68.动态问题中的空间位置与最值关系
这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固
定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值. 在这样的约
束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基
础.
需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥
于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹.
一．典例分析
例1．已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，动点
在正
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2,
,
E F
1
,
BC CC
P
方形
（包括边界）内运动，若
面
，则线段
的长度范围是
1
1
BCC B
1
PA A
AEF
1
PA
（ ）
A．
B．
C．
D．
2, 5
2,3
3 2 ,3
2
3 2 , 5
2
解析：由题意，取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
，
，
，
1
BB
G
1
1
B C
H
1A H
1AG
GH
1
D F
1
AD
作图如下：
在正方体
中，易知
，
，
，则
共
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
/ /
AG
D F
1
//
A H
AE
1
//
EF
AD
1
,
,
,
A E F D
面，
平面
，
平面
，
平面
，同理可得：
1AG
1
AEFD
1
D F
1
AEFD
1
/ /
AG
1
AEFD
1
/ /
A H
平面
，
，
平面
平面
，当
平面
时，
1
AEFD
1
1
1
A H
AG
A
1
/ /
AGH
1
AEFD
1A P
1AGH
平面
，
正方体
的棱长为
，在
中，
1
/ /
A P
1
AEFD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
2
1
1
Rt A B H
A
，解得
，同理
，在
中，
2
2
2
1
1
1
1
A B
B H
AG
1
5
AG
1
5
A H
1
Rt B GH
A
2
2
2
1
1
B G
B H
GH
，解得
，
2
GH
则
中边
上的高
，即
，故选：D.
1AGH
A
GH
2
2
1
1
3 2
2
2
h
AG
GH
1
3 2 , 5
2
A P
例2．若点
是棱长为2 的正方体
表面上的动点，点
是棱
的中
P
1
1
1
1
ABCD
A B C D
M
1
1
A D
点，
，则线段
长度的最大值为（ ）
AP
DM
AP
A．
B．
C．3
D．
5
2 2
2 3
解析：分别取
，
中点
，
，连接
，
，
，首先
与
平行且相等，
1
DD
1
CC
E
F
EA
EF
FB
EF
CD
与
平行且相等，因此
与
平行且相等，
CD
AB
EF
AB
四边形
是平行四边形，在同一平面内，易得
，
，所
EFBA
1
ADE
DD M
A
A
1
EAD
MDD
以
，所以
，又
平面
，
1
90
EAD
MDA
MDD
MDA
MD
AE
AB
1
1
ADD A
MD
平面
，所以
，又
，
，
平面
，所以
平面
1
1
ADD A
AB
MD
AE
AB
A
I
AB
AE
ABFE
MD
.
ABFE
而
，则
平面
，所以
点轨迹是矩形
（除
点）.四边形
是
MD
AP
P
ABFE
P
ABEF
A
ABFE
矩形，当
与
重合时，
最大，且最大值为
.故选：C.
P
F
AF
2
2
2
2
2
1
3
习题1. 正方体
棱长为点，点
在边
上，且满足
，动
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
1
E
BC
EC
BE
2
点
在正方体表面上运动，满足
，则动点
的轨迹的周长为_________.
P
1
BD
PE
P
解：如图正方体中连接
：易得
平面
，在
上取
使
A
B
C
B
AC
1
1 ,
,
1
BD
C
AB1
AB
BB ,
1
G
F,
得
连接
，易得
根据线面平行判
,
2
,
2
1
GB
AG
FB
BF
GF
EF
GE
,
,
,
//
,
//
1C
B
EF
AC
GE
定定理征得平面
平面
，所以
平面
，所以线段
就是
//
1C
AB
EFG
1
BD
EFG
GF
EF
GE
,
,
点
的运动轨迹，因为
P
.
3
2
2
3
1
GF
EF
GE
所以动点
的运动轨迹周长为
故答案为：
P
,
2
3
2
3
GF
EF
GE
.2
习题2. 已知在边长为
的正方体
中，
分别是
a
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
N
H
G
F
E
、
、
、
、
的中点，
在四边形
边上及其内部运动，若
BC
CD
DD
D
C
CC
、
、
、
、
1
1
1
1
M
EFGH
面
，则点
轨迹的长度是（ ）.
//
MN
BD
A1
M
A.
B.
C.
D.
a
3
a
2
2
3a
2
2a
解析 如图，连接
，由条件知
.又
面
，
GN
HN
GH
、
、
BD
HN
BA
GH
//
,
//
1
GH
BD
A1
面
，所以
面
，同理可征得
面
.又
1
BA
BD
A1
//
GH
BD
A1
//
NH
BD
A1
H
HN
GH
，所以面
面
.又点
在四边形
上及其内部运动，
面
，
//
1BD
A
GHN
M
EFGH
//
MN
BD
A1
所以点
须在线段
上运动，即满足条件.又
，则点
轨迹的长度是
M
GH
2
2a
GH
M
.故选D.
2
2a
习题3.（多选题）如图，棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
E
1
DD
F
为正方形
内一个动点（包括边界），且
平面
，则下列说法正确的有
1
1
C CDD
1
/ /
B F
1A BE
（ ）
A．动点
轨迹的长度为
F
2
B．三棱锥
体积的最小值为
1
1
B
D EF
1
3
C．
与
不可能垂直
1B F
1A B
D．当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为
1
1
B
D DF
25 π
2
解析：对A，如图，令
中点为
,
中点为
,连接
，又正方体
1
CC
M
1
CD
N
MN
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
为棱
的中点，可得
,
，
平面
,
平
E
1
DD
1
1
/ /
B M
A E
1
1
/ /
/ /
MN
CD
BA
1
/ /
B M
1
BA E
/ /
MN
面
,又
，且
平面
，
平面
平面
,又
1
BA E
1
B M
MN
M
1
,
B M MN
1
B MN
1
//
B MN
1
BA E
1
/ /
B F
平面
，且
平面
，
平面
，又
为正方形
内一个动点
1A BE
1B
1
B MN
1
B F
1
B MN
F
1
1
C CDD
（包括边界），
平面
平面
，而
平面
平面
，
F
1
B MN
1
1
C CDD
MN
1
B MN
1
1
C CDD
，即
的轨迹为线段
.由棱长为2 的正方体得线段
的长度为
，故选项
F
MN
F
MN
MN
2
A 正确；
对B，由正方体侧棱
底面
，所以三棱锥
体积为
1
1
B C
1
1
C CDD
1
1
B
D EF
，所以
面积
最小时，体积最小，如图，
，
1
1
1
1
1
2
=
3
3
D FE
D FE
V
B C S
S
A
A
1
D FE
A
1
D FE
SA
F
MN
易得
在
处时
最小，此时
,所以体积最小值为
，故选项B
F
N
1
D FE
SA
1
1
1
1
1
= 2
2
D FE
S
ND D E
A
1
3
正确；
对C，当
为线段
中点时，由
可得
,又
中点为
,
中点为
F
MN
1
1
B M
B N
1
B F
MN
1
CC
M
1
CD
,
N
，而
，
,故选项C 不正确；
1
/ /
MN
D C
1
1
/ /
A B
D C
1
1
B F
A B
对D，如图，当
在
处时，三棱锥
的体积最大时，由已知得此时
F
M
1
1
B
D DF
,所以
在底面
的射影为底面外心，
,
,
1
1
5
FD
FD
FB
F
1
1
B DD
1
2
DD
1
1
2 2
B D
,所以底面
为直角三角形，所以
在底面
的射影为
中点，设为
1
2 3
DB
1
1
B DD
F
1
1
B DD
1B D
，如图，设外接球半径为
,由
,
,可得外接
1
O
R
2
2
2
2
1
1
1
1
3
R
OO
O B
OO
1
1
2
R
OO
FO
球半径
，
5 2
4
R
外接球的表面积为
，故选项D 正确.故选：ABD.
2
25
4
π
2
R
习题4．已知正四棱台
的所有顶点都在球
的球面上，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
O
，
为
内部（含边界）的动点，则（ ）
1
1
1
2
2,
2
AB
A B
AA
E
1
BDC
A
A．
平面
B．球
的表面积为
1 / /
AA
1
BDC
O
6π
C．
的最小值为
D．
与平面
所成角的最大值为60°
1
EA
EA
2 2
AE
1
BDC
解析：对于A，如图1，由棱台的结构特征易知
与
的延长线必交于一点，故
1
AA
1
CC
共面，
1
1
,
,
,
A A C C
又面
面
，而面
面
，面
面
，
1
1
1
1//
A B C D
ABCD
1
1
AAC C
1
1
1
1
1
1
A B C D
AC
1
1
AAC C
ABCD
AC
故
，即
；由平面几何易得
，即
1
1//
AC
AC
1
1
2
//
AC
AO
1
1
2
1
1
2,
2 2
2
2
2
AC
AO
AC
；所以四边形
是平行四边形，故
，而
面
，
1
1
2
AC
AO
1
1
2
AAC O
1
1
2
//
AA
C O
1
AA
1
BDC
1
2
C O
面
，故
平面
，故A 正确；
1
BDC
1 / /
AA
1
BDC
.
对于B，如图2，设
为
的中点，
为正四棱台外接球的球心，则
，
1
O
1
1
AC
O
1AO
AO
R
在等腰梯形
中，易得
，即
1
1
AAC C
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
O O
AA
AC
AC
，为方便计算，不妨设
，则由
1
2
6
2
O O
1
2
,
O O
a O O
b
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
AO
a
AO
AO
AO
b
即
，即
，又
，解得
，即
2
2
2
2
2
2
2
a
b
2
2
3
2
a
b
1
2
6
2
a
b
O O
6 ,
0
2
a
b
O
与
重合，故
，故球
的表面积为
，故B 错误；
2
O
2
R
AO
O
2
2
4
4
2
8
R
.
对于C，由图2 易得
，
，
，
面
，
1
2
BD
O O
BD
AC
1
2
2
O O
AC
O
1
2
O O
AC
、
1
1
AAC C
故
面
，不妨设
落在图3
处，过
作
，则
面
，故
BD
1
1
AAC C
E
E
E
1//
E E
BD
1
E E
1
1
AAC C
，故在
中，
（勾股边小于斜边）；同理，
，
1
1
E E
E A
1
Rt AE E
A
1
E A
E A
1
1
1
E A
E A
所以
，故动点
只有落在
上，
才有可能取得最小值；
1
1
1
1
E A
E A
E A
E A
E
1
C O
1
EA
EA
再看图4，由
可知，故
，故C 正确，
1
1
A
C O
C
关于
对称点为
1
2 2
EA
EA
AC
.
对于D，由选项C 可知，
面
，
面
，故面
面
，
BD
1
1
AAC C
BD
1
BDC
1
1
AAC C
1
BDC
在面
内过
作
交
于
，如图5，则
面
，面
面
1
1
AAC C
A
1
AF
C O
1
C O
F
AF
1
1
AAC C
1
1
AAC C
，故
面
，故
为
与平面
所成角，在
中，
1
1
BDC
C O
AF
1
BDC
AEF
AE
1
BDC
RtA AEF
，故当
取得最小值时，
取得最大值，即
取得最大值，
sin
AF
AEF
AE
AE
sin
AEF
AEF
显然，动点
与
重合时，
取得最小值，即
取得最大值，且
E
O
AE
AEF
，在
中，
，
，
1
AEF
AOF
C OC
1
C OC
△
1
1
2
C O
AA
1
1
2
CC
AA
，故
为正三角形，即
，即
与平面
所成角的
1
2
2
OC
AC
1
C OC
△
1
60
C OC
AE
1
BDC
最大值为
，故D 正确.故选：ACD.
60
