北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.7 函数与方程
【5 年高考】
考点 函数的零点与方程的根
1.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)={x3,x≥0,若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范
-x,x<0.
围是( )
A.( 1)∪(2 ,+∞)
-∞,- √2
2
B.( 1)∪(0,2 )
-∞,- √2
2
C.(-∞,0)∪(0,2√2)
D.(-∞,0)∪(2√2,+∞)
答案 D
{2√x,0≤x≤1,
2.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-1x+a(a∈R)恰有两个互异的
1
, x>1. 4
x
实数解,则a的取值范围为 ( )
A.[5 9] B.(5 9]
, ,
4 4 4 4
C.(5 9]∪{1} D.[5 9]∪{1}
, ,
4 4 4 4
答案 D
{
x, x<0,
3.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)= 若函数y=f(x)-ax-b恰有
1 1
x3- (a+1)x2+ax, x≥0.
3 2
3个零点,则 ( )
A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
答案 C
4.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)={ex,x≤0, g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是
lnx,x>0,
( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 C
5.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
答案 C
6.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象有且只有一个交点,则正实数
m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[2√3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,√2]∪[2√3,+∞) D.(0,√2]∪[3,+∞)
答案 B
7.(2018课标Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos( π)在[0,π]的零点个数为 .
3x+
6
答案 3
8.(2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)={ x2+2ax+a,x≤0, 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个
-x2+2ax-2a, x>0.
互异的实数解,则a的取值范围是 .
答案 (4,8)
9.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={ x-4, x≥λ, 当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是
x2-4x+3, x<λ.
.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 函数的零点与方程的根
1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)={2-|x|, x≤2,
函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个
(x-2)2, x>2,
数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)={|x-2|+1,x≥0,
函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)
3-x2, x<0.
与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.
6
2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)= -logx.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 ( )
2
x
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
6 3
答案 C ∵f(1)=6-log1=6>0, f(2)=3-log2=2>0,f(4)= -log4= -2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
2 2 2
4 2
3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( )
A.( 1 ) B.( 1)
- ,0 0,
4 4
C.(1 1) D.(1 3)
, ,
4 2 2 4
答案 C 显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的
零点一定落在区间( 3)内,又f(1)= -2<0, f(1)= -1>0.故选C.
0, √4 e √e
4 4 2
评析 本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.
4.(2016山东文,15,5分)已知函数f(x)={|x|, x≤m,
其中m>0.若存在实数b,使得关于x的
x2-2mx+4m, x>m,
方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
答案 (3,+∞)
解析 f(x)的图象如图所示,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.
方法总结 分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.
评析 本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.
5.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=
{x2+(4a-3)x+3a,x<0, (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x
恰有两个不相等
log (x+1)+1, x≥0 3
a
的实数解,则a的取值范围是 .
答案 [1 2)
,
3 3
4a-3
{- ≥0,
解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,∴ 2 解得1≤a≤3.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与
0<a<1, 3 4
3a≥1,
x
y=2- 的图象,如图所示.
3
x x
方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2- 的图象恰有两个交点,则需满足3a<2,
3 3
2 1 2
得a< ,综上可知, ≤a< .
3 3 3
4a-3
{- ≥0,
易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足 2 缺少条件是失分的一个原因;
0<a<1,
3a≥1,
(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这
类问题常用的方法.
评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两
个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.
6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f(x)={x3,x≤a,
若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值
x2,x>a.
范围是 .
答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
解析 当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x=-√b,x=√b.
1 2
当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.
当a>1时, f(x)的图象如图所示,
当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x=√3 b,x=√b.
1 2
综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
7.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)={ 2x-a, x<1,
4(x-a)(x-2a), x≥1.
①若a=1,则f(x)的最小值为 ;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
答案 ①-1 ②[1 )∪[2,+∞)
,1
2
解析 ①当a=1时, f(x)={ 2x-1,x<1, 其大致图象如图所示:
4(x-1)(x-2),x≥1,
由图可知f(x)的最小值为-1.
②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;
当0<a<1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时, f(x)有且只有一个零点,结合
1 1
图象可知,2a≥1,即a≥ ,则 ≤a<1;
2 2
当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时, f(x)有2个零点,
则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.
综上可知,满足条件的a的取值范围是[1 )∪[2,+∞).
,1
2
8.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sin xsin( π)-x2的零点个数为 .
x+
2
答案 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y=sin 2x与y=x2图象的交点个数,在
1 2
同一坐标系中画出y=sin 2x与y=x2的图象如图所示:
1 2
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
【3 年模拟】
时间:30分钟 分值:55分
一、单项选择题(每题5分,共35分)
1.(2019吉林长春外国语学校期中,4)函数f(x)=lg x-2x2+3的零点位于下列哪个区间( )
A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案 B
2.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第二次联考,12)设函数f(x)是定义在R上周期为2的函数,且对任
意的实数x,恒有f(x)-f(-x)=0.当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logx在x∈(0,+∞)上有且仅有三个零点,则a的
a
取值范围为 ( )
A.[3,5] B.[4,6] C.(3,5) D.(4,6)
答案 C
3.(2020广东揭阳三中第一次月考,5)若f(x)是奇函数,且x 是函数y=f(x)-ex的一个零点,则-x 一定是下列哪个函
0 0
数的零点 ( )
A.y=f(-x)e-x-1 B.y=f(x)e-x+1
C.y=f(x)ex+1 D.y=f(x)ex-1
答案 C
4.(2020宁夏银川一中第一次月考,12)已知定义在(0,+∞)上的单调函数f(x)满足∀x∈(0,+∞), f[f(x)-logx]=3,则
2
方程f(x)-f '(x)=2的解所在区间是 ( )
A.( 1) B.(1 ) C.(1,2) D.(2,3)
0, ,1
2 2
答案 C
5.(2020湖北黄冈模拟)求下列函数的零点,可以采用二分法的是 ( )
A. f(x)=x4 B. f(x)=tan x+2( π π)
- <x<
2 2
C. f(x)=cos x-1 D. f(x)=|2x-3|
答案 B
6.(2019山东枣庄八中10月月考,12)已知函数f(x)=|log|x-1||(a>0,且a≠1),若x<x<x<x,且f(x)=f(x)=f(x)=f(x),
a 1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1
则 + + + = ( )
x x x x
1 2 3 4
1
A.0 B.1 C.2 D.
2
答案 C
7.(2019皖南八校联考,12)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin Acos C<0, f(x)=ax+bx-cx,则下列结论
正确的个数是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
①△ABC是锐角三角形
②∀x∈(-∞,1),都有f(x)>0
③f(x)=0在区间(1,2)上有解
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
二、多项选择题(共5分)
8.(2021届山东滕州第一中学月考,12)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,
则下列结论正确的是( )
A.当x∈[-2,0]时,f(x)=2-x-1
B.f(2 019)=1
C.y=f(x)的图象关于点(2,0)对称
D.函数g(x)=f(x)-logx有3个零点
2
答案 ABD
三、填空题(每题5分,共15分)
9.(2020四川绵阳南山中学9月月考,14)已知函数f(x)={-x2+ax,x≤1,若∃x,x∈R,x≠x,使得f(x)=f(x)
1 2 1 2 1 2
ax-1,x>1,
成立,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,2)
1
{1- |1-x|,x≤2,
10.(2021届安徽“江淮十校”第二次质量检测)已知函数f(x)= 2 则函数
1
f (x-2),2<x≤6,
2
g(x)=xf(x)-1的零点个数是 .
答案 7
{
|2x-1|+1,x>0,
11.(2020江苏南京学情调研,4)已知函数f(x)=x3-3x2+1,g(x)= 若函数y=g(f(x))-a有6
1
- x2-x,x≤0.
4
个零点(互不相同),则实数a的取值范围为 .
答案 (3 )
,2
4
