北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§5.4 解三角形及其综合应用
【5 年高考】
考点一 正弦定理和余弦定理
2
1.(2020课标Ⅲ文,11,5分)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则tan B= ( )
3
A.√5 B.2√5 C.4√5 D.8√5
答案 C
C √5
2.(2018课标Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= ( )
2 5
A.4√2 B.√30 C.√29 D.2√5
答案 A
3.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
π 1
4.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则cos A= ( )
4 3
3√10 √10 √10 3√10
A. B. C.- D.-
10 10 10 10
答案 C
4 5
5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则b= .
5 13
21
答案
13
6.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c=
.
√21
答案 ;3
7
7.(2019浙江,14,6分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=
,cos∠ABD= .
12√2 7√2
答案 ;
5 10
8.(2020北京,17,13分)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)a的值;
(2)sin C和△ABC的面积.
1
条件①:c=7,cos A=- ;
7
1 9
条件②:cos A= ,cos B= .
8 16
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
9.(2019课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)若√2a+b=2c,求sin C.
10.(2018课标Ⅰ,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2√2,求BC.
11.(2019天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值;
(2)求sin( π)的值.
2B+
6
12.(2021新高考适应卷,18,12分)在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.
3
(1)若AB= ,求BC;
2
(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.
考点二 解三角形及其综合应用
13.(2020新高考Ⅰ,15,5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆
弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,
3
BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC= ,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半
5
径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
答案 ( 5π)
4+
2
14.(2020课标Ⅰ理,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=√3
,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= .
1
答案 -
4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
π
15.(2019课标Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B= ,则△ABC的面积为
3
.
答案 6√3
16.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是
,cos∠BDC= .
√15 √10
答案 ;
2 4
17.(2020课标Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
18.(2020新高考Ⅰ,17,10分)在①ac=√3,②csin A=3,③c=√3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若
问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
π
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=√3sin B,C= , ?
6
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(2020浙江,18,14分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-√3a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
20.(2020课标Ⅰ文,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=√3c,b=2√7,求△ABC的面积;
√2
(2)若sin A+√3sin C= ,求C.
2
21.(2020课标Ⅱ文,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π )+cos A=5.
+A
2 4
(1)求A;
√3
(2)若b-c= a,证明:△ABC是直角三角形.
3
a2
22.(2017课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为 .
3sinA
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
23.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos( π).
B-
6
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
[教师专用题组]
【5 年高考】北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
考点一 正弦定理和余弦定理
2
1.(2020课标Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= ( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
AC2+BC2-AB2 2 16+9-AB2 BA2+BC2-AC2
答案 A 由cos C= 得 = ,∴AB=3,∴cos B= =
2AC·BC 3 2×4×3 2BA·BC
9+9-16 1
= ,故选A.
2×3×3 9
a2+b2-c2
2.(2018课标Ⅲ,理9,文11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 ,则C=
4
( )
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
a2+b2-c2 2abcosC 1
答案 C 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为S = ,所以S = ,又S =
△ABC 4 △ABC 4 △ABC 2
π
absin C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C= .故选C.
4
3.(2017山东理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足
sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 ( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案 A 本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.
解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,
所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),
所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B,
即cos C(2sin B-sin A)=0,
所以cos C=0或2sin B=sin A,
即C=90°或2b=a,
又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.故选A.
解法二:由正弦定理和余弦定理得
b(
a2+b2-c2 )=2a×a2+b2-c2 +c×b2+c2-a2
,
1+
ab 2ab 2bc
所以2b2(
a2+b2-c2
)=a2+3b2-c2,
1+
ab
2b
即 (a2+b2-c2)=a2+b2-c2,
a
即(a2+b2-c2)(2b )=0,
-1
a
所以a2+b2=c2或2b=a,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a,故选A.
方法总结 解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运
用三角公式.
2
4.(2016课标Ⅰ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A= ,则b= ( )
3
A.√2 B.√3 C.2 D.3
答案 D 由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos A,∵cos A=2,∴3b2-8b-3=0,∴b=3( 1 ).故选D.
b=- 舍去
3 3
评析 本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.
π 1
5.(2016课标Ⅲ文,9,5分)在△ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则sin A= ( )
4 3
3 √10 √5 3√10
A. B. C. D.
10 10 5 10
a π π
答案 D 解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD= ,∵B= ,∴AD=BD,∠BAD= ,
3 4 4
a 2 DC
∴BD= ,DC= a,tan∠DAC= =2.
3 3 AD
π
tan +tan∠DAC
(π ) 4 1+2
∴tan∠BAC=tan +∠DAC = = =-3.
4 π 1-2
1-tan ·tan∠DAC
4
1 1 3√10
cos2∠BAC= = ,sin∠BAC=√1-cos2 ∠BAC= .故选D.
1+tan2 ∠BAC 10 10
a π a 2
解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD= ,∵B= ,∴AD=BD,∴BD=AD= ,DC= a,∴AC=
3 4 3 3
√5
√ (a) 2 (2 ) 2 √5 a a 3√10
+ a = a,在△ABC中,由正弦定理得 = 3 ,∴sin∠BAC= .故选D.
3 3 3 sin∠BAC 10
sin45°
评析 本题考查了三角函数和解三角形的能力,正确地画图对解题很有帮助.属中档题.
6.(2016山东文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A= ( )
3π π π π
A. B. C. D.
4 3 4 6
答案 C 在△ABC中,由b=c,得cos
A=b2+c2-a2=2b2-a2
,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan
2bc 2b2
π
A=1,又知A∈(0,π),所以A= ,故选C.
4
评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
√3
7.(2015广东文,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A= 且b<c,则b= (
2
)
A.3 B.2√2 C.2 D.√3
答案 C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2√3,∴b=2.选C.
1
8.(2014课标Ⅱ理,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC=√2,则AC= ( )
2
A.5 B.√5 C.2 D.1
1 1 1
答案 B S = AB·BCsin B= ×1×√2sin B= ,
△ABC
2 2 2
√2
∴sin B= ,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,
2
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2×1× ×( √2)=5,∴AC= .故选B.
√2 - √5
2
π π
9.(2013课标Ⅱ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B= ,C= ,则△ABC的面积为 (
6 4
)
A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1
b c
答案 B 由 = 及已知条件得c=2√2.
sinB sinC
1 √2 √3 √2 √2+√6 1 1 √2+√6
又sin A=sin(B+C)= × + × = .从而S = bcsin A= ×2×2√2× =√3+1.故选
2 2 2 2 4
△ABC
2 2 4
B.
10.(2013课标Ⅰ文,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=
( )
A.10 B.9 C.8 D.5
答案 D 由23cos2A+cos 2A=0得25cos2A=1,
1 12
因为A为锐角,所以cos A= .又由a2=b2+c2-2bccos A得49=b2+36- b,整理得5b2-12b-65=0,
5 5
13
解得b=- (舍)或b=5,故选D.
5
11.(2019课标Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .
3
答案 π
4
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.
在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,
∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0,
即tan B=-1,
3
又B∈(0,π),∴B= π.
4
12.(2017课标Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= .
答案 75°北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3 √6 √2
解析 由正弦定理得 = ,∴sin B= ,
sin60° sinB 2
又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.
√2
易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用b<c确定B=45°,从而求得A=75°.
2
13.(2017课标Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=
.
答案 60°
解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),
即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.
a2+c2-b2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 a2+c2-b2
解法二:由余弦定理得2b· =a· +c· ,即b· =b,所以a2+c2-
2ac 2ab 2bc ac
1
b2=ac,所以cos B= ,又0°<B<180°,所以B=60°.
2
思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.
2π b
14.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A= ,a=√3c,则 = .
3 c
答案 1
解析 在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cos A,
2π
将∠A= ,a=√3c代入,
3
可得( c)2=b2+c2-2bc·( 1),
√3 -
2
整理得2c2=b2+bc.
∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,
得2=b2 +bc,即2=(b) 2 +b.
c2 c2 c c
b
令t= (t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,
c
解得t=1或t=-2(舍去),
b
故 =1.
c
b
思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以 为变元的方程求解.
c
评析 本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.
15.(2015福建理,12,4分)若锐角△ABC的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
1 √3
解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及 bcsin A=10√3得sin A= ,因为A为锐角,所以
2 2
1 1
A=60°,cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40× =49,故a=7,即BC=7.
2 2
评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.
