重难点09：双变量问题之题型归纳总结
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、双变量问题之“两点”型................................................................3
题型二、双变量问题之“极值点偏移”型....................................................4
题型三、双变量问题之“最值或范围”型（同构类）................................5
题型四、双变量问题之“最值或范围”型（解答类）................................6
题型五、双变量问题之“存在/任意”型.......................................................7
题型六、双变量问题之“导数”型................................................................8
题型精析・方法突破提能力..............................................................................10
题型
1 ：双变量问题之“两点”型
证明双变量关系中含：f(x1)−f(x2)
x1−x2
，f(x1)+ f (x2)，f(x1)−f(x2)
g(x1)−g(x2) 等。
解题步骤：
步骤1：分析函数单调性（前提）
步骤2：转化函数值关系为自变量关系（核心）
步骤3：结合题干条件推导目标（收尾）
题型
2 ：双变量问题之“极值点偏移”型
已知条件：函数f(x)有唯一极值点x0（可通过求导确定）；存在x1≠x2，满
足f(x1)=f(x2)（或f(x1)=f(x2)=k，k为某常数）。
证明双变量与极值点的偏移关系（如x1+x2>2x0“左偏”、x1+x2<2x0“ 右
偏”）；证明双变量积的偏移关系（如x1x2>x0
2）。
解题步骤
步骤1：求函数唯一极值点x0（基础）
步骤2：构造对称差值函数F(x)（核心 1）（或者利用其他方法）
步骤3：分析对称函数F(x)的单调性（核心 2）
步骤4：关联f(x1)与f(2x0−x2)的大小（推导）
步骤5：结合原函数单调性证偏移结论（收尾）
知识网络・核心根基深扎牢
题型
3 ：双变量问题之“最值或范围”型（同构类）
已知条件：题干含双变量的指数 / 对数混合式（如
x1e
x1=x2e
x2、lnx1+kx1=lnx2+kx2
），可整理为 “f( A(x1))=f( A(x2))” 的同
构形式；给出双变量范围约束或参数条件（如含参数a的同构式）。
问题目标：求双变量相关表达式的最值；求参数的取值范围（如同构式有解时参数a
的范围或某个整体式子的范围）。
解题步骤
步骤1：识别同构结构，抽象同构函数f(t)（基础）
步骤2：分析同构函数f(t)的单调性与定义域（核心 1）
步骤3：转化双变量关系为单变量参数（如设t=x1/x2或d =x2−x1）（核心 2）
步骤4：构建目标表达式的单变量函数（如g(t)=x1+x2关于t的函数）（推导）
步骤5：求单变量函数的最值或参数范围（收尾）
题型
4 ：双变量问题之“最值或范围”型（解答类）
已知条件：无明确同构结构，多为双变量的等式约束（如x1+x2=k、x1x2= m ）、
不等式约束（如x1>0,x2>0、x1≤x2+1）或函数关系。
求双变量表达式的最值；求双变量的取值范围。
解题步骤
步骤1：提取双变量约束条件（基础）
步骤2：选择消元 / 主元法降维（核心 1）
步骤3：转化为单变量函数（核心 2）
步骤4：分析单变量函数的定义域与单调性（推导）
步骤5：求单变量函数的最值或范围（收尾）
题型
5 ：双变量问题之“存在
/ 任意”型
已知条件：含 “ 任意” “ 存在” 量词（如 “ 对任意
x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]”“存在x1,x2使f(x1)=g(x2)”）；给出两个函数
f(x)、g(x)（或同一函数的双变量关系）及变量区间。
求参数取值范围（如f(x1)≥g(x2)恒成立时参数k的范围）；判断命题真假
（如 “是否存在x1,x2使f(x1)<g(x2)”）。
解题步骤
步骤1：明确量词约束与变量区间（基础）
步骤2：分析对应函数的单调性（核心 1）
步骤3：求函数在区间内的最值 / 值域（核心 2）
步骤4：转化量词关系为最值关系（如 “任意→fmin❑≥gmax❑”）（推导）
步骤5：求解最值关系或判断命题（收尾）
题型
5 ：双变量问题之“导数”型
求双变量表达式中含有f '(x1+x2)>k 或<k；f '(❑√x1x2)>k 或<k 或者该类型的衍
生情况。
解题步骤与题型1 相同，从单调性方面解决。
【例题1】已知函数f ( x)= x
2+(a−2)x −a ln x(a>0)．设P(x1, y1)，Q(x2, y2)为函数
f ( x)图象上不同的两点，PQ的中点为M (x0, y0)，求证：f (x1)−f (x2)
x1−x2
<f
′(x0)．
【1-1】已知函数f ( x)=(a+1)ln x−ax．
(1)讨论f ( x)在定义域内的单调性；
(2)当a>0时，求证：对∀x1，x2∈(0,1)，|f (x1)−f (x2))
|x1−x2)
>1．
【1-2】已知函数f (x)= x ln x−x
2−x
2 −1
2
．求证：当x1, x2∈(1,+∞)且x1≠x2时，有
f (x1)+ f (x2)<2f(
x1+ x2
2 )
．
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、双变量问题之“两点”型
典例探究
举一反三
【1-3】已知函数f ( x)=e
x−2e
x ( x>0),g( x)= ln x．
(1)求函数h( x)= f ( x)+ g( x)在[1,e]上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的0< x1< x2
，均有f (x1)−ag(x1)<f (x2)−ag(x2)，求a的取值范围．
【例题2】已知函数f (x)= x (2−ln x)
(1)求函数f (x)在(e
2,f (e
2))处切线方程；
(2)若f (x)=m有两解x1
，x2
，且x1< x2
，求证：2e< x1+ x2<e
2．
【2-1】已知函数f (x)=(x +2)e
a−x
(1)求函数f (x)的单调区间；
题型二、双变量问题之“极值点偏移”型
典例探究
举一反三
(2)若方程f (x)= x−2的两个实数根互为相反数，求实数a的值；
(3)在条件（2）下，若函数g(x)=2e
x−ln x−x−m−f (−x)有两个不同的零点x1, x2
，
证明：x1 x2< 1
e
．
【2-2】已知函数f (x)= x ln x−1
2 a x
2(a>0).
(1)若函数f (x)在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;
(2)若函数f (x)有两个极值点x1, x2(x1< x2),证明：x1 x2> 1
a
.
【2-3】已知函数f ( x)= x + m
e
x ．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若x1≠x2
，且f (x1)= f (x2)=2，证明：0<m<e，且x1+ x2<2．
【例题3】已知6 ln m=m+a,6n=e
n+a，其中m≠e
n，则m+e
n的取值范围为（ ）
A．(0,6 ln 2) B．(0,12)
C．(6 ln 2,+∞)
D．(12,+ ∞)
题型三、双变量问题之“最值或范围”型（同构
典例探究
【3-1】若对任意正实数x，y 都有(2 y −x
e )(ln x−ln y)−y
m ≤0，则实数m 的取值范围为
（ ）
A．(0,1)
B．(0,e)
C．(−∞,0)∪[1,+ ∞)
D．(−∞,0)∪[e,+∞)
【3-2】若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y
2
﹣ex）（lny﹣lnx）＝0 成立，则实数a
的取值范围为（ ）
A．[−1
2 ，1
e)
B．(0，2
e)
C．(−∞，0)∪[
2
e ，+∞)
D．(−∞，−1
2)∪[
1
e ，+∞)
【3-3】设实数λ>0，若对任意x∈(0,+∞)，不等式e
x
λ −ln (λx)≥0恒成立，则λ的取值范
围是（ ）
A．0< λ≤1
e
B．0< λ≤e−1
C．0< λ≤e
D．0< λ≤e
2
【例题4】已知函数f (x)=ln x + 1
2 x
2−ax有两个极值点为x1, x2(x1< x2),a∈R.
(1)若函数f (x)在x =1处的切线与直线x + y −1=0平行，求a的值；
举一反三
题型四、双变量问题之“最值或范围”型（解答
典例探究
(2)当a= 5
2
时，求f (x2)−f (x1)的值；
(3)若x2≥e x1
（e为自然对数的底数），求f (x2)−f (x1)的最大值.
【4-1】已知函数f (x)=ln(x +1)+ax (x−2).
(1)当a≥0时，讨论f (x)的单调性；
(2)当x ≥0时，f (x)≥0，求实数a的取值范围；
(3)设f (x)存在两个不同的极值点x1
，x2
（其中x1< x2
），求f (x1)+ f (x2)的取值范围.
【4-2】已知函数f (x)=ln x + a
2 x
2−(a+1) x．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)设x1, x2(0< x1< x2)是函数g(x)= f (x)+ x的两个极值点，若g(x1)−g(x2)≥m x1 x2
，
求m 的最大值．
【4-3】已知函数f (x)=ln(2 x)+
a
2 x +1
(a∈R).
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个极值点x1
，x2(x1< x2)，当x1∈[
1
16 , 1
4)
时，求f (x1)−f (x2)的最大
值.
举一反三
【例题5】已知函数f ( x)=a−ln x , g( x)= x
2e
x．若对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的
x2∈[−1,1]，使得f (x1)= g(x2)成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1,e]
B．(
1
e ,1+e)
C．(1+ 1
e ,e)
D．(1+ 1
e ,e+1)
【5-1】已知函数f ( x)= ln( x +
❑√x
2+1)满足对于任意x1∈[ 1
2 ,2]，存在x2∈[ 1
2 ,2]，使
得f ( x1
2+2 x1+a)≤f ( ln x2
x2
)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[ ln 2
2 −8,+ ∞)
B．[ ln 2
2 −8,−5
4 −2ln 2]
C．(−∞, ln 2
2 −8]
D．(−∞,−5
4 −2ln 2]
【5-2】若对任意的x1∈[0,1)，总存在唯一的x2∈[−1,1)，使得x1+2 x2
3−3 x2
2−a=0成
立，则实数a 的取值范围是 ．
题型五、双变量问题之“存在/任意”型
典例探究
举一反三
【5-3】已知f (x)= ln x−x
4 + 3
4 x
，g(x)=−x
2−2ax + 4，若对∀x1∈(0,2)，
∃x2∈[1,2)，使得f (x1)≥g(x2)成立，则a 的取值范围是 ．
【例题6】已知函数f (x)=2e
x+ax．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若方程f (x)=m有两个不相等的根x1, x2
，且0< x1< x2,f (x)的导函数为f
′ (x)，证明：
f
′(
❑√x1 x2)<0．
【6-1】已知函数f (x)=cos x−m x
2(m∈R).
(1)若f (x)在(
π
4 ,π)上单调递减，求m的取值范围；
(2)若m=−1
π
，求证：f (x)≥π
4
；
题型六、双变量问题之“导数”型
典例探究
举一反三
(3)在（2）的条件下，若方程f (x)=t (x>0)两个不同的实数根分别为x1，x2，求证：
0<f
′(x1+ x2)<2.
【6-2】已知函数f (x)=e
x−ax，其导函数为f
′ (x).
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥1恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若m，n是函数y = f (x)的两个零点，求证：f
′(❑√mn)<0.
【6-3】已知函数f (x)=aln x−x−a.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若x1, x2(x1< x2)是f (x)的两个零点，
①求a的取值范围；
②求证：f
′(
❑√
x1
2+ x2
2
2 )<0（f
′ (x)为函数f (x)的导函数）.
【突破提升训练・1】对任意的正数x，都存在唯一的正数y，使x
2(ln y −ln x)−a y
2=0
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{ 1
2e }∪(−∞,0]
B．(−∞, 1
2e )
C．{ 1
2e }
D．
题型精析・方法突破提能力
(−∞,0]
【突破提升训练・2】对任意的实数x，都存在两个不同的实数y，使得
e
2 x−y( y −x)−ae
2 y −x =0成立，则实数a的取值范围为
A．(0, 1
3e)
B．(0, 1
2e)
C．(
1
2e ,+ ∞)
D．(
1
3e ,1)
【突破提升训练・3】若对∀x∈[0,+∞)，y ∈[0,+∞)，不等式
e
x + y −2+e
x−y −2+2−4 ax ≥0恒成立，则实数a取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
4)
B．[
1
4 ,+ ∞)
C．[
1
2 ,+∞)
D．(−∞, 1
2)
【突破提升训练・4】已知函数f (x)= x
2−2
3 a x
3(a>0)的定义域为R，若对于任意的
x1∈(3,+ ∞)，都存在x2∈(1,+ ∞)，使得f (x1)⋅f (x2)=1，则a的取值范围是（ ）
A．(0, 1
3)
B．[
3
2 ,+∞)
C．[
1
3 , 1
2)
D．[
1
2 , 3
2)
【突破提升训练・5】已知函数f ( x)=3 x +2cos x，g( x)=(e
x−1)(e
2 x−5)，若
∀x1∈(−∞,0]，∀x2∈R，f (x1)+a≤g(x2)，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2]
B．(−∞,−40
27)
C．(−∞,−3]
D．(−∞,−94
27)
【突破提升训练・6】已知x，y满足(2
x−x
2) y
2=2
x +2 y −2，满足此等式x，y的取值范围分
别为集合M，N，则下列正确的是（ ）
A．(4 ,+∞)⊆M
B．(0,2)⊆M
C．(1,2)⊆N
D．(−∞,0)⊆N
【突破提升训练・7】已知f(x)＝xex，g(x)＝﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2
[
2
∈﹣，0]，使得f
（x2）≤g（x1）成立，则实数a 的取值范围是 ．
【突破提升训练・8】已知f (x)=2❑√x−aln x−ax−1．
(1)若a=−1，求曲线y = f (x)在点P(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数y = f (x)存在两个不同的极值点x1，x2
，求证：f (x1)+ f (x2)>0．
【突破提升训练・9】已知f (x)= x
2−xln x +a.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)设x1
，x2
是两个不相等的正数，证明：f (x1)−f (x2)
x1−x2
>f
′(
x1+ x2
2 )
【突破提升训练・10】已知函数f (x)= 2a+1
4
e
2 x−e
x+ x +2(a∈R).
(1)若f (x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)当a=−1
2
时，证明：x
2f (ln x)<4e
x−2；
(3)若函数f (x)有两个极值点x1, x2(x1< x2)，证明：a< f (x1)−f (x2)
e
x1−e
x2
.
【突破提升训练・11】已知函数f (x)=a(x−ln x)+ x
2−2 x，其中a∈R.
(1)当a=−2e时，求f (x)的极值；
(2)当a>0，x1> x2>0时，证明：f (x1)−f
′(
x1+ x2
2 )x1<f (x2)−f
′(
x1+ x2
2 )x2
.
【突破提升训练・12】已知函数f (x)=ln x + 1
2 a x
2−(a+1) x (a∈R).
(1)当a=1时，求函数y = f (x)的零点个数.
(2)若关于x的方程f (x)= 1
2 a x
2有两个不同实根x1, x2，求实数a的取值范围并证明
x1⋅x2>e
2.
【突破提升训练・13】已知函数f (x)=2ln x +ax (a∈R)
(1)若 f (x)≤0在 (0,+ ∞)上恒成立，求a 的取值范围；
(2)设 g(x)= x ³−f (x)，x₁，x₂为函数g(x)的两个零点，证明：x₁ x₂<1.
【突破提升训练・14】已知函数f ( x)= x−ln x−a有两个不同的零点x1, x2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：x1+ x2>2.
【突破提升训练・15】已知函数f (x)=(2 x +a)ln x−3(x−a),a>0.
(1)当x ≥1时，f (x)≥0，求a的取值范围.
(2)若函数f (x)有两个极值点x1, x2，证明：x1+ x2>2e
−1
2.
【突破提升训练・16】已知函数f (x)= x +ae
x−1，g(x)= x−ae
−x+1(a>0)的零点分别为
m，n.
(1)若a=e
2，求m；
(2)是否存在a，使m+n=0？说明理由；
(3)若k ≤m+n<0(−1<k <0)，用含k的代数式表示m−n最大值.
【突破提升训练・17】已知函数f (x)=(x
2+2ax +2a
2)e
x．
(1)若a=0，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)有两个极值点，分别为x1, x2(x1< x2)，求f (x1)−f (x2)
e
x1−e
x2
的最小值．
【突破提升训练・18】已知函数f ( x)=a x
3+b x
2−x(a,b∈R)，且当x =1时，f ( x)有极
值−7
6
．
(1)求函数f ( x)的解析式；
(2)若对于区间[−3,3]上任意两个自变量的值x1, x2，有|f (x1)−f (x2))≤c，求实数c
的最小值．
【突破提升训练・19】设函数f (x)在x0
处有极值，且f (x0)= x0
，则称x0
为函数f (x)的“F
点”．
(1)判断函数y = x−sin x是否存在F 点；
(2)设函数f (x)=k x
2−2ln x (k ∈R)，当f (x)存在F 点，求k 的值；
(3)设函数g(x)=a x
3+b x
2+cx (a≠0)，存在两个不相等的“F 点”x1
，x2
，且
|g(x1)−g(x2))≥1，求a 取值范围．
【突破提升训练・20】已知函数f (x)=ax−ln x，g(x)= ln x
x + 1
2
，若对任意的x1∈[1,e]，
存在x0∈[1,e]，使f (x1)= g(x0)，求实数a的取值范围．
【突破提升训练・21】已知函数f (x)=−mx +ln x +1，g(x)=cos x + xsin x−1．
(1)求g(x)在区间[0,π)的最大值和最小值；
(2)讨论函数f (x)的单调区间与极值；
(3)若m> 1
2
，对任意x1∈[1，2)，总存在x2∈[0,π)，使得不等式f (x1)−g(x2)>1
成立，试求实数m 的取值范围．
【突破提升训练・22】若函数f ( x)= ln x−a
2 x
2.
(1)若a= 4，且曲线y = f ( x)的切线l过点(0,2e
2)，求直线l的方程；
(2)证明：若f (x1)= f (x2)(0< x1< x2)，则f
′(
x1+ x2
2 )<0；
(3)若G( x)= f ( x)+ x + ln a
2 ≤0恒成立，求a的取值范围.
【突破提升训练・23】已知函数f (x)=3ln x−ax．
(1)讨论f (x)的单调性．
(2)已知x1, x2
是函数f (x)的两个零点(x1< x2)．
（ⅰ）求实数a的取值范围．
（ⅱ）λ∈(0, 1
2),f
′ (x)是f (x)的导函数．证明：f
′[ λ x1+(1−λ) x2)<0．
【突破提升训练・24】已知函数f (x)= 1
2 x
2+ax−2a
2ln x.
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若a>0, x1, x2
是f (x)的两个不相等的零点，证明：f
′(
x1+ x2
2 )>0.
