北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§1.2 常用逻辑用语
【5 年高考】
考点一 命题及其关系
1.(2021新高考适应卷,3,5分)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:
甲:x=1是该方程的根; 乙:x=3是该方程的根;
丙:该方程两根之和为2; 丁:该方程两根异号.
如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案 A
2.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依
次为 .
答案 -1,-2,-3(答案不唯一)
3.(2018北京理,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一
个函数是 .
答案 f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)
考点二 充分条件与必要条件
4.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
5.(2020浙江,6,4分)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
6.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
7.(2019天津,3,5分)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
8.(2019浙江,5,4分)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
9.(2019北京,7,5分)设点A,B,C不共线,则“⃗AB与⃗AC的夹角为锐角”是“|⃗AB+⃗AC|>|⃗BC|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
10.(2018北京,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
11.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a}的公差为d,前n项和为S,则“d>0”是“S+S>2S”的( )
n n 4 6 5
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
考点三 简单的逻辑联结词
12.(2017山东理,3,5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q
答案 B
13.(2017山东文,5,5分)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧¬q
C.¬p∧q D.¬p∧¬q
答案 B
考点四 全称量词与存在量词
14.(2016浙江,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
答案 D
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 命题及其关系
1.(2015山东文,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故
选D.
2.(2014陕西理,8,5分)原命题为“若z,z 互为共轭复数,则|z|=|z|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的
1 2 1 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
判断依次如下,正确的是 ( )
A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假
答案 B 先证原命题为真:当z,z 互为共轭复数时,设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,则|z|=|z|= ,∴原命
1 2 1 2 1 2 √a2+b2
题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取z=1,z=i,满足|z|=|z|,但是z,z 不互为共轭复数,∴其逆命题
1 2 1 2 1 2
为假,故其否命题也为假.故选B.
3.(2013天津理,4,5分)已知下列三个命题:
1 1
①若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ;
2 8
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
1
③直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切.
2
其中真命题的序号是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
1
答案 C 对于命题①,设原球的半径和体积分别为r,V,变化后的球的半径和体积分别为r',V',则r'= r,由球
2
的体积公式可知V'=4πr'3=4π·(1 ) 3 =1×4πr3=1V,所以命题①为真命题;命题②显然为假命题,如两组数
r
3 3 2 8 3 8
√6
据:1,2,3和2,2,2,它们的平均数都是2,但前者的标准差为 ,而后者的标准差为0;对于命题③,易知圆心到直
3
线的距离d= |0+0+1| = 1 =r,所以直线与圆相切,命题③为真命题.故选C.
√12+12 √2
4.(2013陕西文,6,5分)设z是复数,则下列命题中的假命题是 ( )
A.若z2≥0,则z是实数
B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0
D.若z是纯虚数,则z2<0
答案 C 举反例说明,若z=i,则z2=-1<0,故选C.
2
5.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z= 的四个命题:
-1+i
p:|z|=2, p:z2=2i,
1 2
p:z的共轭复数为1+i, p:z的虚部为-1.
3 4
其中的真命题为 ( )
A.p,p B.p,p C.p,p D.p,p
2 3 1 2 2 4 3 4
2 2(-1-i)
答案 C z= = =-1-i,所以|z|=√2,p 为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 为真命题;z
-1+i (-1+i)(-1-i) 1 2
=-1+i,p 为假命题;p 为真命题.故选C.
3 4
评析 本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.
考点二 充分条件与必要条件
1.(2019北京文,6,5分)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 本题考查函数的奇偶性,充分、必要条件的判断,以及三角函数的性质;考查学生的运算求解能力
和推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理.
当b=0时, f(x)=cos x为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cos x-bsin x=f(x),
∴-bsin x=bsin x对x∈R恒成立,∴b=0.故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.
1 π
易错警示 本题在判断必要性时,易把函数化为f(x)=√1+b2sin(x+φ),其中tan φ= ,再分析φ= +kπ(k∈Z)
b 2
π
在什么条件下成立.事实上,当φ= +kπ(k∈Z)时,tan φ不存在.
2
2.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B |x-1|<1⇔-1<x-1<1⇔0<x<2.
当0<x<2时,必有0<x<5;
反之,不成立.
所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
一题多解 因为{x||x-1|<1}={x|0<x<2}⫋{x|0<x<5},
所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.
3.(2018北京文,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 本题主要考查充分条件与必要条件,等比数列的性质.
由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立;
当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,故选B.
方法总结 充分条件与必要条件的判断方法:
1.直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假.
2.集合法:设命题p,q中的变量构成的集合分别为P,Q.
若P⫋Q,则p是q的充分不必要条件;
若Q⫋P,则p是q的必要不充分条件;
若P=Q,则p是q的充要条件;
若P⊈Q,且Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件.
4.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“| 1|<1”是“x3<1”的 ( )
x-
2 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.
由| 1|<1得-1<x-1<1,解得0<x<1.
x-
2 2 2 2 2
由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“| 1|<1”是
x-
2 2
“x3<1”的充分而不必要条件.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
方法总结 (1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条
件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然
后验证得到的必要条件是否满足充分性.
5.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由
m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
6.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“| π |< π ”是“sin θ<1”的 ( )
θ-
12 12 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.
∵| π |< π ⇔- π <θ- π < π ⇔0<θ<π,
θ-
12 12 12 12 12 6
sin θ<1⇔θ∈( 7π π),k∈Z,
2kπ- ,2kπ+
2 6 6
( π)⫋( 7π π),k∈Z,
0, 2kπ- ,2kπ+
6 6 6
∴“| π |< π ”是“sin θ<1”的充分而不必要条件.
θ-
12 12 2
7.(2016天津理,5,5分)设{a}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数
n
n,a +a <0”的( )
2n-1 2n
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
a
答案 C 若对任意的正整数n,a 2n-1 +a 2n <0,则a 1 +a 2 <0,又a 1 >0,所以a 2 <0,所以q= 2 <0.若q<0,可取q=-1,a 1 =1,
a
1
则a+a=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a +a <0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a +a <0”的必要
1 2 2n-1 2n 2n-1 2n
而不充分条件.故选C.
评析 本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.
8.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平
面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以
平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异
面.故选A.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
g
9.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo 1(x+2)<0”的 ( )
2
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
g
答案 B 当x>1时,x+2>3>1,又y=lo 1 x是减函数,
2
g g g g g
∴lo
1
(x+2)<lo
1
1=0,则x>1⇒lo
1
(x+2)<0;当lo
1
(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo
1
(x+2)<0⇒ /x>1.故“x>1”
2 2 2 2 2
g
是“lo 1(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.
2
10.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 因为|x-2|<1等价于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)⫋(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必
要条件,故选A.
11.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,
∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,
∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.
综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.
12.(2015陕西理,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 由sin α=cos α,得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.
由cos 2α=0,得sin α=±cos α,即必要性不成立.故选A.
13.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x 处导数存在.若p:f '(x)=0;q:x=x 是f(x)的极值点,则 ( )
0 0 0
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
答案 C ∵f(x)在x=x 处可导,∴若x=x 是f(x)的极值点,则f '(x)=0,∴q⇒p,故p是q的必要条件;反之,以
0 0 0
f(x)=x3为例, f '(0)=0,但x=0不是极值点,∴p⇒ /q,故p不是q的充分条件.故选C.
14.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0,故选B.
15.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得{a2-b2=0,解得
ab=1,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.
评析 本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.
16.(2014北京理,5,5分)设{a}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{a}为递增数列”的( )
n n
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D 若q>1,则当a=-1时,a=-qn-1,{a}为递减数列,所以“q>1”⇒/ “{a}为递增数列”;若{a}为递增数
1 n n n n
列,则当a
n
=-(1) n 时,a
1
=-1,q=1<1,即“{a
n
}为递增数列”⇒/ “q>1”.故选D.
2 2 2
考点三 简单的逻辑联结词
1.(2017山东理,3,5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q
答案 B 本题主要考查复合命题真假的判断.
∵∀x>0,x+1>1,∴ln(x+1)>0,∴命题p为真命题;当b<a<0时,a2<b2,故命题q为假命题,由真值表可知B正确,故选
B.
2.(2014湖南理,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题
①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是 ( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案 C 由不等式性质知:命题p为真命题,命题q为假命题,从而¬p为假命题,¬q为真命题.故p∧q为假命
题,p∨q为真命题,p∧(¬q)为真命题,(¬p)∨q为假命题,故选C.
3.(2014辽宁理,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下
列命题中真命题是 ( )
A.p∨q B.p∧q
C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)
答案 A 由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.
4.(2014重庆文,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是
( )
A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q
答案 A 由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故¬q为真命题,所以p∧¬q为真命题.
5.(2013课标Ⅰ文,5,5分)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是 (
)
A.p∧q B.p∧q
C.p∧q D.p∧q
1 1
答案 B 对于命题p,由于x=-1时,2-1= > =3-1,所以是假命题,故p是真命题;
2 3
对于命题q,设f(x)=x3+x2-1,由于f(0)=-1<0, f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x3=1-x2,故命题
q是真命题.
综上,p∧q是真命题,故选B.
考点四 全称量词与特称量词
1.(2015课标Ⅰ理,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
