北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.5 抛物线
专题检测
[教师专用题组]
【3 年模拟】
1.(2020四川天府名校10月联考,7)若抛物线y2=2px(p≠0)的准线为圆x2+y2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程
为 ( )
A.y2=-16x B.y2=-8x
C.y2=16x D.y2=8x
p
答案 C 抛物线y2=2px(p≠0)的准线为x=- ,且准线垂直于x轴,圆x2+y2+4x=0的垂直于x轴的切线方程为
2
p
x=-4和x=0,又p≠0,∴ =4,即p=8.故抛物线的方程为y2=16x.故选C.
2
2.若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
答案 D 因为定点F(1,1)在直线l:3x+y-4=0上,所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是
直线,就是经过定点F与直线l:3x+y-4=0垂直的直线.故选D.
易错警示 定点F不在直线上时满足条件的点的轨迹是抛物线.
3.(2018重庆一模,6)已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于 ( )
1 1 1
A. B. C. D.1
8 4 2
答案 B 因为抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),
所以2=2p×12,解得p=1,
1
则抛物线的方程为y=2x2,即x2= y,
2
其焦点坐标为( 1),准线方程为y=-1,
0,
8 8
1
∴该抛物线的焦点到准线的距离等于 ,故选B.
4
4.(2020湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切于点A,F是抛物线的焦点,
直线AF交抛物线于另一点B,则|BF|= .
5
答案
4
解析
联立{y=2x+b,
消去y得x2-8x-4b=0,
x2=4 y,
∵直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切,
∴Δ=64+16b=0,∴b=-4.
由x2-8x+16=0,得x=x=4,∴A(4,4),
1 2
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3
又∵F(0,1),∴直线AF的方程为y= x+1,与x2=4y联立,
4
消去y得x2-3x-4=0,∴x=4,x=-1,
1 2
∴B( 1),
-1,
4
p 1 5
∴|BF|=y + = +1= .
B
2 4 4
5.(2020山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ,
1 1
+ = .(本题第一空2分,第二空3分)
|AF| |BF|
答案 2;1
p
解析 ∵抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),∴ =1,∴p=2.
2
1 1
当AB与x轴垂直时,|AF|=|BF|=2,从而 + =1;
|AF| |BF|
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率为k(k≠0),A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
则直线AB的方程为y=k(x-1),
联立{y=k(x-1),
消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
y2=4x,
则x
1
x
2
=1,从而 1 + 1 = 1 + 1 = x
2
+1+x
1
+1 = x
1
+x
2
+2 =1.
|AF| |BF| x +1 x +1 (x +1)(x +1) x x +x +x +1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
综上, + =1.
|AF| |BF|
6.(2017江苏六市联考,6)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3,则点P的横
坐标是 .
答案 2
解析 设P(m,n),由y2=4x得准线方程为x=-1,由抛物线的定义得1+m=3,所以m=2.
7.(2018江苏溧水高级中学高三期初模拟)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A
到其准线的距离为5,则直线AF的斜率为 .
4
答案
3
4-0 4
解析 由抛物线定义得x +1=5,故x =4,又点A位于第一象限,因此y =4,又F(1,0),从而k = = .
A A A AF 4-1 3
8.(2019江苏南通中学质检)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜
率为 .
3
答案 -
4
3-0 3
解析 由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为 =- .
-2-2 4
9.(2018天津南开中学第三次月考,13)已知M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,若以M为圆心经过原点的圆与
x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则p的值为 .
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答案 4
解析 ∵M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的
p
准线相切,∴抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),∴准线方程为x=-2,可得 =2,解得p=4.
2
10.(2019江苏栟茶中学期中)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3√5,求此抛
物线方程.
解析 设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x,y),B(x,y),把直线y=2x-4代入y2=ax,
1 1 2 2
得4x2-(a+16)x+16=0,
由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.
a+16
x+x= ,xx=4,
1 2 1 2
4
所以|AB|=
√(1+22)[(x +x )2-4x x ]
1 2 1 2
=
√
5
[ (a+16) 2
-16
]
=3 √5 ,
4
所以5
[ (a+16) 2
-16
]
=45,
4
所以a=4或a=-36.
故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.
11.(2019北京石景山期末,18)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),其焦点为F.M为抛物线上除了原点外的任
一点,过M的直线l与x轴,y轴分别交于A,B.
(1)求抛物线C的方程以及焦点坐标;
(2)若△BMF与△ABF的面积相等,求证:直线l是抛物线C的切线.
解析 (1)因为抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),
所以22=2p,解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).
(2)证明:因为△BMF与△ABF的面积相等,A、B、M三点共线,
所以|BM|=|AB|,所以B为AM的中点.
设M(x,y)(xy≠0),则A(-x,0).
0 0 0 0 0
y
所以直线l的方程为y= 0 (x+x 0 ),
2x
0
与抛物线y2=4x联立,消去x得y2- 8x
0
y+4x
0
=0,
y
0
64x2 64x2
Δ= 0-16x
0
= 0-16x
0
=0,
y2 4x
0 0
所以直线l是抛物线C的切线.
12.(2020北京清华大学中学生标准学术能力11月测试,20)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A、B
两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知P(4,0).
(1)求M点的横坐标;
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(2)求△PAB的面积(用k表示).
解析 本题考查直线与抛物线的位置关系,通过直线与抛物线的位置关系考查学生的逻辑推理能力与运算
求解能力,体现数学运算的核心素养.
x +x y + y
(1)设A(x,y),B(x,y),M(x,y),则x= 1 2 ,y= 1 2 ,又y2 =4x,y2 =4x,
1 1 2 2 0 0 0 2 0 2 1 1 2 2
∴k= y 1 - y 2 = 4 = 2 ,而k MP = y 0 ,
x -x y + y y x -4
1 2 1 2 0 0
则由k·k =-1得x-4=-2,即x=2.
MP 0 0
1
(2)设直线AB的方程为x=m(y-y)+2,即x=my-my+2,其中m= (k≠0),
0 0
k
与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my+4my-8=0,
0
2
∵Δ=16m2-4(4my-8)>0,y= =2m,∴m2<2,
0 0
k
则y+y=4m,yy=4my-8,
1 2 1 2 0
∴|AB|= |y-y|= · ,
√1+m2 1 2 √1+m2 √16m2-16m y +32
0
|m y +2|
而P到直线AB的距离d= 0 ,
√m2+1
1
∴S = d|AB|=2|my+2|√m2-m y +2.
△PAB 2 0 0
1 y 1
又由于m= = 0 ,且m2<2,∴k2> ,
k 2 2
∴S =2(2m2+2) =4(m2+1)
=4(k2+1) ·√2k2-1,k2>1.
△PAB √2-m2 √2-m2
k2 k2 2
13.(2020贵州六盘水期末)已知抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率e=
a2 b2
√2
.
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,且线段PQ的中点为M( 1),直线l'是线段PQ的垂直平分线,若
m,
2
l'与x轴交于点N(n,0),求n的取值范围.
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解析 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆C中c=1,
c 1 √2
椭圆的离心率e= = = ,解得a=√2,所以b2=a2-c2=2-1=1,
a a 2
x2
所以椭圆C的标准方程为 +y2=1.
2
1 x2 1
(2)由题意,将y= 代入椭圆方程得 + =1,
2 2 4
√6 √6 √6
解得x=± ,所以- <m< .
2 2 2
①当直线l的斜率存在,且不为0时,设斜率为k,
{x2
1+ y2=1,
2 1
设P(x,y),Q(x,y),则
1 1 2 2
x2
2+ y2=1,
2 2
两式相减得x 1 2-x 2 2 =-( y2 - y2 ),即-1= y 1 - y 2· y 1 + y 2,
2 1 2 2 x -x x +x
1 2 1 2
1
y - y y + y 2× 1 1 k
因为 1 2=k, 1 2= 2= ,所以- = ,
x -x x +x 2m 2 2m
1 2 1 2 2m
1 1
所以k=-m(m≠0),则直线l'的斜率为- = ,
k m
则直线l'的方程为y-1=1(x-m),将y=0代入,可得0-1=1(x-m),解得x=m,即n=m,所以N(m ),
,0
2 m 2 m 2 2 2
√6 √6 √6 √6
因为- <m< 且m≠0,所以- <n< 且n≠0.
2 2 4 4
1
②当直线l的斜率为0时,直线l的方程为y= ,直线l'的方程为x=0,l'与x轴的交点为(0,0),即n=0.
2
③当直线l的斜率不存在时,设P(x,y),Q(x,y),可得y+y=0,不符合题意,舍去.
1 1 2 2 1 2
综上所述,n的取值范围为( √6 √6).
- ,
4 4
14.(2020浙江“七彩阳光”联盟期初联考,21)过抛物线x2=2py(p>0)外一点P作抛物线的两条切线,切点为
M,N,F为抛物线的焦点,证明:
(1)|PF|2=|MF|·|NF|;
(2)∠PMF=∠FPN.
证明 本题考查抛物线方程及性质;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的核心素
养.
(1)设P(x,y),M(x,y),N(x,y),
0 0 1 1 2 2
易求得切线PM:xx=p(y+y),切线PN:xx=p(y+y),
1 1 2 2
因为点P在两条切线上,所以xx=p(y+y),xx=p(y+y).
1 0 0 1 2 0 0 2
故点M、N均在直线xx=p(y+y)上,于是l :xx=p(y+y),
0 0 MN 0 0
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联立 {xx 0 =p(y+ y 0 ), ⇒y2+2( y - x2 0 )y+ y2=0,
x2=2py 0 p 0
由根与系数的关系得y 1 +y 2
=2(x2
0- y ),y 1 y 2 = y2,
p 0 0
p p
又|MF|=y+ ,|NF|=y+ ,
1 2
2 2
所以|MF|·|NF|=y
1
y
2
+p(y
1
+y
2
)+p2=
y2
+
x2
-py
0
+p2=
x2
+(
y -
p) 2 =|PF|2.
2 4 0 0 4 0 0 2
(2)由
⃗FP
=(
x ,y -
p),
⃗FM
=(
x ,y -
p),
⃗FN
=(
x ,y -
p),知
⃗FP
·
⃗FM
=x
0
x
1
+
0 0 2 1 1 2 2 2 2
( y - p)( y - p)=x 0 x 1 +y 0 y 1 -p(y 0 +y 1 )+p2=y 0 y 1 +p(y 0 +y 1 )+p2=( y + p)( y + p).
0 2 1 2 2 4 2 4 0 2 1 2
p
⃗FP·⃗FM y +
所以cos∠PFM= = 0 2 ,
|⃗FP|·|⃗FM|
|FP|
p
y +
同理cos∠PFN= 0 2 ,
|FP|
故cos∠PFM=cos∠PFN,所以∠PFM=∠PFN,
由(1)知|PF|2=|MF|·|NF|,
所以△PMF∽△NPF,
所以∠PMF=∠FPN.
15.(2017新疆乌鲁木齐二模,20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点H,
过H作直线l交抛物线于A,B两点,且|BF|=2|AF|.
(1)求直线AB的斜率;
(2)若△ABF的面积为√2,求抛物线的方程.
解析 (1)设A(x ,y ),过A,B两点作准线的垂线,垂足分别为A,B,易知|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,
A A 1 1 1 1
∵|BF|=2|AF|,∴|BB|=2|AA|,∴A为HB的中点,
1 1
又O是HF的中点,∴AO是△BHF的中位线,
∴|AO|=1|BF|=|AF|,而F(p
,0
),∴x
A
=p,
2 2 4
∴
y2
=2p·p=p2,y
A
=±√2p,∴A(p
,±
√2p),而H(
-
p
,0
),
A 4 2 2 4 2 2
0- y
A 2√2
∴k =k = p =± .
AB AH - -x 3
2 A
(2)∵A为HB的中点,O是HF的中点,
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1 √2
∴S =S =2S =2× |OH|·|y |= p2,
△ABF △AHF △AHO 2 A 4
√2
∴ p2=√2,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.
4
16.(2018辽宁锦州模拟,21)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l:y=kx+a(a>0)与抛物线C交于A,B两点.
(1)若直线l过焦点F,且与圆x2+(y-1)2=1交于D,E(其中A,D在y轴同侧),求证:|AD|·|BE|是定值;
(2)设抛物线C在A和B点处的切线交于点P,试问:y轴上是否存在点Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,请
说明理由,并求此时直线l的斜率和点Q的坐标.
解析 抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
联立x2=4y与y=kx+a,得x2-4kx-4a=0,
则Δ=16(k2+a)>0,且x+x=4k,x·x=-4a.
1 2 1 2
(1)证明:若直线l过焦点F,则a=1,
则x+x=4k,x·x=-4.
1 2 1 2
由条件可知圆x2+(y-1)2=1的圆心为F(0,1),半径为1,
由抛物线的定义有|AF|=y+1,|BF|=y+1,
1 2
则|AD|=|AF|-1=y,|BE|=|BF|-1=y,|AD|·|BE|=yy=(kx+1)(kx+1)=k2xx+k(x+x)+1=-4k2+4k2+1=1,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( x2 x2 (x x )2 (-4)2 )
或|AD|·|BE|= y y = 1· 2= 1 2 = =1
1 2 4 4 16 16
即|AD|·|BE|为定值,定值为1.
(2)当直线l的斜率为0,且Q(0,3a)时,四边形APBQ为菱形.理由如下:
1 1
设Q(0,y),由x2=4y有y= x2,则y'= x,若四边形APBQ为菱形,则AQ∥BP,BQ∥AP,
0
4 2
则k AQ = y 1 - y 0=1x 2 ,k BQ = y 2 - y 0=1x 1 ,即y 1 -y 0 =1x 1 x 2 ,y 2 -y 0 =1x 1 x 2 ,则y 1 =y 2 ,∴k=0,
x 2 x 2 2 2
1 2
1 1
此时直线AB:y=kx+a=a,则y=- xx+y=- ·(-4a)+a=3a.所以Q(0,3a).
0 1 2 1
2 2
17.(2019陕西西安中学高三期中,20)已知动点M到点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点F作两条互相垂直的直线l,l,直线l,l 分别交曲线C于点A,B和M,N.设线段AB,MN的中点分别为
1 2 1 2
P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
解析 (1)由题意可知动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M
p
的轨迹C是抛物线,且 =1,
2
∴抛物线方程为y2=4x,
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即点M的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)证明:设A,B两点的坐标分别为(x,y),(x,y),
1 1 2 2
则点P的坐标为(x
1
+x
2,
y
1
+ y
2
).
2 2
由题意可设直线l 的方程为y=k(x-1)(k≠0),
1
由{ y2=4x, 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
y=k(x-1),
Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0.
因为直线l 1 与曲线C交于A,B两点,所以x 1 +x 2 =2+ 4 ,y 1 +y 2 =k(x 1 +x 2 -2)=4,所以点P的坐标为( 1+ 2 , 2).
k2 k k2 k
1
由题知,直线l 的斜率为- ,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k),
2
k
2
+2k
2 k k
当k≠±1时,有1+ ≠1+2k2,此时直线PQ的斜率k = = ,
k2 PQ
1+
2
-1-2k2
1-k2
k2
k
所以,直线PQ的方程为y+2k= (x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0.
1-k2
所以直线PQ恒过定点(3,0).
当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点(3,0).
所以直线PQ恒过定点(3,0).
18.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(-2,8),且|MF|=4
√5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设A,B是抛物线上的两点,当F为△ABM的垂心时,求直线AB的方程.
解析 (1)由题意得|MF|=√ (p ) 2 =4 ,
+2 +64 √5
2
解得p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x. (5分)
(2)设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
因为F是△ABM的垂心,所以MF⊥AB,所以k ·k =-1,
MF AB
1
故k = , (7分)
AB
2
所以设直线AB的方程为x=2y+n,与y2=8x联立得y2-16y-8n=0.
令Δ>0,有n>-8.
y+y=16,yy=-8n. (10分)
1 2 1 2
因为F是△ABM的垂心,所以MA⊥FB.
即x
1
x
2
-2x
1
+2x
2
-4+y
1
y
2
-8y
2
=0①,
同理,x
1
x
2
-2x
2
+2x
1
-4+y
1
y
2
-8y
1
=0②,
①+②得2x
1
x
2
-8+2y
1
y
2
-8(y
1
+y
2
)=0.(13分)
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所以n2-8n-68=0,解得n=4±2√21,又因为n>-8,
所以直线AB的方程为x-2y-4±2√21=0. (15分)
1
19.(2018浙江名校协作体联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),且抛物线C在点P(1, f(1))处的切线斜率为 .直
2
线l与抛物线交于不同的两点A,B,且直线AP垂直于直线BP.
(1)求证:直线l过定点,并求出定点坐标;
|AP||BP|
(2)直线BP交y轴于点M,直线AP交x轴于点N,求 的最大值.
|MP||NP|
x2 1
解析 (1)证明:y= ,y'= x.
2p p
1 1
当x=1时,得 = ,∴p=2.
p 2
∴抛物线的方程为x2=4y.
设A(2t, ),B(2t, ),
1t2 2t2
1 2
1 1
∵AP⊥BP,P ( 1, 1) ,∴k ·k = t 1 2- 4 · t 2 2- 4 =-1,
AP BP
4
2t -1 2t -1
1 2
1 17
∴tt+ (t+t)+ =0(*),
12 1 2
2 4
t2-t2 t +t
又∵k AB = 1 2 = 1 2,
2t -2t 2
1 2
t +t
∴直线AB的方程为y-t2
=
1 2
(x-2t),
1 2 1
即2y=(t+t)x-2tt,
1 2 12
17
将(*)式代入直线AB的方程得(t+t)(x+1)+ -2y=0,
1 2
2
令x+1=0,17-2y=0,解得直线AB过定点( 17).
-1,
2 4
1
(2)设直线BM的方程为y- =k(x-1),不妨设k>0,
4
{ 1
y- =k(x-1),
联立 得x2-4kx+4k-1=0,Δ=16k2-16k+4>0,
4
x2=4 y,
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根据根与系数的关系得x +x =4k,∴x =4k-1,
B P B
4
由于AP⊥BP,同理可得x =- -1,
A
k
k
又∵x = +1,x =0,
N M
4
∴|AP||BP|=√ 1 |x -x |· |x -x |=1+k2 ·( 4)(4k-2)=4(1+k2)(2k-1)(k+2) ,
1+ P A √k2+1 B P 2+
k2 k k k2
|MP||NP|= |x -x |·√ 1 |x -x |=1+k2 ,
√k2+1 P M 1+ N P
k2 4
∴|AP||BP| =4(1+k2)(2k-1)(k+2)× 4 =16(2k-1)(k+2) =16
|MP||NP| k2 1+k2 k2
( - 2 + 3 +2 )=-32(1 - 3) 2 +50≤50,
k2 k k 4
|AP||BP|
∴ 的最大值为50.
|MP||NP|
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