北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.5 变量间的相关关系、统计案例
【5 年高考】
考点一 变量间的相关关系
1.(2020课标Ⅰ,文5,理5,5分)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,
在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x,y)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
i i
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型
的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
答案 D
2.(2017山东,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名
^ ^ ^ 10
学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知∑
i=1
10
^
x
i
=225,∑y
i
=1 600,b=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 ( )
i=1
A.160 B.163 C.166 D.170
答案 C
3.(2020课标Ⅱ,文18,理18,12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调
查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取
20个作为样区,调查得到样本数据(x,y)(i=1,2,…,20),其中x和y分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公
i i i i
20 20 20 20 20
顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑x=60,∑y=1 200,∑(x-x)2=80,∑(y-y)2=9000,∑(x-x)(y-y)=800.
i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数
乘以地块数);
(2)求样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
i i
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数
量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
附:相关系数r= ,√2≈1.414.
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
4.(2018课标Ⅱ,18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至
^
2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时
^
间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
考点二 独立性检验
5.(2020课标Ⅲ,文18,理18,12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某
公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
锻炼人
次 [0,200] (200,400] (400,600]
空气质量等级
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空
气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该
公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
6.(2020新高考Ⅰ,19,12分)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查
了100天空气中的PM2.5和SO 浓度(单位:μg/m3),得下表:
2
SO
2 [0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO 浓度不超过150”的概率;
2
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
SO
2 [0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关.
2
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
7.(2018课标Ⅲ,18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生
产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生
产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数
填入下面的列联表:
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
8.(2017课标Ⅱ,18,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了
100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不
低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
附:
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
,
n(ad-bc)2
K2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 变量的相关性、回归分析
1.(2015课标Ⅰ,理19,文19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千
元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x和年销售量y(i=1,2,…,8)数据作
i i
了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
8 8 8
x y w ∑
i=1
(xi- x∑
i=1
(wi- w ) ∑
i=1
(xi- x )(yi- y ∑ 8
(wi-
w
)(yi-
y
)
i=1
)2 2 )
46.
5636.8 289.8 1.6 1 469 108.8
6
1 8
表中w =√x ,w= ∑w .
i i 8 i
i=1
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d√x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出
判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
1 1 2 2 n n
n
∑(u -u)(v -v)
i i
^ =i=1 , ^ =v- ^ u.
β α β
n
∑(u -u)2
i
i=1
解析 (1)由散点图可以判断,y=c+d√x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. (2分)
(2)令w=√x,先建立y关于w的线性回归方程.由于北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
8
∑(w -w)(y - y)
^ =i=1
i i
=
108.8
=68,
d 8 1.6
∑(w -w)2
i
i=1
^= -^ =563-68×6.8=100.6,
y w
c d
所以y关于w的线性回归方程为^=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为^=100.6+68 . (6分)
√x
y y
(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
^=100.6+68 =576.6,
√49
y
年利润z的预报值^=576.6×0.2-49=66.32. (9分)
z
(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值
^=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12.
√x √x
z
13.6
^
所以当√x= =6.8,即x=46.24时,z取得最大值.
2
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. (12分)
2.(2015重庆文,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款
(年底余额)如下表:
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿
5 6 7 8 10
元)
(1)求y关于t的回归方程^=^t+^;
y b a
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程^=^t+^中,
y b a
n
∑t y -nt y
i i ^
^ =i=1 ,a=y- ^ .
b bt
n
∑t2-nt2
i
i=1
解析 (1)列表计算如下:
i t y
t2
ty
i i i i i
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
∑ 15 36 55 120
1 n 15 1 n 36
这里n=5,t= ∑t= =3,y= ∑y= =7.2.
i i
n 5 n 5
i=1 i=1
n n
又l
tt
=∑t
i
2-nt2=55-5×32=10,l
ty
=∑t
i
y
i
-nt y=120-5×3×7.2=12,
i=1 i=1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
从而^= l ty=12=1.2,^=
y
-^ =7.2-1.2×3=3.6,
b a bt
l 10
tt
故所求回归方程为^=1.2t+3.6.
y
(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
y
3.(2014课标Ⅱ理,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
入y
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区
2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
∑(t -t)(y - y)
i i
^ =i=1 , ^ =y- ^ .
b a bt
n
∑(t -t)2
i
i=1
解析 (1)由所给数据计算得
1
t= ×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
7
1
y= ×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
7
7
∑(t-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
i
i=1
7
∑(t-t)(y-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
i i
i=1
7
∑(t -t)(y - y)
^ =i=1 i i = 14 =0.5,
b
7 28
∑(t -t)2
i
i=1
^= -^ =4.3-0.5×4=2.3,
y
a bt
所求回归方程为^=0.5t+2.3.
y
(2)由(1)知,^=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
b
将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得^=0.5×9+2.3=6.8,
y
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
评析 本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点( , )是关键,考查了回归系数^的几何意义.考
t y
b
查了学生的计算求解能力.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
【3 年模拟】
时间:85分钟 分值:100分
一、单项选择题(每题5分,共15分)
1.(2019湖南长沙雅礼中学月考(一),5)已知回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归
直线的方程是 ( )
A.^=1.23x+4 B.^=1.23x+0.8
y y
C.^=1.23x+0.08 D.^=1.23x-0.08
y y
答案 C
2.(2021届重庆巴蜀中学高考适应性月考(一),5)用最小二乘法得到一组数据(x,y)(i=1,2,3,4,5)的线性回归方程
i i
5 5
^
为 =bx+3,若∑x=25,∑y=65,则当x=8时,y的预报值为 ( )
y i i
i=1 i=1
A.18 B.19 C.20 D.21
答案 B
3.(2020辽宁阜新高级中学月考,3)某饮料店某5天的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间
的数据如下表:
x -2 -1 0 1 2
y 5 4 2 2 1
若x与y之间是线性相关关系,且y关于x的线性回归方程是^=-x+m,则实数m的值是 ( )
y
A.3 B.2.8 C.2.6 D.2.4
答案 B
二、多项选择题(每题5分,共10分)
4.(2021届山东济南外国语学校月考,10)下列说法正确的是 ( )
A.将一组数据中的每个数据都乘同一个非零常数a后,方差变为原来的a倍
B.设有一个回归方程^=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
y
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5
答案 BD
5.(2021届新教材地区第一次月考)已知变量y与x负相关,且由观测数据算得样本平均数x=4,y=5.6,则由观
测数据求得的线性回归方程可能是 ( )
A.^=0.4x+4 B.^=-1.2x+10.4
y y北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.^=-0.6x+8 D.^=-0.7x+8.2
y y
答案 BC
三、解答题(共75分)
6.(2021届江苏泰州中学第一次月度检测,19)某学校八年级共有学生400人,现从该校八年级学生中随机抽取
50名进行实践操作能力测试,实践操作能力测试结果分为四个等级水平,一、二等级水平的学生实践操作能
力较弱,三、四等级水平的学生实践操作能力较强,测试结果统计如下表:
等级 水平一 水平二 水平三 水平四
男生/名 4 8 12 6
女生/名 6 8 4 2
(1)根据表中统计的数据填写下面2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别
有关;
实践操作能力较弱实践操作能力较强 合计
男生/名
女生/名
合计
(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习能力测试,记抽到水平一的男生的人数为ξ,求ξ的
分布列和数学期望.
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001
0
10.82
k 2.0722.7063.8415.0246.6357.879
0 8
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
7.(2020山东夏季高考模拟,20)下面给出了根据我国2012年—2018年水果人均占有量y(单位:kg)和年份代码
x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年—2018年的年份代码x分别为1—7).
(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系;
7 7
(2)根据散点图相应数据计算得∑y=1 074,∑xy=4 517,求y关于x的线性回归方程;(精确到0.01)
i i i
i=1 i=1
(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.
附:回归方程^=^+^x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
y a b
