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作业8 静电场
选择题每小题3 分。
1.某一带电导体周围的电场线与等势面如图所示,A、C 是同一等势面上的两点,B 是另一等势面上的
一点。下列说法正确的是( )
A.导体内部的电场强度左端大于右端
B.A、C 两点的电势均低于B 点的电势
C.B 点的电场强度大于A 点的电场强度
D.将一正电荷从A 点沿虚线移到B 点的过程中电场力做正功,正电荷电势能减小
2.(2024 浙江嘉兴二模)地球表面与大气电离层都是良导体,两者与其间的空气介质可视为一个大电容
器,这个电容器储存的电荷量大致稳定,约为5×105 C,其间的电场,称为大气电场。设大地电势为零,晴
天的大气电场中,不同高度h 处的电势φ 的变化规律如图所示,不考虑水平方向电场的影响。根据以
上信息,下列说法正确的是( )
A.大气电场的方向竖直向上
B.地面所带电荷量约为2.5×105 C
C.地面和大气电离层组成的电容器电容约为0.6 F
D.高度h 越大,大气电场的电场强度越小
3.一质量为m、电荷量为q 的带负电的小球,以初速度v0从匀强电场中的A 点水平抛出后经过某一定
点B,如图所示,已知电场强度大小为E0,方向竖直向下。下列说法正确的是( )
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A.可以计算小球从抛出到到达B 点的时间
B.可以计算小球经过B 点时的竖直方向的速度
C.若初速度变为2v0,要使小球仍能经过B 点,电场强度大小应调整为√2
2
E0
D.只要小球能够经过B 点,则过B 点时的速度偏向角为一定值,与初速度大小无关
4.沿空间某直线建立x 轴,该直线上的静电场方向沿x 轴,其电势φ 随位置x 变化的图像如图所示,一电
荷量为e 的带负电的试探电荷,经过x2点时动能为1.5 eV,速度沿x 轴正方向,若该电荷仅受电场力。
则其将( )
A.不能通过x3点
B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点
D.在x1点两侧往复运动
5.如图,两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O 点上,下端分别系有均带正电荷的小
球P、Q,小球处在某一方向水平向右的匀强电场中,平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等,则(
)
A.两绳中的拉力大小一定相等
B.P 的质量一定大于Q 的质量
C.P 的电荷量一定小于Q 的电荷量
D.P 的电荷量一定大于Q 的电荷量
6.如图所示,将不计重力、电荷量为q、带负电的小圆环套在半径为R 的光滑绝缘半圆弧上,半圆弧直
径两端的M 点和N 点分别固定电荷量为27Q 和64Q 的负点电荷。将小圆环从靠近N 点处静止释放,
小圆环先后经过图上P1点和P2点,已知sin θ=3
5
,则小圆环从P1点运动到P2点的过程中( )
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A.静电力做正功
B.静电力做负功
C.静电力先做正功再做负功
D.静电力先做负功再做正功
7.(多选)(2025 浙江高二开学考试)2023 年11 月,中国新一代粒子研究器“超级陶粲”装置正式启动,
静电分析器是其重要组成部分。静电分析器的两电极之间存在如图所示的静电场,静电场中任意一
点电场方向均沿半径方向指向圆心,大小均满足E=k
r
(k 为与装置有关的常数,r 为该点到圆心O 的距
离)。某次实验中四个相同粒子分别以一定的速度射入静电分析器,仅在电场力作用下,甲、乙粒子由
入射口P1垂直射入,从Q1、Q2射出,丙、丁粒子由入射口P2垂直射入,分别从Q2、Q3射出。已知P1
和Q1、P2和Q2关于圆心O 对称,Q1Q2=Q2Q3。下列说法正确的是( )
A.甲、乙、丙、丁四粒子均带正电
B.甲、丙两粒子的入射速率相等
C.甲、乙、丙、丁四粒子均垂直于端面射出
D.乙、丁两粒子动能变化量相等
8.如图所示,真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷,分别固定在正三角形ABC 的顶点B、C。M
为三角形ABC 的中心,沿AM 的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆,电荷量为q
2
。已
知正三角形ABC 的边长为a,M 点的电场强度为0,静电力常量为k。顶点A 处的电场强度大小为(
)
A.2√3kq
a
2
B.kq
a
2 (6+√3)
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C.kq
a
2 (3√3+1)
D.kq
a
2 (3+√3)
9.(多选)如图所示,正六棱柱上下底面的中心为O 和O',A、D 两点分别固定等量异种的点电荷,下列说
法正确的是( )
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷+q 由F 点沿直线移动到O 点,其电势能先增大后减小
10.(2023 浙江6 月选考)AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定,竖直截面如图所示。
两板间距为10 cm,电荷量为1.0×10-8 C、质量为3.0×10-4 kg 的小球用长为5 cm 的绝缘细线悬挂于A
点。闭合开关S,小球静止时,细线与AB 板夹角为30°;剪断细线,小球运动到CD 板上的M 点(未标出),
则( )
A.MC 距离为5√3 cm
B.电势能增加了3
4 √3×10-4 J
C.电场强度大小为√3×104 N/C
D.减小R 的阻值,MC 的距离将变大
11.(2024 浙江温州三模)如图所示,在竖直y 轴上固定两个点电荷,电荷量为+Q 的点电荷在2y0处、电
荷量为-4Q 的点电荷在3y0处。将质量为m、电荷量为+q 的小球从坐标原点O 静止释放,经过A 点后,
能到达最低点B。以y0处为电势能零点、2y0处为重力势能零点,小球可视为点电荷。关于小球在此
运动过程中的重力势能Ep1、机械能E0、动能Ek及电势能Ep2随y 变化的图像,下列可能正确的是(
)
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12.(2024 浙江台州十校联盟联考)磷脂双分子层是构成细胞膜的基本支架,分子层之间具有弹性,可近
似类比成劲度系数为k'的轻质弹簧。细胞膜上的离子泵可以输运阴、阳离子,使其均匀地分布在分
子层上,其结构示意如图所示。已知两片无限大均匀带电薄板间的电场为匀强电场,静电力常量为k,
介质的相对介电常数为εr,细胞膜的面积S≫d2。当内、外两膜层分别带有电荷量Q 和-Q 时,关于两
分子膜层之间距离的变化情况,下列说法正确的是( )
A.分子层间的距离增加了2π k Q
2
εr Sk '
B.分子层间的距离减小了2π k Q
2
εr Sk '
C.分子层间的距离增加了4 π k Q
2
εr Sk '
D.分子层间的距离减小了4 π k Q
2
εr Sk '
13.(多选)如图所示,带电荷量为+q 的小球被绝缘棒固定在O 点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°
的光滑绝缘斜面。质量为m、带电荷量为+q 的小滑块从斜面上A 点由静止释放,滑到与小球等高的
B 点时加速度为零,滑到C 点时速度为零。已知AC 间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为
k,下列说法正确的是( )
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A.OB 的距离l=√
√3k q
2
mg
B.OB 的距离l=√
√3k q
2
3mg
C.从A 到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
D.AC 之间的电势差UAC=-mgs
2q
14.空间中存在平行于纸面的匀强电场,在纸面内取O 点为坐标原点建立x 轴,如图甲所示。现有一个
质量为m、电荷量为+q 的微粒,在t=0 时刻以一定初速度从x 轴上的a 点开始沿顺时针做匀速圆周
运动,轨迹圆心为O、半径为R。已知甲图中的圆为微粒运动轨迹,ab 为圆轨迹的一条直径;除电场力
外微粒还受到一个变力F,不计其他力的作用;测得微粒所处位置的电势φ 随时间t 的变化图像如图乙
所示,其中φ1>0。下列说法正确的是( )
A.电场强度的方向与x 轴正方向的夹角为π
6
B.从a 点到b 点,F 做功为-qφ1
C.微粒在a 点时所受变力F 可能为最小值
D.微粒做圆周运动的过程中变力F 的最大值为m π
2
36t1
2R+qφ1
R
15.(8 分)如图所示,竖直向上的匀强电场中,用长为L 的绝缘细线系住一带电小球,在竖直平面内绕O
点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点,A 点为最低点,B 点与O 点等高。当小球运动到A 点时,
细线对小球的拉力恰好为0,已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m,A、B 两点间的电势差为U,重力
加速度大小为g,求:
(1)电场强度E 的大小。
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(2)小球在A、B 两点的速度大小。
16.(11 分)某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物(视为小球)组成的混合
气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中,空气和带电颗粒沿板方向的速度v0保持不
变。在匀强电场作用下,带电颗粒打到金属板上被收集,已知金属板长度为L,间距为d,不考虑重力影
响和颗粒间相互作用。
(1)若不计空气阻力,质量为m、电荷量为-q 的颗粒恰好全部被收集,求两金属板间的电压U1。
(2)若计空气阻力,颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反,大小为Ff=krv,其中r 为颗粒的半
径,k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a.半径为R、电荷量为-q 的颗粒恰好全部被收集,求两金属板间的电压U2;
b.已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比,进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10 μm 和2.5
μm 的两种颗粒,若10 μm 的颗粒恰好100%被收集,求2.5 μm 的颗粒被收集的百分比。
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参考答案
作业8 静电场
1.D
【解析】 带电导体处于静电平衡状态,导体内部的电场强度处处为0,导体表面为等势面,整个导
体为一个等势体,故A 错误;沿电场线方向电势降低,所以A、C 两点的电势均大于B 点的电势,故
B 错误;电场线的疏密程度表示电场强度的弱强,所以B 点的电场强度小于A 点的电场强度,C 错
误;根据Ep=qφ 可知,将一正电荷从高电势的A 点沿虚线移动到低电势的B 点,正电荷电势能减小,
电场力做正功,D 正确。
2.D
【解析】 大地电势为零,离地面越高,电势越高,因沿电场方向电势降低,可知大气电场的方向为
竖直向下,故A 错误;因地面和大气层分别看作电容器的两个极板,电容器储存的电荷量约为
5×105 C,可知地面所带电荷量约为5×105 C,故B 错误;根据电容器的定义式C=Q
U
,可知地面和大
气电离层组成的电容器电容约为C=Q
U = 5×10
5
300×10
3 F=5
3
F,故C 错误;根据E=U
d
,可知图像的斜
率代表电场强度大小的倒数,高度h 越大,大气电场的电场强度越小,故D 正确。
3.D
【解析】 小球所受合力F=mg-qE0,加速度a= F
m
=g-q E0
m
,由于A、B 间的水平、竖直距离未知,
无法计算小球从抛出到到达B 点的时间和竖直方向的速度,故A、B 错误;小球初速度为v0时,小
球经过B 点时竖直方向有yB=1
2 at B
2,水平方向有xB=v0tB,则yB=1
2(g- q E0
m )
xB
2
v0
2 ,同理,当小球初
速度为2v0时,设电场强度为E',则有yB=1
2(g- qE'
m )
xB
(2v0)
2 ,解得E=4 q E0-3mg
q
,故C 错误;由
tan θ=v y
v0
= at
v0
= at
2
v0t = 2 y
x
可知,A、B 两点位置确定,偏向角大小就确定,故D 正确。
4.B
【解析】 带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV,电势能为-1 eV,总能量为0.5 eV,且试探电荷
速度沿x 轴正方向,在x2 ~ x3区域试探电荷受到沿x 轴正方向的静电力,做加速运动,在x3处速度
最大,试探电荷继续运动到x3右侧,做减速运动,当速度为零时,电势能为0.5 eV,即运动到电势
为-0.5 V 处减速到零,开始向x 轴负方向运动,后反向回到x2处动能仍为1.5 eV,继续向左运动,在
电势为-0.5 V 处减速到零又反向运动,不会运动到x0、x1处,即试探电荷在x3点两侧往复运动,故
选B。
5.B
【解析】 本题考查带电小球在电场中的平衡问题。分别对P、Q 进行受力分析,如图所示。根
据平衡条件可得,FT2=F - E q2
sinθ
,FT1=F + E q1
sinθ
,所以FT1>FT2,选项A 错误。又因为mQg=FT2cos θ=
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F - E q2
tanθ
,mPg=FT1cos θ= F + E q1
tanθ
,所以mP>mQ,选项B 正确。P、Q 的电荷量关系不确定,选项
C、D 错误。
6.A
【解析】 设小圆环在P1、P2间的任意一点P,PM 与MN 的夹角为α,根据几何关系可得
37°≤α≤53°,选无穷远处电势能为0,带负电的小圆环在两个负点电荷电场中的电势能Ep=
64 kQq
2 R sin α + 27 kQq
2 R cosα
,根据数学知识可知在37°≤α≤53°范围内,随着α 的增大,小圆环的电势能一直
减小,所以静电力做正功。故选A。
7.AB
【解析】 甲、乙、丙、丁四粒子发生偏转,均由电场力提供向心力,指向圆心,与电场强度的方
向相同,故四个粒子都带正电,故A 正确。由题可知,甲从P1垂直入射,因P1与Q1关于圆心O 对称,
故甲从Q1垂直出射,所以甲粒子在整个偏转过程沿电场线方向没有发生位移,速度大小不变,电
场强度大小不变;同理,丙从P2垂直入射,从Q2垂直出射,对两粒子,电场力提供向心力,则有qE=m
v
2
r
,又E=k
r
,联立解得v=√
qk
m
,故甲、丙两粒子的速度大小相等;对于乙粒子,从P1垂直入射,经电
场偏转,从Q2射出,故粒子在电场方向发生了位移,电场力做负功,速度变小,乙粒子所受电场力不
断变小,乙粒子不会垂直射出; 同理,丁粒子也不会垂直射出,故B 正确,C 错误。由上分析,可知乙、
丁粒子会在电场强度方向发生位移,电场力做负功,根据E=k
r
,可知乙粒子更靠近圆心,则它的轨
迹上各点电场强度平均值更大,根据W=qEd,因Q1Q2=Q2Q3,可知乙粒子受到的电场力做的负功
更多,根据动能定理W=ΔEk,可知乙粒子的动能变化量更大,故D 错误;故选A、B。
8.D
【解析】 根据点电荷电场强度的公式得,B、C 点的电荷在M 点处的合电场强度为E=2×
kq
(
√3
3 a)
2cos 60°=3kq
a
2 ,方向竖直向上,因M 点的合电场强度为零,因此带电细杆在M 点的电场强
度EM=E,方向竖直向下,由对称性可知带电细杆在A 点的电场强度为EA=EM=E,方向竖直向上,因
此A 点合电场强度为E 合=EA+2kq
a
2 cos 30°=kq
a
2 (√3+3),选项D 正确。
9.ACD
【解析】 根据等量异种电荷电场的分布特点可知,F'点和C'点的电场强度大小相等,方向不同,
选项A 正确;B'点和E'点的电场强度大小相等,方向不同,选项B 错误;根据对称性可知,φA'为正值,
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φD'为负值,φF'为正值,φO'为0,且φA'=-φD',φA'>φF',所以UA'F'=φA'-φF'<φO'-φD'= UO'D',选项C 正确;从F 点
到O 点,电势先升高再降低,正试探电荷电势能先增大再减小,选项D 正确。
10.B
【解析】 剪断细线前,对带电小球进行受力分析如图所示,得qE= mg
2cosθ
,解得E=√3×105 N/C,选
项C 错误;剪断细线后,小球沿合力方向运动到极板的距离为x,由几何关系得
x
5cm = 10cm-2.5cm
2.5 cm
,解得x=15 cm,故MC 的距离为(x+5 cm)cos 30°=10√3 cm,选项A 错误;剪
断细线前,小球到CD 板的距离l=10 cm-5 cm×sin 30°=7.5 cm,小球克服静电力做功W=qEl=3
4 √3
×10-4 J,故小球电势能增加3
4 √3×10-4 J,选项B 正确;减小R 的阻值,电容器上的电压不变,MC 的距
离不变,选项D 错误。
11.B
【解析】 图像为一条直线,h 减小,重力势能一直减小,最后不为0,故A 错误;根据动能定理
ΔEk=W 合,即Δ Ek
Δ x
=F 合,带电小球在下落过程中受静电力和重力,其中静电力是变力,所以合力为
变力,则Ek-y 图线不可能为直线,其斜率一直在变化,故C、D 错误;机械能变化是因为除重力之外
其他力做功,当小球所受静电力为0 时,k
Qq
(2 y0- y )
2 =k
4Qq
(3 y0- y )
2 ,解得y=y0,即当y=y0时,机械
能最大,由以上分析可以判断在A 点以上小球所受静电力方向竖直向下,在A、B 之间静电力方
向竖直向上,且最终大于重力,因此静电力先做正功,后做负功,故小球机械能先增加,后减小,故B
正确。
12.B
【解析】 内外两膜层分别带有电荷量Q 和-Q 时,两膜层之间的电场力为引力,在该引力作用下,
分子层之间的距离减小,设距离减小量为Δx,分子层之间具有弹性,可近似类比成劲度系数为k'的
轻质弹簧,由于两片无限大均匀带电薄板间的电场为匀强电场,细胞膜的面积S≫d2,则两膜层间
的电场也可近似看作匀强电场,设其电场强度为E,可知单独一个极板产生的电场强度为1
2
E,则有
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k'Δx=Q·1
2
E,根据电容的表达式有C=Q
U
,C= εr S
4 π kd
,根据电场强度与电势差的关系有E=U
d
,结合
上述解得Δx=2π k Q
2
εr Sk '
,即分子层间的距离减小了2π k Q
2
εr Sk '
。故选B。
13.AD
【解析】 因为B 处加速度为零,所以合力为零,即k q
2
l
2 =mgtan θ,l=√
√3k q
2
mg
,A 正确,B 错误;从A
到C,根据动能定理可知W+mgs·sin θ=0,W=-1
2
mgs,C 错误;UAC=W
q
=-mgs
2q
,D 正确。
14.D
【解析】 由乙图可知,带电微粒在转动过程中,所处位置电势最高值为1.5φ1,最低值为-0.5φ1,最
高点、最低点分别位于轨迹某条直径的两端,将这条直径取四等分点,找到上面与a 点电势φa=0
相同的点A,如图所示,aA 垂直于电场线,设电场强度的方向与x 轴正方向的夹角为θ,由几何关系
有cos θ=
R
2
R = 1
2
,解得θ=π
3
,故A 错误;由上述分析可知φb=1.0φ1,从a 点到b 点,由动能定理有
W+qUab=0,又Uab=φa-φb=-φ1,解得W=qφ1,故B 错误;微粒做圆周运动的过程中电势为1.5φ1时,变
力F 达到最小值,故微粒在a 点时所受变力F 不可能为最小值,故C 错误;由乙图可知,微粒做圆周
运动的周期为T=13t1-t1=12t1,速度为v=2π R
T
= π R
6t1
,电场强度为E=
Δφ
Δ x = 1.5φ1-(-0.5φ1)
2 R
= φ1
R
,微粒做圆周运动的过程中电势为-0.5φ1时变力F 达到最大值,有
F-qE=mv
2
R
,解得F=m π
2
36t1
2R+qφ1
R
,故D 正确。
15.【答案】 (1)U
L
(2)√
Uq -mgL
m
√
3(Uq -mgL)
m
【解析】 (1)在匀强电场中,根据公式可得电场强度E=U
L
。
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(2)在A 点细线对小球的拉力为0,根据牛顿第二定律得Eq-mg=mv A
2
L
,从A 到B 过程,根据动能定
理得qU-mgL=1
2 m vB
2- 1
2 m v A
2,解得vA=√
Uq -mgL
m
,vB=√
3(Uq -mgL)
m
。
16.【答案】 (1)2d
2m v0
2
q L
2
(2)d
2kR v0
qL
25%
【解析】 (1)只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集器右侧,颗粒就能够全部收集,设颗粒在金属
板间运动的时间为t,加速度为a,金属板间电场强度大小为E,则有
L=v0t
d=1
2
at2
qE=ma
E=U 1
d
解得U1=2d
2m v0
2
q L
2
。
(2)a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度,有颗粒所受电场力F 电=Ff
即qU 2
d
=kRv
且d
v = L
v0
解得U2=d
2kR v0
qL
。
b.10 μm 的电荷量为q 的颗粒恰好100%被收集,颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度,
所受阻力等于静电力,有Ff=kRvmax,Ff=qE'
10 μm 的颗粒在竖直方向下落的最大距离为d=vmaxt
2.5 μm 的颗粒带电荷量为q'= q
16
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度,所受阻力等于静电力,有
Ff'=1
4
kRvmax',Ff'=q'E'
2.5 μm 的颗粒在竖直方向下落的最大距离为d'=vmax't
解得d'=d
4
2.5 μm 的颗粒被收集的百分比d '
d
×100%=25%。
