021名校联盟4月押题卷(一),12)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),过点F的直线交椭圆
a2 b2
C于A,B两点,若A(1,y),则点B横坐标的取值范围为( )
1
A.(-3,0) B.(-3,-1)
C.(-2,0) D.(-2,-1)
{
b2
y= (x+1),
b2 b2 2a
答案 B 设A在第一象限,易知y= ,直线AB的方程为y= (x+1),联立
1
a 2a x2 y2
+ =1,
a2 b2
可得(a2+3)x2+2(a2-1)x-3a2-1=0,根据根与系数的关系可得1·x =-3a2+1,可得x =-3a2+1=-3+ 8 ,a2>1,
B B
a2+3 a2+3 a2+3
8
可得4<a2+3,0< <2,∴-3<x <-1,故选B.
a2+3 B北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
6.(2022届陕西西北工业大学附属中学月考,5)如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 +
√x2+(y+3)2
=4 ,则点M的轨迹是( )
√x2+(y-3)2 √3
A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线
答案 B + =4 表示平面内点M(x,y)到点(0,-3),(0,3)的距离之和为4
√x2+(y+3)2 √x2+(y-3)2 √3
√3,又3-(-3)=6<4√3,所以点M的轨迹是椭圆,故选B.
7.(2021豫北名校5月联考,10)已知F(-1,0)为椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点,过F 的直线与椭圆C交于
1 1
a2 b2
A,B两点,与y轴交于D点.若⃗AD=2⃗DB,|AD|=|FB|,则椭圆C的标准方程为( )
1
x2 x2 y2
A. +y2=1 B. + =1
2 3 2
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
4 3 5 4
答案 D 因为⃗AD=2⃗DB,所以|AD|=2|DB|.又直线AB过点F,且|AD|=|FB|,所以|AF|=|FD|=|DB|.不妨设点
1 1 1 1
B在第一象限,作出示意图如图.
1 y2
由D为线段F
1
B的中点,且F
1
(-1,0),可设B(1,y
0
)(y
0
>0).又点B在椭圆C上,所以 + 0=1,所以 y2=
a2 b2 0
(a2-1)b2 =b4
,所以B(
b2
),D(
b2
).又F 为线段AD的中点,所以A(
b2
).又点A在
1, 0, 1 -2,-
a2 a2 a 2a 2a
椭圆C上,所以 4 + b2 =1,所以b2=4a2-16.又c2=a2-b2=1,所以a2=5,b2=4,所以椭圆C的标准方程为x2 +y2 =1.
a2 4a2 5 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.(2020长沙一模,8)设椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,点E(0,t)(0<t<b).已知动点P在
1 2
a2 b2
椭圆上,且P,E,F 三点不共线,若△PEF 的周长的最小值为3b,则椭圆C的离心率为( )
2 2
√3 √2 1 √5
A. B. C. D.
2 2 2 3
答案 D 如图,连接EF
1
,F
1
P,易知|EF
1
|=|EF
2
|,△PEF
2
的周长为|PE|+|PF
2
|+|EF
2
|=|PE|+2a-|PF
1
|+|EF
2
|=2a+|EF
2
|+(|
PE|-|PF
1
|)≥2a+|EF
2
|-|EF
1
|=2a=3b,所以e= c =√
1-
(b) 2 =√
1-
4=√5,故选D.
a a 9 3
9.(2022届甘肃靖远开学考,10)已知F、F
分别是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,点P,Q是C上位于
1 2
a2 b2
x轴上方的任意两点,且PF 1∥QF
2
,若|PF
1
|+|QF
2
|≥b,则C的离心率的取值范围是( )
A.( 1] B.[1 ) C.( √3] D.[√3 )
0, ,1 0, ,1
2 2 2 2
答案 C 由点P,Q是C上位于x轴上方的任意两点,延长PF
1
与椭圆的另一交点为A,由PF 1∥QF
2
,再结合椭
圆的对称性,得|QF|=|FA|,所以|PF|+|QF|=|PF|+|FA|=|PA|,因为椭圆过焦点的弦中,通径最短,所以当|PA|垂直
2 1 1 2 1 1
2b2 √3
x轴时,|PA|最短,所以b≤|PA| = ,即a≤2b,易得0<e≤ .故选C.
min
a 2
10.(2022届河南部分名校联考,11)已知点F,F,分别为椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,右焦点,点M在直线
1 2
a2 b2
l:x=-a上运动,若∠FMF 的最大值为60°,则椭圆C的离心率是( )
1 2
1 1 √3 √3
A. B. C. D.
3 2 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 C 由题意知,F(-c,0),F(c,0),设直线MF,MF 的倾斜角分别为α,β,由椭圆的对称性,不妨设M为第二
1 2 1 2
t -t
象限的点,即M(-a,t),(t>0),则tan α=
c-a
,tan β=
c+a
,∵∠F
1
MF
2
=β-α,∴tan∠F
1
MF
2
=tan(β-α)=
t t
- - 2c 2c
tanβ-tanα c+a c-a 2ct 2c c
= = = b2≤ √ b2= = ,
1+tanαtanβ t2 t2+b2 t+ 2 t· 2b b
1- t t
c2-a2
b2 c c2 c
当且仅当t=
t
,即t=b时取等号,∴tan∠F
1
MF
2
的最大值为
b
=tan 60°=√3,∴c=√3b,即c2=a2-
3
,整理得
a
=
√3 √3
,故椭圆C的离心率是 .故选C.
2 2
11.(2021兰州诊断,11)已知P(2,-2)是离心率为1的椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)外一点,经过点P的光线被y轴反
2 a2 b2
射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是 ( )
1 1 1
A.- B.- C.1 D.
8 2 8
答案 D 因为过点P的光线被y轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,所以点P与椭圆
右顶点的连线与x轴垂直,所以a=2.
c 1 x2 y2
因为e= = ,所以c=1,所以b=√a2-c2=√3,所以椭圆的方程为 + =1.由反射原理知,反射光线所在直
a 2 4 3
线过点(-2,-2),设与椭圆相切的反射光线所在的直线的斜率为k,则该直线的方程为y+2=k(x+2),与椭圆方程联
立,消去y,得(4k2+3)x2+16k(k-1)x+16k2-32k+4=0.所以Δ=[16k(k-1)]2-4(4k2+3)(16k2-32k+4)=16(24k-3)=0,解得
1
k= .故选D.
8北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
c 1 3
一题多解 由题意可知e= = ,又a2=b2+c2,故b2= a2,设过点P的直线斜率为k,则直线方程为y+2=k(x-2),
a 2 4
即y=kx-2k-2,则反射后的切线方程为y=-kx-2k-2,由{ y=-kx-2k-2, 得
b2x2+a2y2-a2b2=0,
(3+4k2)x2+16k(k+1)x+16k2+32k+16-3a2=0,因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,所以
Δ=[16k(k+1)]2-4(3+4k2)(16k2+32k+16-3a2)=0,
{a2=4,
即4a2k2+3a2=16k2+32k+16,所以有{ 4a2=16, 解得 所以此条切线的斜率为-k=1,故选D.
1
3a2=32k+16, k=- , 8
8
二、填空题
12.(2020哈尔滨三中二模,14)已知圆C:(x+1)2+y2=36与定点M(1,0),动圆N过点M且与圆C相切,则动圆圆心
N的轨迹方程为 .
x2 y2
答案 + =1
9 8
解析 设圆N的半径为R,由题意可得,|NC|=6-R①,
|NM|=R②,由①②可得|NC|+|NM|=6>|MC|=2,
由椭圆的定义可知,点N的轨迹是以C,M为焦点的椭圆,且2a=6,2c=2,又b2=a2-c2=32-12=8,所动圆圆心N的轨
x2 y2
迹方程为 + =1.
9 8
13.(2021河南名校4月冲刺考试,15)已知点F,F
分别为椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,右焦点,点A为C的左
1 2
a2 b2
顶点,C上的点到点F 的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF 交AP于点B,且|AB|=|
2 1
BP|,则椭圆C的标准方程为 .
x2 y2
答案 + =1
9 8北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 如图,连接OB,AQ,则OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以 |OB| = |OF 1 | =1,即 c =1,
|AQ| |F A| 2 a-c 2
1
x2
所以a=3c.由C上的点到点F 的最小距离为2,得a-c=2,解得a=3,c=1,所以b=2√2.故椭圆C的标准方程为
2
9
y2
+ =1.
8
14.(2022届广西柳铁一中“韬智杯”大联考,16)椭圆C:x2 +y2
=1的上、
18 b2
下顶点分别为A、C,如图,点B在椭圆上,平面四边形ABCD满足∠BAD=∠BCD=90°,且S
△ABC
=2S
△ADC
,则该椭
圆的短轴长为 .
答案 6
解析 根据题意可得A(0,b),C(0,-b),设B(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),由∠BAD=∠BCD=90°,可得点A,B,C,D在以BD为直
径的圆上,又原点O为圆上的弦AC的中点,所以圆心在AC的垂直平分线上,所以圆心在x轴上,所以
y 1 +y 2 =0.又S △ABC =2S △ADC ,所以x 1 =-2x 2 ,故圆心坐标为(x 1,0 ),所以圆的方程为( x- x 1 ) 2 +y2= 9 x2+ y2,
4 4 16 1 1
将(0,b)代入圆的方程,结合 x 1 2 + y 1 2 =1,解得b2=9,所以b=3,短轴长为6.
18 b2
15.(2022届贵州部分重点中学月考,16)已知圆C:x2+(y+1)2=16,P是圆C上的动点,若A(0,1),线段PA的垂直平
分线与直线PC相交于点Q,则点Q的轨迹方程是 ;若M(2,1),则|MQ|+|QC|的最大值为 .
