第十六章 整式的乘法
知识点一 幂的运算性质（整式乘除基础，𝒂≠𝟎，𝒎、𝒏、𝒑 均为正整数）
所有公式前提：底数不为0，区分指数运算规则，严禁混用
1.
同底数幂相乘
公式：𝐚𝐦⋅𝐚𝐧= 𝐚𝐦+𝐧
法则：底数不变，指数相加
举例：𝑎2 ⋅𝑎3 = 𝑎5；( ― 𝑥)4 ⋅( ― 𝑥)2 = ( ― 𝑥)6 = 𝑥6
2.
幂的乘方
公式：(𝐚𝐦)𝐧= 𝐚𝐦𝐧
法则：底数不变，指数相乘
举例：(𝑥3)2 = 𝑥6；[(𝑎― 𝑏)2]3 = (𝑎― 𝑏)6
3.
积的乘方
公式：(𝐚𝐛)𝐧= 𝐚𝐧𝐛𝐧，拓展：(𝑎𝑏𝑐)𝑛= 𝑎𝑛𝑏𝑛𝑐𝑛
法则：积中每个因式分别乘方，再把幂相乘
举例：( ― 3𝑥𝑦)2 = 9𝑥2𝑦2
4.
同底数幂相除
公式：𝐚𝐦÷ 𝐚𝐧= 𝐚𝐦―𝐧 (𝐦> 𝐧)
法则：底数不变，指数相减
5.
零指数幂
𝐚𝟎= 𝟏 (𝐚≠𝟎)；非零数的0 次幂等于1，00 无意义
6.
负整数指数幂（拓展）
𝐚―𝐩= 𝟏
𝐚𝐩 (𝐚≠𝟎)
易错提醒：
相乘指数加、乘方指数乘；负数乘方，指数偶数结果为正，指数奇数结果为负。
知识点二 整式乘法三大类型
类型1：单项式 × 单项式
运算步骤：
1. 系数相乘作积的系数；
2. 同底数幂依照幂的乘法法则运算；
3. 独有字母连同指数直接保留在积中。
类型2：单项式 × 多项式
• 依据： 乘法分配律
• 公式： 𝐦(𝐚+ 𝐛+ 𝐜) = 𝐦𝐚+ 𝐦𝐛+ 𝐦𝐜
• 法则： 用单项式去乘多项式里每一项，再把所有积相加
• 注意： 多项式每一项都要乘到，切勿漏项，留意符号
类型3：多项式 × 多项式
• 公式： (𝐚+ 𝐛)(𝐦+ 𝐧) = 𝐚𝐦+ 𝐚𝐧+ 𝐛𝐦+ 𝐛𝐧
• 法则： 先用第一个多项式的每一项，乘第二个多项式的每一项，展开后合并同类项
• 易错： 展开时容易漏乘某一项，正负号极易出错
知识点三 两大核心乘法公式（必考简便运算公式）
1. 平方差公式
• 标准形式： (𝐚+ 𝐛)(𝐚― 𝐛) = 𝐚𝟐― 𝐛𝟐
• 文字表述： 两数之和乘两数之差，等于这两个数的平方差
• 适用条件： 两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数
• 变形： 𝑎2 ― 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎― 𝑏)（逆向用于因式分解）
2. 完全平方公式
① 和的完全平方：(𝐚+ 𝐛)𝟐= 𝐚𝟐+𝟐𝐚𝐛+ 𝐛𝟐
② 差的完全平方：(𝐚― 𝐛)𝟐= 𝐚𝟐―𝟐𝐚𝐛+ 𝐛𝟐
• 口诀： 首平方，尾平方，乘积二倍放中央，符号跟随中间项
• 常用拓展变形：
𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2 ― 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎― 𝑏)2 + 2𝑎𝑏
(𝑎+ 𝑏)2 ― (𝑎― 𝑏)2 = 4𝑎𝑏
• 易错点： 经常遗漏 2𝑎𝑏 中间项
知识点四 整式的除法
1. 单项式 ÷ 单项式
法则：
1. 系数相除；
2. 同底数幂分别相除，指数相减；
3. 只在被除式里含有的字母，连同指数直接作为商的因式。
例题： 12𝑥5𝑦3 ÷ 3𝑥2𝑦= 4𝑥3𝑦2
2. 多项式 ÷ 单项式
• 公式： (𝐦𝐚+ 𝐦𝐛+ 𝐦𝐜) ÷ 𝐦= 𝐚+ 𝐛+ 𝐜
• 法则： 多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加
• 易错： 每一项都要除以单项式，常数项不可遗漏
易错点1 整式的混合运算
易错提醒
易错点总结
1. 运算顺序混乱：颠倒乘方、乘除、加减先后顺序，优先算了加减，后算乘方乘除；有括号忘记先算
括号内部。
2. 符号频繁出错：负号、负数乘方、单项式去括号时，括号前是负因数，括号内各项变号不彻底。
3. 幂的运算法则混用：同底数幂加减误套指数相加法则；幂的乘方、积的乘方公式记混。
4. 计算末尾遗漏合并同类项，式子没有化到最简形式，步骤残缺扣分。
5. 零指数幂忽略限制条件：随意计算
0
0 ，底数为0 时套用
0
1
a = 。
注意事项总结
1. 严格遵循运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号里。
2. 去括号口诀：正号去括号不变号，负号去括号每一项都要变号；负数乘方分清奇偶次符号。
3. 牢记幂运算适用范围：只有同底数幂相乘、相除才能加减指数；幂的加减不能合并指数。
4. 运算结束必须检查：合并所有同类项，结果化为最简整式。
5.
0
1
a = 成立前提：a≠0，底数为0 时零次幂无意义。
【对点训练】1．化简并求值
2
2
2
2
6
2
x
y
x
y
x
y
xy
x
é
ù
+
+
+
-
-
¸ -
ë
û
，其中
2
x = - ，
1
y = ．
【答案】
4x
y
-
+
，9
【详解】解：
2
2
2
2
6
2
x
y
x
y
x
y
xy
x
é
ù
+
+
+
-
-
¸ -
ë
û
2
2
2
2
4
4
4
6
2
x
xy
y
x
y
xy
x
=
+
+
+
-
-
¸ -
2
8
2
2
x
xy
x
=
-
¸ -
4x
y
= -
+
，
当
2
x = - ，
1
y = 时，原式
4
2
1
9
= - ´ -
+ =
易错点2 多项式乘法中的规律性问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会从前几组算式提炼通用代数式规律，只会单纯计算数值，找不到通项公式。
2. 展开多个多项式相乘时漏项、重复相乘，项数统计错误。
3. 正负交替数列符号规律判断失误，奇数项、偶数项符号写反。
4. 求出规律后，代入指定项数计算时，指数、次数对应错位。
5. 无法利用平方差连续相乘简化一串多项式乘积，硬算过程繁琐极易算错。
注意事项总结
1. 找规律三步走：计算前3 组结果→拆分数字结构→用含 n 的式子写出通用规律。
2. 多项式相乘牢记不重不漏，项数=两个多项式项数之积，做完核对项数。
3. 正负交替规律：常用( 1)n
-
或
1
( 1)n+
-
控制符号，区分奇偶项。
4. 连续相乘式子优先拼凑平方差公式简化运算，避免逐次硬算。
5. 最后代入数值时，核对序号与代数式完全对应，不要偏移次数。
【对点训练】2．观察下列等式：
2
2
a
b
a
b
a
b
-
+
=
-
；
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
-
+
+
=
-
；
3
2
2
3
4
4
a
a b
ab
a
b
b
b
a
+
+
+
=
-
-
；
M
(1)请根据以上等式的规律猜想并填空：
1
2
2
1
n
n
n
n
a
b
a
a
b
ab
b
-
-
-
-
-
+
+
+
+
=
L
________（其中n 为正整数，且
2
n ³
）；
(2)利用（1）的结论计算：
9
8
7
3
2
2
2
2
2
2
2 1
+
+
+
+
+
+
+
L
．
【答案】(1)
n
n
a
b
-
(2)
1023
【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论；
（2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解；
【详解】（1）解：观察已知等式可得
2
n =
时，
2
2
a
b
a
b
a
b
-
+
=
-
；
3
n =
时，
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
-
+
+
=
-
；
4
n =
时，
3
2
2
3
4
4
a
b
a
a b
ab
b
a
b
-
+
+
+
=
-
；
...，
因此可得猜想：
1
2
2
1
(
)
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
ab
b
a
b
-
-
-
-
-
+
+
+
+
=
-
L
（其中n 为正整数，且
2
n ³
）；
（2）解：根据（1）中规律可得：
9
8
7
2
2
2
2 1
+
+
+
+
+
L
9
8
2 1
2
2
2 1
=
-
+
+
+
+
L
10
10
2
1
=
-
1024 1
1023
=
- =
．
易错点3 通过对乘法公式变形求值
易错提醒
易错点总结
1. 完全平方公式基础变形记不牢，已知a
b
+
, ab ，无法求
2
2
a
b
+
,
2
(
)
a
b
-
。
2. 做题只会正向套用公式，逆向变形运用生疏，不会拆分、拼凑完全平方式。
3. 整体代入求值时，括号添加错误，符号出错。
4. 忽略
2
2
(
)
(
)
a
b
b
a
-
=
-
，纠结两数大小，没必要分类讨论却反复计算。
5. 多个式子联立求值时，等量代换混乱，计算数值偏差。
注意事项总结
1. 熟记三大核心恒等变形（必考）：
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
-
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
+
=
-
+
2
2
(
)
(
)
4
a
b
a
b
ab
+
-
-
=
2. 求值题优先整体代入，不单独求出字母具体数值，简化计算量。
3. 平方数恒为非负数，
2
(
)
a
b
-
与
2
(
)
b
a
-
永远相等，无需区分大小。
4. 做题先观察所求式子结构，主动凑出完全平方、平方差形式再计算。
【对点训练】3．数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：
2
2
2
2
2
2
(
)
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
Û
+
=
+
-
．
类比推导：
(1)
2
(
)
a
b
-
= ____________
2
2
a
b
Û
+
= ____________．
初步尝试：
(2)已知
5
a
b
-
=
，
2
ab =
，求
2
2
a
b
+
的值．
迁移应用：
(3)已知
7
6
5
x
x
-
-
= - ，求
2
2
(7
)
(
6)
x
x
-
+
-
的值．
【答案】(1)
2
2
2
a
ab
b
-
+
,
2
(
)
2
a
b
ab
-
+
(2)29
(3)11
【分析】（1）根据完全平方差公式直接展开变形，将
2
2
a
b
+
单独放等式一侧即可得到恒等变形式；
（2）利用（1）推导的恒等式
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
-
+
，直接代入已知数值计算；
（3）设
7
a
x
=
-
,
6
b
x
=
-
，先求a
b
+
的值，再套用恒等式
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
-
求解．
【详解】（1）解：由完全平方差展开：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
-
=
-
+
，
等式移项，把2ab
-
移到左边：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
-
+
．
（2）解：由变形公式：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
-
+
，
把
5
a
b
-
=
，
2
ab =
代入：
2
2
2
5
2 2
a
b
+
=
+ ´
25
4
=
+
29
=
，
2
2
29
a
b
\
+
=
．
（3）解：令
7
a
x
=
-
，
6
b
x
=
-
,
7
6
7
6
1
a
b
x
x
x
x
+
=
-
+
-
=
-
+
-
= ，
已知
7
6
5
ab
x
x
=
-
-
= - ，由完全平方变形
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
-
，代入：
2
2
7
6
x
x
-
+
-
2
2
a
b
=
+
2
2
a
b
ab
=
+
-
21
2
5
=
- ´ -
1 10
= +
11
=
．
易错点4 乘法公式在几何图形中的应用
易错提醒
易错点总结
1. 无法根据正方形、长方形面积等式，对应写出乘法公式，数形结合脱节。
2. 图形拼接、割补后，边长标注错误，面积等量关系式列写错误。
3. 阴影面积计算：大面积减小面积时分不清图形边界，列式出错。
4. 完全平方几何背景中，漏掉小正方形、小长方形区域，等量关系不完整。
5. 利用图形验证公式时，左右两边代数式无法统一化简。
注意事项总结
1. 核心思路：同一个图形面积，用两种不同代数式表示，建立等式。
2. 大正方形边长、分割后的小矩形边长逐一标注清楚，再写面积表达式。
3. 阴影面积通用方法：整体图形面积 − 空白部分总面积。
4. 大正方形分割四块（两个长方形+两个小正方形），严格对应完全平方公式结构。
5. 写完等式后左右两边化简，验证公式相等。
【对点训练】4．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式
乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式．
(1)观察图①，用边长分别为a ，b 的两个正方形和边长为a ，b 的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可
以推导出的乘法公式是 ；
(2)在（1）中公式里，若
2
2
97
a
b
+
=
，
36
ab =
（
0
a >
，
0
b >
），求a
b
+
的值．
【类比探究】
(3)若x 满足
5
1
3
x
x
-
-
=
，求
2
2
5
1
x
x
-
+
-
的值．小度的想法是设
5
a
x
=
-
，
1
b
x
=
- ，那么求出
2
2
a
b
+
的值即可．请你按小度的思路完成解答．
【拓展应用】
(4)如图②，某学校有一块梯形空地ABCD ，AC
BD
^
于点E ，AE
DE
=
，BE
CE
=
，该校计划在AED
V
和
BEC
V
区域内种花，在
CDE
△
和ABE
V
的区域内种草，经测量种花区域的面积和为
2
102 m ，
18 m
AC =
，求
种草区域的面积和．
【答案】(1)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
(2)13
(3)10
(4)
2
60m
【分析】（1）根据对图形面积的两种计算方式可解题目；
（2）根据
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
代入计算即可；
（3）设
5
a
x
=
-
，
1
b
x
=
- ，则
4
a
b
+
=
，
3
ab =
，根据
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
进行计算即可；
（4）设AE
DE
x
=
=
米，BE
CE
y
=
=
米，由题意得
18
x
y
+
=
，
2
2
204
x
y
+
=
，根据
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
求
出xy 的值即可．
【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积等于边长的平方，也等于里面四个图形的面积和，则得：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
；
（2）解：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
Q
，而
2
2
97
a
b
+
=
，
36
ab =
，
∴
2
97
2 36
169
a
b
+
=
+ ´
=
，
0
a >
Q
，
0
b >
，
13
a
b
\ +
=
；
（3）解：设
5
a
x
=
-
，
1
b
x
=
- ，则
4
a
b
+
=
，
5
1
3
ab
x
x
=
-
-
= ，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
Q
，
2
2
16
2
3
a
b
\
=
+
´ +
，
2
2
16
6
10
a
b
\
+
=
-
=
，
即
2
2
5
1
10
x
x
-
+
-
=
；
（4）解：设AE
DE
x
=
=
米，BE
CE
y
=
=
米，由题意得，
18
x
y
AE
EC
AC
+
=
+
=
=
米，
2
2
1
1
102
2
2
x
y
+
=
平方
米，
即
18
x
y
+
=
，
2
2
204
x
y
+
=
，
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
+
=
+
+
Q
，
2
18
204
2xy
\
=
+
，
60
xy
\
=
，
\种草区域的面积和1
1
60
2
2
xy
xy
xy
+
=
=
（平方米）．
易错点5 以整式的混合运算为背景的新定义问题
易错提醒
易错点总结
1. 看不懂题目自定义新运算符号，擅自套用加减乘除原有运算法则，曲解题意。
2. 代入数字、字母对应位置错乱，把前后数字顺序颠倒计算。
3. 多层嵌套新运算，不会分步计算，直接整体化简导致逻辑错误。
4. 结合乘法公式化简时，去括号、合并同类项符号出错。
5. 最后求解参数取值时，忘记回看题干附加限制条件。
注意事项总结
1. 严格依照题目给出的运算规则计算，不凭借固有经验自创公式。
2. 找准新定义中前后两个数对应的位置，依次代入，顺序不可调换。
3. 多层运算遵循：先算内层新运算，再算外层，分步书写步骤。
4. 化简过程规范运用幂运算、乘法公式，每一步核对符号。
5. 算出结果或参数后，带回题干条件检验，舍去不符合要求的答案。
【对点训练】5．现定义一种新运算“Ä”，对于任意有理数a，b，c，d 规定
,
,
a b
c d
ad
bc
Ä
=
-
．例如：
1,3
2,4
1 4
2 3
2
Ä
= ´
- ´
= - ．请解答下列问题：
(1)填空：
3,5
6,2
-
Ä
= ______；
(2)若
1,
2
4,
1
x
nx
x
+
+
Ä
+
的代数式中不含x 的一次项时，求n 的值；
(3)如图，在六边形ABCDEF 中，对角线BE 和CF 相交于点G，当四边形ABGF 和四边形CDEG都为正方形
时，设正方形ABGF 和正方形CDEG的边长分别为a，b，若
9
BE =
，
2
1,
1
1,
1
40
a
b
a
+
+
Ä -
-
=
，求出阴
影部分的面积．
【答案】(1) 36
-
(2)
1
2
n =
(3)20.5
【分析】（1）直接根据新运算定义代入计算即可；
（2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为0 求解；
（3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面积
和)．
【详解】（1）解：根据新运算( , )
( , )
a b
c d
ad
bc
Ä
=
-
，
对于
6
(
)
3,5
6,2
3
2
6
)
(
)
5
6
0
(
3
3
-
Ä
= -
´ - ´
= - -
= -
；
（2）解：(
)
2
(
)
1,
4,
1
x
nx
x
+
+
Ä
+
，
)
1
1
(
4
2
(
)(
)
x
x
nx
=
+
+
-
+
2
2
1
4
8
x
x
nx
=
+
+ -
-
2
)
2
4
(
7
x
n x
=
+
-
-
∵代数式中不含x 的一次项，
∴一次项系数2
4
0
n
-
=
，
∴解得
1
2
n =
；
（3）解：
2
1,
1
1,
1
40
(
)
(
)
a
b
a
+
+
Ä -
-
=
，
可得：
2
0
(
1
1
1
)(
)
(
)(
1)
4
a
a
b
+
-
- -
+
=
，
即
2
2
1
1
40
a
b
- +
+ =
，
∴
2
2
40
a
b
+
=
，
∵
9
BE
a
b
=
+
=
，
∴
2
(
)
81
a
b
+
=
，
∴40
2
81
ab
+
=
，
∴
41
2
ab =
，
阴影部分面积为两个三角形面积和
1
1
20.5
2
2
S
ab
ab
ab
=
+
=
=
一、单选题
1．对于任意有理数a ，b ，现用“☆”定义一种运算：
2
2
a
b
a
b
=
-
☆
，根据这个定义，代数式(
)
x
y
y
+
☆可以
化简为（ ）
A．
2
2
x
xy
+
B．
2
xy
y
-
C．
2
xy
y
+
D．
2
x
【答案】A
【分析】本题考查的是定义新运算，解题的关键是准确理解并运用题目中给出的新运算规则．根据定义可
知
2
2
a
b
a
b
=
-
☆
，只需将代数式中的a 替换为x
y
+
、b 替换为y ，再结合完全平方公式展开并合并同类项，
即可完成化简．
【详解】解：Q新运算定义为
2
2
a
b
a
b
=
-
☆
，
2
2
(
)
x
y
y
x
y
y
\
+
=
+
-
☆
，
展开并合并同类项得
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
y
x
xy
+
+
-
=
+
．
故选：A ．
2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构
造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，
观察下列各式，请猜想
8
a
b
+
展开式中所有项的系数和是（ ）
A．128
B．256
C．512
D．1024
【答案】B
【分析】由题意知，对于
n
a
b
+
，当令
1,
1
a
b
=
= 时，
1 1
n
+
的结果即为展开式中所有项的系数和，所以取
1,
1
a
b
=
= 代入计算即可．
【详解】解：当
1,
1
a
b
=
= 时，
8
8
1 1
256
a
b
=
=
+
+
∴
8
a
b
+
展开式中所有项的系数和是256 ．
3．将图1 中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
B．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
-
=
-
+
C．
2
2
a
b
a
b
a
b
-
+
=
-
D．
2
2
a
b
a
b
a
b
+
+
=
+
【答案】B
【分析】分别计算出图1 和图2 中阴影部分的面积，根据面积相等列出等式即可．
【详解】解：由图可得，图1 中阴影部分的面积为
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
-
-
=
-
+
，
\图2 中阴影部分的面积为
2
a
b
-
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
\
-
=
-
+
．
4．如图，将图1 中两个边长分别为a ，b 的正方形按如图2 所示放置在长方形ABCD 内（正方形两邻边与
长方形两邻边重合）．若
10
a
b
+
=
，长方形ABCD 与重叠部分面积之差为12，则下列各个量为定值的是
（ ）
A．长方形ABCD 的面积
B．长方形ABCD 的周长
C．ab 的值
D．重叠部分周长
【答案】D
【详解】解：设重叠部分的长和宽分别为m 、n ，
\由题意得AD
a
b
n
=
+
- ，AB
a
b
m
=
+
-
，
又Q长方形ABCD 与重叠部分面积之差为12，
12
a
b
n
a
b
m
mn
\
+
-
+
-
-
=
，
整理得
2
12
a
b
m
n
a
b
+
-
+
+
=
，
10
a
b
+
=
Q
，
100 10
12
m
n
-
+
=
∴
，
2
17.6
m
n
\
+
=
，即重叠部分周长为17.6，为定值，即D 选项符合题意，
长方形ABCD 的面积为
2
100 10
AD AB
a
b
n
a
b
m
a
b
m
n
a
b
m
n
×
=
+
-
+
-
=
+
-
+
+
=
-
+
，
m
Q
、n 非定值，
m
n
\
+
非定值，
\长方形ABCD 的面积非定值，即A 选项不符合题意；
长方形ABCD 的周长为
2
2
2 2
4
2
40
2
AD
AB
a
b
n
a
b
m
a
b
m
n
a
b
m
n
m
n
é
ù
é
ù
+
=
+
-
+
+
-
=
+
-
+
=
+
-
+
=
-
+
ë
û
ë
û
，
\长方形ABCD 的周长非定值，即B 选项不符合题意；
由于
10
a
b
+
=
，故a 、b 有多种取值的可能，如：
7
a =
，
3
b =
，
21
ab =
；
6
a =
，
4
b =
，
24
ab =
；故ab
的值非定值，即C 选项不符合题意．
5．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照
从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：
2
2
1
3
1
a =
-
，
2
2
2
5
3
a =
-
，
2
2
3
7
5
a =
-
L
，，有如下结
论：
①
12
96
a
=
；
②
1
2
8
a
a
a
+
+¼+
是8 的倍数；
③m，n 为正整数，且m
n
>
，若
2
7
7
2
m
m
n
mn
+
-
+
-
是“和谐数”，则
7
m
n
-
=
，
其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到
12
a 的值；
②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误；
③将
2
7
7
2
m
m
n
mn
+
-
+
-
整理为
2
49
m
n
-
-
，把
7
m
n
-
=
代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”
的定义即可判断．
【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为n ，则被减数的底数为2
1
n + ，减数的底数为2
1
n - ，
即
2
2
2
1
2
1
na
n
n
=
+
-
-
；
2
2
12
2 12 1
2 12 1
96
a
\
=
´
+
-
´
-
=
．
故①正确；
②根据①找出的规律知：
2
2
2
1
2
1
8
na
n
n
n
=
+
-
-
=
，
1
2
8
a
a
a
\
+
+
+
LL
8 1 8 2
8 8
= ´ + ´ +
+ ´
LL
8
1
2
8
= ´
+
+
+
LL
8 36
= ´
\
1
2
8
a
a
a
+
+
+
LL
是8 的倍数．
故②正确；
③
2
7
7
2
m
m
n
mn
+
-
+
-
2
2
49
2
m
n
mn
=
-
+
-
2
49
m
n
=
-
-
2
2
7
m
n
=
-
-
若
7
m
n
-
=
，则原式
0
=
，
而0 不是正整数，故不可能是“和谐数”．
故③错误.
二、填空题
6．现定义某种运算“ # ”：对于任意两个数a 和b，有
2
2
#
a b
a
ab
b
=
-
+
，如
2
2
3#4
3
3 4
4
13
=
- ´ +
=
，请按定
义计算
#
x
y
x
y
+
-
= ________．
【答案】
2
2
3
x
y
+
/
2
2
3y
x
+
【分析】根据定义的运算，原式可化为
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
+
-
+
-
，然后根据完全平方公式和平方差
公式计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
#
x
y
x
y
+
-
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
=
+
-
+
-
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
y
x
xy
y
=
+
+
-
-
+
-
+
2
2
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
y
x
xy
y
=
+
+
-
+
+
-
+
2
2
3
x
y
=
+
．
7．若实数x 满足
2026
2024
5
x
x
-
-
=
，则代数式
2
2025
x
-
的值为__________．
【答案】6
【分析】利用换元法设2025
x
a
-
=
，则由已知可得
1
1
5
a
a
+
-
=
，利用平方差公式求解即可．
【详解】解：设2025
x
a
-
=
，
∵
2026
2024
5
x
x
-
-
=
，
∴
1
1
5
a
a
+
-
=
，
∴
2
1
5
a - =
，
∴
2
6
a =
，
∴
2
2025
6
x
-
=
．
8．观察下列各式：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
- ；
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
- ；
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
- ；
……
根据规律计算：
2025
2024
2023
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2 1
+
+
+
+
+
+
+
+ =
L
____________．
【答案】
2026
2
1
-
【分析】根据题干得出规律
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+¼+
+
=
- ，再结合规律计算即可得出结果．
【详解】解：∵
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
- ；
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
- ；
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
- ；
……
∴
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+¼+
+
=
- ，
∴
2025
2024
2023
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2 1
+
+
+
+
+
+
+
+
L
2025
2024
2023
4
3
2
2 1
2
2
2
2
2
2
2 1
=
-
´
+
+
+
+
+
+
+
+
L
2026
2
1
=
- ．
9．仔细观察，探究规律：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
- ，
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
- ，
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
- ，
4
3
2
5
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
+
+
+
+
=
- ，则算式
0
1
2
3
4
2024
2025
2026
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
L
值的个位数字是
________．
【答案】7
【分析】根据规律可得
0
1
2
3
4
2024
2025
2026
2027
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
=
-
L
，根据乘方的计算规律可得
2027
2
的个位数是8，
2027
2
1
- 的个位数是7 ．
【详解】解：
0
1
2
3
4
2024
2025
2026
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
L
0
1
2
3
4
2024
2025
2026
2 1
2
2
2
2
2
2
2
2
=
-
´
+
+
+
+
+
+
+
+
L
2027
2
1
=
- ，
12
2
=
Q
，个位数是2 ，
2
2
4
=
，个位数是4 ，
32
8
=
，个位数是8，
4
2
16
=
，个位数是6 ，
52
32
=
，个位数是2 ，
\每4 次运算一个循环，
2027
4
506
3
¸
=
Q
L ，
2027
2
\
的个位数是8，
2027
2
1
\
- 的个位数是7 ．
三、解答题
10．先化简再求值：
2
[ 2
2
2
]
2
a
b
a
b
a
b
b
+
-
+
-
¸
，其中a = - 1
2 ，
3
b =
【答案】
2a
b
+
，2
【详解】解：
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
b
é
ù
+
-
+
-
¸
ë
û
2
2
2
2
4
4
4
2
a
ab
b
a
b
b
=
+
+
-
+
¸
2
4
2
2
ab
b
b
=
+
¸
2a
b
=
+
；
当
1
2
a
-
=
，
3
b =
时，原式
1
2
3
1 3
2
2
æ
ö
=
´ -
+
= - +
=
ç
÷
è
ø
.
11．定义：若一个整式能表示成
2
2
A
B
+
（A ，B 为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，
2
2
2
2
2
5
2
1
4
1
2
x
x
x
x
x
-
+
=
-
+
+
=
-
+
，且
1
x- ，2 均为整式，所以
2
2
5
x
x
-
+
是“平方和式”．
(1)在3
2
x +
，
2
4
x +
，
2
2
x
x
+
中，是“平方和式”的是 ：
(2)根据定义，说明
2
2
2
4
5
a
b
a
b
+
+
-
+
是“平方和式”；
(3)如果M ，N 是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请
举出反例．
【答案】(1)
2
4
x +
(2)证明：
2
2
2
2
2
2
2
4
5
2
1
4
4
1
2
a
b
a
b
a
a
b
b
a
b
+
+
-
+
=
+
+
+
-
+
=
+
+
-
Q
，且
1
a + 和
2
b -
都是整式，符
合“平方和式”定义，
2
2
2
4
5
a
b
a
b
\
+
+
-
+ 是“平方和式”；
(3)是，乘积仍是“平方和式”， 理由如下：
M
Q
，N 是“平方和式”，
\可设
2
2
M
A
B
=
+
，
2
2
N
C
D
=
+
，其中A 、B 、C 、D 都是整式，
则
2
2
2
2
M N
A
B
C
D
×
=
+
×
+
2
2
2
2
2
2
2
2
A C
A D
B C
B D
=
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A C
A C B D
B D
A D
A D B C
B C
=
+
×
×
×
+
+
-
×
×
×
+
2
2
AC
BD
AD
BC
=
+
+
-
A
Q
、B 、C 、D 都是整式，
AC
BD
\
+
和AD
BC
-
均为整式，
因此M 和N 的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”．
【分析】（1）逐一判断三个整式能否写成两个整式的平方和；
（2）通过分组配方将原式变形为两个整式的平方和；
（3）设出M ，N 的平方和形式，展开后重新配方即可证明乘积仍符合定义．
【详解】（1）解：逐个验证三个整式：
3
2
x +
为一次整式，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”，
2
2
2
4
2
x
x
+
=
+
，x 和2 均为整式，符合“平方和式”定义，是“平方和式”，
2
2
2
1
1
x
x
x
+
=
+
- ，无法写成两个整式的平方和，不是“平方和式”，
故符合要求的是
2
4
x +
；
（2）略
（3）略
12．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1 可以得到：
2
2
2
3
2
a
b
a
b
a
ab
b
+
+
=
+
+
．
(1)由图2 可以得到：______；
(2)利用图2 所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c 满足
11
a
b
c
+
+
=
，
38
ab
bc
ac
+
+
=
，则
2
2
2
a
b
c
+
+
的值为______；
②若实数x，y，z 满足8
4
2
16
x
y
z
´
¸
=
，
2
2
2
9
4
44
x
y
z
+
+
=
，求6
3
2
xy
xz
yz
-
-
的值．
【答案】(1)
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
+
+
=
+
+
+
+
+
；
(2)①45；②14
-
【分析】（1）边长为a
b
c
+
+
的大正方形，整体面积为
2
a
b
c
+
+
；将其分割为9 个小长方形，各部分面积
和为
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
+
+
+
+
+
．由面积相等可得等式；
（2）①由公式变形得
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
+
+
=
+
+
-
+
+
，将
11
a
b
c
+
+
=
，
38
ab
bc
ac
+
+
=
代入计算
解；②先将等式8
4
2
16
x
y
z
´
¸
=
全部化为以2为底的幂，由同底数幂乘除法则得
3
2
4
2
2
x
y z
-
+
=
，即3
2
4
x
y
z
-
+
=
，
再利用（1）的公式代入求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，图2 的大正方形的边长为a
b
c
+
+
，
∴其面积为
2
a
b
c
+
+
，
又∵该大图形面积可分为9 个小长方形的面积，
∴
2
a
b
c
+
+
2
2
2
a
ab
ac
ab
b
bc
ac
bc
c
=
+
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
=
+
+
+
+
+
；
（2）解：①由（1）可得，
2
2
2
a
b
c
+
+
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
=
+
+
-
+
+
2
11
2 38
=
- ´
121 76
=
-
45
=
；
②∵
3
3
2
2
4
8
2
2 ,4
2
2 ,16
2
x
y
x
x
y
y
=
=
=
=
=
，
∴
3
2
4
2
2
2
2
x
y
z
´
¸
=
，
∴
3
2
4
2
2
x
y z
-
+
=
，
∴3
2
4
x
y
z
-
+
=
，
由（1）可得，
2
3
2
x
y
z
-
+
2
2
2
3
2
2 3
2
2 3
2 2
x
y
z
x
y
x
z
y
z
-
-
-
=
+
+
+
×
×
+
×
×
+
×
×
2
2
2
9
4
12
6
4
x
y
z
xy
xz
yz
-
-
=
+
+
+
，
∴
2
4
44
12
6
4
xy
xz
yz
-
-
=
+
16
44
2 6
3
2
xy
xz
yz
-
-
=
+
2 6
3
2
28
xy
xz
yz
-
-
-
=
解得6
3
2
14
xy
xz
yz
-
-
-
=
．
13．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为
2
2
x
y
-
（,x y 均为自然数）”的问题．指导
教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：
N
奇数
4 的倍数
表示结果
2
2
1
1
0
=
-
2
2
3
2
1
=
-
2
2
5
3
2
=
-
2
2
7
4
3
=
-
2
2
9
5
4
=
-
…
2
2
4
2
0
=
-
2
2
8
3
1
=
-
2
2
12
4
2
=
-
2
2
16
5
3
=
-
2
2
20
6
4
=
-
…
一般结论
2
2
2
1
1
n
n
n
-
-
=
-
4n =_______________
按如表规律，完成下列问题：
(1)11= （_____________）2- （_____________）2 ；4n =_____________；
(2)兴趣小组还猜测：像2 ，6 ，10，14，…这些形如4
2
n -
（n 为正整数）的正整数N 不能表示为
2
2
x
y
-
（,x y 均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程：
假设
2
2
4
2
n
x
y
-
=
-
，其中,x y 均为自然数．分下列三种情形分析：
①若,x y 均为偶数，设
2 ,
2
x
k y
m
=
=
，其中,k m均为自然数，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
k
m
k
m
-
=
-
=
-
为4 的倍数．
而4
2
n -
不是4 的倍数，矛盾．
故,x y 不可能均为偶数．
②若,x y 均为奇数，设
2
1,
2
1
x
k
y
m
=
+
=
+ ，其中,k m均为自然数．……
③若,x y 一个是奇数一个是偶数，则x
y
-
和x
y
+
均为奇数．所以
2
2
x
y
x
y
x
y
-
=
-
+
为奇数，而4
2
n -
是偶数，矛盾，故,x y 不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，
猜测正确．
阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明．
【答案】(1)6，5；
2
2
1
1
n
n
+
-
-
(2)见解析
【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解；
（2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可．
【详解】（1）解：由表格可得，奇数的一般规律为：
2
2
2
1
1
n
n
n
- =
-
-
∴当2
1
11
n - =
时，解得：
6
n =
小学
初中
∴
2
2
2
2
11
6
6 1
6
5
=
-
-
=
-
故答案为：6 ，5；
由表格可得：4 的倍数的规律为：
2
2
4
1
1
n
n
n
=
+
-
-
故答案为：
2
2
1
1
n
n
+
-
-
．
（2）解：②若,x y 均为奇数，
设
2
1
x
k
=
+
2
1
y
m
=
+ ，其中,k m均为自然数．
∴
2
2
2
2
2
1
2
1
x
y
k
m
-
=
+
-
+
2
2
4
4
1
4
4
1
k
k
m
m
=
+
+ -
+
+
2
2
4
4
4
4
k
k
m
m
=
+
-
-
2
2
4 k
m
k
m
=
-
+
-
．
∵
2
2
4 k
m
k
m
-
-
+
为4 的倍数，而4
2
n -
不是4 的倍数，矛盾，
∴,x y 不可能均为奇数．
14．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
2
2
,
,
a b
a
d
bc
c d =
+
+
．
(1)
1, 2
3,4
- -
=______；
(2)如图，四边形ABCD 是正方形，边长
4
AB =
，P 在正方形内部，过点P 分别作AB 、AD 的垂线与AB 、
BC 、CD、DA 相交于点E、F、G、H，连接EC 、HC ，AE
AH
m
=
=
，CF
CG
n
=
=
，且
,4
22
,
m
m
n
n =
．求
图中阴影部分的面积是多少？
【答案】(1)11
(2)3
【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解；
（2）利用新定义的运算法则化简，得到
3
mn =
，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影
部分的面积为mn ，整体代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
ab
a
d
bc
cd =
+
+
，
∴
2
2
1, 2
1
4
2
3
1 16
6
11
3,4
- -
= -
+
+ -
´ = +
-
=
；
（2）解：∵
2
2
a
b
a
d
bc
c
d =
+
+
，
，
，
,4
22
,
m
m
n n
=
，
∴
2
2
4
22
m
n
mn
+
+
=
，
∴
2
2
22
m
n
mn
+
+
=
，
∵
4
AB
m
n
=
+
=
，
∴16
2
22
mn
+
=
，
∴
3
mn =
；
图中阴影部分的面积
2
2
2
2
n
n
m
n
m
m
n
m
n
=
+
-
-
×
+
-
+
2
2
2
2
2
m
mn
n
m
mn
n
=
+
+
-
-
-
mn
=
，
∵
3
mn =
，
∴原式
3
=
．
15．观察下列各式：
第1 个等式：
2
1
1
1
x
x
x
-
+
=
- ；
第2 个等式：
2
3
1
1
1
x
x
x
x
-
+
+
=
- ；
第3 个等式：
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
-
+
+
+
=
- ；
……
(1)根据规律写出第n 个等式：______；
(2)根据规律计算：
2026
2025
2024
2023
4
3
2
10
10
10
10
10
10
10
10 1
-
+
-
+×××+
-
+
-
+ ．
【答案】(1)
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+
+
+
=
-
L
(2)
2027
10
1
11
S
+
=
【分析】（1）根据等式规律直接得到答案；
（2）先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到
结果．
【详解】（1）解：根据规律写出第n 个等式：
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
-
-
+
-
+
+
+
+
+
=
-
L
（2）解：根据已知等式可得规律：
1
1
1
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
-
+
-
+
+
+
+
=
-
L
，
设
2026
2025
2024
2023
2
10
10
10
10
... 10
10 1
S =
-
+
-
+
+
-
+ ，
变形可得
2026
2025
2024
1
10
10
10
...
10
1
S = -
+ -
+ -
+
+ -
+ ，
根据已知规律使
10 1
S ´ -
-
，得：
2027
10 1
10
1
S
-
-
= -
- ，
整理得
2027
11
10
1
S
-
= -
- ，
等式两边同时除以11
-
，得：
2027
10
1
11
S
+
=
．
