北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.4 数列求和、数列的综合应用
【5 年高考】
考点一 数列求和
{n(n+1)}
1.(2020浙江,11,4分)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列
2
{n(n+1)}
就是二阶等差数列.数列 (n∈N*)的前3项和是 .
2
答案 10
2.(2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{a}满足a +(-1)na=3n-1,前16项和为540,则a= .
n n+2 n 1
答案 7
n 1
∑
3.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{a}的前n项和为S,a=3,S=10,则 = .
n n 3 4 S
k=1
k
2n
答案
n+1
4.(2016北京,12,5分)已知{a}为等差数列,S 为其前n项和.若a=6,a+a=0,则S= .
n n 1 3 5 6
答案 6
5.(2020课标Ⅰ理,17,12分)设{a}是公比不为1的等比数列,a 为a,a 的等差中项.
n 1 2 3
(1)求{a}的公比;
n
(2)若a=1,求数列{na}的前n项和.
1 n
6.(2020课标Ⅲ理,17,12分)设数列{a}满足a=3,a =3a-4n.
n 1 n+1 n
(1)计算a,a,猜想{a}的通项公式并加以证明;
2 3 n
(2)求数列{2na}的前n项和S.
n n
7.(2020天津,19,15分)已知{a}为等差数列,{b}为等比数列,a=b=1,a=5(a-a),b=4(b-b).
n n 1 1 5 4 3 5 4 3
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
(2)记{a}的前n项和为S,求证:SS
<S2
(n∈N*);
n n n n+2 n+1
(3a -2)b
{ n n ,n为奇数,
a a
n n+2
(3)对任意的正整数n,设c= 求数列{c}的前2n项和.
n a n
n-1,n为偶数.
b
n+1
8.(2016课标Ⅱ,17,12分)S 为等差数列{a}的前n项和,且a=1,S=28.记b=[lg a],其中[x]表示不超过x的最大
n n 1 7 n n
整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b,b ,b ;
1 11 101
(2)求数列{b}的前1 000项和.
n
9.(2017天津,18,13分)已知{a}为等差数列,前n项和为S(n∈N*),{b}是首项为2的等比数列,且公比大于
n n n
0,b+b=12,b=a-2a,S =11b.
2 3 3 4 1 11 4
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
(2)求数列{a b }的前n项和(n∈N*).
2n 2n-1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
10.(2016山东,18,12分)已知数列{a}的前n项和S=3n2+8n,{b}是等差数列,且a=b+b .
n n n n n n+1
(1)求数列{b}的通项公式;
n
(a +1)n+1
n
(2)令c= ,求数列{c}的前n项和T.
n (b +2)n n n
n
考点二 数列的综合应用
11.(2019课标Ⅱ,19,12分)已知数列{a}和{b}满足a=1,b=0,4a =3a-b+4,4b =3b-a-4.
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
(1)证明:{a+b}是等比数列,{a-b}是等差数列;
n n n n
(2)求{a}和{b}的通项公式.
n n
12.(2019天津,19,14分)设{a}是等差数列,{b}是等比数列.已知a=4,b=6,b=2a-2,b=2a+4.
n n 1 1 2 2 3 3
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
{1,2k<n<2k+1,
(2)设数列{c}满足c=1,c= 其中k∈N*.
n 1 n b ,n=2k,
k
a c
(i)求数列{ 2n( 2n -1)}的通项公式;
2n
(ii)求∑ac(n∈N*)
i i
i=1
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 数列的求和
1.(2017课标Ⅰ理,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求
满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( )
A.440 B.330 C.220 D.110
答案 A 本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.
不妨设1+(1+2)+…+(1+2+…+2n-1)+(1+2+…+2t)=2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n),
n(n+1)
则有N= +t+1,因为N>100,所以n≥13.
2
由等比数列的前n项和公式可得2n+1-n-2+2t+1-1=2m.
因为n≥13,所以2n>n+2,
所以2n+1>2n+n+2,即2n+1-n-2>2n,
因为2t+1-1>0,
所以2m>2n+1-n-2>2n,故m≥n+1,
因为2t+1-1≤2n+1-1,所以2m≤2n+2-n-3,故m≤n+1.
所以m=n+1,从而有n=2t+1-3,因为n≥13,所以t≥3.
当t=3时,N=95,不合题意;
当t=4时,N=440,满足题意,故所求N的最小值为440.
解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m=n+1.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
一题多解 本题也可以分别把N=110,220,330代入,利用排除法求解.
2.(2014课标Ⅱ文,5,5分)等差数列{a}的公差为2,若a,a,a 成等比数列,则{a}的前n项和S= ( )
n 2 4 8 n n
A.n(n+1) B.n(n-1)
n(n+1) n(n-1)
C. D.
2 2
答案 A ∵a,a,a 成等比数列,
2 4 8
∴a2
=a·a,即(a+3d)2=(a+d)(a+7d),
4 2 8 1 1 1
将d=2代入上式,解得a=2,
1
n(n-1)·2
∴S=2n+ =n(n+1),故选A.
n 2
3.(2012课标文,12,5分)数列{a}满足a +(-1)na=2n-1,则{a}的前60项和为 ( )
n n+1 n n
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
答案 D 当n=2k时,a +a =4k-1,
2k+1 2k
当n=2k-1时,a -a =4k-3,
2k 2k-1
∴a +a =2,∴a +a =2,
2k+1 2k-1 2k+1 2k+3
∴a =a ,
2k-1 2k+3
∴a=a=…=a .
1 5 61
30×(3+119)
∴a+a+a+…+a =(a+a)+(a+a)+…+(a +a )=3+7+11+…+(2×60-1)= =30×61=1 830.
1 2 3 60 2 3 4 5 60 61 2
{1 }
4.(2015江苏理,11,5分)设数列{a}满足a=1,且a -a=n+1(n∈N*),则数列 前10项的和为 .
n 1 n+1 n a
n
20
答案
11
解析 由已知得,a-a=1+1,a-a=2+1,a-a=3+1,……,a-a =n-1+1(n≥2),则有a-a=1+2+3+…+n-1+(n-1)(n≥2),
2 1 3 2 4 3 n n-1 n 1
n2+n n2+n
因为a=1,所以a=1+2+3+…+n(n≥2),即a= (n≥2),又当n=1时,a=1也适合上式,故a= (n∈N*),所
1 n n 1 n
2 2
1 2 (1 1 ) 1 1 1 1 ( 1) (1 1) (1 1)
以 = =2
-
,从而 + + +…+ =2×
1-
+2×
-
+2×
-
+…+2×
a n2+n n n+1 a a a a 2 2 3 3 4
n 1 2 3 10
( 1 1 ) ( 1 ) 20
-
=2×
1-
= .
10 11 11 11
5.(2018天津理,18,13分)设{a}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S(n∈N*),{b}是等差数列.已知
n n n
a=1,a=a+2,a=b+b,a=b+2b.
1 3 2 4 3 5 5 4 6
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
(2)设数列{S}的前n项和为T(n∈N*).
n n
(i)求T;
n
n (T +b )b 2n+2
(ii)证明∑ k k+2 k = -2(n∈N*).
(k+1)(k+2) n+2
k=1
解析 本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列
求和的基本方法和运算求解能力.
(1)设等比数列{a}的公比为q.
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
由a=1,a=a+2,可得q2-q-2=0.
1 3 2
因为q>0,可得q=2,故a=2n-1.
n
设等差数列{b}的公差为d.
n
由a=b+b,可得b+3d=4.
4 3 5 1
由a=b+2b,可得3b+13d=16,
5 4 6 1
从而b=1,d=1,故b=n.
1 n
所以,数列{a}的通项公式为a=2n-1,数列{b}的通项公式为b=n.
n n n n
1-2n
(2)(i)由(1),有S= =2n-1,
n 1-2
n n 2×(1-2n)
故T=∑(2k-1)=∑2k-n=
-n=2n+1-n-2.
n 1-2
k=1 k=1
(T +b )b (2k+1-k-2+k+2)k
k k+2 k
(ii)证明:因为 =
(k+1)(k+2) (k+1)(k+2)
k·2k+1 2k+2 2k+1 n (T +b )b (23 22 ) (24 23 )
= = - ,所以,∑ k k+2 k = - + - +…+
(k+1)(k+2) k+2 k+1 (k+1)(k+2) 3 2 4 3
k=1
(2n+2 2n+1
)
2n+2
- = -2.
n+2 n+1 n+2
方法总结 解决数列求和问题的两种思路
(1)利用转化的思想将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来
完成.
(2)不能转化为等差或等比数列的,往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和.
6.(2017课标Ⅲ文,17,12分)设数列{a}满足a+3a+…+(2n-1)a=2n.
n 1 2 n
(1)求{a}的通项公式;
n
{ a }
n
(2)求数列 的前n项和.
2n+1
解析 (1)因为a+3a+…+(2n-1)a=2n,故当n≥2时,
1 2 n
a+3a+…+(2n-3)a =2(n-1).
1 2 n-1
两式相减得(2n-1)a=2.
n
2
所以a= (n≥2).
n 2n-1
又由题设可得a=2,
1
2
从而{a}的通项公式为a= (n∈N*).
n n 2n-1
{ a }
n
(2)记 的前n项和为S.
2n+1 n
a 2 1 1
n
由(1)知 = = - .
2n+1 (2n+1)(2n-1) 2n-1 2n+1
1 1 1 1 1 1 2n
则S= - + - +…+ - = .
n 1 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
思路分析 (1)条件a+3a+…+(2n-1)a=2n的实质就是数列{(2n-1)a}的前n项和,故可利用a 与S 的关系求解.
1 2 n n n n
(2)利用(1)求得的{a}的通项公式,然后用裂项相消法求和.
n
易错警示 (1)要注意n=1时,是否符合所求得的通项公式;(2)裂项相消后,注意留下了哪些项,避免遗漏.
7.(2017山东理,19,12分)已知{x}是各项均为正数的等比数列,且x+x=3,x-x=2.
n 1 2 3 2
(1)求数列{x}的通项公式;
n
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P(x,1),P(x,2),…,P (x ,n+1)得到折线PP…P ,求由该折线
1 1 2 2 n+1 n+1 1 2 n+1
与直线y=0,x=x,x=x 所围成的区域的面积T.
1 n+1 n
解析 本题考查等比数列基本量的计算,错位相减法求和.
(1)设数列{x}的公比为q,由已知知q>0.
n
{ x +x q=3,
1 1
由题意得
x q2-x q=2.
1 1
所以3q2-5q-2=0.
因为q>0,
所以q=2,x=1.
1
因此数列{x}的通项公式为x=2n-1.
n n
(2)过P,P,…,P 向x轴作垂线,垂足分别为Q,Q,…,Q .
1 2 n+1 1 2 n+1
由(1)得x -x=2n-2n-1=2n-1,
n+1 n
记梯形PP Q Q 的面积为b,
n n+1 n+1 n n
(n+n+1)
由题意b= ×2n-1=(2n+1)×2n-2,
n 2
所以T=b+b+…+b
n 1 2 n
=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2,①
2T
n
=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.②
①-②得
-T=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1
n
3 2(1-2n-1)
= + -(2n+1)×2n-1.
2 1-2
(2n-1)×2n+1
所以T= .
n 2
解题关键 记梯形PP Q Q 的面积为b,以几何图形为背景确定{b}的通项公式是关键.
n n+1 n+1 n n n
方法总结 一般地,如果{a}是等差数列,{b}是等比数列,求数列{a·b}的前n项和时,可采用错位相减法.在写
n n n n
“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S-qS”的表达式.
n n n n
8.(2016课标Ⅱ文,17,12分)等差数列{a}中,a+a=4,a+a=6.
n 3 4 5 7
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)设b=[a],求数列{b}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
n n n
解析 (1)设数列{a}的公差为d,由题意有2a+5d=4,a+5d=3.
n 1 1
2
解得a=1,d= . (3分)
1 5北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2n+3
所以{a}的通项公式为a= . (5分)
n n 5
[2n+3]
(2)由(1)知,b= . (6分)
n 5
2n+3
当n=1,2,3时,1≤ <2,b=1;
5 n
2n+3
当n=4,5时,2≤ <3,b=2;
5 n
2n+3
当n=6,7,8时,3≤ <4,b=3;
5 n
2n+3
当n=9,10时,4≤ <5,b=4. (10分)
5 n
所以数列{b}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24. (12分)
n
评析 本题考查了等差数列,同时对考生的创新能力进行了考查,充分理解[x]的意义是解题的关键.
9.(2016浙江文,17,15分)设数列{a}的前n项和为S.已知S=4,a =2S+1,n∈N*.
n n 2 n+1 n
(1)求通项公式a;
n
(2)求数列{|a-n-2|}的前n项和.
n
{a +a =4, {a =1,
1 2 1
解析 (1)由题意得 则
a =2a +1, a =3.
2 1 2
又当n≥2时,由a -a=(2S+1)-(2S +1)=2a,
n+1 n n n-1 n
得a =3a.
n+1 n
所以,数列{a}的通项公式为a=3n-1,n∈N*.
n n
(2)设b=|3n-1-n-2|,n∈N*,则b=2,b=1.
n 1 2
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故b=3n-1-n-2,n≥3.
n
设数列{b}的前n项和为T,则T=2,T=3.
n n 1 2
9(1-3n-2) (n+7)(n-2) 3n-n2-5n+11
当n≥3时,T=3+ - = ,
n 1-3 2 2
{
2, n=1,
所以T n =
3n-n2-5n+11
,n≥2,n∈N*.
2
易错警示 (1)当n≥2时,得出a =3a,要注意a 与a 是否满足此关系式.
n+1 n 1 2
(2)在去掉绝对值时,要考虑n=1,2时的情形.在求和过程中,要注意项数,最后T 要写成分段函数的形式.
n
10.(2016北京文,15,13分)已知{a}是等差数列,{b}是等比数列,且b=3,b=9,a=b,a =b.
n n 2 3 1 1 14 4
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)设c=a+b,求数列{c}的前n项和.
n n n n
b 9
3
解析 (1)等比数列{b}的公比q= = =3, (1分)
n b 3
2
b
2
所以b= =1,b=bq=27. (3分)
1 q 4 3
设等差数列{a}的公差为d.
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
因为a=b=1,a =b=27,
1 1 14 4
所以1+13d=27,即d=2. (5分)
所以a=2n-1(n=1,2,3,…). (6分)
n
(2)由(1)知,a=2n-1,b=3n-1.
n n
因此c=a+b=2n-1+3n-1. (8分)
n n n
从而数列{c}的前n项和
n
S=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
n
n(1+2n-1) 1-3n
= +
2 1-3
3n-1
=n2+ . (13分)
2
规范解答 要规范解答过程,分步书写,这样可按步得分.
11.(2016天津理,18,13分)已知{a}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b 是a 和a 的等比
n n n n+1
中项.
(1)设c=b2 -b2
,n∈N*,求证:数列{c}是等差数列;
n n+1 n n
2n n 1 1
(2)设a=d,T=∑(-1)kb2
,n∈N*,求证:
∑
< .
1 n
k=1
k
k=1
T
k
2d2
解析
(1)证明:由题意得b2
=aa
,有c=b2 -b2
=a ·a -aa =2da ,因此c -c=2d(a -a )=2d2,
n n n+1 n n+1 n n+1 n+2 n n+1 n+1 n+1 n n+2 n+1
所以{c}是等差数列.
n
(2)证明:T=(-b2 +b2 )+(-b2 +b2 )+…+(-b2 +b2
)
n 1 2 3 4 2n-1 2n
=2d(a+a+…+a )
2 4 2n
n(a +a )
=2d· 2 2n =2d2n(n+1).
2
所以
∑ n 1
=
1 ∑ n 1
=
1 ∑ n (1 - 1 )
=
1
·
( 1- 1 )
<
1
.
k=1 T
k
2d2 k=1 k(k+1) 2d2 k=1 k k+1 2d2 n+1 2d2
评析 本小题主要考查等差数列及其前n项和公式、等比中项等基础知识.考查数列求和的基本方法、推
理论证能力和运算求解能力.
1 1 2
12.(2016天津,18,13分)已知{a}是等比数列,前n项和为S(n∈N*),且 - = ,S=63.
n n a a a 6
1 2 3
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)若对任意的n∈N*,b 是loga 和loga
的等差中项,求数列{(-1)nb2
}的前2n项和.
n 2 n 2 n+1 n
1 1 2
解析 (1)设数列{a}的公比为q.由已知,有 - = ,解得q=2,或q=-1.
n a a q a q2
1 1 1
1-q6 1-26
又由S=a· =63,知q≠-1,所以a· =63,得a=1.所以a=2n-1.
6 1 1-q 1 1-2 1 n
1 1 1
(2)由题意,得b= (loga+loga )= (log2n-1+log2n)=n- ,
n 2 2 n 2 n+1 2 2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1
即{b}是首项为 ,公差为1的等差数列.
n 2
设数列{(-1)nb2
}的前n项和为T,则
n n
T
=(-b2 +b2 )+(-b2 +b2 )+…+(-b2 +b2
)
2n 1 2 3 4 2n-1 2n
2n(b +b )
1 2n
=b+b+b+b+…+b +b = =2n2.
1 2 3 4 2n-1 2n 2
评析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求
解能力.
13.(2015福建文,17,12分)等差数列{a}中,a=4,a+a=15.
n 2 4 7
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)设b n =2a n -2+n,求b 1 +b 2 +b 3 +…+b 10 的值.
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d.
n
{ a +d=4,
1
由已知得
(a +3d)+(a +6d)=15,
1 1
{a =3,
1
解得
d=1.
所以a=a+(n-1)d=n+2.
n 1
(2)由(1)可得b=2n+n.
n
所以b+b+b+…+b =(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
1 2 3 10
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
2(1-210) (1+10)×10
= +
1-2 2
=(211-2)+55
=211+53=2 101.
评析 本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.
14.(2015课标Ⅰ理,17,12分)S
为数列{a}的前n项和.已知a>0,a2
+2a=4S+3.
n n n n n n
(1)求{a}的通项公式;
n
1
(2)设b= ,求数列{b}的前n项和.
n a a n
n n+1
解析
(1)由a2 +2a=4S+3,可知a2
+2a =4S +3.
n n n n+1 n+1 n+1
可得a2 -a2
+2(a -a)=4a ,即
n+1 n n+1 n n+1
2(a
+a)=a2 -a2
=(a +a)(a -a).
n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n
由于a>0,可得a -a=2.
n n+1 n
又a2
+2a=4a+3,解得a=-1(舍去)或a=3.
1 1 1 1 1
所以{a}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a=2n+1. (6分)
n n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)由a=2n+1可知
n
1 1 1( 1 1 )
-
b= = = .
n a a (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
设数列{b}的前n项和为T,则
n n
T=b+b+…+b
n 1 2 n
1[(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
- + - +…+ -
=
2 3 5 5 7 2n+1 2n+3
n
= .(12分)
3(2n+3)
15.(2015安徽文,18,12分)已知数列{a}是递增的等比数列,且a+a=9,aa=8.
n 1 4 2 3
(1)求数列{a}的通项公式;
n
a
n+1
(2)设S 为数列{a}的前n项和,b= ,求数列{b}的前n项和T.
n n n S S n n
n n+1
解析 (1)由题设知a·a=a·a=8,
1 4 2 3
{a =1, {a =8,
1 1
又a+a=9,可解得 或 (舍去).
1 4 a =8 a =1
4 4
由a=aq3得公比为q=2,故a=aqn-1=2n-1.
4 1 n 1
a (1-qn) a S -S 1 1
(2)S= 1 =2n-1,又b= n+1 = n+1 n = - ,
n 1-q n S S S S S S
n n+1 n n+1 n n+1
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
- - -
所以T=b+b+…+b= + +…+ = -
n 1 2 n S S S S S S S S
1 2 2 3 n n+1 1 n+1
1
=1- .
2n+1-1
评析 本题考查等比数列通项公式及等比数列性质,等比数列求和.
16.(2015天津理,18,13分)已知数列{a}满足a =qa(q为实数,且q≠1),n∈N*,a=1,a=2,且a+a,a+a,a+a 成
n n+2 n 1 2 2 3 3 4 4 5
等差数列.
(1)求q的值和{a}的通项公式;
n
log a
2 2n
(2)设b= ,n∈N*,求数列{b}的前n项和.
n a n
2n-1
解析 (1)由已知,有(a+a)-(a+a)=(a+a)-(a+a),即a-a=a-a,
3 4 2 3 4 5 3 4 4 2 5 3
所以a(q-1)=a(q-1).又因为q≠1,故a=a=2,
2 3 3 2
由a=a·q,得q=2.
3 1
n-1
当n=2k-1(k∈N*)时,a n =a 2k-1 =2k-1= 2 2 ;
n
当n=2k(k∈N*)时,a
n
=a
2k
=2k= 22.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
n-1
{
2 2 ,n为奇数,
所以,{a}的通项公式为a=
n n n
22,n为偶数.
log a n 1 1 1 1 1
2 2n
(2)由(1)得b= = .设{b}的前n项和为S,则S=1× +2× +3× +…+(n-1)× +n× ,
n a 2n-1 n n n 20 21 22 2n-2 2n-1
2n-1
1 1 1 1 1 1
S=1× +2× +3× +…+(n-1)× +n× ,
2 n 21 22 23 2n-1 2n
上述两式相减,得
1
1-
1 1 1 1 n 2n n 2 n
S=1+ + +…+ - = - =2- - ,
2 n 2 22 2n-1 2n 1 2n 2n 2n
1-
2
n+2
整理得,S=4- .
n 2n-1
n+2
所以,数列{b}的前n项和为4- ,n∈N*.
n 2n-1
评析 本题主要考查等比数列及其前n项和公式、等差中项等基础知识.考查数列求和的基本方法、分类
讨论思想和运算求解能力.
{ 1 } n
17.(2015山东文,19,12分)已知数列{a}是首项为正数的等差数列,数列 的前n项和为 .
n a ·a 2n+1
n n+1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)设b
n
=(a
n
+1)·2a n,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
解析 (1)设数列{a}的公差为d.
n
1 1
令n=1,得 = ,
a a 3
1 2
所以aa=3.
1 2
1 1 2
令n=2,得 + = ,
a a a a 5
1 2 2 3
所以aa=15.
2 3
解得a=1,d=2,
1
所以a=2n-1.
n
(2)由(1)知b=2n·22n-1=n·4n,
n
所以T=1·41+2·42+…+n·4n,
n
所以4T=1·42+2·43+…+n·4n+1,
n
两式相减,得-3T=41+42+…+4n-n·4n+1
n
4(1-4n)
= -n·4n+1
1-4
1-3n 4
= ×4n+1- .
3 3
3n-1 4 4+(3n-1)4n+1
所以T= ×4n+1+ = .
n 9 9 9北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1 1
18.(2015浙江文,17,15分)已知数列{a}和{b}满足a=2,b=1,a =2a(n∈N*),b+ b+ b+…+ b=b -
n n 1 1 n+1 n 1 2 2 3 3 n n n+1
1(n∈N*).
(1)求a 与b;
n n
(2)记数列{ab}的前n项和为T,求T.
n n n n
解析 (1)由a=2,a =2a,得a=2n(n∈N*).
1 n+1 n n
由题意知:
当n=1时,b=b-1,故b=2.
1 2 2
1 b b
n+1 n
当n≥2时, b=b -b,整理得 = ,
n n n+1 n n+1 n
所以b=n(n∈N*).
n
(2)由(1)知ab=n·2n,
n n
因此T=2+2·22+3·23+…+n·2n,
n
2T=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
n
所以T-2T=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
n n
故T=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
n
评析 本题主要考查数列的通项公式,等差和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及
推理论证能力.
19.(2015天津文,18,13分)已知{a}是各项均为正数的等比数列,{b}是等差数列,且a=b=1,b+b=2a,a-3b=7.
n n 1 1 2 3 3 5 2
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
(2)设c=ab,n∈N*,求数列{c}的前n项和.
n n n n
{2q2-3d=2,
解析 (1)设数列{a}的公比为q,数列{b}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有 消去d,整理得
n n q4-3d=10,
q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.
所以数列{a}的通项公式为a=2n-1,n∈N*;数列{b}的通项公式为b=2n-1,n∈N*.
n n n n
(2)由(1)有c=(2n-1)·2n-1,设{c}的前n项和为S,则
n n n
S=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,
n
2S=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,
n
上述两式相减,得-S=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,
n
所以,S=(2n-3)·2n+3,n∈N*.
n
评析 本小题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运
算求解能力.
20.(2015湖北文,19,12分)设等差数列{a}的公差为d,前n项和为S,等比数列{b}的公比为q.已知
n n n
b=a,b=2,q=d,S =100.
1 1 2 10
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
a
n
(2)当d>1时,记c= ,求数列{c}的前n项和T.
n b n n
n
{10a +45d=100, {2a +9d=20,
1 1
解析 (1)由题意有, 即
a d=2, a d=2,
1 1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1
{a =1,
{a
1
=9,
{a =2n-1,
{a
n
=
9
(2n+79),
解得 d 1 =2, 或 d= 2 . 故 b n =2n-1, 或 (2) n-1
9 n b =9· .
n 9
2n-1
(2)由d>1,知a=2n-1,b=2n-1,故c= ,
n n n 2n-1
3 5 7 9 2n-1
于是T
n
=1+
2
+
22
+
23
+
24
+…+
2n-1
,①
1 1 3 5 7 9 2n-1
2
T
n
=
2
+
22
+
23
+
24
+
25
+…+
2n
.②
①-②可得
1 1 1 1 2n-1 2n+3
T=2+ + +…+ - =3- ,
2 n 2 22 2n-2 2n 2n
2n+3
故T=6- .
n 2n-1
n2+n
21.(2014湖南文,16,12分)已知数列{a}的前n项和S= ,n∈N*.
n n
2
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)设b
n
=2a n+(-1)na
n
,求数列{b
n
}的前2n项和.
解析 (1)当n=1时,a=S=1;
1 1
n2+n (n-1)2+(n-1)
当n≥2时,a=S-S = - =n.
n n n-1
2 2
故数列{a}的通项公式为a=n.
n n
(2)由(1)知,b=2n+(-1)nn,记数列{b}的前2n项和为T ,则T =(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
n n 2n 2n
2(1-22n)
记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A= =22n+1-2,
1-2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{b}的前2n项和T =A+B=22n+1+n-2.
n 2n
评析 本题考查数列的前n项和与通项的关系,数列求和等知识,含有(-1)n的数列求和要注意运用分组求和
的方法.
22.(2014北京文,15,13分)已知{a}是等差数列,满足a=3,a=12,数列{b}满足b=4,b=20,且{b-a}为等比数列.
n 1 4 n 1 4 n n
(1)求数列{a}和{b}的通项公式;
n n
(2)求数列{b}的前n项和.
n
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,由题意得
n
a -a 12-3
4 1
d= = =3.
3 3
所以a=a+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
n 1
设等比数列{b-a}的公比为q,由题意得
n n
b -a 20-12
4 4
q3= = =8,解得q=2.
b -a 4-3
1 1
所以b-a=(b-a)qn-1=2n-1.
n n 1 1
从而b=3n+2n-1(n=1,2,…).
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)由(1)知b=3n+2n-1(n=1,2,…).
n
3 1-2n
数列{3n}的前n项和为 n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1× =2n-1.
2 1-2
3
所以数列{b}的前n项和为 n(n+1)+2n-1.
n 2
评析 本题主要考查等差数列与等比数列通项公式及前n项和公式,考查数列综合应用.属基础题.
23.(2014大纲全国理,18,12分)等差数列{a}的前n项和为S.已知a=10,a 为整数,且S≤S.
n n 1 2 n 4
(1)求{a}的通项公式;
n
1
(2)设b= ,求数列{b}的前n项和T.
n a a n n
n n+1
解析 (1)由a=10,a 为整数知,等差数列{a}的公差d为整数.
1 2 n
又S≤S,故a≥0,a≤0,
n 4 4 5
于是10+3d≥0,10+4d≤0.
10 5
解得- ≤d≤- .
3 2
因此d=-3.
数列{a}的通项公式为a=13-3n. (6分)
n n
1 1( 1 1 )
(2)b= = - . (8分)
n (13-3n)(10-3n) 3 10-3n 13-3n
于是T=b+b+…+b
n 1 2 n
1[(1 1 ) (1 1) ( 1 1 )]
- + - +…+ -
=
3 7 10 4 7 10-3n 13-3n
1( 1 1 ) n
-
= = . (12分)
3 10-3n 10 10(10-3n)
评析 本题考查了等差数列的定义及其前n项和、裂项相消法求数列前n项和.第(1)问的解题关键在于分
1
析已知条件“a 为整数”“S≤S”所隐含的条件;在第(2)问中,对通项公式b 进行裂项过程中易漏了系数
2 n 4 n 3
而导致错解.
24.(2014山东理,19,12分)已知等差数列{a}的公差为2,前n项和为S,且S,S,S 成等比数列.
n n 1 2 4
(1)求数列{a}的通项公式;
n
4n
(2)令b=(-1)n-1 ,求数列{b}的前n项和T.
n a a n n
n n+1
2×1
解析 (1)因为S=a,S=2a+ ×2=2a+2,
1 1 2 1 2 1
4×3
S=4a+ ×2=4a+12,
4 1 2 1
由题意得(2a+2)2=a(4a+12),
1 1 1
解得a=1,
1
所以a=2n-1.
n
4n 4n
(2)b=(-1)n-1 =(-1)n-1
n a a (2n-1)(2n+1)
n n+1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
( 1 1 )
=(-1)n-1 + .
2n-1 2n+1
当n为偶数时,
( 1)(1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 )
T=
1+
-
+
+…+
+
-
+
n 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1
1
=1-
2n+1
2n
= .
2n+1
当n为奇数时,
( 1)(1 1) 1 1 1 1 1 2n+2
1+ +
T= - +…- + + + =1+ = .
n 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1
2n+2
{ ,n为奇数,
2n+1
所以T=
n 2n
,n为偶数.
2n+1
(
2n+1+(-1)n-1
)
或T =
n 2n+1
评析 本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式和数列的求和,同时考查分类讨论的思想、运算求解能
力和逻辑推理能力.
25.(2014课标Ⅰ文,17,12分)已知{a}是递增的等差数列,a,a 是方程x2-5x+6=0的根.
n 2 4
(1)求{a}的通项公式;
n
{a }
n
(2)求数列 的前n项和.
2n
解析 (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a=2,a=3.
2 4
1 3
设数列{a}的公差为d,则a-a=2d,故d= ,从而a= .
n 4 2 2 1 2
1
所以{a}的通项公式为a= n+1.
n n 2
{a } a n+2
n n
(2)设 的前n项和为S,由(1)知 = ,则
2n n 2n 2n+1
3 4 n+1 n+2
S= + +…+ + ,
n 22 23 2n 2n+1
1 3 4 n+1 n+2
S= + +…+ + .
2 n 23 24 2n+1 2n+2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 3 ( 1 1 ) n+2
+…+
两式相减得 S= + -
2 n 4 23 2n+1 2n+2
3 1( 1 ) n+2
1-
= + - .
4 4 2n-1 2n+2
n+4
所以S=2- .
n 2n+1
评析 本题考查等差数列及用错位相减法求数列的前n项和,第(1)中由条件求首项、公差,进而求出结论是
基本题型,第(2)问中,运算准确是关键.
26.(2014安徽文,18,12分)数列{a}满足a=1,na =(n+1)a+n(n+1),n∈N*.
n 1 n+1 n
{a }
n
(1)证明:数列 是等差数列;
n
(2)设b=3n·√a ,求数列{b}的前n项和S.
n n n n
a a a a
n+1 n n+1 n
解析 (1)证明:由已知可得 = +1,即 - =1.
n+1 n n+1 n
{a } a
n 1
所以 是以 =1为首项,1为公差的等差数列.
n 1
a
(2)由(1)得 n =1+(n-1)·1=n,所以a=n2.
n
n
从而b=n·3n.
n
S n =1·31+2·32+3·33+…+n·3n, ①
3S n =1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1. ②
①-②得-2S
n
=31+32+…+3n-n·3n+1
3·(1-3n) (1-2n)·3n+1-3
= -n·3n+1= .
1-3 2
(2n-1)·3n+1+3
所以S= .
n 4
评析 本题考查等差数列定义的应用,错位相减法求数列的前n项和,解题时利用题(1)提示对递推关系进行
变形是关键.
27.(2014山东文,19,12分)在等差数列{a}中,已知公差d=2,a 是a 与a 的等比中项.
n 2 1 4
(1)求数列{a}的通项公式;
n
a
(2)设b= n(n+1),记T=-b+b-b+b-…+(-1)nb,求T.
n n 1 2 3 4 n n
2
解析 (1)由题意知(a+d)2=a(a+3d),
1 1 1
即(a+2)2=a(a+6),
1 1 1
解得a=2,
1
所以数列{a}的通项公式为a=2n.
n n
a
(2)由题意知b= n(n+1)=n(n+1).
n
2
所以T=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1).
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
因为b -b=2(n+1),
n+1 n
所以当n为偶数时,
T=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b +b)
n 1 2 3 4 n-1 n
=4+8+12+…+2n
n
(4+2n)
=2
2
n(n+2)
= ,
2
当n为奇数时,
T=T +(-b)
n n-1 n
(n-1)(n+1)
= -n(n+1)
2
(n+1)2
=- .
2
{
(n+1)2
- ,n为奇数,
2
所以T=
n n(n+2)
,n为偶数.
2
评析 本题考查等比数列和等差数列的综合应用、等差数列的通项公式及数列的求和,分类讨论思想和逻
辑推理能力.
28.(2013课标Ⅰ文,17,12分)已知等差数列{a}的前n项和S 满足S=0,S=-5.
n n 3 5
(1)求{a}的通项公式;
n
{ 1 }
(2)求数列 的前n项和.
a a
2n-1 2n+1
n(n-1)
解析 (1)设{a}的公差为d,则S=na+ d.
n n 1 2
{ 3a +3d=0,
1
由已知可得 解得a=1,d=-1.
5a +10d=-5. 1
1
故{a}的通项公式为a=2-n.
n n
1 1 1( 1 1 )
-
(2)由(1)知 = = ,
a a (3-2n)(1-2n) 2 2n-3 2n-1
2n-1 2n+1
{ 1 }
从而数列 的前n项和为
a a
2n-1 2n+1
1 1 1 1 1 1 1 n
2 -1
-
1
+
1
-
3
+…+
2n-3
-
2n-1
=
1-2n
.
评析 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算求解能力与方程
思想.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
29.(2011课标理,17,12分)等比数列{a}的各项均为正数,且2a+3a=1,a2
=9aa.
n 1 2 3 2 6
(1)求数列{a}的通项公式;
n
{1 }
(2)设b=loga+loga+…+loga,求数列 的前n项和.
n 3 1 3 2 3 n b
n
1
解析
(1)设数列{a}的公比为q.由a2
=9aa
得a2 =9a2
,所以q2= .
n 3 2 6 3 4 9
1
由条件可知q>0,故q= .
3
1
由2a+3a=1得2a+3aq=1,所以a= .
1 2 1 1 1 3
1
故数列{a}的通项公式为a= .
n n 3n
(2)b=loga+loga+…+loga=-(1+2+…+n)
n 3 1 3 2 3 n
n(n+1)
=- .
2
1 2 (1 1 )
-
故 =- =-2 ,
b n(n+1) n n+1
n
1 1 1 ( 1) (1 1) (1 1 ) 2n
1- - -
+ +…+ =-2 + +…+ =- .
b b b 2 2 3 n n+1 n+1
1 2 n
{1 } 2n
所以数列 的前n项和为- .
b n+1
n
评析 本题主要考查等比数列的通项公式以及裂项求和的基本方法,属容易题.
考点二 数列的综合应用
1.(2019浙江,10,4分)设a,b∈R,数列{a}满足a=a,a
=a2
+b,n∈N*,则 ( )
n 1 n+1 n
1 1
A.当b= 时,a >10 B.当b= 时,a >10
2 10 4 10
C.当b=-2时,a >10 D.当b=-4时,a >10
10 10
答案 A 本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理运算能力;考查
的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用.
令a
=a,即a2 +b=a,即a2
-a+b=0,若有解,
n+1 n n n n n
1
则Δ=1-4b≥0,即b≤ ,
4
1 1±√1-4b
∴当b≤ 时,a= ,n∈N*,
4 n 2
1 1+√1-4b 1-√1-4b
即存在b≤ ,且a= 或 ,使数列{a}为常数列,
4 2 2 n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1-√1-4b
B、C、D选项中,b≤ 成立,故存在a= <10,
4 2
1-√1-4b
使a= (n∈N*),排除B、C、D.
n 2
对于A,∵b=
1
,∴a=a2
+
1
≥
1
,a=a2
+
1
≥
(1) 2
+
1
=
3
,a≥
(3) 2
+
1
=
17
,
2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 4 4 4 2 16
(17) 2 (17) 4 (17) 64
∴a> ,a> ,…,a > ,
5 16 6 16 10 16
而
(17) 64
=
( 1+ 1 ) 64 =1+C1
×
1 +C2
×
( 1 ) 2
+…=1+4+
63
+…>10.故a >10.
16 16 64 16 64 16 8 10
2.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构
成一个数列{a}.记S 为数列{a}的前n项和,则使得S>12a 成立的n的最小值为 .
n n n n n+1
答案 27
解析 本题考查数列的插项问题.
设A=2n-1,B=2n,n∈N*,
n n
当A<B<A (k,l∈N*)时,
k l k+1
1 1
2k-1<2l<2k+1,有k- <2l-1<k+ ,则k=2l-1,
2 2
A
设T
l
=A
1
+A
2
+…+ 2l-1+B
1
+B
2
+…+B
l
,
则共有k+l=2l-1+l个数,即T l = S 2l-1+l ,
2×1-1+2l-1
而A 1 +A 2 +…+ A 2l-1 = 2 ×2l-1=22l-2,
2(1-2l)
B+B+…+B= =2l+1-2.
1 2 l 1-2
则T=22l-2+2l+1-2,则l,T,n,a 的对应关系为
l l n+1
l T n a 12a
l n+1 n+1
1 3 2 3 36
2 10 4 5 60
3 30 7 9 108
4 94 12 17 204
5 318 21 33 396
6 1 150 38 65 780
观察到l=5时,T=S <12a ,l=6,T=S >12a ,
l 21 22 l 38 39
则n∈[22,38),n∈N*时,存在n,使S≥12a ,
n n+1
此时T=A+A+…+A +B+B+B+B+B,
5 1 2 16 1 2 3 4 5
(n-22+1)(A +A )
则当n∈[22,38),n∈N*时,S=T+
22-5 n-5
=n2-10n+87.
n 5
2
a =A =A ,
n+1 n+1-5 n-4
12a =12[2(n-4)-1]=24n-108,
n+1
S-12a =n2-34n+195=(n-17)2-94,
n n+1
则n≥27时,S-12a >0,即n =27.
n n+1 min北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2015福建文,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序
后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .
答案 9
解析 依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由题意可知
ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,
将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5,则p=5,故
p+q=9.
评析 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查函数与方程思想、化归与转化思想.
4.(2014安徽理,12,5分)数列{a}是等差数列,若a+1,a+3,a+5构成公比为q的等比数列,则q= .
n 1 3 5
答案 1
解析 设{a}的公差为d,则a+3=a+1+2d+2,a+5=a+1+4d+4,由题意可得(a+3)2=(a+1)(a+5).
n 3 1 5 1 3 1 5
∴[(a+1)+2(d+1)]2=(a+1)[(a+1)+4(d+1)],
1 1 1
∴(a
1
+1)2+4(d+1)(a
1
+1)+[2(d+1)]2=(a
1
+1)2+4(a
1
+1)(d+1),∴d=-1,∴a
3
+3=a
1
+1,∴公比q= a
3
+3 =1.
a +1
1
5.(2019课标Ⅱ文,18,12分)已知{a}是各项均为正数的等比数列,a=2,a=2a+16.
n 1 3 2
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)设b=loga,求数列{b}的前n项和.
n 2 n n
解析 本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体现了数学运算
的核心素养.
(1)设{a}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.
n
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{a}的通项公式为a=2×4n-1=22n-1.
n n
(2)由(1)得b=(2n-1)log2=2n-1,因此数列{b}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
n 2 n
6.(2019天津文,18,13分)设{a}是等差数列,{b}是等比数列,公比大于0.已知a=b=3,b=a,b=4a+3.
n n 1 1 2 3 3 2
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
{1,n为奇数,
(2)设数列{c n }满足c n = b ,n为偶数.求a 1 c 1 +a 2 c 2 +…+a 2n c 2n (n∈N*).
n
2
解析 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基
本方法和运算求解能力,体现了数学运算素养.满分13分.
(1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b}的公比为q.
n n
依题意,得{ 3q=3+2d, 解得{d=3,
3q2=15+4d, q=3,
故a=3+3(n-1)=3n,b=3×3n-1=3n.
n n
所以,{a}的通项公式为a=3n,{b}的通项公式为b=3n.
n n n n
(2)ac+ac+…+a c
1 1 2 2 2n 2n
=(a+a+a+…+a )+(ab+ab+ab+…+a b)
1 3 5 2n-1 2 1 4 2 6 3 2n n
=[ n(n-1) ]+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)
n×3+ ×6
2
=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).
记T
n
=1×31+2×32+…+n×3n,①北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
则3T
n
=1×32+2×33+…+n×3n+1,②
3(1-3n) (2n-1)3n+1+3
②-①得,2T
n
=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-
1-3
+n×3n+1=
2
.
(2n-1)3n+1+3 (2n-1)3n+2+6n2+9
所以,ac+ac+…+a c =3n2+6T=3n2+3× = (n∈N*).
1 1 2 2 2n 2n n
2 2
思路分析 (1)利用等差、等比数列的通项公式求出公差d,公比q即可.(2)利用{c}的通项公式,进行分组求和,
n
在计算差比数列时采用错位相减法求和.
解题关键 根据n的奇偶性得数列{c}的通项公式,从而选择合适的求和方法是求解的关键.
n
7.(2019江苏,20,16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{a}(n∈N*)满足:aa=a,a-4a+4a=0,求证:数列{a}为“M-数列”;
n 2 4 5 3 2 1 n
1 2 2
(2)已知数列{b}(n∈N*)满足:b=1, = - ,其中S 为数列{b}的前n项和.
n 1 S b b n n
n n n+1
①求数列{b}的通项公式;
n
②设m为正整数,若存在“M-数列”{c}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c≤b≤c 成立,求m的最大
n k k k+1
值.
解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归
及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.
(1)设等比数列{a}的公比为q,所以a≠0,q≠0.
n 1
{ a a =a , { a2q4=a q4, {a =1,
由 2 4 5 得 1 1 解得 1
a -4a +4a =0, a q2-4a q+4a =0, q=2.
3 2 1 1 1 1
因此数列{a}为“M-数列”.
n
1 2 2
(2)①因为
S
=
b
-
b
,所以b
n
≠0.
n n n+1
1 2 2
由b=1,S=b,得 = - ,则b=2.
1 1 1 1 1 b 2
2
由 1 = 2 - 2 ,得S n = b n b n+1 ,
S b b 2(b -b )
n n n+1 n+1 n
b b b b
当n≥2时,由b n =S n -S n-1 ,得b n = n n+1 - n-1 n ,
2(b -b ) 2(b -b )
n+1 n n n-1
整理得b +b =2b.
n+1 n-1 n
所以数列{b}是首项和公差均为1的等差数列.
n
因此,数列{b}的通项公式为b=n(n∈N*).
n n
②由①知,b=k,k∈N*.
k
因为数列{c}为“M-数列”,设公比为q,所以c=1,q>0.
n 1
因为c≤b≤c ,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.
k k k+1
当k=1时,有q≥1;
lnk lnk
当k=2,3,…,m时,有 ≤ln q≤ .
k k-1
lnx 1-lnx
设f(x)= (x>1),则f '(x)= .
x x2
令f '(x)=0,得x=e.列表如下:
