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专题11.2 排列组合
11.2.1 排列与组合概念及相关公式
知识点梳理
1.排列与排列数
（1）定义：从n个不同元素中取出m ( m ≤n)个元素排成一列，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m ( m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An
m表示.
（2）排列数的公式：An
m =n(n
1)(
−
n
2)
−
⋯(n−m +1)=n!
(n−m )! .
特例：当m =n时，An
n=n!=n(n
1)(
−
n
2)
−
⋯3⋅2⋅1；规定：0!=1.
（3
①
）排列数的性质：
An
m =n An
1
−
m
1
−
②
；
An
m =1
n−m An
m +1=n
n−m An
1
−
m
③
；
An
m = m An
1
−
m
1
−+ An
1
−
m
.
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，
特殊元素）.
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，
An
m =n(n
1)
(
−
⋯n−m +1) 常用与具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，
多用An
m =n!
(n−m )! .
2.组合与组合数
（1）定义：从n个不同元素中取出m ( m ≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的一个组合. 从n个不同元素中取出m (m ≤n)个元素的所有组合的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn
m表示.
（2）组合数公式及其推导
1
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求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An
m，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn
m；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数Am
m；
根据分步计数原理，得到An
m =Cn
m⋅Am
m
；因此Cn
m = An
m
Am
m =n(n
1)(
−
n
2)
(
−
⋯n−m +1)
m !
.
这里n,m ∈N+，且m ≤n，这个公式叫做组合数公式.因为An
m =n!
(n−m )! ，所以组合
数公式还可表示为：Cn
m =n!
m !(n−m )! .特例：Cn
0=Cn
n=1.
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题
时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题. 公式
Cn
m =n(n
1)(
−
n
2)
(
−
⋯n−m +1)
m !
常用于具体数字计算，Cn
m =n!
m !(n−m )! 常用于含字
母算式的化简或证明.
（3
①
）组合数的主要性质：
Cn
m =Cn
n−m
②
；
Cn
m+Cn
m
1
−=Cn+1
m .
（4
① “
”
“
”
）组合应用题的常见题型：
含有或不含有某些元素的组合题型；② “
”
至少
“
”
或最多含有几个元素的题型
3.排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们
之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需
要考虑顺序的是排列问题. 排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解
“
”
决排列组合综合问题的基本思维是先组合，后排列.
典型例题
例1.已知n，m为正整数，且n≥m，则下列各式中，正确的个数是（ ）
2
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①A6
3=120
②
；
A12
7 =C12
7 ⋅A7
7
③
；
Cn
m+Cn+1
m =Cn+1
m +1
④
；
Cn
m =Cn
n−m.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2.（多选）
下列等式正确的是（）
A. Cn
m =Cn
n−m B. Cn
m = An
m
n!
C. (n+2)(n+1)An
m = An+2
m +2 D. Cn
r=Cn
1
−
r
1
−+Cn
1
−
r
例3.（1）计算：(C100
2 +C100
97 )÷A101
3 ；
（2）计算：C3
3+C4
3+…+C10
3 ；
（3）解方程：An
7−An
5
An
5
=89.
随堂演练
1.（多选）下列等式正确的是（ ）
A. Cn
m =Cn
n−m B. 2019!⋅C2024
2019=2024 A2023
2018
C. Cn
m = An
m
n!
D. An
m+ m An
m
1
−= An+1
m
2.（多选）下列等式正确的是（ ）
A. An
m =n An
1
−
m
1
− B. Cn
m =n+1
m +1 Cn+1
m +1
C. An+1
n+1−An
n=n
2An
1
−
n
1
− D. (n+1)!
k!
−n!
(k
1)!
−
=(n−k+1)⋅n!
k!
(k≤n)
3
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3.已知Cn+1
n
1
−= An
1
−
2
+1，则n!= .
4.若A2n
4 =120Cn
2，则n= .
5.已知n，m为正整数，且n≥m
，则下列各式中错误的是（ ）
A. A6
3=120 B. A12
7 =C12
7 ⋅A7
7
C. Cn
m+Cn+1
m =Cn+1
m +1 D. Cn
m =Cn
n−m
6.若A2n
3 =10An
3，则n=
（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7.
已知C13
2x
1
−=C13
x+2
，则x
的值为（ ）
A. 3 B. 3 或4 C. 4 D. 4 或5
8.若C18
3n+6=C18
4n
2
−，则C9
n= .
11.2.2 排列组合-数字排列类型
知识点梳理
数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项：排列问题的本质是“元素”占“位
子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某
4
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个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元
素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类
讨论.
典型例题
例1.用数字1，2，3，4
组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A. 6 B.12 C.16 D.18
例2.从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字
之和等于9的概率为（ ）
A. 13
125 B. 16
125 C. 18
125 D. 19
125
例3.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926<π<3.1415927，
为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成
就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6 位数字3，1，
4，1，5，9 进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9 不在最后一位，那么小明可以
设置的不同密码有（ ）个．
A. 600 B.300 C.360 D.180
例4.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
A. 48个 B. 36个 C. 24个 D. 18个
随堂演练
1.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（ ）
A. 36个 B. 24个 C. 18个 D. 6个
2.
“
数字2016”中，各位数字相加和为9
“
”
，称该数为长久四位数，则用数字0,1,2,3,4,5,6
组成的无重复数字且大于2016
“
”
的长久四位数有（
）个
A. 39 B. 40 C. 41 D. 42
3.由数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共
有（
）
A. 210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个
4.用数字1、2、3 组成五位数，且数字1、2、3 至少都出现一次，这样的五位数共有（ ）
个
A. 120 B. 150 C. 210 D. 240
5
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5.若从1，2，3
…
，，9 这9 个整数中取出4 个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，
则使得a×b×c+d为奇数的不同排列方法有（ ）
A. 1224 B.1800C.1560D.840
6.用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有
个（用数字作答）.
7.用1∼9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共
有 个.
8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i=1,2,…,6)，若a1≠1，a3≠3，
a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法有 种（用数字作答）.
9.袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡
片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）.
11.2.3 排列组合-涂色类型
知识点梳理
1.涂色（染色）问题主要类型
（1）点线面染色问题：涉及对点、线、面的染色；
（2）区域染色问题：将一个平面区域按照一定的规则进行染色；
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（3）图形染色问题：对各种几何图形进行染色，如三角形、正方形等；
（4）染色方案问题：确定满足一定条件的染色方案的数量；
（5）染色规律问题：寻找染色过程中的规律；
（6）限定条件染色问题：在特定限制条件下进行染色，等等．
2.涂色（染色）问题的常用解题策略
（1）从确定染色顺序入手根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区
域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的方法．
（2）从使用颜色的种类入手
按照染色问题中的题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的
种类，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种数．
（3）从相对区域是否同色入手
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理
求出不同的染色方法的种类．
3.应用两个计数原理解决涂色（染色）问题的一般步骤
（1）明确问题：仔细理解涂色染色问题的具体要求和限制条件；
（2）分解步骤：将整个涂色染色过程分解为若干个相互独立的步骤；
（3）分类或分步：
①分类：根据不同的情况或条件进行分类，每类相互独立；
②分步：按照一定的顺序进行分步操作．
（4）确定方法数：在分类的情况下，分别计算每类的方法数；在分步的情况下，相乘
得到总的方法数．
（5）计算总数：如果既有分类又有分步，需要明确先分类再分步计算，还是先分步再
分类计算.
（6）检查结果：检查计算结果是否满足问题的限制条件．
4.应用两个计数原理解决涂色（染色）问题注意事项
（1）确保分类或分步的合理性和完整性，避免遗漏情况．
（2）注意题目中的限制条件，不符合要求的方案应排除．
（3）对于复杂的问题，可以通过列举部分情况来辅助理解和分析．
典型例题
例1.某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区
域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A. 36
B. 48
C. 54
D. 72
例2.提供6 种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F 六个区域涂色，要求相邻区域不能
涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种.
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例3.在3×3 的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个2×2 的方
格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 .
例4.无盖正方体容器的五个面上分别标有A、B、C、D、E五个字母，现需要给容器的5 个
表面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，现有5 种不同的颜色可供选择，则不同
的染色方案有（ ）种.
A. 420 B. 340 C. 300 D. 120
随堂演练
1.用6 种不同的颜色对正四棱锥的8 条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的
染色方案共有多少种（ ）
A. 14400
B. 28800
C. 38880
D. 43200
2.某人有3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,
要在如图所示的6 个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个
灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装
方法共有 种．（用数字作答）
3.如图，一环形花坛分成A,B,C,D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种1 种
花，且相邻的2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96
B．84
C．60
D．48
4.如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且
图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．288 种
B．264 种
C．240 种
D．168 种
8
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5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的
形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的
每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，
如果只有5
种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A. 180 B. 240
C. 420 D. 480
6.在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域
（有公共边）涂不同的颜色，现有5
种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）
A. 720 种
B. 2160 种
C. 4100 种
D. 4400 种
7.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,⋯,9 的9
个小正方形（如图1），使
“
得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且目标号为1、5、9”的小正方形
涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A. 108 种
B. 60 种
C. 48 种
D. 36 种
8.重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东
邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4 种颜色标注6 个省份的图区域，
相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．
1
2
3
4
5
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7
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9
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11.2.4 排列组合-捆绑法
知识点梳理
1.解决相邻问题的方法是“捆绑法”.
2.其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法
种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元
素一起排列，共有An−k +1
n−k +1种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共
有Ak
k种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有An−k +1
n−k +1⋅Ak
k种.
典型例题
例1.周一到周五某公司需要安排甲、乙、丙、丁、戊各值班一天，则甲值完班以后正好轮
到乙值班的方法数为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
例2.甲、乙等5 人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且
都不站在两端的排法有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．120 种
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例3.3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两
位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．360
B．288
C．216
D．96
例4.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能
排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法
A．24
B．144
C．48
D．96
随堂演练
1.有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
2.记者要为5 名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在
两端，不同的排法共有（ ）
A．1440 种
B．960 种
C．720 种
D．480 种
3.甲、乙、丙、丁、戊5 人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72 种
B．60 种
C．48 种
D．36 种
4.3 位教师和4 名学生站一排，3 位教师必须站在一起，共有（ ）种站法．
A．144
B．360
C．480
D．720
5.甲乙丙丁戊共
､
､
､
､
5 名同学进行演讲比赛，决出第1 名到第5 名的名次.已知甲和乙都不
是第1 名，且丙和丁的名次相邻，则5 人的名次排列可能有（ ）种不同的情况
A．18
B．24
C．36
D．48
6.某晚会上需要安排4 个歌舞类节目和2 个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间
有且仅有2 个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（ ）
A．72
B．96
C．120
D．144
7.4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排
1 名同学，则不同的安排方法共有 种.
8.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2 名男生和4 名女生参加农场体验活动，体验
活动结束后，农场主与6 名同学站成一排合影留念，则2 名男生相邻且农场主站在正中间
的排列数为 ．（用数字作答）
11
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11.2.5 排列组合-插空法
知识点梳理
1.解决不相邻问题的方法为“插空法”.
2.其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（k≤n-k+1），求不
同排法种数的方法是：先将（n-k）个元素排成一排，共有An−k
n−k种排法；然后把k 个元素插
入n-k+1 个空隙中，共有An−k +1
k
种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
An−k
n−k⋅An−k +1
k
种.
典型例题
例1.两个大人和4 个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1 个小孩，则不同的站法
有（ ）种.
A．240
B．360
C．420
D．480
例2.2022 年2 月4 日，中国北京第24 届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开
始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制
作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别
放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
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A．24
B．48
C．144
D．244
例3.某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将
这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
A．6
B．12
C．15
D．30
例4.高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5 本书，把这5 本书放
在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（ ）
A．72
B．144
C．48
D．36
随堂演练
1.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144
B．120
C．72
D．24
2.有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就坐，规定前排中间的3 个
座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．234
B．346
C．350
D．363
3.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次
为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相
邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）
A．18 种
B．24 种
C．36 种
D．72 种
4.马路上有编号为1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏
或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（ ）种
A．15
B．20
C．10
D．9
5.一个小型联欢会要安排1 个诗词朗诵类节目，2 个独唱类节目，2 个歌舞类节目，则同类
节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44 种
B．48 种
C．72 种
D．80 种
6.已知A、B、C、D、E、F 六个人站成一排，要求A 和B 不相邻，C 不站两端，则不同的排
法共有（ ）种
A．186
B．264
C．284
D．336
7.为迎接新年到来，某中学2022 作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举
行.校文娱组委员会要在原定排好的8 个学生节目中增加2 个教师节目，若保持原来的8 个
节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )
A．36
B．45
C．72
D．90
8.用1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求1 与2 相邻，3 与4 相
邻，5 与6 相邻，而7 与8 不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
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11.2.6 排列组合-定序问题
知识点梳理
定序问题采取“缩倍法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素
与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数；即先全排，
再除以定序元素的全排列.
如：n 个元素的全排列中若有m(m≤n)个元素.必须按照一定顺序排列，这m 个元素相邻或
不相邻不受限制，其排列数为：
An
n
Am
m.
典型例题
例1.某工程队有6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，
工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6 项工
程的不同的排法种数是
.
例2.由数字0,1 组成的一串数字代码，其中恰好有7 个1，3 个0，则这样的不同数字代码
共有 个.
例3.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺
术特色.如图，现有悬挂着的8 盏不同的花灯需要取下，每次取1 盏，则不同取法总数为
（ ）
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A．2520
B．5040
C．7560
D．10080
例4.甲、乙、丙、丁、戊5 名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周
一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
随堂演练
1.今有2 个红球，3 个黄球，同色球不加以区分，将这5 个球排成一行，则不同的排法种数
为（ ）
A．A5
5
B．A3
3
C．A5
3
D．A5
5
A2
2A3
3
2.自然对数的底数e，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π 一样是无限不循环
小数，e 的近似值约为2.7182818….若用欧拉数的前6 位数字2，7，1，8，2，8 设置一个
六位数的密码，则不同的密码共有 个.
3.将3 个红球，4 个篮球，2 个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有 种排
法．
4.2 名女生和4 名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
5.某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情
况有 种（用数字作答）．
6.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有
种.
7.A，B 等6 人排成一列，则A 在B 的前面的排法种数是 种．（用数字作答）
8.DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它
看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只
有4 种类型的碱基，分别用A、C、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链
之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知
道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所
示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3 个碱基A，2
个碱基C 和1 个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．120
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11.2.7 排列组合-隔板法
知识点梳理
1.隔板法是解决特定类型排列组合问题的一个经典方法，主要用于求解将相同元素分
配到不同组时的组合总数.在隔板法模型中，设想有一排相同的元素，我们需要在这排元素
之间的若干个位置放置隔板来将它们划分成不同的组.
2.隔板法的基本模型和条件：
（1）有n 个完全相同的元素需要分配到m 个不同的组里.
（2）每个组至少分得一个元素（即不允许有空组）.
3.步骤：
（1）在n 个元素之间形成的n-1 个“空隙”中选择m-1 个位置放置隔板.
（2）不同的隔板放置方式对应着不同的分配方案.
4.计算公式：
使用组合公式来计算放置隔板的方式数目，即Cn−1
m−1，也就是从n-1 个位置中选m-1 个
位置进行排列的组合数.
典型例题
例1.把 6 张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4 个人，每人至少1 张，最多分2
张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A. 168 B.96 C.72 D.144
例2.将10 本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3 人，每人至少得2 本，则不同的
分法数为（ ）
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A．720 种
B．420 种
C．120 种
D．15 种
例3.各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作
答）.
例4.有10 本相同的画册要分给6 个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数
为 （用数字作答）.
随堂演练
1.关于x,y,z的方程x+y+z=7（其中x,y,z∈N+）的解共有 组.
2.现有6 个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为
.
3.5 个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少得一个），不同分法的总数为
.
4.各数位数字之和等于8（数字可以重复）的四位数个数为 .
5.方程x + y + z =18的非负整数解有（ ）
A．2
17组
B．136 组
C．190 组
D．68 组
6.某市举行高三数学竞赛，有6 个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个
名额，共有 种不同的分配方法.（用数字作答）
7.将10 本完全相同的科普知识书，全部分给甲、乙、丙3 人，每人至少得2 本，则不同的
分法数为（ ）
A. 720 种 B.420 种 C.120 种 D.15 种
8.若方程x1+ x2+ x3+ x4=8，其中x2=2，则方程的正整数解的个数为
A．10
B．15
C．20
D．30
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11.2.8 排列组合-分组问题
知识点梳理
1.常规分组问题：需要分组分配的排列组合类型，常利用分类加法进行分类讨论处理.
2.平均分组问题：
①平均分组问题先选好人后，平均分了n 组，则除以An
n.
②为什么除以An
n，因为分组的时候已经默认分步计数进行了排序，而由于平均分组本
身不应有顺序，所以这里就造成了重复，所以需要除以An
n.
典型例题
例1.将甲，乙等5 人全部安排到A,B,C,D 四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至
少安排1 人，且甲，乙都不能去A 工厂，则不同的安排方法有（ ）
A．72 种
B．108 种
C．126 种
D．144 种
例2.现有含甲在内的5 名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3 个5A
级景区中随机选择1 个景区游玩.在这5 名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选
择，则这5 名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52
B．72
C．76
D．100
例3.为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6 名毕业生主动申请到某贫困山区的
乡村小学工作，若将这6 名毕业生分配到该山区的3 所乡村小学，每所学校至少分配1
人，则分配方案的总数为 ．
例4.将标号为1，2，3，4，5，6 的6 张卡片放入3 个不同的信封中，若每个信封放2 张，
其中标号为1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．36 种
D．54 种
随堂演练
1.将5 名志愿者分配到3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者
的方案种数为（ ）
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A．540
B．300
C．180
D．150
2.安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安
排方式共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
3.有4 名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录
用，每所学校至少录用其中1 人，则所有不同的录用情况种数为（ ）
A．40 种
B．60 种
C．80 种
D．120 种
4.将6 位志愿者分成4 组，其中两个组各2 人，另两个组各1 人，分赴世博会的四个不同
场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答).
5.学校安排甲乙等
､
5 名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知
该比赛有A,B,C 这3 个项目，每名学生只去1 个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少
有1 人，则不同的安排方法有 种.（用数字作答）
6.已知有6 本不同的书.
（1）分成三堆，每堆2 本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1 本，一堆2 本，一堆3 本，有多少种不同的分堆方法？
7.有
本不同的书.
(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人本，有几种分法？
(2)若
堆依次为本，本，
本，
本，有几种分法？
(3)若平均分成堆，有几种方法（只要求列出算式）？
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11.2.9 排列组合-间接法
知识点梳理
带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题常考虑间接法，即总个数减
去反面个数即得答案.
典型例题
例1.从甲、乙等10 个同学中挑选4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1 人参加，
则不同的挑选方法共有（ ）
A．70 种
B．112 种
C．140 种
D．168 种
例2.将7 个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3 人中至多有2 人相邻，且甲不站在最右
端，则不同的站法有（ ）
A．1860 种
B．3696 种
C．3600 种
D．3648 种
例3.从4 名男生和3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男生又有女
生，则不同的选法共有（ ）
A．140 种
B．120 种
C．35 种
D．34 种
例4.某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10 人中选出5 人组队去西部支教，若甲､
乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21 种
B．231 种
C．238 种
D．252 种
随堂演练
1.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法
共有（ ）
A．6 种
B．12 种
C．30 种
D．36 种
2.从5 名男生和5 名女生中选3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选
的组队方案数为（ ）
A．100
B．110
C．120
D．180
3.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主
要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.
某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”
不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
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A．408 种
B．240 种
C．1092 种.
D．120 种
4.某校开设A 类选修课3 门，B 类选修课4 门，一位同学从中共选3 门．若要求两类课程中
各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30 种
B．35 种
C．42 种
D．48 种
5.红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100 周年“百年荣光，伟大梦想”联欢
会，经过初赛，共有6 个节目进入决赛，其中2 个歌舞类节目，2 个小品类节目，1 个朗诵
类节目，1 个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（
）
A．96
B．326
C．336
D．360
6.将7 个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3 人中至多有2 人相邻，且甲不站在最右
端，则不同的站法有（ ）
A．1860 种
B．3696 种
C．3600 种
D．3648 种
7.某校开设9 门选修课程，其中A，B，C 三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规
定每位学生选修4 门，则一共有 种不同的选修方案.
8.从集合
与
中各任取2 个元素排成一排（字母和数字均
不能重复）．每排中字母Q 和数字0 至多只能出现一个的不同排法种数是 ．
（用数字作答）．
21
