2025秋新版_初中数学公式大全

25 秋季版
中考复习 | 初中数学公式大全
乘法与因式分解
①（a＋b）（a－b）＝a2－b2；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；
③（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3；④（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－
b3；
a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；（a－b）2＝（a＋b）2－4ab
幂的运算性质
①am×an＝am+n；②am÷an＝am-n；③（am）n＝amn；④（ab）n＝anbn；
⑤（a/b）n＝an/bn；⑥a-n＝1/an 特别：（b/a）-n＝（a/b）n；⑦a0＝1（a≠
0）
二次根式
①（√a）2＝a（a≥0）；②√a2＝丨a丨；
③√ab＝√a×√b；④√b/a＝√b/√a（a＞0，b≥0）
三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；
加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角
不等式（其中a，b 分别为向量a 和向量b） 
|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b；|a-b|≥|a|-|b|；-|a|≤a≤|a|； 
某些数列前n 项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/2；
1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2；
2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）；
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6； 
13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/4；
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3； 
一元二次方程
对于方程：ax2＋bx＋c＝0：
①求根公式是x＝
2
4
2
b
b
ac
a
- ±
-
，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。
②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a（x－
x1）（x－x2）。
③以a和b为根的一元二次方程是x2－（a＋b）x＋ab＝0。
一次函数
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵
坐标，称为截距）。
①当k＞0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；
②当k＜0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）；
③特别地：当b＝0时，y＝kx（k≠0）又叫做正比例函数（y与x成正比
例），图象必过原点。
反比例函数
反比例函数y=k/x（k≠0）的图象叫做双曲线。
①当k＞0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；
②当k＜0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）。
二次函数
（1）定义：一般地，如果y=ax²+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0），那么y
叫做x 的二次函数。
（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a＞0 时，开口向上；当a＜0 时，
开口向下；
|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x=h 特别地，y 轴记作直线x=0。
（3）几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax²
x=0（y 轴）
（0，0）
y=ax²+k
x=0（y 轴）
（0，k）
y=a（x-h）²
x=h
（h，0）
y=a（x-h）²+k
x=h
（h，k）
y=ax²+bx+c
当a＞0 时
开口向上
当a＜0 时
开口向下
x=-b/2a
（-b/2a，4ac-b²/4a）
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：y=ax²+bx+c=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a，
∴顶点是（-b/2a，4ac-b²/4a），对称轴是直线x=-b/2a。
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k 的形
式，得到顶点为（h，k），对称轴是直线x=h。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对
称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点（x1，y）、（x2，y）（及y 值相同），则对称轴方
程可以表示为：x=x1+x2/2
（5）抛物线y=ax²+bx+c 中，a，b，c 的作用
①a 决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a 完全一样。
②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴是
直线。x=-b/2a，故：①b=0 时，对称轴为y 轴；②b/a＞0（即a、b 同号）
时，对称轴在y 轴左侧；③
0

a
b
（即a、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。
③c的大小决定抛物线y=ax²+bx+c 与y 轴交点的位置。当
0

x
时，
c
y ，
∴抛物线y=ax²+bx+c 与y 轴有且只有一个交点（0，c）：
①
0

c
，抛物线经过原点; 
②
0

c
,与y 轴交于正半轴；
③
0

c
,与y 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右
侧，则 b/a＜0。
（6）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：y=ax²+bx+c
已知图像上三点或三对x、y 的值，通常选择一般式.
②顶点式：y=a（x-h）²+k
已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a
（x-x1）（x-x2）。
（7）直线与抛物线的交点
①y 轴与抛物线y=ax²+bx+c 得交点为（0,，c）。
②抛物线与x 轴的交点。
二次函数y=ax²+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一
元二次方程.
ax²+bx+c=0 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次
方程的根的判别式判定：
【......】
a 有两个交点（
0


）抛物线与x 轴相交；
b 有一个交点（顶点在x轴上）（
0


）抛物线与x 轴相切；
c 没有交点（
0


）抛物线与x轴相离。
③平行于x轴的直线与抛物线的交点
同②一样可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有2 个交点时，两交点
的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是
k
c
bx
ax



2
的两个实数根。
④一次函数


0



k
n
kx
y
的图像l与二次函数


0
2




a
c
bx
ax
y
的图像G 的交
点，由方程组  
c
bx
ax
y
n
kx
y





2
的解的数目来确定：
a 方程组有两组不同的解时l与G 有两个交点；
b 方程组只有一组解时l与G 只有一个交点；
c 方程组无解时l与G 没有交点。
⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线
c
bx
ax
y



2
与x轴两交点为




0
0
2
1
，
，
，
x
B
x
A
，则
1
2
AB
x
x

-
 
统计初步
（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫
做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体
的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止
一个），叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在
最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．
（2）公式：设有n 个数x1，x2，…，xn，那么：
①平均数为：
1
2
......
n
x
x
x
x
n
+
+
+
=
；
②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变
化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；
③方差：一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
频率与概率
（1）频率
频率=频数/总数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于
1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。
（2）概率
①如果用P 表示一个事件A 发生的概率，则0≤P（A）≤1；
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）
计算简单事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
锐角三角形
①设∠A是△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝
，∠A的余
弦：cosA＝
，∠A的正切：tanA＝
．并且sin2A＋cos2A＝1。
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越
大，余弦值反而越小。
②余角公式：sin（90º－A）＝cosA，cos（90º－A）＝sinA。
③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝1/2，sin45º＝cos45º＝
，sin60
º＝cos30º＝
， 
tan30º＝
，tan45º＝1，tan60º＝
。
④斜坡的坡度：i＝
铅垂高度
水平宽度＝．设坡角为α，则i＝tanα＝。
正（余）弦定理
（1）正弦定理  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中 R 表示三角形的外
接圆半径。
正弦定理的变形公式：（1） a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；（2） sinA : 
sinB : sinC = a : b : c
（2）余弦定理
b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC； 
注：∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
三角函数公式
两角和公式 
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA 
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB 
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB） tan（A-B）=（tanA-tanB）/
（1+tanAtanB） 
ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA） ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/
（ctgB-ctgA） 
倍角公式
tan2A=2tanA/（1-tan2A） ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga 
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 
半角公式 
sin（A/2）=√（（1-cosA）/2） sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2） 
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2） cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2） 
h
l
α
tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA）） tan（A/2）=-√
（（1-cosA）/（（1+cosA））
ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA）） ctg（A/2）=-√
（（1+cosA）/（（1-cosA）） 
和差化积 
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2 cosA+cosB=2cos（（A+B）
/2）sin（（A-B）/2） 
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB 
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB -ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB 
积化和差
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B） 2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B） 
2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B） -2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B） 
平面直角坐标系中的有关知识
（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P 关于x 轴对称的点为
P1（a，－b），P 关于y 轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点
为P3（－a，－b）。
（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h 个单位，坐标
变为P（a－h，b），向右平移h 个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平
移h 个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h 个单位，坐标变为P
（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2 个单位，再向右平移5 个单
位，则坐标变为A（7，1）。
多边形内角和公式
多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n－2）180º（n≥3，n是正整
数），外角和等于360º
平行线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例。
如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c 相交与点A、B、C 和D、
E、F，
则有
,
,
AB
DE
AB
DE BC
EF
BC
EF
AC
DF
AC
DF



。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例。如图：△ABC 中，DE∥BC，DE 与AB、AC 相交与
点D、E，则有：
,
,
AD
AE AD
AE
DE DB
EC
DB
EC
AB
AC
BC
AB
AC




直角三角形中的射影定理
直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC 中，∠ACB＝90o，CD⊥AB 于
D，
则有：（1）
2
CD
AD BD

×
（2）
2
AC
AD AB

×
（3）（3）
2
BC
BD AB

×
圆的有关性质
（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①
经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对
的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不
能是直径。
（2）两条平行弦所夹的弧相等。
C
A
B
D
a
c
A
B
C
D
E
F
l 1
b
l 2
A
B
C
D
E
C
E
A
B
D
（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。
（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直
径是最长的弦。、
（9）圆内接四边形的对角互补。
三角形的内心与外心
（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内
角角平分线的交点。
（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边
中垂线的交点．
常见结论：①Rt△ABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内
切圆的半径
2
a
b
c
r

-

；
②△ABC 的周长为l ，面积为S，其内切圆的半径为r，则
1
2
S
lr

弦切角定理及其推论
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫
做弦切角。如图：∠PAC 为弦切角。
（2）弦切角定理：
弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
如果AC 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，则
»
1
1
2
2
PAC
AC
AOC
Ð


Ð
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
O
P
B
C
A
如果AC 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，则
PAC
ABC
Ð
Ð
相交弦定理、割线定理和切割线定理
（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相
等。 
如图①，即：PA·PB = PC·PD
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点
的两条线段长的积相等。如图②，即：PA·PB = PC·PD
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线
与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB
①
②                     
③
面积公式
①S正△＝
×（边长）2．  
  ②S平行四边形＝底×高．
③S菱形＝底×高＝×（对角线的积），
④
1 (
)
2
S


´

´
梯形
上底
下底
高
中位线高
⑤S圆＝πR2．   
⑥l圆周长＝2πR．
⑦弧长L＝
．
  ⑧
2
1
360
2
n r
S
lr
p


扇形
 
⑨S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，
P
O
C
A
B
D
P
O
C
B
A
D
P
O
C
A
B
S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2
⑩S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb，相关配套资料关注公众号一只爱学
习的猫获取 
S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2