§8.2 两条直线的位置关系
课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平
面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直
线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝
k 2 且
b 1≠
b 2
A1B2－
A 2B1＝
0 ，且
A 1C2－
A 2C1≠
0(
或
B 1C2－
B 2C1≠
0)
垂直
k1· k 2＝－
1
A1A2＋
B 1B2＝
0
相交
k1≠
k 2
A1B2－
A 2B1≠
0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|＝√( x2- x1)
2＋( y2- y1)
2.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝√x
2＋y
2.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝|A x0＋B y0＋C |
√A
2＋B
2
.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0 与l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
|C1-C2|
√A
2＋B
2 .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(4)若点A，B 关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1
k ，且线段AB 的中点在直线l 上.(
√ )
2.若直线2x＋my＋1＝0 与直线3x＋6y－1＝0 平行，则m 等于( )
A.4
B.－4
C.1
D.－1
答案 A
解析 因为直线2x＋my＋1＝0 与直线3x＋6y－1＝0 平行，所以2
3 ＝m
6 ≠1
-1 ，解得m＝4.
3.两平行直线l1：x－2y－√10＝0，l2：4y－2x－3√10＝0 之间的距离为( )
A.5√2
2
B.3
C.√5
D.2√2
答案 A
解析 直线l1：x－2y－√10＝0 可化为2x－4y－2√10＝0，
直线l2：4y－2x－3√10＝0 可化为
2x－4y＋3√10＝0，
所以两平行直线之间的距离为
|3√10-(-2√10)|
√4＋16
＝5√2
2 .
4.已知直线2x＋3y＋1＝0 和x－3y＋4＝0 相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂
直于直线3x＋4y－7＝0 的直线方程为 .
答案 (- 5
3 ，7
9) 4x－3y＋9＝0
解析 由方程组{
2 x＋3 y ＋1＝0,
x -3 y ＋4＝0,
解得{
x＝- 5
3 ,
y ＝7
9 ,
即交点坐标为(- 5
3 ，7
9)，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0 垂直，
所以所求直线的斜率为k＝4
3 .
由点斜式得所求直线方程为y－7
9 ＝4
3(x＋5
3)，
即4x－3y＋9＝0.
1.三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0 与直线A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
2.谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(多选)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法正确的是( )
A.若A2＝0，则l2表示与x 轴平行或重合的直线
B.直线l1可以表示任意一条直线
C.若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2
D.若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2
答案 ABD
解析 当A2＝0 时，l2的斜率为0，与x 轴平行或重合，故A 正确；
当B1＝0 时，l1的斜率不存在，当B1≠0 时，l1的斜率存在，能表示任意直线，故B 正确；
若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0 或B1C2－B2C1≠0，则l1∥l2，故C 错误；
若B1B2≠0，则由A1A2＋B1B2＝0 可得斜率之积为－1，故l1⊥l2，若B1＝0(B2＝0)，可得A2＝0(A1＝0)，此时
满足A1A2＋B1B2＝0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D 正确.
(2)数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重
心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点分别为A(0，2)，B(－1，
0)，C(4，0)，则△ABC 的欧拉线方程为( )
A.4x－3y－6＝0
B.3x＋4y＋3＝0
C.4x＋3y－6＝0
D.3x＋4y－3＝0
答案 C
解析 因为△ABC 的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，
所以△ABC 的重心为G(1，2
3)，
因为kAB＝2，kAC＝－1
2，
所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，
所以△ABC 的外心为BC 的中点D(
3
2 ，0)，
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC 的欧拉线为直线GD，
所以△ABC 的欧拉线方程为y -0
2
3 -0
＝
x - 3
2
1- 3
2
，即4x＋3y－6＝0.
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)(多选)△ABC 的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(
)
A.边BC 与直线3x－2y＋1＝0 平行
B.边BC 上的高所在的直线方程为3x＋2y－12＝0
C.过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0
D.过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D(3，5)
答案 BD
解析 直线BC 的斜率为k＝7-3
6-0 ＝2
3，而直线3x－2y＋1＝0 的斜率为3
2，两直线不平行，A 错误；
边BC 上的高所在直线斜率为－3
2，直线方程为y＝－3
2(x－4)，即3x＋2y－12＝0，B 正确；
过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0，过原点时方程为7x－6y＝0，C
错误；
过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 的中点，中点坐标为(3，5)，D 正确.
(2)已知直线l1：ax－y－1＝0，l2：ax－(a－2)y－1＝0，若l1∥l2，则a＝ .
答案 0
解析 ①当a＝0 时，l1：y＝－1，l2：y＝1
2，l1∥l2；
②当a≠0 时，若l1∥l2，则a－2＝1，可得a＝3，l1与l2重合，不符合题意，故a＝0.
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)过两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0 的交点，且与直线x＋3y＋1＝0 垂直的直线的
方程为( )
A.3x－y－5＝0
B.6x－2y－3＝0
C.x－3y＋3＝0
D.3x＋y－7＝0
答案 A
解析 由{
x＋2 y - 4＝0,
2 x - y -3＝0, 得{
x＝2,
y ＝1,
设与直线x＋3y＋1＝0 垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则3×2－1＋m＝0，得m＝－5，
所以所求直线方程为3x－y－5＝0.
(2)当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的
直线方程分别为( )
A.√13；3x＋2y－5＝0
B.√11；3x＋2y－5＝0
C.√13；2x－3y＋1＝0
D.√11；2x－3y＋1＝0
答案 A
解析 将直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)变形得x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0，
由{
x＋y -2＝0,
3 x＋y - 4＝0,解得{
x＝1,
y ＝1,因此直线l 过定点A(1，1)，
当AP⊥l 时，点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大，
最大值为|AP|＝√(-2-1)
2＋(-1-1)
2＝√13，
又直线AP 的斜率kAP＝-1-1
-2-1 ＝2
3，
则直线l 的斜率为－3
2，
所以此时直线l 的方程为y－1＝－3
2(x－1)，即3x＋2y－5＝0.
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a 的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b 的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y 的系数对应相等.
跟踪训练2 已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B 旋转，两平行线
之间的距离的最大值为 ，此时两平行直线方程分别为
.
答案 3√10 3x＋y－20＝0 和3x＋y＋10＝0
解析 两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B 旋转，
当AB 与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，|AB|＝√(6＋3)
2＋(2＋1)
2＝3√10，
这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3√10，
∵直线AB 的斜率kAB＝2＋1
6＋3 ＝1
3，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0 和3x＋y＋10＝0.
题型三 对称问题
例3 已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2 关于直线l 对称的直线l2的方程；
(3)直线l 关于点M(1，1)对称的直线l'的方程.
解 (1)设点P(－2，－1)关于直线l 的对称点为Q(x，y)，
则{
y ＋1
x＋2 ＝2,
x -2
2
＋2· y -1
2
-2＝0,
解得{
x＝2
5 ,
y ＝19
5 ,
所以对称点Q 的坐标为(
2
5 ，19
5 ).
(2)由{
x＋2 y -2＝0,
y ＝x -2,
解得{
x＝2,
y ＝0,即直线l 与l1的交点为A(2，0)，
点E(0，－2)是直线l1上的点，设它关于直线l 的对称点为B(x1，y1)，
则{
y1＋2
x1
＝2,
x1
2 ＋2· y1-2
2
-2＝0,
解得{
x1＝12
5 ,
y1＝14
5 ,
即B(
12
5 ，14
5 )，
kAB＝
14
5
12
5 -2
＝7，
所以直线l2的方程为y＝7(x－2)，
即7x－y－14＝0.
(3)方法一 在直线l：x＋2y－2＝0 上任取两点，
如A(2，0)，C(0，1)，则A，C 关于点M(1，1)的对称点A'，C'均在直线l'上，
易得A'(0，2)，C'(2，1)，
所以直线l'的方程为y－2＝1-2
2-0x，
即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l 关于点M(1，1)对称的直线l'的方程为x＋2y＋m＝0，m≠－2，
由|1＋2-2|
√5
＝|1＋2＋m|
√5
，解得m＝－2(舍去)或m＝－4，所以直线l'的方程为x＋2y－4＝0.
思维升华 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A'的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0 关于直线l 对称的直线m'的方程；
(3)直线l 关于点A 的对称直线l'的方程.
解 (1)设A'(x，y)，由已知条件得
{
y ＋2
x＋1 × 2
3 ＝-1,
2× x -1
2
-3× y -2
2
＋1＝0,
解得{
x＝- 33
13 ,
y ＝4
13 .
所以A'(- 33
13 ，4
13).
(2)在直线m 上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上.
设对称点M'(a，b)，则
{
2× a＋2
2
-3× b＋0
2
＋1＝0,
b-0
a-2 × 2
3 ＝-1,
得M'(
6
13 ，30
13).
设直线m 与直线l 的交点为Q，
由{
2 x -3 y ＋1＝0,
3 x -2 y -6＝0, 得Q(4，3).
又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为
y -3
30
13 -3
＝x - 4
6
13 - 4 ，即9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0 上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q 关于点A(－1，－2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程为y ＋5
-7＋5 ＝x＋3
-6＋3 ，即2x－3y－9＝0.
方法二 因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1).
因为点A(－1，－2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得
|-2＋6＋C|
√2
2＋(-3)
2 ＝|-2＋6＋1|
√2
2＋(-3)
2 ，得C＝－9，
所以l'的方程为2x－3y－9＝0.
课时精练
[分值：96 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知直线l1：x＋(a－1)y－3＝0 与直线l2：x＋2y＋3＝0 相互垂直，则a 的值为( )
A.1
2
B.1
C.3
D.－1
2
答案 A
解析 ∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0⇒a＝1
2.
2.“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线mx＋3y－2＝0 平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由直线2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线mx＋3y－2＝0 平行，得2
m ＝m＋1
3
≠4
-2 且m≠0，解得m＝2 或
m＝－3，所以“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线mx＋3y－2＝0 平行”的充分不必要条件.
3.与直线2x＋3y＋1＝0 平行且过点(0，1)的直线方程是( )
A.2x＋3y－3＝0
B.3x＋2y－2＝0
C.2x－3y＋3＝0
D.3x－2y＋2＝0
答案 A
解析 设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠1)，
又过点(0，1)，则可得3＋C＝0，解得C＝－3，
则所求直线方程为2x＋3y－3＝0.
4.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程
为( )
A.x－y－3＝0
B.x＋y－7＝0
C.x－y＋3＝0
D.x＋y－3＝0
答案 A
解析 运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x 轴的对称点为(1，－2)，又(1，－2)与(5，2)在同一条直线
上，
运用两点式得到入射光线所在的直线方程为y -2
-2-2 ＝x -5
1-5 ，整理得x－y－3＝0.
则入射光线所在的直线方程为x－y－3＝0.
5.若曲线y＝f(x)＝2sin x＋2 025 在点(
π
3 ，f(
π
3))处的切线与直线y＝ax＋2 025 垂直，则实数a 等于( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 B
解析 函数f(x)＝2sin x＋2 025，求导得f'(x)＝2cos x，因此曲线在点(
π
3 ，f(
π
3))处的切线斜率为k＝f'
(
π
3)＝1，而切线与直线y＝ax＋2 025 垂直，所以a＝－1
k ＝－1.
6.已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l 距离的最大值为( )
A.√5
B.√10
C.5
D.10
答案 B
解析 直线l：x＋my－2m－1＝0，
即x－1＋m(y－2)＝0，
由{
x -1＝0,
y -2＝0,得{
x＝1,
y ＝2,
所以直线l 过定点A(1，2)，
当直线l 垂直于直线AP 时，距离最大，此时最大值为|AP|＝√(2-1)
2＋(-1-2)
2＝√10.
7.(2025·大同模拟)已知实数a，b，c，d 满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 由题意得，点A(a，b)在直线3x－4y＋3＝0 上，点B(c，d)在直线3x－4y－7＝0 上，两直线平行，
所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两平行线间距离的平方，即[
|3＋7|
√3
2＋(- 4)
2]
2
＝4.
8.过定点A 的动直线x＋ky＝0 和过定点B 的动直线kx－y－2k＋1＝0 交于点M，则|MA|＋|MB|的最大值是(
)
A.2√2
B.3
C.√10
D.√15
答案 C
解析 由题意知x＋ky＝0 过定点A(0，0)，
动直线kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－y＋1＝0 过定点B(2，1)，
对于直线x＋ky＝0 和动直线kx－y－2k＋1＝0 满足1×k＋k×(－1)＝0，
故两直线垂直，
因此点M 在以AB 为直径的圆上(除去点(2，0))，|AB|＝√2
2＋1
2＝√5，
则|MA|2＋|MB|2＝5，
所以(|MA|＋|MB|)2＝|MA|2＋|MB|2＋2|MA||MB|≤2(|MA|2＋|MB|2)＝10，
当且仅当|MA|＝|MB|＝√10
2 时，等号成立，
故|MA|＋|MB|的最大值为√10.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.已知直线l：√3x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l 过第一、三、四象限
B.过点(√3，1)与直线l 平行的直线的方程是√3x－y－2＝0
C.直线√3x－y＋2＝0 到直线l 的距离为1
2
D.若直线m：x－√3y＋1＝0，则l⊥m
答案 BC
解析 直线l 过第一、二、三象限，故A 错误；
设过点(√3，1)且与直线l 平行的直线的方程为√3x－y＋t＝0(t≠1)，由于点(√3，1)满足该直线，代入得t＝
－2，所以所求的直线方程为√3x－y－2＝0，故B 正确；
由于直线l：√3x－y＋1＝0 与直线√3x－y＋2＝0 平行，故两直线间的距离d＝
|2-1|
√(√3)
2＋(-1)
2 ＝1
2，故C
正确；
直线l 的斜率为kl＝√3，直线m 的斜率为km＝√3
3 ，因为klkm≠－1，所以直线l 和直线m 不垂直，故D 错
误.
10.对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，则( )
A.l1∥l2的充要条件是a＝3 或a＝－2
B.当a＝2
5时，l1⊥l2
C.直线l2经过第二象限内的某定点
D.点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为3√2
答案 ABC
解析 若l1∥l2，则a(a－1)－6＝0，解得a＝3 或a＝－2，经检验，符合题意，所以a＝3 或a＝－2，所以
l1∥l2的充要条件是a＝3 或a＝－2，故A 正确；
当a＝2
5时，3a＋2(a－1)＝6
5 －6
5＝0，所以l1⊥l2，故B 正确；
由l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，得(y－1)a＋3x－y＋3＝0，令{
y -1＝0,
3 x - y ＋3＝0,解得{
x＝- 2
3 ,
y ＝1,
所以直线l2经
过定点(- 2
3 ，1)，位于第二象限，故C 正确；
由l1：ax＋2y＋3a＝0，得(x＋3)a＋2y＝0，令{
x＋3＝0,
2 y ＝0, 解得{
x＝-3,
y ＝0, 所以直线l1过定点M(－3，0)，当
PM⊥l1时，点P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为|PM|＝√(-3-1)
2＋(0-3)
2＝5，故D 错误.
11.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x－y＋3＝0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1－m，m)，m∈R，下列说法正确
的是( )
A.点P 到直线l 的距离为4√5
5
B.若点P 与点Q 位于直线l 的两侧，则m>5
3
C.点P 与点Q 之间距离的最小值为√2
D.|QR|＋|QP|的最小值为2
答案 ABD
解析 点P 到直线l 的距离d＝|2-1＋3|
√2
2＋(-1)
2 ＝4√5
5
，A 选项正确；
将点P(1，1)代入直线方程得2－1＋3＝4>0，又点P 与点Q 位于直线l 的两侧，则将点Q(1－m，m)代入直
线方程得2－2m－m＋3<0，即m>5
3，B 选项正确；
|PQ|＝√[1-(1-m)]
2＋(1-m)
2＝√2m
2-2m＋1＝√
2(m- 1
2)
2
＋1
2
≥√2
2 ，C 选项错误；
∵1－m＋m＝1，∴点Q 在直线l1：x＋y－1＝0 上，斜率k＝－1，过点P 作直线l'⊥l1于点D，如图所示，
则l'：x－y＝0，联立方程组{
x＋y -1＝0,
x - y ＝0,
解得x＝y＝1
2，即D(
1
2 ，1
2)，
∴点P 关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR 与l1的交点为Q，此时|QR|＋|QP|最小，
则(|QR|＋|QP|)min＝|OR|＝2，D 选项正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0 交点的直线方程为 .
答案 x＋y－1＝0
解析 设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，点P(1，0)在直线上，
∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝1
5，
∴所求直线方程为x＋2y－2＋1
5×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0.
13.若l1：2x＋ay－2＝0 与l2：x－y＋a＝0 平行，则两直线之间的距离为 .
答案 √2
2
解析 ∵直线l1与l2平行，
∴2
1 ＝a
-1 ≠-2
a ，解得a＝－2，
∴直线l1：x－y－1＝0，直线l2：x－y－2＝0，
∴直线l1与l2之间的距离d＝|-1-(-2)|
√1＋1
＝√2
2 .
14.请运用数形结合的思想，得出函数y＝√x
2- 4 x＋53－√x
2-8 x＋25的最大值为 .
答案 2√5
解析 因为y＝√x
2- 4 x ＋53－√x
2-8 x ＋25＝√( x -2)
2＋49－√( x - 4)
2＋9，
所以它表示点P(x，0)到点A(2，7)和B(4，3)的距离之差，如图所示，
因为|PA|－|PB|≤|AB|＝√(2- 4)
2＋(7 -3)
2＝2√5，
当且仅当P，B，A 三点共线时，等号成立，
所以y＝√x
2- 4 x＋53－√x
2-8 x＋25的最大值为2√5.
15~17 题每小题6 分，18 题5 分，共23 分
15.(多选)若直线m 被两平行直线l1：x－√3y＋√3＝0 与l2：x－√3y＋3√3＝0 所截得的线段长为√6，则直
线m 的倾斜角可以是( )
A.30°
B.75°
C.135°
D.165°
答案 BD
解析 设直线m 与两平行直线所夹的锐角或直角为α，
两平行直线l1：x－√3y＋√3＝0 与l2：x－√3y＋3√3＝0 的距离为d＝|√3-3√3|
√1
2＋(-√3)
2 ＝√3，
因为直线m 被两平行直线l1与l2所截得的线段长为√6，
所以sin α＝√3
√6 ＝√2
2 ，
所以α＝45°，
因为直线l1的斜率为k＝√3
3 ，倾斜角为30°，所以直线m 的倾斜角可以是75°或165°，如图所示.
16.(多选)直线l：ax＋by＋c＝0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，m＝
a x1＋b y1＋c
a x2＋b y2＋c ，下列选项中正确的有 ( )
A.若m>1，则l 与直线PQ 相交
B.若m＝1，则l 与直线PQ 平行
C.若m＝－1，则l 与直线PQ 垂直
D.存在实数m，使得点Q 在直线l 上
答案 AB
解析 若m>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0，或ax1＋by2＋c<ax2＋by2＋c<0，即点P，Q 在直线l 的同侧，
且直线l 与直线PQ 不平行，故A 正确；
若m＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，即a(x2－x1)＋b(y2－y1)＝0，若b＝0，则x1＝x2，过P，Q 两点的直
线与直线l 的斜率都不存在，故两直线平行，若b≠0，则
y2- y1
x2- x1
＝－a
b，所以kPQ＝kl，即直线PQ 与直线l
平行，故B 正确；
因为|m|＝|a x1＋b y1＋c|
|a x2＋b y2＋c|＝
|a x1＋b y1＋c|
√a
2＋b
2
|a x2＋b y2＋c|
√a
2＋b
2
，
即|m|为P，Q 两点到直线l 的距离的比值，若m＝－1，则|m|＝1，即P，Q 两点到直线l 的距离相等，且点
P，Q 在直线l 两侧，但l 与直线PQ 不一定垂直，故C 不正确；
若点Q 在直线l 上，则ax2＋bx2＋c＝0，结合题设及分母不为0，所以不存在实数m，使点Q 在直线l 上，
故D 不正确.
17.(多选)(2025·广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，点M(x1，y1)，N(x2，y2)间的折线距离d(M，
N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，记s＝a2＋b2＋2a＋4b，则( )
A.若d(A，B)＝1，则s 有最小值8
B.若d(A，B)＝1，则点A 的轨迹是一个正方形
C.若d(A，B)≤1，则s 有最大值15
D.若d(A，B)≤1，则点A 的轨迹所构成区域的面积为π
答案 BC
解析 对于B，若d(A，B)＝1，由题意可知d(A，B)＝|a－1|＋|b－1|＝1，令x＝a－1，y＝b－1，
则|x|＋|y|＝1，作出其图象如图.
易知，点A(a，b)的轨迹可由正方形|x|＋|y|＝1 向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到，故
B 正确；
对于A，s＝a2＋b2＋2a＋4b
＝(x＋1)2＋(y＋1)2＋2(x＋1)＋4(y＋1)
＝x2＋y2＋4x＋6y＋8
＝(x＋2)2＋(y＋3)2－5，
结合图象可得√( x＋2)
2＋( y ＋3)
2的最小值即为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0(即点(0，－1))的距离
|-2-3＋1|
√2
＝2√2，此时s 取得最小值3，故A 错误；
对于C，√( x ＋2)
2＋( y ＋3)
2的最大值即为点(－2，－3)到点(1，0)，(0，1)的距离中的最大值，max{3√2
，2√5}＝2√5，故s 的最大值为15，故C 正确；
对于D，若d(A，B)≤1，则|x|＋|y|≤1 表示正方形及其内部区域，易知其面积为1
2×2×2＝2，故D 错误.
18.(2024·曲靖模拟)设M，N 是同一平面上的两个区域，点P∈M，点Q∈N，P，Q 两点间距离的最小值叫
做区域M，N 间的距离，记作d(M，N).若M＝{(x，y)|ex－y＋2 024＝0}，N＝{(x，y)|ln(x－2 024)－y＝0}，
则d(M，N)＝ .
答案 2 025√2
解析 方法一 d(M，N)表示函数y＝ex＋2 024 图象上的动点P 与函数y＝ln(x－2 024)图象上的动点Q 的距
离的最小值，即|PQ|min.
y＝ex＋2 024⇔ex＝y－2 024⇔x＝ln(y－2 024)，
互换x，y 得y＝ln(x－2 024)，
因此y＝ex＋2 024 与y＝ln(x－2 024)互为反函数，
它们的图象关于直线y＝x 对称，
则|PQ|min恰好等于函数y＝ex＋2 024 图象上的动点P(x，y)到直线y＝x 的距离的最小值的2 倍.
点P(x，y)到直线y＝x 的距离
d＝|x - y|
√2
＝√2
2 |ex－x＋2 024|，
设f(x)＝ex－x＋2 024，则f'(x)＝ex－1，
当x<0 时，f'(x)<0；当x>0 时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)＝2 025，
所以dmin＝2 025√2
2
，|PQ|min＝2 025√2，
所以d(M，N)＝2 025√2.
方法二 函数y＝ex与y＝ln x 互为反函数，
函数y＝ex图象上任意点与y＝ln x 图象上任意点之间的距离的最小值恰好等于点(0，1)与(1，0)之间的距离，
y＝ex的图象向上平移2 024 个单位长度得到y＝ex＋2 024 的图象，
y＝ln x 的图象向右平移2 024 个单位长度得到y＝ln (x－2 024)的图象.
从而d(M，N)就等于点(0，2 025)与点(2 025，0)之间的距离，故d(M，N)＝2 025√2.
