x
y
O
Senior High Mathematics
高二数学
数理进阶
2026 · 秋季
适用年级· 高二年级
教材版本· 人教A 版
适用班型· 数理班
全册讲数· 共 20 讲
本册面向 2026 高二数学秋季数理进阶学习，围绕核心知识与高阶方法展开，融合知识精析、典型题
突破与综合训练，帮助学生夯实基础、拓展方法、提升数学思维深度。
博观而约取 · 厚积而薄发
目
录
C O N T E N T S
第01 讲空间向量的运算及应用
1
题型1 根据空间向量的线性运算求参数
1
题型2 向量共线、共面的判定及应用
2
题型3 空间向量的数量积及参数、最值问题
3
题型4 空间向量的模及参数、最值问题
4
题型5 空间向量的夹角及参数、最值问题
5
题型6 垂直、投影向量及参数问题
6
题型7 证明平行、共面、垂直问题
7
第02 讲空间向量中的探索与范围问题
13
题型1 平行与垂直中的探索性问题
13
题型2 距离中的探索性问题
14
题型3 线面角的最值与探索
15
题型4 二面角的最值与探索
16
第03 讲空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
25
题型1 折叠问题
25
题型2 轨迹问题
27
题型3 截面问题
29
i
第04 讲直线与方程中的核心问题
39
题型1 直线与线段有交点问题
39
题型2 斜率公式及几何意义
40
题型3 两条直线平行与垂直
40
题型4 截距式方程与直线过定点
42
题型5 直线的交点坐标
43
题型6 距离公式及最值范围问题
44
第05 讲直线中的对称与新定义问题
49
题型1 点的对称问题
49
题型2 点关于直线的对称问题
49
题型3 直线关于点的对称问题
50
题型4 直线关于直线的对称问题
51
题型5 入射、反射光线背景下的对称问题
51
题型6 直线中的新定义问题
52
第06 讲圆的方程中的核心问题
57
题型1 圆中过定点问题
57
题型2 圆的方程中对称条件的突破
57
题型3 圆的轨迹方程与实际问题
58
题型4 直线与圆的位置关系及参数问题
59
题型5 切线方程、切线长、切点弦问题
60
题型6 直线与圆相交及弦长问题
61
题型7 圆与圆的位置关系及参数问题
62
题型8 公切线与公共弦问题
63
ii
第07 讲直线与圆中的范围与新定义问题
69
题型1 距离型最值范围问题
69
题型2 三点共线类最值与将军饮马模型
70
题型3 点与圆的位置关系最值
72
题型4 直线与圆的位置关系最值
73
题型5 圆与圆的位置关系最值
73
题型6 代数式的几何意义类最值
74
题型7 直线与圆中的新定义问题
75
第08 讲椭圆中的核心问题
81
题型1 椭圆的轨迹方程
81
题型2 椭圆中的焦点三角形
82
题型3 椭圆中的距离最值问题
82
题型4 求椭圆的离心率
83
题型5 求椭圆离心率的范围
84
题型6 椭圆的标准方程
85
第09 讲双曲线中的核心问题
91
题型1 双曲线的轨迹方程
91
题型2 双曲线中的焦点三角形
92
题型3 双曲线中的距离最值问题
93
题型4 双曲线的渐近线
93
题型5 求双曲线的离心率
94
题型6 求双曲线离心率的范围
95
题型7 双曲线的标准方程
96
iii
第10 讲抛物线中的核心问题
103
题型1 抛物线的轨迹方程
103
题型2 抛物线定义理解与焦半径
104
题型3 抛物线中的距离最值问题
105
题型4 抛物线几何性质的应用
105
题型5 抛物线中的焦点弦问题
106
题型6 抛物线的标准方程
108
题型7 抛物线在实际问题中的应用
109
第11 讲直线与圆锥曲线综合问题
115
题型1 中点弦
115
题型2 弦长
116
题型3 面积
117
题型4 定点问题
119
题型5 定值问题
121
题型6 定直线问题
123
题型7 圆锥曲线与向量
124
第12 讲数列的概念
133
题型1 根据递推关系求通项
133
题型2 利用an 与Sn 的关系求通项
133
题型3 数列的单调性及其应用
134
题型4 求数列中的最大（小）项
135
题型5 数列的周期性及其应用
136
iv
第13 讲等差数列
143
题型1 等差数列通项公式基本量计算及性质应用
143
题型2 等差数列前n 项和公式及基本量计算
144
题型3 等差数列中an 与Sn 的关系
144
题型4 等差数列前n 项和公式的重要性质
145
题型5 等差数列中的函数性质
146
题型6 等差数列的证明
147
第14 讲等比数列
151
题型1 等比数列通项公式基本量计算及性质应用
151
题型2 等比数列前n 项和公式及基本量计算
152
题型3 等比数列中an 与Sn 的关系
153
题型4 等比数列前n 项和公式的重要性质
153
题型5 等比数列中的函数性质
154
题型6 等比数列的证明
155
第15 讲累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
161
题型1 累加法
161
题型2 累乘法
162
题型3 加减常数构造
163
题型4 加减构造
164
题型5 取倒数构造
165
题型6 其他形式构造
165
题型7 递推法
166
第16 讲等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
171
题型1 等差数列Sn 的最大值问题
171
题型2 等差数列Sn 的最小值问题
172
题型3 含绝对值求和问题
173
v
第17 讲数列求和问题
177
题型1 裂项求和基础型
177
题型2 裂项求和根式、指数型
178
题型3 错位相减求和
179
题型4 分组、并项求和
180
题型5 倒序相加求和
181
第18 讲数列中的奇偶项问题
187
题型1 等差数列中的奇偶项性质
187
题型2 等比数列中的奇偶项性质
187
题型3 求和问题中的奇偶项处理
188
第19 讲数列中的特殊模型、不等式与归纳法
195
题型1 杨辉三角中的数列
195
题型2 斐波那契数列
197
题型3 数列不等式
199
题型4 数学归纳法
201
题型5 数列中的结构不良问题
202
第20 讲数列中的新文化与新定义问题
209
题型1 数列中的新文化问题
209
题型2 数列中的新定义问题
210
vi
第 01 讲 空间向量的运算及应用
高二数理进阶
凡结论，必有来路
Page 1
第 01 讲
空间向量的运算及应用
讲
题型精讲
Core examples
题型1
根据空间向量的线性运算求参数
题型点拨
典例1 （25-26·江苏淮安）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，点𝐸, 𝐹分
别为𝑃𝐵, 𝑃𝐷的中点，若𝑃𝐺⃗= 1
2𝐺𝐶⃗，且𝐴𝐺⃗= 𝑥𝐴𝐸⃗+ 𝑦𝐴𝐹⃗，则𝑥+ 𝑦=
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
2
D. 4
3
高二数理进阶
第 01 讲 空间向量的运算及应用
Page 2
凡转化，必问等价
变式1 （25-26·山东威海）已知𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′是平行六面体．设𝑀是底面𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝑁是侧面
𝐵𝐶𝐶′𝐵′的对角线𝐵𝐶′上的点，且𝐵𝑁: 𝑁𝐶′ = 3 : 1，设𝑀𝑁⃗= 𝛼𝐴𝐵⃗+ 𝛽𝐴𝐷⃗+ 𝛾𝐴𝐴′⃗，𝛼+ 𝛽+ 𝛾=
．
题型2
向量共线、共面的判定及应用
题型点拨
共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫
做共线向量或平行向量，若𝑎⃗与𝑏⃗是共线向量，则记为𝑎⃗//𝑏⃗．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量𝑎⃗, 𝑏⃗(𝑏⃗≠0⃗)，𝑎⃗∥𝑏⃗的充要条件是存在实数𝜆，使𝑎⃗= 𝜆𝑏⃗．
3、共面向量定理：如果两个向量𝑎⃗, 𝑏⃗不共线，那么向量𝑝⃗与向量𝑎⃗, 𝑏⃗共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对(𝑥, 𝑦)，使𝑝⃗= 𝑥𝑎⃗+ 𝑦𝑏⃗
4、拓展
对于空间任意一点𝑂，四点𝑃, 𝐶, 𝐴, 𝐵共面（其中𝐶, 𝐴, 𝐵不共线）的充要条件是：存在实数𝑥, 𝑦, 𝑧，使
𝑂𝑃⃗= 𝑥𝑂𝐶⃗+ 𝑦𝑂𝐴⃗+ 𝑧𝑂𝐵⃗，且𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 1．
典例2 已知𝐴, 𝐵, 𝐶三点共线，𝑂为空间任一点，则①𝑂𝐴⃗= 2𝑂𝐵⃗+ 𝜇𝑂𝐶⃗；②存在三个不为0的实
数𝜆，𝑚, 𝑛，使𝜆𝑂𝐴⃗+ 𝑚𝑂𝐵⃗+ 𝑛𝑂𝐶⃗= 0⃗，那么使①②成立的𝜇与𝜆+ 𝑚+ 𝑛的值分别为
（ ）
A. 1，−1
B. −1，0
C. 0, 1
D. 0, 0
第 01 讲 空间向量的运算及应用
高二数理进阶
审题见边界，落笔见章法
Page 3
变式2 （25-26·广东佛山）若{𝑎⃗, 𝑏⃗, 𝑐⃗}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
（ ）
A. 𝑎⃗−2𝑏⃗, 𝑎⃗−2𝑐⃗, 𝑏⃗−𝑐⃗
B. 𝑎⃗−𝑐⃗, 𝑏⃗, 3𝑎⃗−𝑏⃗−3𝑐⃗
C. 𝑎⃗+ 𝑏⃗, 𝑏⃗+ 𝑐⃗, 𝑎⃗+ 2𝑏⃗+ 𝑐⃗
D. 2𝑎⃗, 𝑐⃗, 𝑏⃗+ 𝑐⃗
变式3 （25-26·辽宁大连）在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸为𝐴𝐷的中点，𝐺为平面𝐵𝐶𝐷的重心．若𝐴𝐺与
平面𝐵𝐶𝐸交于点𝐹，则|𝐴𝐹|
|𝐴𝐺| =
（ ）
A. 1
2
B. 2
3
C. 3
4
D. 4
5
题型3
空间向量的数量积及参数、最值问题
题型点拨
在几何体中求空间向量数量积的步骤
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入𝑎⋅𝑏= |𝑎||𝑏| cos < 𝑎, 𝑏>求解.
典例3 （25-26·甘肃酒泉）在空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中，𝑂𝐴⃗= (−1, 2, 1)，𝑂𝐵⃗= (1, 1, 2)，
𝑂𝑃⃗= (2, 1, 1)，点𝑄在直线𝑂𝑃上运动，则𝑄𝐴⃗⋅𝑄𝐵⃗的最小值为
（ ）
A. −3
2
B. −2
3
C. 3
2
D. 2
3
高二数理进阶
第 01 讲 空间向量的运算及应用
Page 4
思维贵清，表达贵准
变式4 （25-26·江苏南京）在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐴𝐴1 = 2，点𝑃为侧面
𝐴𝐵𝐵1𝐴1上的任意一点，则𝑃𝐶⃗⋅𝑃𝐶1⃗的取值范围是
.
题型4
空间向量的模及参数、最值问题
题型点拨
利用向量方法求长度或距离的基本方法
(1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.
(2)因为𝑎⋅𝑎= |𝑎|2,所以|𝑎| =√𝑎⋅𝑎,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推
广为|𝑎± 𝑏| =√(𝑎± 𝑏)2=√𝑎2 ± 2𝑎⋅𝑏+ 𝑏2.
(3)若𝑎⃗= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)，则|𝑎⃗| = √|𝑎⃗|2 = √𝑎⃗2 = √𝑎2
1 + 𝑎2
2 + 𝑎2
3，即|𝑎⃗| = √𝑎2
1 + 𝑎2
2 + 𝑎2
3
典例4 (2025 ⋅安徽安庆·模拟预测）在直棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝑀⃗= 1
3𝐴𝐶⃗，且𝐴𝐶=
3√3，𝑁是棱𝐴𝐴1上的一点，且满足𝑁𝑀⃗⋅𝑁𝐶1⃗= 0，则𝐴𝐴1的最小值为
（ ）
A. 3√3
B. 6
C. 3
D. 6√3
变式5 （25-26·上海）已知𝑎⃗、𝑏⃗是空间相互垂直的单位向量，且|𝑐⃗| = 8，𝑐⃗⋅𝑎⃗= 𝑐⃗⋅𝑏⃗= 2√6，则|𝑐⃗−𝑚𝑎⃗−
𝑛𝑏⃗|的最小值是
.
第 01 讲 空间向量的运算及应用
高二数理进阶
先立骨架，再铺细节
Page 5
题型5
空间向量的夹角及参数、最值问题
题型点拨
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
(2)利用数量积求异面直线夹角的余弦值.
(3)设𝜃=< 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗>，则异面直线𝐴𝐵, 𝐶𝐷的夹角𝛼满足𝛼=
{
𝜃
0 ≤𝜃≤𝜋
2
𝜋−𝜃
𝜋
2 < 𝜃≤𝜋
．
典例5 （25-26·安徽淮南）已知空间向量𝑎⃗= (2, −1, 1)，𝑏⃗= (𝑚, −3, 3)，若𝑎⃗与𝑏⃗的夹角是锐
角，则𝑚的取值范围是
（ ）
A. (−∞, −6) ∪(−6, 3)
B. (−∞, 3)
C. (−3, 6) ∪(6, +∞)
D. (−3, +∞)
高二数理进阶
第 01 讲 空间向量的运算及应用
Page 6
一笔一式，皆有根据
变式6 （25-26·江苏常州）已知动点𝑃是棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的对角线𝐵𝐷1上
一点，记𝐵𝑃
𝐵𝐷1
= 𝜆，当∠𝐴𝑃𝐶为钝角时，𝜆的取值范围为
（ ）
A. (0, 1
3)
B. (1
3, 1)
C. (0, 2
3)
D. (2
3, 1)
题型6
垂直、投影向量及参数问题
题型点拨
(1)两个向量的平行与垂直
𝑎⃗= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝑏⃗= (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)
平行（𝑎⃗∥𝑏⃗）
𝑎⃗∥𝑏⃗(𝑏⃗≠0⃗)⇔𝑎⇀= 𝜆𝑏⇀⇔
{
𝑎1 = 𝜆𝑏1
𝑎2 = 𝜆𝑏2
𝑎3 = 𝜆𝑏3
(𝜆∈𝑅)
垂直（𝑎⃗⟂𝑏⃗）
𝑎⃗⟂𝑏⃗⇔𝑎⃗⋅𝑏⃗= 0 ⇔𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 = 0（𝑎⃗, 𝑏⃗均非零向量）
(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的
值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.
(3)当𝑏⃗≠0⃗时，向量𝑎⃗在向量𝑏⃗上的投影向量为𝑎⃗⋅𝑏⃗
|𝑏⃗|2 𝑏⃗= |𝑎⃗| cos < 𝑎⃗, 𝑏⃗> 𝑏⃗
|𝑏⃗|
．
典例6 （25-26·江苏宿迁）在空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中，向量𝑎⃗= (1, 1, 𝑡)（𝑡∈𝑅）在面𝑥𝑂𝑦上
的投影向量为𝑚⃗，在向量𝑏⃗= (−1, 0, 0)上的投影向量为𝑛⃗，则𝑚⃗与𝑛⃗的夹角为
（ ）
A. 𝜋
4
B. 𝜋
2
C. 3𝜋
4
D. 与𝑡有关
第 01 讲 空间向量的运算及应用
高二数理进阶
求解不是试探，是组织
Page 7
变式7 （25-26·湖南长沙）如图，棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃，𝑄分别是𝐶𝐶1，𝐵𝐶的中
点，动点𝑀满足𝐷1𝑀⃗= 1
2𝐷1𝐴1⃗+ 𝑚𝐷1𝐶1⃗，若𝐴𝑄⟂𝑃𝑀，则𝑚=
．
题型7
证明平行、共面、垂直问题
题型点拨
(1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.
(2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量
证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积
和垂直条件来完成位置关系的判定.
(3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.
典例7 （25-26·河南商丘）如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为2的菱形，∠𝐴𝐵𝐶= 60∘，
𝑃𝐴⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴= 3，且𝐴𝑃⃗= 2𝐴𝐻⃗，𝐴𝐺⃗= 𝐺𝐵⃗，𝐷𝑃⃗= 3𝑀𝑃⃗.
（1）求直线𝐴𝑃与直线𝐶𝑀所成角的余弦值；
（2）证明：𝑀，𝐶，𝐺，𝐻四点共面.
高二数理进阶
第 01 讲 空间向量的运算及应用
Page 8
把关系写成语言
变式8 （25-26·上海宝山）如图所示，已知斜四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，且
∠𝐶1𝐶𝐵= ∠𝐶1𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷=𝜃，且𝜃∈(0, 𝜋
2 )．
（1）求证：𝐶𝐶1 ⟂𝐵𝐷；
（2）当𝐶𝐷
𝐶𝐶1
的值为多少时，能使𝐴1𝐶⟂平面𝐶1𝐵𝐷？请给出证明．
第 01 讲 空间向量的运算及应用
高二数理进阶
把语言化为关系
Page 9
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·甘肃白银）在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑀是平面𝐴𝐵𝐶内一点，且9𝑃𝑀⃗= 8𝑃𝐴⃗+ 𝑡𝑃𝐵⃗+
5𝑀𝐶⃗，则𝑡=
（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 3
2. （25-26·甘肃兰州）设正四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的棱长为𝑎，𝐸，𝐹分别是𝐵𝐶，𝐴𝐷的中点，则𝐴𝐸⃗⋅𝐴𝐹⃗的
值为
（ ）
A. √3
4 𝑎2
B. 1
2𝑎2
C. 𝑎2
D. 1
4𝑎2
3. （25-26·广东广州）已知𝑂为原点，𝑂𝐴⃗= (1, 2, 3), 𝑂𝐵⃗= (2, 1, 2), 𝑂𝑃⃗= (1, 1, 2)，点𝑄在直线
𝑂𝑃上运动，则当𝑄𝐴⃗⋅𝑄𝐵⃗取得最小值时，点𝑄的坐标为
（ ）
A. (4
3, 4
3, 8
3)
B. (4
3, 4
3, 7
3)
C. (3
4, 3
4, 3
2)
D. (1
2, 3
2, 3
4)
4. （25-26·安徽）已知𝑂为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝐸, 𝐹分别为𝐵𝐶, 𝐴𝐷的中点，若将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿
对角线𝐵𝐷翻折，使得二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的大小为45∘，则此时cos ∠𝐸𝑂𝐹的值为
（ ）
A. −1
4
B. −1
3
C. 2 −√2
4
D. √2 −2
4
高二数理进阶
第 01 讲 空间向量的运算及应用
Page 10
从已知中取材
5. （多选）已知向量𝑎⃗= (0, −1, 1)，𝑏⃗= (4, 1, 0)，|𝜆𝑎⃗+ 𝑏⃗| = √29，则𝜆的值为
（ ）
A. 2
B. −2
C. 3
D. −3
6. （25-26·广东）（多选）平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的各棱长为1，且𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄分别为
𝐴𝐷，𝐵𝐶，𝐴1𝐵1，𝐶1𝐷1中点．若𝑀𝑁, 𝑀𝑃, 𝑃𝑄两两垂直，则
（ ）
A. ∠𝐵𝐴𝐷= 90∘
B. ∠𝐵𝐴𝐴1 = 150∘
C. ∠𝐷𝐴𝐴1 = 60∘
D. 四面体𝑀𝑁𝑃𝑄的体积为√2
12
7. （25-26·吉林）已知向量𝑎⃗= (2, −1, 1)，𝑏⃗= (1, 𝑥, 1)，𝑐⃗= (1, −2, −1)，当𝑎⃗⟂𝑏⃗时，向量𝑏⃗在向量𝑐⃗上的
投影向量为
．（用坐标表示）
8. （25-26·福建漳州）在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵= 2, 𝐴𝐷= 2, 𝐴𝐴1 = 4，∠𝐵𝐴𝐷=
∠𝐵𝐴𝐴1 = ∠𝐷𝐴𝐴1 = 60∘，则𝐵𝐶1与𝐶𝐴1所成角的正弦值为
．
第 01 讲 空间向量的运算及应用
高二数理进阶
向目标处搭桥
Page 11
9. （25-26·广东深圳）在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵与𝑃𝐶中点分别为𝑀, 𝑁，点𝐺为𝑀𝑁中点．若𝐷在𝑃𝐴上满足
𝑃𝐷⃗= 2
3𝑃𝐴⃗，𝐸在𝑃𝐵上满足𝑃𝐸⃗= 3
4𝑃𝐵⃗，平面𝐷𝐸𝐺交𝑃𝐶于点𝐹，且𝑃𝐹⃗= 𝜆𝑃𝐶⃗，则𝜆=
．
10. 如图，在空间中平移△𝐴𝐵𝐶到△𝐴′𝐵′𝐶′，连接对应顶点，设𝐴𝐴′⃗= 𝑎⃗, 𝐴𝐵⃗= 𝑏⃗, 𝐴𝐶⃗= 𝑐⃗, 𝑀, 𝐸分别是
𝐵𝐶′, 𝐴𝐴′的中点，𝑁是𝐵′𝐶′上一点．
（1）若𝑁为𝐵′𝐶′的中点，用向量法证明：𝐴𝑀//𝐸𝑁；
（2）若𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 1, 𝐴𝐴′ = 2, ∠𝐵𝐴𝐶= 60∘, ∠𝐴𝐶𝐶′ = ∠𝐴𝐵𝐵′ = 90∘，问
是否存在点𝑁使得𝐴𝑀⟂𝐸𝑁，并说明理由．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·山东淄博）设𝑥∈𝑅, 𝑦∈𝑅, 𝑎⃗= (𝑥, 1, 1), 𝑏⃗= (1, 𝑦, 1), 𝑐⃗= (2, −2, 2), 𝑏⃗//𝑐⃗, 𝑎⃗⟂𝑏⃗ ，则
|𝑎⃗+ 𝑏⃗| =
（ ）
A. 3
B. √2
C. √5
D. √3
高二数理进阶
第 01 讲 空间向量的运算及应用
Page 12
用结构减轻运算
2. （25-26·广东东莞）如图，已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸为上底面𝐴1𝐶1的中心，若
𝐴𝐸⃗= 𝐴𝐴1⃗+ 𝑥𝐴𝐵⃗+ 𝑦𝐴𝐷⃗，则𝑥+ 𝑦=
（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
3. （25-26·河南）在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑀为棱𝐶𝐷的中点，𝐸为线段𝐴𝑀的中点，若𝐵𝐸⃗= 𝑎𝐵𝐶⃗+
𝑏𝐵𝐷⃗+ 𝑐𝐵𝐴⃗，则𝑐
𝑎=
（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 3
4. （多选）（25-26·辽宁抚顺）已知𝑎⃗= (𝜆+ 1, 2𝜇−1, 1)，𝑏⃗= (6, 0, 𝜆).若𝑎⃗∥𝑏⃗，则𝜆与𝜇的值可
以是
（ ）
A. 𝜆= 2, 𝜇= 1
2
B. 𝜆= −3, 𝜇= 1
2
C. 𝜆= −3, 𝜇= 2
D. 𝜆= 1
2, 𝜇= 2
5. 设𝑒1⃗，𝑒2⃗是空间两个不共线的向量，已知𝐴𝐵⃗= 2𝑒1⃗+ 𝑘𝑒2⃗，𝐶𝐵⃗= 𝑒1⃗+ 3𝑒2⃗，𝐶𝐷⃗= 2𝑒1⃗−𝑒2⃗，且𝐴, 𝐵, 𝐷三
点共线，则𝑘=
．
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
高二数理进阶
用定义校准直觉
Page 13
第 02 讲
空间向量中的探索与范围问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
平行与垂直中的探索性问题
题型点拨
利用空间向量证明平行关系的方法和步骤
1、要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另
一条直线上.
2、要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与
平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内.
3、要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不
在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).
典例1 （25-26·江苏南京）如图，在正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，各棱长均为√2，𝑀为侧棱𝑃𝐷上的点，𝑁是
𝑃𝐶中点.
（1）若𝑀是𝑃𝐷中点，求直线𝐵𝑁与平面𝑀𝐴𝐶所成角的正弦值；
（2）是否存在点𝑀，使得𝐵𝑁//平面𝑀𝐴𝐶？若存在，求出𝑃𝑀
𝑃𝐷的值；若不存
在，说明理由.
高二数理进阶
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
Page 14
用图象照亮关系
典例2 （25-26·浙江台州）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，其
中𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵⟂𝐴𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 1
2𝐵𝐶= 1，𝑃𝐴= 2，𝐸为棱𝐵𝐶上的点，且𝐵𝐸= 1
4𝐵𝐶，点𝑄在棱𝐶𝑃
上（不与点𝐶，𝑃重合）.
（1）求证：平面𝐷𝐸𝑄⟂平面𝑃𝐴𝐶；
（2）求二面角𝐴−𝑃𝐶−𝐷的平面角的余弦值；
（3）直线𝑄𝐸能与平面𝑃𝐶𝐷垂直吗？若能，求出𝐶𝑄
𝐶𝑃的值；若不能，请说明理由.
题型2
距离中的探索性问题
典例3 （25-26·广东梅州）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，平面𝑃𝐷𝐶⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐷⟂𝐷𝐶, 𝐴𝐵∥
𝐷𝐶，𝐴𝐵= 1
2𝐶𝐷= 𝐴𝐷= 1，𝑃𝐶= √5, 𝑃𝐷= 1，𝑀为棱𝑃𝐶的中点．
（1）求平面𝑃𝐷𝑀与平面𝐵𝐷𝑀的夹角余弦值；
（2）在线段𝑃𝐴上是否存在点𝑄，使得点𝑄到平面𝐵𝐷𝑀的距离是2√6
9 ？若存在，
求出𝑃𝑄的值；若不存在，说明理由．
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
高二数理进阶
用代数守住严谨
Page 15
变式1 （25-26·福建厦门）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⟂𝐴𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，𝐵𝐶=
3𝐴𝐷，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐷= 90∘，𝑀为线段𝑃𝐵上一点.
（1）若𝑃𝑀= 1
3𝑃𝐵，求证：𝐴𝑀∥平面𝑃𝐶𝐷；
（2）若𝑃𝐴= 2，𝐴𝐷= 1，异面直线𝑃𝐴与𝐶𝐷成90∘角，二面角𝐵−𝑃𝐶−𝐷
的余弦值为−√10
10 ，在线段𝑃𝐶上是否存在点𝑄，使得点𝑄到直线𝐴𝐷的
距离为2√5
3 ，若存在请指出点𝑄的位置，若不存在请说明理由.
题型3
线面角的最值与探索
典例4 （25-26·福建泉州）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 𝐷𝑃= 1，𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐵𝑃= √3，
𝐷𝑃⟂𝐴𝐶，𝐷𝑃⟂𝑃𝐵.
（1）求证：𝐴𝐶⟂平面𝑃𝐵𝐷；
（2）过直线𝐶𝐷与线段𝑃𝐵的中点𝐸的平面𝛼与线段𝑃𝐴交于点𝐹.
(𝑖)试确定𝐹点位置；
(𝑖𝑖)若𝐻点为线段𝐸𝐹上一动点，求直线𝐴𝐻与平面𝐵𝐶𝑃所成角正弦值的最
小值.
高二数理进阶
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
Page 16
先辨对象，再谈方法
典例5 (2025 ⋅天津·二模）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，𝑃𝐴⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑃𝐴=
2, 𝐴𝐷= 1，𝑀为边𝐶𝐷的中点，且𝑃𝐶⟂𝐵𝑀.
（1）求线段𝐴𝐵的长；
（2）求平面𝑃𝐵𝑀与平面𝑃𝐶𝐷夹角的余弦值；
（3）在线段𝑃𝐷上（不含端点）是否存在点𝑁，使直线𝐴𝑁与平面𝑃𝐶𝐷所成角的
正弦值为2√5
5 ，若存在，求线段𝑃𝑁的长；若不存在，请说明理由.
题型4
二面角的最值与探索
典例6 （25-26·北京海淀）如图，四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐷⟂𝐴𝐵, 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, 𝐴𝐸=
𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 2, 𝐴𝐷= 1，过𝐴𝐷的平面分别与棱𝐸𝐵, 𝐸𝐶交于点𝑀, 𝑁.
（1）求证：𝐴𝐷∥𝑀𝑁;
（2）记二面角𝐴−𝐷𝑁−𝐸的大小为𝜃，求cos 𝜃的最大值．
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
高二数理进阶
先定范围，再求最值
Page 17
典例7 （25-26·广东深圳）如图，𝑃为圆锥的顶点，𝑂是圆锥底面的圆心，𝐴𝐶为底面直径，△𝐴𝐵𝐷为底面
圆𝑂的内接正三角形，点𝐸在母线𝑃𝐶上，且𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 3，𝐶𝐸= √3.
（1）求证：平面𝐵𝐸𝐷⟂平面𝐴𝐵𝐷；
（2）求直线𝑃𝑂与平面𝐴𝐵𝐸所成角的正弦值；
（3）在线段𝑂𝑃上是否存在一点𝑀，使得平面𝑀𝐴𝐵与平面𝐴𝐷𝐸夹角的余弦值
为√7
7 ？若存在，确定点𝑀的位置，若不存在，请说明理由
高二数理进阶
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
Page 18
先看单调，再判大小
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·甘肃白银）如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃是𝐷𝐷1的中点，𝑄是𝐶𝐷的中点.
（1）在平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1内确定一点𝑀，使𝑀𝑄⟂平面𝑃𝐴𝑄；
（2）证明：棱𝐶𝐶1上不存在点𝑁，使平面𝐵𝑁𝐷1//平面𝑃𝐴𝑄.
2. (2024 ⋅贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1, 𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2√2, 𝐶𝐵= 𝐶𝐷=
4, 𝐴𝐴1 = 4，∠𝐵𝐶𝐷= 60∘，𝑀, 𝑀1分别是线段𝐵𝐶, 𝐵1𝐶1的中点.
（1）证明:𝐵𝐶⟂平面𝑀𝑀1𝐷；
（2）求直线𝐵𝐶与平面𝐵𝐷𝐴1所成角的正弦值，并判断线段𝐵𝐶上是否存在点𝑃，使
得𝑃𝐵1//平面𝐵𝐷𝐴1，若存在，求出𝐵𝑃的值，若不存在，请说明理由.
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
高二数理进阶
先识模型，再选路径
Page 19
3. （25-26·山东临沂）如图1，在边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷= 60∘, 𝐷𝐸⟂𝐴𝐵于点𝐸，将△𝐴𝐷𝐸沿
𝐷𝐸折起到△𝐴1𝐷𝐸的位置，使𝐴1𝐷⟂𝐵𝐸，如图2.
（1）求证：𝐴1𝐸⟂平面𝐵𝐶𝐷𝐸；
（2）求点𝐵到平面𝐴1𝐶𝐷的距离；
（3）在线段𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使平面𝐴1𝐸𝑃⟂
平面𝐴1𝐵𝐷？若存在，求𝐵𝑃
𝐵𝐷的值；若不存
在，说明理由．
4. （25-26·北京朝阳）在如图所示的多面体中，𝐴𝐷//𝐵𝐶且𝐴𝐷= 2𝐵𝐶，𝐴𝐷⟂𝐶𝐷，𝐸𝐺//𝐴𝐷且𝐸𝐺=
𝐴𝐷，𝐶𝐷//𝐹𝐺且𝐶𝐷= 2𝐹𝐺，𝐷𝐺⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐷𝐴= 𝐷𝐶= 𝐷𝐺= 2，𝑀, 𝑁分别为棱𝐹𝐶, 𝐸𝐺的中点.
(𝐼)求点𝐹到直线𝐸𝐶的距离；
(𝐼𝐼)求平面𝐵𝐸𝐷与平面𝐸𝐷𝐶夹角的余弦值；
(𝐼𝐼𝐼)在棱𝐺𝐹上是否存在一点𝑄，使得平面𝑀𝑁𝑄//平面𝐸𝐷𝐶？若存在.指
出点𝑄的位置，若不存在，说明理由.
高二数理进阶
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
Page 20
先明变量，再论变化
5. （25-26·江苏扬州）如图，等边三角形𝐴𝐵𝐶的边长为8，𝐸，𝐹分别为边𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，𝑂为线段𝐸𝐹的
中点，现将三角形𝐴𝐵𝐶沿直线𝐸𝐹折起，使得二面角𝐴−𝐸𝐹−𝐵为直二面角．
（1）求线段𝐴𝐶的长度；
（2）求直线𝐵𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角的正弦值；
（3）棱𝐴𝐶上是否存在异于端点的点𝑀，使得点𝐴到平面
𝑂𝐵𝑀的距离为4√33
11 ．若存在，请指出点𝑀的位置；
若不存在，请说明理由．
6. (2025 ⋅山东青岛·三模）如图，已知底面𝐴𝐵𝐶是正三角形，𝐸𝐴⟂平面𝐴𝐵𝐶，𝐶𝐷⟂平面𝐴𝐵𝐶，𝐸𝐴=
𝐴𝐵= 2．
（1）若𝐷𝐶= 1，𝐹是𝐵𝐸中点，证明：𝐹𝐷//平面𝐴𝐵𝐶；
（2）求直线𝐶𝐸与平面𝐸𝐵𝐷所成角的正弦值的最大值．
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
高二数理进阶
先分情形，再合结论
Page 21
7. （25-26·四川德阳）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，𝑃𝐴⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐸为棱𝑃𝐷上的
动点.
（1）若𝐸为𝑃𝐷中点，证明：𝑃𝐵//平面𝐴𝐸𝐶；
（2）若𝐴𝑃= 1, 𝐴𝐷= 3, 𝐴𝐵= 2，在线段𝑃𝐷上是否存在点𝐸使得面𝐷𝐴𝐸与面
𝐴𝐸𝐶夹角余弦值为3√157
157 ，若存在，求出点𝐸位置，若不存在，说明理
由.
8. （25-26·辽宁大连）如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1，平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1 ⟂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1为
矩形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2, 𝐴𝐴1 = 3，且∠𝐶𝐴𝐴1 = 60∘.
（1）求二面角𝐶−𝐴1𝐵1 −𝐴的正弦值
（2）设𝑃为棱𝐵1𝐶1上的一个动点（包含端点），直线𝐶𝑃与平面𝐴1𝑃𝐵1所成角
为𝜃，求sin 𝜃的范围.
9. （25-26·广东深圳）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⟂𝐴𝐵，且𝑃𝐵= 𝑃𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为2√3的
菱形，∠𝐵𝐴𝐷= 𝜋
3 .
（1）证明：面𝑃𝐴𝐶⟂面𝐴𝐵𝐶𝐷；
（2）若直线𝐶𝑃与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成角的正弦值为√5
5 ，点𝑄为棱𝑃𝐶上的动点，
求平面𝐴𝐵𝑄与平面𝑃𝐵𝐶夹角的正弦值的最小值.
高二数理进阶
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
Page 22
先求必要，再验充分
10. （25-26·云南）如图，直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，𝐴𝐴1 = 4, 𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐷为
锐角，𝐸, 𝐹, 𝐺分别是𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴1𝐷的中点．
（1）证明：𝐸𝐺//平面𝐶1𝐷𝐹．
（2）求二面角𝐶1 −𝐷𝐹−𝐶的余弦值的最大值．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·上海）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗，𝑐⃗是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组
基底是
（ ）
A. 𝑏⃗+ 𝑐⃗，𝑏⃗，𝑏⃗−𝑐⃗
B. 𝑎⃗，𝑎⃗+ 𝑏⃗，𝑎⃗−𝑏⃗
C. 𝑎⃗+ 𝑏⃗，𝑎⃗+ 𝑏⃗+ 𝑐⃗，𝑐⃗
D. 𝑎⃗+ 𝑏⃗，𝑎⃗−𝑏⃗，𝑐⃗
2. （25-26·江苏宿迁）已知𝑎⃗= (√3, 2, 3)，空间向量𝑒⃗为单位向量，⟨𝑎⃗, 𝑒⃗⟩= 2𝜋
3 ，则空间向量𝑎⃗在
向量𝑒⃗方向上的投影向量为
（ ）
A. 2𝑒⃗
B. −2𝑒⃗
C. −1
2𝑎⃗
D. 1
2𝑎⃗
第 02 讲 空间向量中的探索与范围问题
高二数理进阶
题目之难，多在关系
Page 23
3. 已知𝐴(1, 0, 1)，𝐵(1, 1
2, 0)，𝐶(0, 1, 0)，𝑀(1, 1
2, 1)，𝑁(0, 1, 1)，则直线𝑀𝑁到平面𝐴𝐵𝐶的距
离为
（ ）
A. √6
B. √6
4
C. √6
12
D. √6
6
4. （25-26·安徽）如图，已知在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1 = 2𝐴𝐵= 2, 𝐴𝐷= 3，点𝐸在
棱𝐵𝐶上，且𝐵𝐸⃗= 2𝐸𝐶⃗，则直线𝐴1𝐸与直线𝐶1𝐷1所成角的余弦值为
（ ）
A. 1
2
B. √2
4
C. 1
3
D. 2√2
3
5. （25-26·湖北）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷
是正方形，且∠𝐴1𝐴𝐵= ∠𝐴1𝐴𝐷= 60∘，下列选项正确的是
（ ）
A. 𝐵𝐷1长为2√3
B. 异面直线𝐴𝐶与𝐵𝐷1所成角的余弦值为√6
3
C. 𝐴1𝐶⟂𝐵1𝐷1
D. 𝐴𝐴1 ⟂𝐵𝐷
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
运算之稳，来自结构
Page 25
第 03 讲
空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
折叠问题
题型点拨
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，
哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。
一般步骤：
①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；
②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；
③利用判定定理或性质定理进行证明。
典例1 （25-26·浙江金华）如图，𝑂是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，把正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐴𝐶折成二面角𝐵−
𝐴𝐶−𝐷，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点，
（1）当折成直二面角时（图1)，求直线𝑂𝐸与𝑂𝐹所成角的大小；
（2）当折成二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐷的平面角为60∘（图2)，求直线𝐵𝐷与平面𝑂𝐸𝐹所成角的正弦值．
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 26
证明之美，在于必然
变式1 （25-26·云南昆明）如图1，平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷= 𝐶𝐷且∠𝐴𝐷𝐶= 𝜋
2 ，现
将△𝐴𝐶𝐷沿𝐴𝐶折起，使得𝐴𝐵= 𝐵𝐷，如图2．
（1）证明：平面𝐴𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶；
（2）点𝐸在线段𝐵𝐷上，平面𝐴𝐶𝐸把三棱锥𝐵−𝐴𝐶𝐷分成
体积相等的两部分，求二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐷的余弦
值．
变式2 （25-26·福建厦门）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶⟂𝐵𝐶, 𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 2, 𝐷是𝐴𝐶中点，𝐸､𝐹分别是
𝐵𝐴､𝐵𝐶边上的动点，且𝐸𝐹∥𝐴𝐶，将△𝐵𝐸𝐹沿𝐸𝐹折起，将点𝐵折至点𝑃的位置，得到四棱锥𝑃−𝐴𝐶𝐹𝐸.
（1）求证：𝐸𝐹∥平面𝑃𝐴𝐶；
（2）若𝐵𝐸= 2𝐴𝐸，二面角𝑃−𝐸𝐹−𝐶是直二面角，求线段𝐴𝑃中
点𝑀到平面𝑃𝐸𝐶的距离；
（3）当𝑃𝐷⟂𝐴𝐸时，求直线𝑃𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角的正弦值的取值
范围.
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
设元须简，关系须明
Page 27
题型2
轨迹问题
题型点拨
1、由动点保持平行性求轨迹
(1)线面平行转化为面面平行得轨迹；(2)平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
2、动点保持垂直求轨迹
(1)可利用线线垂直、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；(2)利用空间坐标运算求轨迹；(3)
利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹
(1)距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨
迹；(2)利用空间坐标计算求轨迹.
4、由动点保持定角求轨迹
(1)过定点的动直线与定平面或定直线成定角时，其轨迹可能是圆锥面的一部分；(2)利用空间坐标系计
算求轨迹.
5、投影求轨迹
(1)球的非正投影可能是椭圆或椭圆区域；(2)多面体的投影，多为多边形.
6、翻折与动点求轨迹
(1)翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；(2)翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；(3)利用空间
坐标运算求轨迹.
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 28
变形须等价，结论须回检
典例2 （25-26·福建三明）（多选）在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵= 2，𝐴𝑃⃗= 𝑥𝐴𝐷⃗+
𝑦𝐴𝐴1⃗(𝑥, 𝑦∈[0, 1])，则
（ ）
A. 若𝑥+ 𝑦= 1，则点𝑃的轨迹为线段𝐷𝐴1
B. 若𝑥= 1
2，则点𝑃的轨迹为连接棱𝐴𝐷的中点和棱𝐴1𝐷1中点的线段
C. 若𝑥= 𝑦，则三棱锥𝑃−𝐴1𝐵𝐶1的体积为定值
D. 若𝑦= 1
2，则𝐵𝑃与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成角的余弦值的最大值为√2
3
变式3 （25-26·安徽铜陵）正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为2，𝐸为𝐴𝐴1的中点，𝑀点是正方形
𝐴𝐵𝐵1𝐴1内的动点，若𝐶1𝑀//平面𝐶𝐷1𝐸，则𝑀点的轨迹长度为
．
变式4 （25-26·安徽）如图，在棱长为3的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐵𝐶⃗= 3𝐸𝐶⃗，点𝑃是底面𝐴𝐵𝐶𝐷
内（包括边界）的动点，且满足𝐵1𝑃⟂𝐷1𝐸，则符合条件的点𝑃形成的轨迹的长度为
．
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
参数随动，约束先行
Page 29
题型3
截面问题
题型点拨
1、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
2、截面问题的基本思路
(1)定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③截平面与几何体的棱的交点叫做实截点.
④作图过程中相关直线与几何体棱或棱的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截平面上已经确定的一部分图形叫做截小面.
(2)作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3、作截面的具体步骤
(1)找截点：方式1：延长截平面上已确定的一条直线，与几何体的棱或棱的延长线相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面
4、作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交
线的过程。
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线
的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图𝐸、𝐹是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等
分点
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 30
边界不沉默，端点有分量
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：①三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是𝐸𝐹(这类型的关键）；
②“第三点”是在外棱上，如𝐶1，注意：此时𝐶1点较为特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何
处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
5、正方体中的基本截面类型
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
特殊可启发，不能替证明
Page 31
典例3 （25-26·云南曲靖）（多选）在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵= 1，点𝑃满足𝐶𝑃⃗=
𝜆𝐶𝐷⃗+ 𝜇𝐶𝐶1⃗，其中𝜆∈[0, 1], 𝜇∈[0, 1]，则下列结论正确的是
（ ）
A. 当𝐵1𝑃//平面𝐴1𝐵𝐷时，𝐵1𝑃不可能垂直𝐶𝐷1
B. 若𝐵1𝑃与平面𝐶𝐶1𝐷1𝐷所成角为𝜋
4 ，则点𝑃的轨迹长度为𝜋
2
C. 当𝜆= 1时，正方体经过点𝐴1、𝑃、𝐶的截面面积的取值范围为[√6
4 , √2]
D. 当𝜆= 𝜇时，|𝐷𝑃⃗| + |𝐴1𝑃⃗|的最小值为√2 + √2
变式5 如图所示的一块长方体木料中，已知𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4, 𝐴𝐴1 = 1，设𝐸为底面𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，且𝐴𝐹⃗=
𝜆𝐴𝐷⃗, (0 ≤𝜆≤1
2)，则该长方体中经过点𝐴1, 𝐸, 𝐹的截面面积的最小值为
．
变式6 （25-26·上海）如图，棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1有一个截面𝑈𝑉𝑊𝑋𝑌𝑍，其中
𝑈, 𝑉, 𝑊、𝑋, 𝑌, 𝑍分别在棱𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐶1, 𝐶1𝐷1, 𝐷1𝐴1, 𝐴𝐴1上.若𝑈𝑉𝑋𝑌是正方形，则截面𝑈𝑉𝑊𝑋𝑌𝑍的面
积为
.
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 32
反例能止住误判
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·安徽马鞍山）（多选）如图，在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑀是棱𝐴1𝐷1
上一动点，𝑃是侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1内的动点，𝑄是空间内任意一点，下列说法中正确的是
（ ）
A. 存在点𝑀，使𝑀𝐴+ 𝑀𝐶1 = 3√2
B. 若𝑃𝐴= 2𝑃𝐶，则动点𝑃的轨迹为圆的一部分
C. 当𝐵𝑃⃗= 1
4𝐵𝐶1⃗时，过点𝑃作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小
值为3𝜋
2
D. ∠𝐷𝐴𝐷1 = ∠𝑄𝐴𝐷1，直线𝐴𝑄与𝐴𝐶1所成角的正切值的取值范围为[3 −
2√2, 3 + 2√2]
2. （25-26·四川宜宾）（多选）如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为2, 𝑃, 𝑄分别是棱
𝐶𝐶1, 𝐵𝐶的中点，点𝑀是其侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1上的动点（含边界），下列说法正确的是
（ ）
A. 过点𝐴, 𝑃, 𝑄的平面截该正方体所得截面面积为9
2
B. 当𝐴1𝐶1//平面𝑃𝑄𝑀时，点𝑀的轨迹长度为√2
C. 当𝐵1𝑀⟂𝑃𝑄时，三棱锥𝐵1 −𝐴𝐶𝑀的体积为2
3
D. 过𝑄作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为𝜋
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
方程承接未知
Page 33
3. （25-26·江苏南通）如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐷= 4，点𝐸, 𝐹分别为𝐴1𝐵1, 𝐵𝐵1的中点，
则平面𝐸𝐹𝐷1截正方体所得截面面积为
，动点𝑃满足𝐴𝑃⃗= 𝑥𝐴𝐵⃗+ 𝑦𝐴𝐷⃗+ 𝑧𝐴𝐴1⃗，且𝑥+
𝑦+ 2𝑧= 1
2，则当|𝐴𝑃⃗|取得最小值时二面角𝐴1 −𝐴𝐷−𝑃的余弦值为
.
4. （25-26·湖北襄阳）在Δ𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90∘，𝐵𝐶= 3，𝐴𝐶= 6，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐶，𝐴𝐵上的点，满足
𝐷𝐸//𝐵𝐶，且𝐴𝐷= 2𝐷𝐶．将△𝐴𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起到△𝐴1𝐷𝐸的位置，使𝐴1𝐶⟂𝐶𝐷，存在动点𝑀使𝐴1𝑀⃗=
𝜆𝐴1𝐷⃗(𝜆> 0)如图所示．
（1）求证：𝐴1𝐶⟂平面𝐵𝐶𝐷𝐸；
（2）设直线𝐵𝑀与平面𝐴1𝐵𝐸所成线面角为𝜃，求sin 𝜃的最大值．
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 34
函数刻画变化
5. （25-26·湖北武汉）如图(1)，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷= 4，𝐵𝐶= 2，∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷= 𝜋
3 ，
𝐵𝐶⟂𝐶𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⟂𝐴𝐵，垂足为𝐸.如图(2)，将△𝐴𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起，使得点𝐴到达点𝑃处，且𝑃𝐸⟂
𝐵𝐸.
（1）证明：𝐵𝐷⟂𝑃𝐶.
（2）若点𝐹为𝑃𝐷的中点，求直线𝐶𝐹与平面𝑃𝐵𝐶所成
角的正弦值.
6. （25-26·山东泰安）如图，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 8, 𝐴𝐷= 5, ∠𝐴𝐷𝐶= 90∘, ∠𝐵𝐴𝐷= 60∘，点
𝐸, 𝐹满足𝐴𝐸⃗= 2
5𝐴𝐷⃗，𝐴𝐹⃗= 1
2𝐴𝐵⃗，将△𝐴𝐸𝐹沿𝐸𝐹折起至△𝑃𝐸𝐹位置，使得点𝑃不在平面𝐴𝐵𝐶𝐷内．
（1）证明：平面𝑃𝐸𝐷⟂平面𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹；
（2）若𝐶𝐷= 2√3, 𝑃𝐶= 5，求平面𝑃𝐸𝐹与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值．
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
不等式守护范围
Page 35
7. （25-26·湖北十堰）如图1，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐶𝐷, ∠𝐵𝐴𝐷= 𝜋
3 , 𝐴𝐵= 2𝐴𝐷= 2𝐶𝐷= 4, 𝑃为𝐴𝐵的中
点，𝐴𝐶与𝐷𝑃交于点𝑂.将△𝐴𝐶𝐷沿𝐴𝐶折起到△𝐴𝐶𝐷′的位置，得到三棱锥𝐷′ −𝐴𝐵𝐶，使得二面角𝐵−
𝐴𝐶−𝐷′为直二面角（如图2).
（1）求证：𝐵𝐶∥平面𝑃𝑂𝐷′；
（2）求平面𝐴𝐵𝐶与平面𝐵𝐶𝐷′的夹角的大小；
（3）在线段𝑃𝐷′上是否存在点𝑄，使得平面𝑂𝐶𝑄⟂平面𝐴𝐵𝐷′？若存在，求出𝑃𝑄
𝑃𝐷′的值；若不存在，请说明
理由.
8. （25-26·重庆铜梁）如图1，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，𝐸, 𝐹分别为𝐴𝐷, 𝐵𝐶的中点，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷
沿𝐸𝐹折成如图2所示的二面角，使得𝐴𝐷= 2，点𝑀是线段𝐴𝐵
上的动点（包含端点）.
（1）若𝑀为𝐴𝐵的中点，直线𝑀𝐹与平面𝐴𝐷𝐸的交点为𝑂，试确定点𝑂的位置，并证明直线𝑂𝐷//平面𝐸𝑀𝐶；
（2）是否存在点𝑀，使二面角𝐶−𝐸𝑀−𝐹为60∘？若存在，求出线段𝐴𝑀的大小；若不存在，请说明理由.
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 36
集合先明对象
9. （25-26·重庆）如图1，在边长为4的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵= 60∘，点𝑀, 𝑁分别是边𝐵𝐶, 𝐶𝐷的中点，
𝐴𝐶∩𝐵𝐷= 𝑂1, 𝐴𝐶∩𝑀𝑁= 𝐺.沿𝑀𝑁将△𝐶𝑀𝑁翻折到△𝑃𝑀𝑁的位置，连接𝑃𝐴, 𝑃𝐵, 𝑃𝐷，得到如图2所
示的五棱锥𝑃−𝐴𝐵𝑀𝑁𝐷.
（1）在翻转过程中是否总有平面𝑃𝐵𝐷⟂平面𝑃𝐴𝐺？证明你的结论；
（2）设点𝐸为线段𝑃𝐴的中点，点𝑄在线段𝐵𝐸上，且𝐵𝑄⃗= 𝜆𝐵𝐸⃗(0 < 𝜆< 1)，当四棱锥𝑃−𝑀𝑁𝐷𝐵的体积
最大时，是否存在满足条件的实数𝜆，使直线𝑀𝑄与平面𝑃𝐴𝐵所成角的正弦值取得最大值.若存在，求
出𝜆的值；若不存在，请说明理由.
10. （25-26·广东惠州）如图1，在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶, ∠𝐵𝐴𝐷= 𝜋
2 , 𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 1, 𝐴𝐷= 2, 𝐸是
𝐴𝐷的中点，𝑂是𝐴𝐶与𝐵𝐸的交点.将△𝐴𝐵𝐸沿𝐵𝐸折起到△𝐴1𝐵𝐸的位置，使得平面𝐴1𝐵𝐸⟂平面𝐵𝐶𝐷𝐸，
如图2.
（1）证明：𝐶𝐷⟂平面𝐴1𝑂𝐶；
（2）求平面𝐴1𝐵𝐶与平面𝐴1𝐶𝐷夹角的余弦值.
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
高二数理进阶
命题先辨量词
Page 37
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·黑龙江齐齐哈尔）正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为4, 𝑀为棱𝐶𝐶1中点，𝐹为正方形
𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1内（舍边界）的动点，若𝑀𝐹⟂𝐴𝑀，则动点𝐹的轨迹长度为
（ ）
A. √2
B. 2√2
C. 𝜋
2
D. 𝜋
2. （25-26·上海）若正四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷的侧面𝐴𝐵𝐶内一动点𝑃到底面𝐵𝐶𝐷的距离与到棱𝐴𝐵的距离
相等，则动点𝑃的轨迹与𝐴𝐵𝐶组成图形可能是
（ ）
A.
B.
C.
D.
高二数理进阶
第 03 讲 空间向量中的折叠、轨迹与截面问题
Page 38
逻辑先分充分必要
3. （25-26·山西）（多选）如图，在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑀是𝐶𝐶1的中点，
点𝑁是底面正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内的动点（包括边界），则下列选项正确的是
（ ）
A. 存在点𝑁满足∠𝐴𝑁𝑀= 𝜋
2
B. 满足|𝐴1𝑁| = √5的点𝑁的轨迹长度是𝜋
4
C. 满足𝑀𝑁//平面𝐴1𝐵𝐶1的点𝑁的轨迹长度是√2
D. 满足𝐵1𝑁⟂𝐴1𝑀的点𝑁的轨迹长度是√2
4. 如图，在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸, 𝐹分别是棱𝐵𝐶、𝐶𝐶1的中点，𝑃是侧面𝐴𝐷𝐷1𝐴1
内一点（含边界），若𝑃𝐶1//平面𝐴𝐸𝐹，点𝑃的轨迹长度为
．
5. 在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知𝐴𝐴1 = 𝐴𝐵= 2𝐴𝐷= 2，𝐸，𝐹分别为𝐵𝐵1，𝐷1𝐶1的中点，则长方
体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的外接球表面积为
，平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1被三棱锥𝐶1 −𝐶𝐸𝐹外接球截得
的截面圆面积为
．
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
高二数理进阶
三角藏于周期与对称
Page 39
第 04 讲
直线与方程中的核心问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
直线与线段有交点问题
题型点拨
倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于𝑥轴
由左向右上升
垂直于𝑥轴
由左向右下降
𝛼的大小
𝛼= 0∘
0∘< 𝛼< 90∘
𝛼= 90∘
90∘< 𝛼< 180∘
𝑘的取值范围
𝑘= 0
𝑘> 0
不存在
𝑘< 0
𝑘的增减性
—
𝑘随𝛼的增大而增大
—
𝑘随𝛼的增大而增大
典例1 （25-26·广东阳江）已知点𝐴(1, 4), 𝐵(3, −1).若直线𝑙: 𝑚𝑥+ 𝑦+ 2𝑚−1 = 0与线段𝐴𝐵相
交，则𝑚的范围是
（ ）
A. [−1, 2
5]
B. [−2
5, 1]
C. (−∞, −1] ∪[2
5, +∞)
D. (−∞, −2
5] ∪[1, +∞)
变式1 经过点𝑃(0, −1)作直线𝑙，若直线𝑙与连接点𝐴(1, −2)，𝐵(2, 1)的线段没有公共点，则直线𝑙的倾斜角
𝛼的取值范围是
．
高二数理进阶
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
Page 40
向量重在方向与分解
题型2
斜率公式及几何意义
题型点拨
解决三点共线的步骤
第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等
时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步；
第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线．
典例2 （25-26·河南周口）已知𝑎> 0，平面内三点𝐴(0, −𝑎), 𝐵(1, 𝑎2), 𝐶(3, 2𝑎3)共线，则𝑎=
．
题型3
两条直线平行与垂直
题型点拨
1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)𝑙1 ∥𝑙2 ⇔𝑘1 = 𝑘2成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②𝑙1与𝑙2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，𝑙1与𝑙2的倾斜角都是90∘，则𝑙1 ∥𝑙2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
𝑙1 ∥𝑙2 ⇔𝑘1 = 𝑘2或𝑙1，𝑙2斜率都不存在.
2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)𝑙1 ⟂𝑙2 ⇔𝑘1 ⋅𝑘2 = −1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②𝑘1 ≠0且𝑘2 ≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
高二数理进阶
数列贵在递推与通项
Page 41
𝑙1 ⟂𝑙2 ⇔𝑘1 ⋅𝑘2 = −1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3、一般式方程下的平行与垂直
(1)平行与垂直的系数关系
已知直线𝑙1, 𝑙2的方程分别是𝑙1 : 𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1 = 0（𝐴1, 𝐵1不同时为0)，
𝑙2 : 𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2 = 0（𝐴2, 𝐵2不同时为0)
①若𝐴1𝐴2 + 𝐵1𝐵2 = 0 ⇔𝑙1 ⟂𝑙2 ②𝑙1//𝑙2 ⇔{𝐴1𝐵2 −𝐴2𝐵1 = 0
𝐴1𝐶2 −𝐴2𝐶1 ≠0 或𝐵1𝐶2 −𝐵2𝐶1 ≠0
(2)平行与垂直的直线系方程
①平行直线系：与直线𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝑛= 0平行的直线方程可设为𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝑚= 0(𝑚≠𝑛)，否则𝑚= 𝑛
时两直线重合，不是平行直线．
②垂直直线系：与直线𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝑛= 0垂直的直线方程可设为𝐵𝑥−𝐴𝑦+ 𝑚= 0
典例3 （25-26·广西南宁）若𝑎∈𝑅，直线𝑙1 : 𝑥+ 2𝑎𝑦−1 = 0，直线𝑙2 : (3𝑎−1)𝑥−𝑎𝑦−1 =
0，则“𝑙1 ∥𝑙2”的充分不必要条件是
（ ）
A. 𝑎= 0
B. 𝑎= −1
6
C. 𝑎= 1
D. 𝑎= 1
2
变式2 （25-26·福建龙岩）若直线𝑙1：𝑎𝑥+ 3𝑦−1 = 0与直线𝑙2：3𝑥+ 𝑎𝑦+ 1 = 0平行，则实数𝑎
为
（ ）
A. −3
B. 3
C. 3或−3
D. 1或−1
高二数理进阶
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
Page 42
导数揭示局部变化
变式3 （25-26·湖南衡阳）已知𝜃∈(0, 𝜋)，直线𝑙1 : 𝑥cos 𝜃−𝑦+ 1 = 0，𝑙2 : (2 cos 𝜃+ 3)𝑥+
2𝑦−2 = 0，若𝑙1 ⟂𝑙2，则𝜃=
（ ）
A. 𝜋
6
B. 𝜋
3
C. 2𝜋
3
D. 3𝜋
4
题型4
截距式方程与直线过定点
题型点拨
1、截距式方程应用的注意事项
(1)问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择
(1)若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于𝑥轴的直线的斜率为0，
垂直于𝑥轴的直线的斜率不存在．
(2)若已知直线的斜率，通常用斜截式．
(3)若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合．
(4)若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的
互化．
典例4 （25-26·湖南）已知直线𝑙经过点𝑃(1, 2)，与两坐标轴的正半轴分别交于𝐴、𝐵两点，𝑂为
坐标原点，则△𝑂𝐴𝐵的面积的最小值为
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
高二数理进阶
概率先立样本空间
Page 43
典例5 已知直线𝑙1 : 𝑚𝑥−𝑦= 0(𝑚∈𝑅)过定点𝐴，直线𝑙2 : 𝑥+ 𝑚𝑦+ 4 −2𝑚= 0过定点𝐵，𝑙1与
𝑙2的交点为𝐶，则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值为
（ ）
A. √10
B. 2√5
C. 5
D. 10
变式4 （25-26·福建泉州）当点𝑃(−2, −1)到直线𝑙: (1 + 3𝜆)𝑥+ (1 + 𝜆)𝑦−2 −4𝜆= 0(𝜆∈𝑅)的距离
最大时，此时的直线𝑙方程为
.
题型5
直线的交点坐标
题型点拨
过两条直线交点的直线系方程
设两条不平行的直线方程分别为𝑙1 : 𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1 = 0（𝐴1, 𝐵1不同时为0)，𝑙2 : 𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2 =
0（𝐴2, 𝐵2不同时为0)，则我们将直线方程𝑙: 𝑚(𝐴1𝑥+ 𝐵1𝑦+ 𝐶1) + 𝑛(𝐴2𝑥+ 𝐵2𝑦+ 𝐶2) = 0（其中
𝑚, 𝑛为参数，且𝑚2 + 𝑛2 ≠0）称为经过直线𝑙1与𝑙2交点的直线系方程．当𝑚= 1, 𝑛= 0时，此方程即为
直线𝑙1的方程；当𝑚= 0, 𝑛= 1时，此方程即为直线𝑙2的方程．
典例6 若𝑃(2, 3)既是𝐴(𝑎1, 𝑏1), 𝐵(𝑎2, 𝑏2)的中点，又是直线𝑙1 : 𝑎1𝑥+ 𝑏1𝑦−13 = 0与直线𝑙2 :
𝑎2𝑥+ 𝑏2𝑦−𝑚= 0的交点，则线段𝐴𝐵的垂直平分线的方程是
（ ）
A. 3𝑥−2𝑦= 0
B. 3𝑥−2𝑦−12 = 0
C. 2𝑥−3𝑦−13 = 0
D. 2𝑥−3𝑦+ 5 = 0
高二数理进阶
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
Page 44
统计回到数据语境
变式5 （25-26·上海）已知直线𝑙1 : 𝑚𝑥−𝑦+ 𝑚= 0，𝑙2 : 𝑥+ 𝑚𝑦−𝑚(𝑚+ 1) = 0，𝑙3 : (𝑚+ 1)𝑥−𝑦+
(𝑚+ 1) = 0，三条直线围成△𝐴𝐵𝐶，则当△𝐴𝐵𝐶面积取得最大时𝑚的值为
.
题型6
距离公式及最值范围问题
题型点拨
1、平面上两点间的距离公式的应用
平面内两点𝑃1(𝑥1, 𝑦1)，𝑃2(𝑥2, 𝑦2)间的距离公式为：|𝑃1𝑃2| = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2.
【注意】公式中𝑃1和𝑃2位置没有先后之分，也可以表示为：|𝑃1𝑃2| = √(𝑥2 −𝑥1)2 + (𝑦2 −𝑦1)2．
(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公
式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解．
(2)利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边
三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形．
2、点到直线距离公式的应用
点𝑃(𝑥0, 𝑦0)到直线𝑙: 𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0(𝐴2 + 𝐵2 ≠0)的距离𝑑= |𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
(1)求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直
线的距离公式求解即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
(3)点到直线的距离，是直线外一点到直线上各点所连线段长度的最小值，某些距离的最值问题可以转化
为点到直线的距离问题来求解．
(4)因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问
题．
平行线间距离公式的应用
两条平行直线𝑙1 : 𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶1 = 0，𝑙2 : 𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶2 = 0(𝐶1 ≠𝐶2)，
它们之间的距离为：𝑑= |𝐶1 −𝐶2|
√𝐴2 + 𝐵2
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且𝑥和𝑦的系数对应相等．
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
高二数理进阶
图形先标关系
Page 45
(1)两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行
直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特
殊的点，转化点到直线的距离求解．
(2)如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为𝑙1 : 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏1，𝑙2 : 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏2，那么两条平行直线
间的距离𝑑= |𝑏1 −𝑏2|
√1 + 𝑘2
．
典例7 若动点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)分别在直线𝑙1 : 5𝑥−12𝑦+ 2 = 0与𝑙2 : 5𝑥−12𝑦+ 8 = 0上移
动，则𝐴𝐵的中点𝑀到原点的距离的最小值为
（ ）
A. 5
13
B. √2
C. 1
2
D. √13
变式6 已知0 < 𝑥< 2，0 < 𝑦< 2，则√𝑥2 + 𝑦2 + √𝑥2 + (2 −𝑦)2 + √(2 −𝑥)2 + 𝑦2 +
√(2 −𝑥)2 + (2 −𝑦)2的最小值为
.
变式7 设直线𝑙1 : 𝑦= 𝑘1𝑥+ 1，𝑙2 : 𝑦= 𝑘2𝑥−1，其中实数𝑘1，𝑘2满足𝑘1𝑘2 + 1 = 0．
（1）证明直线𝑙1与𝑙2相交；
（2）证明直线𝑙1与𝑙2的交点到原点的距离为定值．
高二数理进阶
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
Page 46
坐标先定参照
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·广东惠州）已知点𝐴(2, −3), 𝐵(−5, −2)，过点𝑃(−1, 1)的直线𝑙与线段𝐴𝐵（含端点）
有公共点，则直线𝑙的斜率𝑘的取值范围为
（ ）
A. [−4
3, 3
4]
B. (−∞, −3
4] ∪[4
3, +∞)
C. [−3
4, 4
3]
D. (−∞, −4
3] ∪[3
4, +∞)
2. （25-26·山东临沂）点𝑃(1, −2)到直线𝑙: (3 + 2𝜆)𝑥+ (4 + 𝜆)𝑦−2 + 2𝜆= 0(𝜆∈𝑅)的距离
最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为
（ ）
A. √17；3𝑥−4𝑦−11 = 0
B. 5；3𝑥−4𝑦+ 14 = 0
C. √17；4𝑥+ 3𝑦−11 = 0
D. 5；4𝑥+ 3𝑦−14 = 0
3. （25-26·山西大同）已知实数𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑满足3𝑎−4𝑏+ 3 = 0，3𝑐−4𝑑−7 = 0 ， 则(𝑎−𝑐)2 +
(𝑏−𝑑)2的最小值为
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 已知直线𝑙1 : 4𝑥−3𝑦+ 5 = 0与直线𝑙2 : 8𝑥−6𝑦−15 = 0，在𝑙1上任取一点𝐴，在𝑙2上任取一点
𝐵，连接𝐴𝐵，取𝐴𝐵的靠近点𝐵的四等分点𝐶，过点𝐶作𝑙1的平行线𝑙3，则𝑙1与𝑙3之间的距离为
（ ）
A. 5
8
B. 15
8
C. 3
8
D. 1
8
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
高二数理进阶
角度先定象限
Page 47
5. （25-26·重庆）过直线(𝑎+ 1)𝑥+ (𝑎−1)𝑦−4𝑎= 0的定点𝑃，且与直线5𝑥+ 6𝑦+ 11 = 0垂直的直线的
一般式方程为
.
6. （25-26·福建龙岩）已知𝑚∈𝑅，若过定点𝐴的动直线𝑙1 : 𝑥−𝑚𝑦= 0和过定点𝐵的动直线𝑙2 : 𝑚𝑥+ 𝑦+
𝑚= 0交于点𝑃（𝑃与𝐴，𝐵不重合），则|𝑃𝐴|2 + |𝑃𝐵|2的值为
.
7. （25-26·辽宁沈阳）对任意的实数𝜆，原点𝑂(0, 0)到直线(2 + 𝜆)𝑥−(1 + 𝜆)𝑦−2(3 + 2𝜆) = 0的距离𝑑
的取值范围为
．
8. 已知函数𝑓(𝑥) = √𝑥2 −4𝑥+ 13 + √𝑥2 −10𝑥+ 26，则𝑓(𝑥)的最小值为
．
9. 已知实数𝑥, 𝑦满足2𝑥+ 𝑦= 8，且2 ≤𝑥≤3．
（1）求𝑦
𝑥的取值范围；
（2）求𝑦+ 1
𝑥+ 1的取值范围．
10. （25-26·山东）直线𝑙方程为(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑦−2𝑚−3 = 0(𝑚∈𝑅)．
（1）证明：无论𝑚为何值，直线𝑙过定点；
（2）已知𝑂是坐标原点，若直线𝑙分别与𝑥轴正半轴、𝑦轴正半轴交于𝐴，𝐵两点，当△𝐴𝑂𝐵的面积最小时，
求△𝐴𝑂𝐵的周长及此时直线𝑙的方程．
高二数理进阶
第 04 讲 直线与方程中的核心问题
Page 48
区间先看开闭
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·福建莆田）已知三点𝐴(2, −1)，𝐵(4, 3)，𝐶(5, 𝑘)在同一条直线上，则𝑘的值为
（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
2. （25-26·上海）已知直线𝑙的方程是(3𝑎−1)𝑥−(𝑎−2)𝑦−1 = 0，则对任意的实数𝑎，直线𝑙一
定经过.
（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. （25-26·湖南株洲）已知直线𝑙1 : 𝑎𝑥+ 2𝑦= 0与直线𝑙2 : 𝑥+ (𝑎+ 1)𝑦+ 4 = 0，则“𝑎=
1”是“𝑙1//𝑙2”
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4. （多选）直线𝑙经过点𝐴(1, 2)，在𝑥轴上的截距的取值范围是(−3, 3)，则其斜率的取值范围可以
是
（ ）
A. (−1, 1
5)
B. (−∞, −1)
C. (1
5, +∞)
D. (1
2, +∞)
5. 已知两直线𝑙1 : (𝑚−1)𝑥−6𝑦−2 = 0，𝑙2 : 𝑚𝑥+ 𝑦+ 1 = 0，若𝑙1 ⟂𝑙2，则𝑚=
.
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
高二数理进阶
分母先看不零
Page 49
第 05 讲
直线中的对称与新定义问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
点的对称问题
题型点拨
1、思路：该点是两对称点连线段的中点．
2、方法：利用中点坐标公式
平面内点𝐴(𝑥0, 𝑦0)关于𝑃(𝑎, 𝑏)对称点坐标为(2𝑎−𝑥0, 2𝑏−𝑦0)，
平面内点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐴′(𝑥2, 𝑦2)关于点𝑃(𝑥1 + 𝑥2
2
, 𝑦1 + 𝑦2
2
)对称．
典例1 已知不同的两点𝑃(𝑎, −𝑏)与𝑄(𝑏+ 1, 𝑎−1)关于点(3, 4)对称，则𝑎𝑏=
（ ）
A. −5
B. 14
C. −14
D. 5
变式1 点𝑃(3, −1)关于点𝑀(1, 2)对称的点的坐标为
．
题型2
点关于直线的对称问题
题型点拨
1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．
2、(1)当直线斜率存在时：方法：利用“垂直”和“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐
标，一般地：设点 (𝑥0, 𝑦0) 关于直线 𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0 的对称点为 (𝑥′, 𝑦′)，则满足 𝑦′ −𝑦0
𝑥′ −𝑥0
⋅(−𝐴
𝐵) =
−1，且 𝐴𝑥′ + 𝑥0
2
+ 𝐵𝑦′ + 𝑦0
2
+ 𝐶= 0.
(2)当直线斜率不存在时：点(𝑥0, 𝑦0)关于𝑥= 𝑚的对称点为(2𝑚−𝑥0, 𝑦0)．
高二数理进阶
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
Page 50
根式先看定义域
典例2 （25-26·安徽合肥）已知点𝐴(−1, 2)关于直线𝑙：𝑥+ 𝑦−2 = 0的对称点为𝐵，设直线𝑚经
过点𝐵，则当点𝐶(3, 0)到直线𝑚的距离最大时，直线𝑚的方程为
（ ）
A. 𝑥−𝑦−3 = 0
B. 𝑥−𝑦+ 3 = 0
C. 𝑥+ 𝑦+ 3 = 0
D. 𝑥+ 𝑦−3 = 0
变式2 （25-26·广东清远）已知点𝑃在直线𝑥−𝑦−1 = 0上，点𝐴(1, −2), 𝐵(2, 6)，则|𝑃𝐴| −|𝑃𝐵|的最小值
为
题型3
直线关于点的对称问题
题型点拨
1、思路：两直线平行
2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在𝑙上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各
自关于𝐴对称的点，然后求出直线方程）．
法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）．
典例3 与直线3𝑥−4𝑦+ 5 = 0关于坐标原点对称的直线的方程为
（ ）
A. 4𝑥+ 3𝑦−5 = 0
B. 3𝑥+ 4𝑦+ 5 = 0
C. 4𝑥−3𝑦+ 5 = 0
D. 3𝑥−4𝑦−5 = 0
变式3 直线𝑙过点𝑃(−2, 0)，点𝑄(1, √3)到直线𝑙的距离为2√3，直线𝑙′与直线𝑙关于点𝑄对称.
（1）求直线𝑙′的方程；
（2）记原点为𝑂，直线𝑙′上有一动点𝑀，则当|𝑂𝑀| + |𝑀𝑄|最小时，求点𝑀的坐标.
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
高二数理进阶
对数先看真数
Page 51
题型4
直线关于直线的对称问题
题型点拨
1、当𝑙1与𝑙相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；
求直线𝑙1 : 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐= 0，关于直线𝑙2 : 𝑑𝑥+ 𝑒𝑦+ 𝑓= 0（两直线不平行）的对称直线𝑙3
第一步：联立𝑙1 , 𝑙2算出交点𝑃(𝑥0 , 𝑦0)；
第二步：在𝑙1上任找一点（非交点）𝑄(𝑥1 , 𝑦1)，求出关于直线对称的点𝑄′(𝑥2 , 𝑦2)；
第三步：利用两点式写出𝑙3方程．
2、当𝑙1与𝑙平行时：对称直线与已知直线平行．
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．
典例4 已知直线𝑙：2𝑥−3𝑦+ 1 = 0，则直线𝑚：3𝑥−2𝑦−6 = 0关于直线𝑙的对称直线𝑚′的方程为
．
变式4 （25-26·辽宁大连）已知直线𝑙1 : 2𝑥−𝑦+ 1 = 0，𝑙2 : 𝑥−2𝑦−1 = 0，若直线𝑙1与𝑙2关于直线𝑙对
称，则直线𝑙的方程为
.
题型5
入射、反射光线背景下的对称问题
典例5 （25-26·云南玉溪）一光线过点(2, 4)，经倾斜角为3𝜋
4 的且过(0, 1)的直线𝑙反射后过点
(5, 0)，则反射后的光线不会经过下列哪个点
（ ）
A. (1, −1
2)
B. (2, −3
8)
C. (3, −1
4)
D. (4, −1
4)
高二数理进阶
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
Page 52
指数先看底数
变式5 （25-26·吉林长春）如图，在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 3，点𝑃是边𝐴𝐵上异于端
点的一点，光线从点𝑃出发经𝐵𝐶, 𝐶𝐴边反射后又回到点𝑃，若光线𝑄𝑅经过△𝐴𝐵𝐶的重心，则△
𝑃𝑄𝑅的周长等于
（ ）
A. 2√5
B. 2√7
C. 4√5
D. 5√3
题型6
直线中的新定义问题
典例6 （25-26·上海）定义：点𝑃(𝑥0, 𝑦0)到直线𝑙: 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐= 0（𝑎, 𝑏不全为零）的有向距离为𝛿=
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
.设点𝐴, 𝐵到直线𝑙的有向距离为𝛿𝐴, 𝛿𝐵.已知两定点𝐹1(−2, 0)与𝐹2(2, 0)，𝐹1, 𝐹2到直线𝑙的有
向距离之差的绝对值等于2√2，且𝐹1, 𝐹2在直线𝑙的同侧，则平面上不在任何一条直线𝑙上的点组成的图形面
积为
.
变式6 （25-26·贵州贵阳）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距
离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)，定义两种距离：欧几里得距离
𝐷(𝐴, 𝐵) = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2；曼哈顿距离𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝑥1 −𝑥2| + |𝑦1 −𝑦2|.
（1）求满足𝑑(𝑂, 𝑀) = 1的点𝑀的轨迹所围成的图形面积；
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，求证：𝑑(𝐴, 𝐶) + 𝑑(𝐶, 𝐵) ≥𝑑(𝐴, 𝐵)；
（3）已知点𝑃, 𝑄是直线𝑙: 𝑦−1 = 𝑘(𝑥−1)上的两动点，问是否存在直线𝑙使得𝐷(𝑂, 𝑃)𝑚𝑖𝑛= 𝑑(𝑂, 𝑄)𝑚𝑖𝑛？
若存在，求出所有满足条件的直线𝑙的方程；若不存在，请说明理由.
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
高二数理进阶
复合函数层层拆解
Page 53
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·甘肃）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，记第一象限内的动点𝑃为(𝑥0, 𝑦0)，若点𝑃在直线𝑥+
𝑦= 4上，则𝑥0 + √𝑥2
0 + 𝑦2
0的最小值为
（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2. （25-26·广东阳江）直线𝑙1 : 𝑥+ 𝑦−1 = 0关于直线𝑙2 : 3𝑥−𝑦−3 = 0对称的直线方程
.（用一般式方程表示）.
3. （25-26·上海）将一张坐标纸折叠一次，使点(2, 0)与点(1, 1)重合，此时点(𝑚, 𝑛)与原点(0, 0)重合，则
𝑚⋅𝑛的值是
.
4. 在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 1，点𝑃是边𝐴𝐵上异于𝐴，𝐵的一点，光线从点𝑃出发，经𝐵𝐶，𝐶𝐴
反射后又回到点𝑃，如图所示，若光线𝑄𝑅经过△𝐴𝐵𝐶的重心𝐺，则𝐴𝑃的长度为
.
高二数理进阶
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
Page 54
抽象函数回到定义
5. 在平面直角坐标系中，定义𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑚𝑎𝑥{|𝑥1 −𝑥2|, |𝑦1 −𝑦2|}为两点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)
的“切比雪夫距离”，又设点𝑃与直线𝑙上任意一点𝑄，称𝑑(𝑃, 𝑄)的最小值为点𝑃与直线𝑙间的“切比
雪夫距离”，记作𝑑(𝑃, 𝑙)，给定下列两个命题：
（ ）
①已知点𝑃(3, 1)，直线𝑙: 2𝑥−𝑦−1 = 0，则𝑑(𝑃, 𝑙) = 4
3；
②定点𝐹1(−𝑐, 0)、𝐹2(𝑐, 0)，动点𝑃(𝑥, 𝑦)满足|𝑑(𝑃, 𝐹1) −𝑑(𝑃, 𝐹2)| = 2𝑎(2𝑐> 2𝑎> 0)则点𝑃的轨迹与直
线𝑦= 𝑘（𝑘为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是
A. 命题①成立，命题②不成立
B. 命题①不成立，命题②成立
C. 命题①②都成立
D. 命题①②都不成立
6. （25-26·山西长治）（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如
下：在平面直角坐标系中有两点𝑀(𝑥1, 𝑦1)，𝑁(𝑥2, 𝑦2)，其“曼哈顿距离”‖ 𝑀𝑁‖ = |𝑥1 −𝑥2| +
|𝑦1 −𝑦2|．下列结论正确的是
（ ）
A. 若𝑃(1, 3)，𝑄(−2, 1)，则‖ 𝑃𝑄‖ = 5
B. 若𝑃(5, 0)，𝑄(𝑡, 1)，且‖ 𝑃𝑄‖ = 5，则𝑡= 1
C. 若点𝑃(2, 2)，点𝑄是直线𝑦= 𝑥+ 3上的动点，则‖ 𝑃𝑄‖的最小值为3
D. 若点𝑃(−1, 1)，点𝑄是曲线𝑦2 = 𝑥上的动点，则‖ 𝑃𝑄‖的最小值为2
7. （25-26·黑龙江大庆）已知实数𝑚≥0，𝑛≥0，且满足4𝑚+ 𝑛= 2成立，则2𝑚+ √4𝑚2 + 𝑛2的最小值与
最大值的和是
.
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
高二数理进阶
恒成立看极端
Page 55
8. （25-26·上海）已知直线𝑙: 𝑦= 3𝑥+ 7，试求：
（1）点𝑃(2, 5)关于直线𝑙的对称点的坐标；
（2）直线𝑦= 𝑥+ 3关于直线𝑙对称的直线方程；
（3）直线𝑙关于点𝐴(4, 2)对称的直线方程．
9. （25-26·上海）如图，已知𝐴(6, 6√3)，𝐵(0, 0)，𝐶(12, 0)，直线𝑙：(𝑘+ √3)𝑥−𝑦−2𝑘= 0．
（1）求直线𝑙经过的定点坐标；
（2）若𝑃(2, 2√3)，李老师站在点𝑃用激光笔照出一束光线，依次由𝐵𝐶（反
射点为𝐾）、𝐴𝐶（反射点为𝐼）反射后，光斑落在𝑃点，求入射光线𝑃𝐾的
直线方程．
10. （25-26·重庆）平面内有两点𝑀(𝑥1, 𝑦1)与𝑁(𝑥2, 𝑦2)，我们新定义这两点间的“物理距离”𝑑𝑝(𝑀, 𝑁) =
√(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2，“光学距离”𝑑𝑙(𝑀, 𝑁) = √(𝑥1 −𝑦2)2 + (𝑥2 −𝑦1)2.𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦+ 5 = 0
上有两个动点𝑃, 𝑄，定点𝐷(2, 1).
（1）求𝑑𝑙(𝐷, 𝑃) −𝑑𝑝(𝐷, 𝑄)的最大值；
（2）过点𝐶的直线𝑙上有一个动点𝑇，若𝑑𝑙(𝐷, 𝑇)的最小值为1，求直线𝑙的方程.
高二数理进阶
第 05 讲 直线中的对称与新定义问题
Page 56
存在性找构造
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·广西北海）一束光线从点𝑃(1, 4)射出，经𝑦轴反射后经过点𝑀(2, 0)，则该束光线从点
𝑃到点𝑀的路径长为
（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. √17
2. （25-26·江苏常州）已知直线𝑥+ 2𝑦−3 = 0与直线𝑎𝑥+ 4𝑦+ 𝑏= 0关于点𝐴(1, 0)对称，则实数
𝑏的值为
（ ）
A. 2
B. 6
C. −2
D. −6
3. （25-26·天津）与直线3𝑥−4𝑦+ 5 = 0关于𝑦轴对称的直线的方程为
（ ）
A. 3𝑥+ 4𝑦−5 = 0
B. 3𝑥+ 4𝑦+ 5 = 0
C. 3𝑥−4𝑦+ 5 = 0
D. 3𝑥−4𝑦−5 = 0
4. （多选）（25-26·山东济南）一光线过点(2, 4)，经倾斜角为135∘的且过(0, 1)的直线𝑙反射后过
点(5, 0)，则反射后的光线还经过下列哪些点
（ ）
A. (1, −1
2)
B. (2, −3
8)
C. (3, −1
4)
D. (4, 1
8)
5. （25-26·上海·课堂例题）一条光线沿经过点𝑀(1, 2)且斜率为3
4的直线射到𝑥轴上后反射，则反射光线所
在的直线方程为
．
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
高二数理进阶
最值先找可行域
Page 57
第 06 讲
圆的方程中的核心问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
圆中过定点问题
典例1 （25-26·河北张家口）点𝑀是直线2𝑥−𝑦+ 5 = 0上的动点，𝑂是坐标原点，则以𝑂𝑀为直径的圆经
过定点
变式1 已知曲线𝐶：(1 + 𝑎)𝑥2 + (1 + 𝑎)𝑦2 −4𝑥+ 8𝑎𝑦= 0．
（1）当𝑎取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论𝑎为何值，曲线𝐶必过两定点．
题型2
圆的方程中对称条件的突破
典例2 （25-26·陕西榆林）已知圆𝑀: (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 1与圆𝑁: (𝑥−3)2 + (𝑦+ 4)2 = 1
关于直线𝑙对称，则𝑙的方程为
（ ）
A. 𝑥+ 2𝑦+ 5 = 0
B. 𝑥−2𝑦−5 = 0
C. 2𝑥+ 𝑦+ 5 = 0
D. 2𝑥−𝑦−5 = 0
高二数理进阶
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
Page 58
周期性先定基本周期
变式2 （25-26·四川成都）圆𝐶: (𝑥−1)2 + (𝑦−1)2 = 2关于直线𝑙: 𝑦= 𝑥−1对称后的方程为 （ ）
A. (𝑥−2)2 + 𝑦2 = 2
B. (𝑥+ 2)2 + 𝑦2 = 2
C. 𝑥2 + (𝑦−2)2 = 2
D. 𝑥2 + (𝑦+ 1)2 = 2
题型3
圆的轨迹方程与实际问题
题型点拨
1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
2、坐标法求轨迹方程的步骤
(1)建系：建立适当的平面直角坐标系；
(2)设点：用(𝑥, 𝑦)表示轨迹（曲线）上任意一点𝑀的坐标；
(3)列式：列出关于 𝑥, 𝑦 的方程；
(4)化简：把方程化为最简形式；
(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
典例3 （25-26·海南）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱
桥及其示意图如下，桥拱𝐴𝑃𝐵是一段圆弧，桥的跨度𝐴𝐵= 40𝑚，拱高𝑂𝑃= 10𝑚，与𝑂𝑃相距
𝑎𝑚的支柱𝐴1𝑃1 = 5𝑚，则𝑎=
（ ）
A. 5
B. 5√3
C. 15
D. 10√3
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
高二数理进阶
对称性先找中心与轴
Page 59
变式3 （25-26·重庆）点𝑃在圆𝑥2 + 𝑦2 = 36上运动，它与点𝑄(4, 0)所连线段中点为𝑀，则点𝑀
轨迹方程为
（ ）
A. (𝑥−2)2 + 𝑦2 = 9
B. (𝑥+ 2)2 + 𝑦2 = 9
C. 𝑥2 + (𝑦−2)2 = 9
D. 𝑥2 + (𝑦+ 2)2 = 9
题型4
直线与圆的位置关系及参数问题
题型点拨
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离𝑑与圆的半径𝑟的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点
的直线系．
典例4 若圆𝐶：𝑥2 + 𝑦2 −12𝑥+ 10𝑦+ 25 = 0上有四个不同的点到直线𝑙: 3𝑥+ 4𝑦+ 𝑐= 0的距离
为3，则𝑐的取值范围是
（ ）
A. (0, 17)
B. (−13, 0)
C. (−13, 17)
D. (13, 17)
变式4 （25-26·重庆）直线𝑙的方程为𝑙: 5𝑥+ √39𝑦+ 1 = 0，则圆𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 −6𝑥= 0上到直线𝑙
距离为1的点的个数为
（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
高二数理进阶
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
Page 60
单调性服务比较
题型5
切线方程、切线长、切点弦问题
题型点拨
1、求圆的切线方程的三种方法
(1)几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存
在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程．
(2)代数法：设切线为𝑦−𝑦0 = 𝑘(𝑥−𝑥0)时，只考虑了斜率存在的直线．因此利用判别式求出这些切线
后，还必须单独检验斜率不存在的直线𝑥= 𝑥0是否为圆的切线．
(3)设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程．
2、与圆的切线相关的结论
(1)过圆𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2上一点𝑃(𝑥0, 𝑦0)的圆的切线方程为𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 = 𝑟2．
(2)过(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2 = 𝑟2上一点𝑃(𝑥0, 𝑦0)的圆的切线方程为：
(𝑥−𝑎)(𝑥0 −𝑎) + (𝑦−𝑏)(𝑦0 −𝑏) = 𝑟2
(3)过(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2 = 𝑟2外一点𝑃(𝑥0, 𝑦0)作圆的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵，则切点弦𝐴𝐵所在
直线方程为：(𝑥−𝑎)(𝑥0 −𝑎) + (𝑦−𝑏)(𝑦0 −𝑏) = 𝑟2．
(4)过圆外一点𝑃(𝑥0, 𝑦0)引圆(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2 = 𝑟2的两条切线，则过圆外一点𝑃(𝑥0, 𝑦0)的切线长为
𝑑= √(𝑥0 −𝑎)2 + (𝑦0 −𝑏)2 −𝑟2
典例5 （25-26·河北廊坊）一条光线从点𝐴(−1, 1)射出，经直线𝑦= 𝑥反射后，与圆𝐶：
(𝑥−1)2 + (𝑦−3)2 = 1相切，则反射后光线所在直线的斜率为
（ ）
A. ±√15
B. ±√10
C. ±3
D. ±√5
变式5 （25-26·河南驻马店）过原点𝑂的直线𝑙与圆𝐶: (𝑥−1)2 + 𝑦2 = 4交于𝐴, 𝐵两点，且点𝑃(−3, 2)．
（1）过点𝑃作圆𝐶的切线𝑚，求切线𝑚的方程；
（2）求弦𝐴𝐵的中点𝑀的轨迹方程．
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
高二数理进阶
奇偶性服务简化
Page 61
题型6
直线与圆相交及弦长问题
题型点拨
弦长问题
(1)利用垂径定理：半径𝑟，圆心到直线的距离𝑑，弦长𝑙具有的关系𝑟2 = 𝑑2 + ( 𝑙
2)2，这也是求弦长最常
用的方法．
(2)利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦
长．
(3)利用弦长公式：设直线𝑙: 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，与圆的两交点(𝑥1 , 𝑦1) , (𝑥2 , 𝑦2)，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数关系得弦长：𝑙= √1 + 𝑘2|𝑥1 −𝑥2| = √(1 + 𝑘2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2] =
√(1 + 𝑘2) ⋅
√Δ
|𝐴| ．
典例6 （25-26·湖北孝感）已知线段𝐴𝐵的端点𝐵的坐标是(6, 8)，端点𝐴在圆𝑥2 + 𝑦2 = 16上运动，𝑀是线
段𝐴𝐵的中点.
（1）求点𝑀的轨迹方程；
（2）记(1)中所求轨迹为曲线𝐶，过定点(2, 0)的直线𝑙与曲线𝐶交于𝑃, 𝑄两点，并且被曲线𝐶截得的弦长为
2√3，求直线𝑙的方程．
变式6 在平面直角坐标系中，𝑄(2, 0)，过点𝑃(2, 4)作直线𝑙与圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 = 4交于不同的两点𝑀, 𝑁．
（1）若直线𝑙的斜率为1，求|𝑀𝑁|；
（2）设直线𝑄𝑀，𝑄𝑁的斜率分别是𝑘1，𝑘2，探索𝑘1 + 𝑘2是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明
理由．
高二数理进阶
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
Page 62
换元须保范围
题型7
圆与圆的位置关系及参数问题
题型点拨
(1)几何法：若两圆的半径分别为𝑟1，𝑟2，两圆连心线的长为𝑑.
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
𝑑与𝑟1，𝑟2的关系
𝑑> 𝑟1 + 𝑟2
𝑑= 𝑟1 + 𝑟2
|𝑟1 −𝑟2| < 𝑑<
𝑟1 + 𝑟2
𝑑= |𝑟1 −
𝑟2|
0 ≤𝑑< |𝑟1 −
𝑟2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
圆𝐶1 方程
圆𝐶2 方程}
消元，一元二次方程
{
Δ > 0 ⇒相交
Δ = 0 ⇒内切或外切
Δ < 0 ⇒外离或内含
典例7 （25-26·江苏苏州）若圆𝑥2 + 𝑦2 = 4上总存在两个点到点(𝑎, 1)的距离为3，则实数𝑎的取
值范围是
（ ）
A. (−1, 1)
B. (−2√6, 2√6)
C. (−1, 0) ∪(0, 1)
D. (−2√6, 0) ∪(0, 2√6)
变式7 已知𝑂(0, 0)，𝐴(−3, 0)，圆𝐶: (𝑥−2)2 + 𝑦2 = 𝑟2(𝑟> 0)上有且仅有一个点𝑃满足|𝑃𝐴| =
2|𝑃𝑂|，则𝑟的取值可以为
（ ）
A. 1或3
B. 2
C. 3
D. 1或5
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
高二数理进阶
配凑不是技巧，是识别
Page 63
题型8
公切线与公共弦问题
题型点拨
1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．
2、两圆公切线的条数
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4条
3条
2条
1条
无公切线
3、两圆公切线方程的确定
(1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，由公切线的意义（两圆的公切线）可知，两
圆心到直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于𝑘和𝑏的方程，解这个方程组得到𝑘，𝑏
的值，即可写出公切线的方程；
(2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
典例8 （25-26·河北秦皇岛）（多选）与圆𝐶1 : (𝑥−1)2 + 𝑦2 = 8和圆𝐶2 : (𝑥−5)2 +
(𝑦−4)2 = 8都相切的直线方程可能为
（ ）
A. 𝑥+ 2𝑦−5 = 0
B. 𝑥+ 𝑦−5 = 0
C. 𝑥−𝑦−5 = 0
D. 𝑥−𝑦+ 3 = 0
典例9 （25-26·上海徐汇）两圆(𝑥−5)2 + (𝑦−5)2 = 75和(𝑥+ 3)2 + (𝑦+ 1)2 = 75的公共弦长为
．
变式8 （25-26·江苏泰州）已知圆(𝑥−𝑎)2 + (𝑦−1)2 = 1与圆𝑥2 + 𝑦2 = 3相交于𝐴, 𝐵两点，若直线𝐴𝐵的
倾斜角为45∘，则实数𝑎的值为
．
高二数理进阶
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
Page 64
消元不是删除，是聚焦
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·江苏宿迁）圆(𝑥−1)2 + (𝑦−2)2 = 4上恰有3个点到直线𝑦= 2𝑥+ 𝑚的距离等于1，则
实数𝑚的值为
（ ）
A. ±1
B. ±2
C. ±√5
D. ±2√5
2. 已知圆𝑂1 : (𝑥−2)2 + (𝑦−1)2 = 9和直线𝑙: 𝑥−𝑦+ 1 = 0.若圆𝑂2与圆𝑂1关于直线𝑙对称，则圆
𝑂2的方程为
（ ）
A. (𝑥−3)2 + 𝑦2 = 9
B. 𝑥2 + (𝑦−3)2 = 9
C. (𝑥−2)2 + (𝑦−3)2 = 9
D. (𝑥−3)2 + (𝑦−2)2 = 9
3. （25-26·甘肃兰州）曲线𝑦= 1 + √4 −𝑥2(−2 ≤𝑥≤2)与直线𝑦= 𝑘(𝑥−2) + 4有两个交点，则
实数𝑘的取值范围是
（ ）
A. [ 5
12, +∞)
B. ( 5
12, 3
4]
C. (1
3, 3
4]
D. [1
3, +∞)
4. （25-26·山东青岛）（多选）已知圆𝐴: 𝑥2 + 𝑦2 −2𝑦−3 = 0，圆𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 −4𝑥+ 3 = 0，则
下列说法正确的是
（ ）
A. 点𝑃(2, −1)在圆𝐴内
B. 圆𝐴上的点到直线3𝑥−4𝑦+ 19 = 0的最小距离为1
C. 圆𝐴和圆𝐵的公切线长为2
D. 圆𝐴和圆𝐵的公共弦所在的直线方程为2𝑥−𝑦−3 = 0
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
高二数理进阶
因式分解显露结构
Page 65
5. （多选）若圆𝐶1：𝑥2 + 𝑦2 = 1和𝐶2：𝑥2 + 𝑦2 −2√3𝑎𝑥−2𝑎𝑦−5 = 0（𝑎> 0）有且仅有一条公
切线𝑙，则下列结论正确的是
（ ）
A. 圆𝐶1与圆𝐶2内切
B. 𝑎= 1
C. 公切线𝑙的方程为2𝑥−2√3𝑦+ √3 = 0
D. 公切线𝑙的方程为√3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0
6. （25-26·上海）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数𝑘(𝑘>
0且𝑘≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设𝐴(−3, 0)，
𝐵(3, 0)，动点𝑀满足|𝑀𝐴|
|𝑀𝐵| = 2，则动点𝑀的轨迹方程为
．
7. 过点𝑃(−2, −1)作圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 −4𝑦= 0的两条切线𝑃𝐴, 𝑃𝐵，切点分别为𝐴, 𝐵，则直线𝐴𝐵的方程为
．
8. 在气象台𝐴正西方向100√3𝑘𝑚处有一台风中心，它正向北偏东60∘方向移动，移动速度的大小为20𝑘𝑚/ℎ，
距台风中心100𝑘𝑚以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响
的持续时间为
小时．
高二数理进阶
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
Page 66
配方让二次式归位
9. （25-26·江西抚州）已知𝑂为原点，直线𝑥+ 2𝑦−3 = 0与圆𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥−6𝑦+ 𝑚= 0交于𝑃、𝑄两点.
（1）若|𝑃𝑄| = 2√7，求𝑚的值；
（2）若过𝑂点作圆的两条切线，切点为𝑀、𝑁，求四边形𝑂𝑁𝐶𝑀面积的最大值.
10. （25-26·贵州黔南）已知直线𝑙: (𝑘+ 2)𝑥−(𝑘+ 1)𝑦−𝑘−3 = 0(𝑘∈𝑅)恒过定点𝐶，且以𝐶为圆心的圆
与直线3𝑥+ 4𝑦−20 = 0相切.
（1）求圆𝐶的一般方程；
（2）设过点𝑃(−2, 0)的直线与圆𝐶交于𝐴，𝐵两点，判断|𝑃𝐴| ⋅|𝑃𝐵|是否为定值.若是，求出这个定值；若不
是，请说明理由.
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·河南鹤壁）过点𝑃(1, 1)可以作圆𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 −2𝑥= 0的切线的条数为
（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无数条
第 06 讲 圆的方程中的核心问题
高二数理进阶
构造使隐含关系可见
Page 67
2. （25-26·北京密云）已知圆𝐶1 : (𝑥−6)2 + (𝑦−2)2 = 9和圆𝐶2 : 𝑥2 + 𝑦2 −6𝑥+ 4𝑦+ 9 = 0，
则它们的位置关系是
（ ）
A. 外离
B. 相切
C. 内含
D. 相交
3. （25-26·江苏）已知曲线𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑚𝑥−2𝑦+ 2 = 0表示圆，且点𝑃(1, 2)在曲线𝐶外，则𝑚
的取值范围是
（ ）
A. (−3
2, +∞)
B. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
C. (−3
2, 1)
D. (−3
2, −1) ∪(1, +∞)
4. （25-26·广东梅州）（多选）圆𝐶1 : 𝑥2 + 𝑦2 = 1与圆𝐶2 : 𝑥2 + (𝑦−𝑎)2 = 9有且只有一个公共
点，则𝑎的值可能是
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. （25-26·河南信阳）圆𝑥2 + 𝑦2 + 𝑚𝑥−2𝑦−𝑚= 0恒过的定点是
.
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
高二数理进阶
类比给方向，证明给资格
Page 69
第 07 讲
直线与圆中的范围与新定义问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
距离型最值范围问题
题型点拨
点到直线的距离公式：点𝑃(𝑥0, 𝑦0)到直线𝑙: 𝐴𝑥+ 𝐵𝑦+ 𝐶= 0的距离𝑑= |𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
．
典例1 （25-26·福建厦门）已知实数𝑎> 0, 𝑏< 0，则𝑎−√3𝑏
√𝑎2 + 𝑏2
的取值范围是
．
典例2 （25-26·北京）若点𝑃(𝑥, 𝑦)在直线𝑥+ 𝑦= 12上运动，则√𝑥2 + 1 + √𝑦2 + 16的最小值为 （ ）
A. √37 + 2√13
B. √2 + √137
C. 13
D. 1 + 4√10
高二数理进阶
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
Page 70
逆向思考寻找中点
变式1 （25-26·江苏无锡）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，
隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知0 < 𝑥< 2, 0 < 𝑦< 1，则
√𝑥2 + 𝑦2 + √𝑥2 + (1 −𝑦)2 + √(2 −𝑥)2 + 𝑦2 + √(2 −𝑥)2 + (1 −𝑦)2的最小值为
．
典例3 （25-26·江苏宿迁）已知实数𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑满足𝑎
𝑏= 𝑐−1
𝑑−3 = 4
3，则(𝑎−𝑐)2 + (𝑏−𝑑)2的最小
值为
（ ）
A. 121
25
B. 81
25
C. 64
25
D. 49
25
变式2 （25-26·江苏扬州）已知𝑚，𝑛，𝑝，𝑞均为实数，则√(𝑚−𝑝)2 + (𝑛−𝑝−1)2 +
√(𝑚−𝑞)2 + (𝑛−𝑞−3)2的最小值为
（ ）
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
题型2
三点共线类最值与将军饮马模型
题型点拨
1、点𝐴, 𝐵在直线𝑙同侧，点𝑃在直线𝑙上，则(𝐴𝑃+ 𝐵𝑃)𝑚𝑖𝑛= 𝐴𝐵′(当点𝐴, 𝑃, 𝐵′共线时取到)，点𝐵′是点
𝐵关于直线𝑙的对称点.
2、点𝐴, 𝐵在直线𝑙同侧，点𝑃在直线𝑙上，则|𝐴𝑃−𝐵𝑃| ≤𝐴𝐵．当直线𝐴𝐵与𝑙相交，且交点𝑃位于线段𝐴𝐵
的延长线上时，等号成立；若𝐴𝐵∥𝑙，则𝐴𝐵只是上确界。
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
高二数理进阶
正向推进积累条件
Page 71
3、点𝐴, 𝐵在直线𝑙异侧，点𝑃在直线𝑙上，则|𝐴𝑃−𝐵𝑃| = |𝐴𝑃−𝐵′𝑃| ≤𝐴𝐵′．当𝐴、𝑃、𝐵′共线且相应交
点存在时等号成立；若𝐴𝐵′ ∥𝑙，则最大值不能取到。点𝐵′是点𝐵关于直线𝑙的对称点。
典例4 （25-26·安徽六安）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄
昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从
山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系
中，设军营所在的位置为𝐵(−2, 0)，若将军从山脚下的点𝐴(1, 0)处出发，河岸线所在直线方程为
𝑥+ 𝑦= 4，则“将军饮马”的最短总路程为
（ ）
A. √145
3
B. 3√5
C. √135
3
D. 16
3
变式3 如图，已知圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 = 1和点𝐴(2, 1)，由圆𝑂外一点𝑃向圆𝑂引切线𝑃𝑄，切点为𝑄，且有|𝑃𝑄| =
|𝑃𝐴|．
（1）求点𝑃的轨迹方程；
（2）求|𝑃𝑂| −|𝑃𝑄|的最大值．
高二数理进阶
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
Page 72
正逆相接，思路成形
题型3
点与圆的位置关系最值
题型点拨
1、若点𝑀在圆内，则𝑀𝑁𝑚𝑖𝑛= 𝑀𝑁1 = 𝑟−𝑂𝑀，𝑀𝑁𝑚𝑎𝑥= 𝑀𝑁2 = 𝑟+ 𝑂𝑀；
2、若点𝑀在圆外，则𝑀𝑁𝑚𝑖𝑛= 𝑀𝑁1 = 𝑂𝑀−𝑟，𝑀𝑁𝑚𝑎𝑥= 𝑀𝑁2 = 𝑟+ 𝑂𝑀；
3、圆上一点到圆外一条定直线的距离最值
若直线𝑙与圆⊙𝑂相离，圆上一点𝑃到直线𝑙的距离为𝑃𝐸，𝑑为圆心𝑂到直线𝑙的距离，𝑟
为圆半径，则𝑃𝐸𝑚𝑖𝑛= 𝑃1𝐹= 𝑑−𝑟，𝑃𝐸𝑚𝑎𝑥= 𝑃2𝐹= 𝑑+ 𝑟.
典例5 （25-26·四川广安）已知点𝑃(𝑥, −2𝑥)，点𝑄为圆(𝑥−2)2 + (𝑦−2)2 = 4上的动点，则
|𝑃𝑄|的最小值为
（ ）
A. 2√5
5
−2
B. 6√5
5
C. 6√5
5
−2
D. 4√5
5
−2
变式4 （25-26·上海）已知实数𝑥, 𝑦满足关系：𝑥2 + 𝑦2 −6𝑥+ 4𝑦−20 = 0，则√𝑥2 + 𝑦2的最小值
.
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
高二数理进阶
一式两看，常有转机
Page 73
题型4
直线与圆的位置关系最值
题型点拨
1、圆上的点到直线的最大、最小距离
设圆心到直线的距离为 𝑑，圆的半径为 𝑟.
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 𝑑+ 𝑟 和 𝑑−𝑟；
(2)当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 𝑑+ 𝑟= 2𝑟 和 𝑑−𝑟= 0，此时 𝑑=
𝑟；
(3)当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 𝑑+ 𝑟 和 0.
2、设点𝑀是圆𝐶内一点，过点𝑀作圆𝐶的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂直
的弦，弦长为2√𝑟2 −|𝐶𝑀|2.
典例6 （25-26·云南曲靖）点𝑃在圆𝐶: (𝑥+ 2)2 + 𝑦2 = 2上运动，直线𝑥+ 𝑦+ 1 = 0与圆𝐶交于
𝑄、𝑆两点，则△𝑃𝑄𝑆面积的最大值是
（ ）
A. 3√3
2
B. √3
2
C. 9√2
8
D. 3√2
8
变式5 （25-26·上海）已知𝑃(𝑥0, 𝑦0)为圆(𝑥−1)2 + (𝑦−2)2 = 4上一动点，则4𝑥0 −3𝑦0的最大值为
．
题型5
圆与圆的位置关系最值
典例7 （25-26·山东烟台）已知点𝑃是直线𝑚𝑥−𝑦+ 𝑚−4 = 0与直线𝑥+ 𝑚𝑦+ 2𝑚+ 3 = 0的交点，则点
𝑃的轨迹方程为
；若点𝑄是圆(𝑥−1)2 + (𝑦−1)2 = 1上的动点，则|𝑃𝑄|的最大值为
高二数理进阶
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
Page 74
同量异表，等式自来
变式6 已知𝐴为圆𝐶：𝑥2 + (𝑦−1)2 = 1
4上的动点，𝐵为圆𝐸：(𝑥−3)2 + 𝑦2 = 1
4上的动点，𝑃为直线𝑦=
1
2𝑥上的动点，则|𝑃𝐵| −|𝑃𝐴|的最大值为
.
题型6
代数式的几何意义类最值
题型点拨
1、形如 𝑧= 𝑦−𝑏
𝑥−𝑎，可以转化为过点 (𝑥, 𝑦) 和点 (𝑎, 𝑏) 的动直线斜率；
2、形如𝑧= (𝑥−𝑎)2 + (𝑦−𝑏)2，可以转化为点(𝑥, 𝑦)和点(𝑎, 𝑏)的距离的平方；
3、对于𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑧，当𝑏≠0时，𝑧
𝑏可看作直线的纵截距；一般情况下，也可将𝑧转化为平行直线族
𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑧到原点的有向距离进行研究
典例8 （多选）已知实数𝑥，𝑦满足方程𝑥2 + 𝑦2 −4𝑥+ 1 = 0，则下列说法不正确的是
（ ）
A. 𝑦−𝑥的最大值为√6 −2
B. 𝑥2 + 𝑦2的最大值为7 + 4√3
C. 𝑦
𝑥的最大值为√3
2
D. 𝑥+ 𝑦的最大值为2 + √3
变式7 （25-26·上海）已知实数𝑥, 𝑦满足𝑦= −√4 −(𝑥−1)2，则𝑦−2
𝑥−4的取值范围是
．
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
高二数理进阶
变量交错，先定主次
Page 75
题型7
直线与圆中的新定义问题
典例9 对于平面直角坐标系中任意两点𝑃(𝑥1, 𝑦1)，𝑄(𝑥2, 𝑦2)，我们将|𝑥1 −𝑥2| + |𝑦1 −𝑦2|定义为
𝑃𝑄两点的“耿直距离”.已知𝐴(0, 0)，𝐵(3, 1)，𝐶(4, 4)，𝐷(1, 3)，设𝑀(𝑥, 𝑦)是平面直角坐标系中
的一个动点，若使得点𝑀到𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷的“耿直距离”之和取得最小值，则点𝑀应位于下列哪个图中
的阴影区域之内
（ ）
A.
B.
C.
D.
变式8 （25-26·江西）定义：𝑀是圆𝐶上一动点，𝑁是圆𝐶外一点，记|𝑀𝑁|的最大值为𝑚，|𝑀𝑁|的最小值
为𝑛，若𝑚= 2𝑛，则称𝑁为圆𝐶的“黄金点”；若𝐺同时是圆𝐸和圆𝐹的“黄金点”，则称𝐺为圆“𝐸−𝐹”的“钻石
点”.已知圆𝐴：(𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1
3，𝑃为圆𝐴的“黄金点”
（1）求点𝑃所在曲线的方程.
（2）已知圆𝐵：(𝑥−2)2 + (𝑦−2)2 = 1，𝑃, 𝑄均为圆“𝐴−𝐵”的“钻石点”.
(𝑖)求直线𝑃𝑄的方程.
(𝑖𝑖)若圆𝐻是以线段𝑃𝑄为直径的圆，直线𝑙：𝑦= 𝑘𝑥+ 1
3与圆𝐻交于𝐼, 𝐽两点，对于任意的实数𝑘，在𝑦
轴上是否存在一点𝑊，使得𝑦轴平分∠𝐼𝑊𝐽？若存在，求出点𝑊的坐标；若不存在，请说明理由.
高二数理进阶
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
Page 76
条件分散，先行归并
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·湖南衡阳）已知圆𝐶: (𝑥−1)2 + 𝑦2 = 1，过直线3𝑥+ 4𝑦−13 = 0上的动点𝑃作圆𝐶的
一条切线，切点为𝐴，则|𝑃𝐴|的最小值为
（ ）
A. 2
B. 4
C. √3
D. 3
2. （25-26·贵州毕节）若直线𝑦= 𝑘(𝑥−2)与曲线𝐶: 𝑦= √1 −𝑥2恰有两个公共点，则实数𝑘的取
值范围为
（ ）
A. [0, √3)
B.
[
0, √3
3 )
C. (−√3, 0]
D.
(
−√3
3 , 0
]
3. 设𝑚∈𝑅，圆𝑀：𝑥2 + 𝑦2 −2𝑥−6𝑦= 0．若动直线𝑙1：𝑥+ 𝑚𝑦−2 −𝑚= 0与圆𝑀交于点𝐴, 𝐶，
动直线𝑙2：𝑚𝑥−𝑦−2𝑚+ 1 = 0与圆𝑀交于点𝐵, 𝐷，则|𝐴𝐶| + |𝐵𝐷|的最大值是
（ ）
A. 6√3
B. 2√30
C. 5√3
D. √30
4. 已知圆𝐶1 : 𝑥2 + 𝑦2 −2𝑥−2𝑦= 0，设其与𝑥轴､𝑦轴正半轴分别交于𝑀，𝑁两点.已知另一圆𝐶2的
半径为2√2，且与圆𝐶1相外切，则|𝐶2𝑀| ⋅|𝐶2𝑁|的最大值为
（ ）
A. 20
B. 20√2
C. 10
D. 10√2
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
高二数理进阶
结论复杂，先化目标
Page 77
5. （25-26·山西太原）（多选）已知点𝑃(𝑥, 𝑦)是圆𝑀: (𝑥−2)2 + 𝑦2 = 1上的动点，则下列说法正
确的是
（ ）
A. 𝑦
𝑥的最小值为−√3
3
B. 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥−6𝑦的最小值为9 −6√2
C. |𝑥−𝑦|的最大值为√2 + 1
D. 2𝑥+ 𝑦的最大值为4 + √5
6. （25-26·广西）在平面直角坐标系中，已知𝐴(2, −1), 𝐵(1, 5)，点𝑀是直线𝑙: 𝑦= 𝑥上一动点，则|𝑀𝐵| −
|𝑀𝐴|的最大值为
.
7. （25-26·内蒙古赤峰）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交
河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先
到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
𝐵(−2, 0)，若将军从山脚下的点𝐴(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为𝑥+ 𝑦= 5，则“将军饮马”的最短总
路程为
.
8. 在平面直角坐标系中，点𝑃1(𝑥1, 𝑦1)，𝑃2(𝑥2, 𝑦2)，定义𝑑𝑃1𝑃2 = {|𝑥1 −𝑥2|
|𝑥1 −𝑥2| ≤|𝑦1 −𝑦2|
|𝑦1 −𝑦2|
|𝑥1 −𝑥2| > |𝑦1 −𝑦2|为点
𝑃1、𝑃2之间的极距，已知点𝑃是直线𝑙: 2𝑥+ 𝑦−9 = 0上的动点，已知点𝑄是圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 = 5上的动点，
则𝑃、𝑄两点之间的距离最小时，其极距为
.
高二数理进阶
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
Page 78
题设冗长，抓住核心
9. （25-26·安徽蚌埠）已知直线𝑙1 : (𝑎−2)𝑥+ 𝑦−1 = 0与直线𝑙2 : 𝑥−(2 −𝑎)𝑦−1 = 0平行，点
𝐴(−4, 4)，𝐶(1, 3).
（1）求𝑎；
（2）若点𝐶关于直线𝑙2对称后的点为𝐵，求𝐵点坐标；
（3）已知𝑃，𝑄分别在直线𝑙1，𝑙2上，且𝑃𝑄⟂𝑙1，求|𝐴𝑃| + |𝑃𝑄| + |𝑄𝐶|的最小值.
10. （25-26·四川南充）常用测量距离的方式有3种，设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，定义欧几里得距离
𝐷(𝐴, 𝐵) = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2；定义曼哈顿距离𝑀(𝐴, 𝐵) = |𝑥1 −𝑥2| + |𝑦1 −𝑦2|；定义余弦距离
𝑒(𝐴, 𝐵) = 1 −cos(𝐴, 𝐵)，其中cos(𝐴, 𝐵) = cos < 𝑂𝐴⃗, 𝑂𝐵⃗>（𝑂为坐标原点）.
（1）若𝐴(1, 2)，𝐵(1, −2)，求𝐴，𝐵之间的余弦距离𝑒(𝐴, 𝐵)；
（2）若𝐶(√4𝑥−𝑥2, 𝑥−2)，𝐷
(
−1, √3
3 )
，求𝑒(𝐶, 𝐷)的取值范围；
（3）动点𝑃在直线𝑦= 𝑥−2上，动点𝑄在圆𝑥2 + 𝑦2 = 1上，求𝑀(𝑃, 𝑄)的最小值.
第 07 讲 直线与圆中的范围与新定义问题
高二数理进阶
图中有数，数中有形
Page 79
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·四川雅安）已知𝑃为圆𝑀: (𝑥−√3)
2
+ (𝑦−√6)
2
= 1上的一动点，𝑂为坐标原点，
则|𝑂𝑃|的最大值为
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. （25-26·广东深圳）𝑀，𝑁分别为直线3𝑥−4𝑦−12 = 0与6𝑥−8𝑦+ 5 = 0上任意一点，则|𝑀𝑁|
最小值为
（ ）
A. 29
10
B. 29
5
C. 17
5
D. 17
10
3. 已知𝑃是⊙𝐶：𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥−6𝑦+ 8 = 0上的动点，则𝑃到直线𝑙：𝑦= 𝑥距离的最小值为
（ ）
A. 3√2
B. 2√2
C. √2
D. 1
4. （多选）定义点𝑃(𝑥0, 𝑦0)到直线𝑙: 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦+ 𝑐= 0(𝑎2 + 𝑏2 ≠0)的有向距离为𝑑=
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
.已知点𝑃1, 𝑃2到直线𝑙的有向距离分别是𝑑1, 𝑑2，以下命题不正确的是
（ ）
A. 若𝑑1 = 𝑑2 = 1，则直线𝑃1𝑃2与直线𝑙平行
B. 若𝑑1 = 1, 𝑑2 = −1，则直线𝑃1𝑃2与直线𝑙垂直
C. 若𝑑1 + 𝑑2 = 0，则直线𝑃1𝑃2与直线𝑙垂直
D. 若𝑑1𝑑2 ≤0，则直线𝑃1𝑃2与直线𝑙相交
5. （25-26·吉林延边）已知𝑃(𝑚, 𝑛)是圆𝐶: (𝑥−4)2 + (𝑦−4)2 = 8上的一个动点，则√𝑚2 + 𝑛2的取值范
围为
．
第 08 讲 椭圆中的核心问题
高二数理进阶
不求多解，先求通法
Page 81
第 08 讲
椭圆中的核心问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
椭圆的轨迹方程
题型点拨
1、椭圆的定义：平面内与两个定点𝐹1、𝐹2的距离之和等于常数（大于|𝐹1𝐹2|）的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距．
2、椭圆定义的集合语言表示：{𝑀∣|𝑀𝐹1| + |𝑀𝐹2| = 2𝑎, 2𝑎> |𝐹1𝐹2| > 0}
3、对椭圆定义的理解：定义中条件2𝑎> |𝐹1𝐹2| > 0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边
得出来的．否则：①当2𝑎= |𝐹1𝐹2|时，其轨迹为线段𝐹1𝐹2； ②当2𝑎< |𝐹1𝐹2|时，其轨迹不存在．
典例1 （25-26·河南南阳）已知动圆𝑃过点𝐴(−1, 0)，且与圆𝐶: (𝑥−1)2 + 𝑦2 = 16内切，则点
𝑃的轨迹方程为
（ ）
A. 𝑥2
16 + 𝑦2
15 = 1
B. 𝑥2
4 −𝑦2
3 = 1
C. 𝑥2
4 + 𝑦2
3 = 1
D. 𝑦2 + (𝑥−2)2 = 9
变式1 已知圆𝐶: (𝑥+ 4)2 + 𝑦2 = 100内有一点𝐴(4, 0)，𝑄为圆𝐶上的一个动点，线段𝐴𝑄的垂直平分线与
线段𝐶𝑄交于点𝑀，则动点𝑀的轨迹方程为
．
高二数理进阶
第 08 讲 椭圆中的核心问题
Page 82
不逐偶然，追问必然
题型2
椭圆中的焦点三角形
题型点拨
焦点三角形的求解思路
(1)关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义|𝑃𝐹1| + |𝑃𝐹2| = 2𝑎，利用这个关系式便可求出结果，
因此，回归椭圆的定义式是求解焦点三角形问题的常用方法；
(2)在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理
及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把|𝑃𝐹1| ⋅|𝑃𝐹2|看成一个整体等．
典例2 （25-26·湖南长沙）已知椭圆𝐸: 𝑥2
16 + 𝑦2
12 = 1的左右焦点分别为𝐹1, 𝐹2，上顶点为𝐴，过𝐹1且垂直
于𝐴𝐹2的直线与𝐸交于𝐵、𝐶两点，则△𝐴𝐵𝐶的周长为
．
变式2 （25-26·江苏）已知𝑃是椭圆 𝑦2
4 + 𝑥2
3 = 1上的一点，𝐹1，𝐹2是椭圆的两个焦点，且 ∠𝐹1𝑃𝐹2 =
60∘,则 △𝐹1𝑃𝐹2的面积是
题型3
椭圆中的距离最值问题
题型点拨
解决椭圆问题的最常见思路
(1)与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据
基本不等式求解，注意等号成立的条件；
(2)与|𝑃𝐹1|，|𝑃𝐹2|（𝑃为椭圆上一点，𝐹1，𝐹2为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面
几何知识，转化为三点共线问题求解．
第 08 讲 椭圆中的核心问题
高二数理进阶
一题之后，辨其类型
Page 83
典例3 （25-26·贵州黔西）已知椭圆𝐶：𝑥2
4 + 𝑦2
3 = 1的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，𝑀为椭圆𝐶
上任意一点，则下列说法错误的是
（ ）
A. △𝑀𝐹1𝐹2的周长为6
B. △𝑀𝐹1𝐹2面积的最大值为√3
C. |𝑀𝐹2|的取值范围为[1, 3]
D. |𝑀𝐹1| −|𝑀𝐹2|的最小值为−1
变式3 （25-26·江苏南通）已知点𝑃在椭圆𝑥2
4 + 𝑦2
3 = 1上，点𝑄在圆𝑥2 + 𝑦2 −2𝑦= 0上，
𝐹(−1, 0)，则|𝑃𝑄| + |𝑃𝐹|的最大值为
（ ）
A. 5 −√2
B. 5 + √2
C. 2√2
D. 5 + 2√2
题型4
求椭圆的离心率
题型点拨
求椭圆的离心率通常有如下两种方法
(1)若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定𝑎2，𝑏2，求出𝑎, 𝑐的值，利用公式𝑒= 𝑐
𝑎直接求解．
(2)若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒满足的关系式，化为𝑎, 𝑐的齐次方程，得出𝑎, 𝑐的
关系或化为𝑒的方程求解，此时要注意𝑒∈(0, 1)．
典例4 （25-26·浙江）已知椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的两个焦点为𝐹1，𝐹2，|𝐹1𝐹2| = 4，
点𝑃为𝐶上一点，若|𝑃𝐹1| −|𝑃𝐹2| = 𝑎，cos ∠𝑃𝐹1𝐹2 = 2√2
3 ，则𝐶的离心率为
（ ）
A. √2 −1
B. √2
4
C. √2
2
D. √3
2
高二数理进阶
第 08 讲 椭圆中的核心问题
Page 84
一法之后，明其边界
变式4 （25-26·广西梧州）已知𝑂为坐标原点，椭圆𝐶：𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1（𝑎> 𝑏> 0）的右顶点为𝐴，以𝑂𝐴
为直径的圆与椭圆𝐶的三个公共点分别为𝐴，𝑀，𝑁，若以𝑂，𝑀，𝐴，𝑁为顶点的四边形是正方形，则椭圆
𝐶的离心率为
.
题型5
求椭圆离心率的范围
题型点拨
求椭圆离心率的取值范围的方法
(1)解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运
用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．
(2)求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，
进而求解．
典例5 （25-26·江西赣州）已知𝐹1, 𝐹2分别是椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左､右焦点，𝑃
是𝐶上一点，若|𝑃𝐹1| = 𝜆|𝑃𝐹2|(1
2 ≤𝜆≤2)，且∠𝐹1𝑃𝐹2 = 2𝜋
3 ，则𝐶的离心率的取值范围为
（ ）
A.
(
0, √3
2 ]
B.
[
√3
2 , √7
3 ]
C.
[
√3
2 , 1
)
D.
[
√7
3 , 1
)
变式5 已知椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左右焦点分别为𝐹1, 𝐹2，其中|𝐹1𝐹2| = 2𝑐，过𝐹1的直线𝑙与
椭圆𝐶交于𝐴, 𝐵两点，若𝐴𝐹1⃗⋅𝐴𝐹2⃗= 4𝑐2，则该椭圆离心率的取值范围是
．
第 08 讲 椭圆中的核心问题
高二数理进阶
一错之后，寻其根因
Page 85
题型6
椭圆的标准方程
题型点拨
椭圆标准方程的求解
(1)利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
①定位：确定焦点在哪个坐标轴上；
②定量：依据条件及𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2确定𝑎, 𝑏, 𝑐的值；
③写出标准方程．
(2)求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为𝑥2
𝑚+ 𝑦2
𝑛= 1(𝑚> 0, 𝑛> 0, 𝑚≠𝑛)；
(3)当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 = 1(𝐴> 0, 𝐵> 0, 且𝐴≠𝐵)，将点的坐标代入，解
方程组求得系数．
典例6 （25-26·湖北武汉）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利
用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆𝐶的对称
轴为坐标轴，焦点在𝑦轴上，且椭圆𝐶的离心率为4
5，面积为15𝜋，则椭圆𝐶的标准方程为
（ ）
A. 𝑥2
25 + 𝑦2
16 = 1
B. 𝑥2
25 + 𝑦2
9 = 1
C. 𝑦2
25 + 𝑥2
9 = 1
D. 𝑦2
25 + 𝑥2
16 = 1
变式6 （25-26·吉林）椭圆的两个焦点𝐹1, 𝐹2都在𝑦轴上，且它们到原点的距离都是2，𝐶𝐷是过𝐹2的弦，且
△𝐶𝐷𝐹1的周长为12，则椭圆的方程为
高二数理进阶
第 08 讲 椭圆中的核心问题
Page 86
一证之后，查其前提
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·北京）已知圆𝐶: (𝑥+ 1)2 + 𝑦2 = 16及点𝐴(1, 0)，在圆𝐶上任取一点𝑃，连接𝐶𝑃，将
点𝑃折叠到点𝐴，记𝐶𝑃与折痕𝑙的交点为𝑀（如图）. 当点𝑃在圆𝐶上运动时，点𝑀的轨迹方程为
（ ）
A. 𝑥2
4 + 𝑦2
3 = 1
B. 𝑥2
16 + 𝑦2
12 = 1
C. 𝑥2
4 −𝑦2
3 = 1
D. 𝑥2
16 −𝑦2
12 = 1
2. （25-26·吉林长春）已知𝐵是椭圆𝑥2
3 + 𝑦2 = 1的上顶点，点𝑀是椭圆上的任意一点，则|𝑀𝐵|的
最大值为
（ ）
A. 2
B. 2√2
C. 3√2
2
D. 9
2
3. （25-26·湖北武汉）已知椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)，𝑂为坐标原点，直线𝑥= √3
2 𝑏与椭
圆𝐶交于𝐴、𝐵两点，若△𝑂𝐴𝐵为直角三角形，则椭圆𝐶的离心率为
（ ）
A. √6
2
B. √6
3
C. √5
2
D. √5
3
第 08 讲 椭圆中的核心问题
高二数理进阶
一算之后，验其范围
Page 87
4. 如图，设𝐹1，𝐹2分别是椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左、右焦点，若椭圆𝐶上存在点𝑃，
使得线段𝑃𝐹1的中垂线恰好过焦点𝐹2，则椭圆𝐶的离心率的取值范围是
（ ）
A. [1
2, 1)
B. [1
3, 1)
C. [1
4, 1)
D. [1
5, 1)
5. （25-26·陕西西安）已知𝑃是曲线𝐶：3𝑥2 + 4𝑦2 = 12上的动点，𝐵是圆𝐶1：(𝑥−1)2 + 𝑦2 = 1
上的动点，𝐴(2, −1)，则|𝑃𝐵| −|𝑃𝐴|的最大值为
（ ）
A. √5
B. √2 + 1
C. 3
D. 5 −√10
6. 已知椭圆𝐶：𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左、右焦点分别为𝐹1, 𝐹2，过𝐹2的直线与椭圆交于𝐴, 𝐵
两点，若𝐴𝐹2⃗= 3
2𝐹2𝐵⃗，且∠𝐴𝐹1𝐵= 90∘，则椭圆的离心率为
（ ）
A. √5
5
B. 2
5
C. √3
5
D. √2
5
7. （25-26·河北邯郸）已知椭圆𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左、右焦点分别𝐹1，𝐹2，𝑀是椭圆上
一点，直线𝑀𝐹2与𝑦轴负半轴交于点𝑁，若𝑀𝐹1⃗⋅𝑁𝐹1⃗= 0，且|𝑀𝐹2| : |𝑁𝐹2| = 2 : 3，则椭圆的
离心率为
（ ）
A. √3
3
B. 1
2
C. √5
5
D. √6
6
高二数理进阶
第 08 讲 椭圆中的核心问题
Page 88
每个符号都有身份
8. （25-26·湖南常德）已知动圆𝑃与圆𝐸: (𝑥+ 1)2 + 𝑦2 = 1
4外切，同时与圆𝐹: (𝑥−1)2 + 𝑦2 = 49
4 内切，
则动圆的圆心𝑃的轨迹方程是
.
9. 设椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的一个焦点为𝐹2(2, 0)，𝐴(−2, 1)为椭圆𝐶内一点，若椭圆𝐶上存在一
点𝑃，使得|𝑃𝐴| + |𝑃𝐹2| = 7，则椭圆𝐶的离心率的取值范围是
．
10. （25-26·广东）已知椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过𝐹2的直线与𝐶交于
𝐴，𝐵两点．若|𝐴𝐹2| = 3|𝐹2𝐵|，|𝐴𝐵| = 2|𝐴𝐹1|，且△𝐴𝐵𝐹1的面积为4√15，则椭圆𝐶的方程为
．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·广东东莞）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端
点，则椭圆的标准方程为
（ ）
A. 𝑥2
8 + 𝑦2
4 = 1
B. 𝑥2
2 + 𝑦2 = 1
C. 𝑥2
2 + 𝑦2
4 = 1
D. 𝑥2
4 + 𝑦2
2 = 1
第 08 讲 椭圆中的核心问题
高二数理进阶
每个条件都有位置
Page 89
2. 若椭圆的两个焦点分别为(0, −2)和(0, 2)，且椭圆过点(−3
2, 5
2)，则椭圆的方程是
（ ）
A. 𝑥2
4 + 𝑦2
8 = 1
B. 𝑦2
10 + 𝑥2
6 = 1
C. 𝑦2
4 + 𝑥2
8 = 1
D. 𝑥2
10 + 𝑦2
6 = 1
3. （25-26·宁夏吴忠）已知椭圆过点𝑃(3
5, −4)和点𝑄(−4
5, 3)，则此椭圆的标准方程是
（ ）
A. 𝑦2
25 + 𝑥2 = 1
B. 𝑥2
25 + 𝑦2 = 1或𝑥2 + 𝑦2
25 = 1
C. 𝑥2
25 + 𝑦2 = 1
D. 以上都不对
4. 若𝐹为椭圆𝐶：𝑥2
25 + 𝑦2
16 = 1的右焦点，𝐴, 𝐵为𝐶上两动点，则△𝐴𝐵𝐹周长的最大值为
.
5. （25-26·山西吕梁）已知椭圆𝐶: 𝑥2
8 + 𝑦2
4 = 1的两个焦点分别为𝐹, 𝐹′，过𝐹′作倾斜角为60∘的
直线交椭圆𝐶于𝑃, 𝑄两点，则△𝑃𝑄𝐹的周长为
（ ）
A. 6√2
B. 8√2
C. 6
D. 8
第 09 讲 双曲线中的核心问题
高二数理进阶
每次分类都须穷尽
Page 91
第 09 讲
双曲线中的核心问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
双曲线的轨迹方程
题型点拨
1、定义：在平面内与两个定点𝐹1、𝐹2的距离之差的绝对值等于正数2𝑎的点的轨迹叫做双曲线，其中
0 < 2𝑎< |𝐹1𝐹2|．两个定点𝐹1、𝐹2称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为|𝐹1𝐹2| = 2𝑐．
2、注意
(1)若去掉定义中的“绝对值”，常数𝑎满足约束条件：
|𝑃𝐹1| −|𝑃𝐹2| = 2𝑎< |𝐹1𝐹2|, 𝑎> 0，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点𝐹2的一支；
若|𝑃𝐹2| −|𝑃𝐹1| = 2𝑎< |𝐹1𝐹2|, 𝑎> 0，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点𝐹1的一支；
(2)若常数𝑎满足约束条件：|| 𝑃𝐹1 | −| 𝑃𝐹2 || = 2𝑎= |𝐹1𝐹2|，
则动点轨迹是以𝐹1、𝐹2为端点的两条射线（包括端点）；
(3)若常数𝑎满足约束条件：|| 𝑃𝐹1 | −| 𝑃𝐹2 || = 2𝑎> |𝐹1𝐹2|，则动点轨迹不存在；
(4)若常数𝑎= 0，则动点轨迹为线段𝐹1𝐹2的垂直平分线．
典例1 （25-26·四川绵阳）已知 𝐴(−1, 0)，𝐵(1, 0)，直线𝐴𝑀, 𝐵𝑀相交于点𝑀，且直线𝐴𝑀与直
线𝐵𝑀的斜率之积为1，则点𝑀的轨迹方程为
（ ）
A. 𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑥≠±1)
B. 𝑥2 −𝑦2 = 1(𝑥≠±1)
C. 𝑥2 −𝑦2
2 = 1(𝑥≠±1)
D. 𝑥2 + 𝑦2
2 = 1(𝑥≠±1)
高二数理进阶
第 09 讲 双曲线中的核心问题
Page 92
每次合并都须不重
变式1 （25-26·上海·课堂例题）已知动圆𝑃与圆𝑀：(𝑥+ 3)2 + 𝑦2 = 1，圆𝑁：(𝑥−3)2 +
𝑦2 = 9均外切，记圆心𝑃的运动轨迹为曲线𝐶，则𝐶的方程为
（ ）
A. 𝑥2 −𝑦2
8 = 1
B. 𝑥2 −𝑦2
8 = 1(𝑥≤−1)
C. 𝑥2 −𝑦2
8 = 1(𝑥≥1)
D. 𝑦2 −𝑥2
8 = 1
题型2
双曲线中的焦点三角形
题型点拨
双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形△𝑃𝐹1𝐹2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||𝑃𝐹1| −|𝑃𝐹2|| = 2𝑎；
②利用余弦定理表示出|𝑃𝐹1|、|𝑃𝐹2|、|𝐹1𝐹2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|𝑃𝐹1| ⋅|𝑃𝐹2|的值；
④利用公式𝑆= 1
2 × |𝑃𝐹1| ⋅|𝑃𝐹2| sin ∠𝐹1𝑃𝐹2求得面积．
(2)利用公式𝑆= 1
2 × |𝐹1𝐹2| ⋅|𝑦𝑝|求得面积；
(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠𝐹1𝑃𝐹2 = 𝜃，则面积𝑆=
𝑏2
tan 𝜃
2
，结论适用于选择或填空题．
典例2 已知双曲线𝐶: 𝑥2
3 −𝑦2 = 1的左､右焦点分别为𝐹1, 𝐹2，以𝐹1𝐹2为直径的圆与双曲线在第
一､三象限的交点分别为𝑀, 𝑁，则△𝑀𝐹1𝑁的周长为
（ ）
A. 8 + 2√5
B. 8
C. 4 + 2√5
D. 8 + 2√3
变式2 已知双曲线𝑦2 −𝑥2
3 = 1的两个焦点分别为𝐹1, 𝐹2，点𝑃在双曲线上，且|𝑃𝐹1| ⋅|𝑃𝐹2| = 15，则△
𝑃𝐹1𝐹2的周长为
，面积为
.
第 09 讲 双曲线中的核心问题
高二数理进阶
缺一步，逻辑便失重
Page 93
题型3
双曲线中的距离最值问题
题型点拨
与|𝑃𝐹1|，|𝑃𝐹2|（𝑃为双曲线上一点，𝐹1，𝐹2为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平
面几何知识，转化为三点共线问题求解．
典例3 已知双曲线Γ : 𝑥2 −𝑦2
3 = 1的左焦点为𝐹，点𝐴, 𝐵在Γ的右支上，且|𝐴𝐵| = 6，则|𝐹𝐴| +
|𝐹𝐵|的最小值为
（ ）
A. 4
B. 6
C. 10
D. 14
变式3 （25-26·重庆）点𝐹1是双曲线𝐶：𝑥2
9 −𝑦2
3 = 1的左焦点，动点𝐴在双曲线右支上，直线𝑙1：𝑡𝑥−
𝑦+ 𝑡−2 = 0与直线𝑙2：𝑥+ 𝑡𝑦+ 2𝑡−1 = 0的交点为 𝐵，则|𝐴𝐵| + |𝐴𝐹1|的最小值为
.
题型4
双曲线的渐近线
题型点拨
双曲线渐近线求法
(1)根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边
的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
(2)依据条件求出𝑎, 𝑏, 𝑐，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．
(3)由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于𝑎, 𝑏, 𝑐的等式，
进而求出渐近线的斜率，从而得解．
高二数理进阶
第 09 讲 双曲线中的核心问题
Page 94
多一步，表达便失焦
典例4 （25-26·河北邯郸）已知双曲线𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1（𝑏> 𝑎> 0）的两条渐近线的夹角的正切值
为4
3，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. √5
2
B. 2
C. √5
D. 3
变式4 设𝐹1，𝐹2分别为双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的左、右焦点，过𝐹2且斜率为−3
4的直线𝑙与
𝐶的右支交于点𝐴，与𝐶的左支交于点𝐵，点𝐷满足𝐵𝐷⃗= 1
2𝐵𝐴⃗，𝐵𝐷⃗⋅𝐹1𝐷⃗= 0，则双曲线𝐶的渐近线方程为
．
题型5
求双曲线的离心率
题型点拨
求双曲线离心率的常用方法
(1)利用𝑎, 𝑐求：若可求得𝑎, 𝑐，则直接利用𝑒= 𝑐
𝑎得解；
(2)利用𝑎, 𝑏求：若已知𝑎, 𝑏，则直接利用𝑒=
√
1 + (𝑏
𝑎)
2
得解；
(3)利用方程求：若得到的是关于𝑎, 𝑐的齐次式方程，即𝑝⋅𝑐2 + 𝑞⋅𝑎𝑐+ 𝑟⋅𝑎2 = 0（𝑝, 𝑞, 𝑟为常数，且𝑝≠
0），则转化为关于𝑒的方程𝑝⋅𝑒2 + 𝑞⋅𝑒+ 𝑟= 0求解．
第 09 讲 双曲线中的核心问题
高二数理进阶
简洁不是省略理由
Page 95
典例5 （25-26·江苏宿迁）已知双曲线𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，
过𝐹1的直线与双曲线的左支相交于𝐴, 𝐵两点，且∣𝐴𝐹1 ∣= 3 ∣𝐵𝐹1 ∣, ∠𝐹1𝐵𝐹2 = 90∘,则双曲线的离
心率为
（ ）
A. √5
2
B. √6
2
C. √10
2
D. 5
2
变式5 已知双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1（𝑎> 0，𝑏> 0）的左，右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过𝐹2的直线𝑙
与其右支交于𝑃，𝑄两点，若|𝑃𝐹1| = 2|𝑃𝐹2|，|𝑄𝐹2| = 3|𝑃𝐹2|，则𝐶的离心率为
（ ）
A. √2
B. 2
C. 2√2
D. 4
题型6
求双曲线离心率的范围
题型点拨
1、不等式法求离心率范围
(1)利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；
(2)利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离
的范围等，建立不等(等式组)求解；
(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；
(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等
式建立不等关系进行求解；
2、函数法求离心率的范围
(1)根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式；
(2)结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；
(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．
3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关
知识，进行求解即可．
高二数理进阶
第 09 讲 双曲线中的核心问题
Page 96
规范不是束缚思考
典例6 （25-26·浙江）设椭圆𝐶1：𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)与双曲线𝐶2：𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1的离心率
分别为𝑒1，𝑒2，且双曲线𝐶2的渐近线的斜率小于√15
5 ，则𝑒2
𝑒1
的取值范围是
（ ）
A. (1, 4)
B. (4, +∞)
C. (1, 2)
D. (2, +∞)
变式6 已知𝐹1, 𝐹2是双曲线𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的左、右焦点，以𝐹2为圆心，𝑎为半径的圆与双曲线的
一条渐近线交于𝐴, 𝐵两点，若3|𝐴𝐵| ≥|𝐹1𝐹2|，则双曲线的离心率的取值范围是
．
题型7
双曲线的标准方程
题型点拨
1、待定系数法求双曲线标准方程
2、由双曲线标准方程求参数范围
(1)对于方程𝑥2
𝑚+ 𝑦2
𝑛= 1，当𝑚𝑛< 0时表示双曲线；
当𝑚> 0, 𝑛< 0时表示焦点在𝑥轴上的双曲线；
当𝑚< 0, 𝑛> 0时表示焦点在𝑦轴上的双曲线.
(2)对于方程𝑥2
𝑚−𝑦2
𝑛= 1，当𝑚𝑛> 0时表示双曲线；
当𝑚> 0, 𝑛> 0时表示焦点在𝑥轴上的双曲线；
第 09 讲 双曲线中的核心问题
高二数理进阶
清晰是速度的来源
Page 97
当𝑚< 0, 𝑛< 0时表示焦点在𝑦轴上的双曲线.
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再
根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
典例7 已知双曲线经过点𝐴(2√2, √3), 𝐵(−2√3, −√6)，则其标准方程为
（ ）
A. 𝑥2
4 −𝑦2
3 = 1
B. 𝑥2
3 −𝑦2
4 = 1
C. 𝑦2
3 −𝑥2
4 = 1
D. 𝑥2
3 −𝑦2
4 = 1或𝑦2
4 −𝑥2
3 = 1
变式7 （25-26·天津）已知双曲线 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1 (𝑎> 0, 𝑏> 0)的右焦点为𝐹，点𝐴在双曲线的渐
近线上，△𝑂𝐴𝐹是边长为2的等边三角形(𝑂为原点)，则双曲线的方程为
（ ）
A. 𝑥2
4 −𝑦2
12 = 1
B. 𝑥2
12 −𝑦2
4 = 1
C. 𝑥2
3 −𝑦2 = 1
D. 𝑥2 −𝑦2
3 = 1
高二数理进阶
第 09 讲 双曲线中的核心问题
Page 98
稳定是高阶能力的底色
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·河南南阳）已知𝑃为曲线𝐶: 𝑥= √1 + 𝑦2
2 上任意一点，𝐴(−√3, 0)，𝐵(0, √22)，则
|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵|的最小值为
（ ）
A. 2 + √15
B. 5
C. 4√3
D. 7
2. 已知双曲线𝐶：𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过点𝐹2和𝐵(0, 𝑏)的直
线与双曲线在第一象限交于点𝑃，若△𝐵𝐹1𝐹2的面积是△𝑃𝐹1𝐹2的3倍，则𝐶的渐近线斜率为
（ ）
A. ±√3
3
B. ±1
2
C. ±√6
2
D. ±3
2
3. （25-26·云南西双版纳）设𝐹1, 𝐹2为双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的左右焦点，𝑂为坐
标原点，𝑃为𝐶的一条渐近线上一点，且|𝑃𝐹1⃗+ 𝑃𝑂⃗| = |𝑃𝐹1⃗−𝑃𝑂⃗|，若|𝑃𝐹1⃗| = 3|𝑃𝑂⃗|，则𝐶的离
心率为
（ ）
A. √6
B. √10
C. √11
D. 2√3
第 09 讲 双曲线中的核心问题
高二数理进阶
好解法，必能说明为何
Page 99
4. （25-26·河南周口）已知双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
9 −𝑎2 = 1(𝑎> 0)的左、右焦点分别为𝐹1, 𝐹2，过点
𝐹2且倾斜角为45∘的直线与双曲线𝐶交于第一象限的点𝐴，延长𝐴𝐹2至𝐵使得|𝐴𝐵| = |𝐴𝐹1|，若△
𝐵𝐹1𝐹2的面积为12，则𝑎的值为
（ ）
A. 2√2
B. √6
C. √3
D. 1
5. （25-26·黑龙江鸡西）已知双曲线𝐶：𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0), 𝐹1, 𝐹2分别为双曲线的左、
右焦点，𝑀是双曲线右支上一点.连接𝑀𝐹1交双曲线𝐶左支于点𝑁，若△𝑀𝑁𝐹2是以𝐹2为直角顶
点的等腰直角三角形，则双曲线𝐶的离心率是
（ ）
A. √3
B. 2
C. √5
D. 5
6. （25-26·上海青浦）双曲线𝑥2 −𝑦2
4 = 1的左右两个焦点为𝐹1，𝐹2，第二象限内的一点𝑃在双曲线上，且
∠𝐹1𝑃𝐹2 = 2𝜋
3 ，则三角形𝐹1𝑃𝐹2的面积是
．
7. （25-26·江西宜春）过原点的直线与双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
4 −𝑎2 = 1(0 < 𝑎< 2)的左、右两支分别交于𝑀, 𝑁
两点，若以线段𝑀𝑁为直径的圆过𝐶的右焦点𝐹，且|𝐹𝑀| + |𝐹𝑁| = 2√7，则𝐶的渐近线方程为
．
高二数理进阶
第 09 讲 双曲线中的核心问题
Page 100
好模型，必知何时失效
8. （25-26·上海·课堂例题）已知𝑃为圆𝐶：(𝑥−5)2 + 𝑦2 = 36上任意一点，𝐴(−5, 0)．若线段𝑃𝐴的垂直
平分线交直线𝑃𝐶于点𝑄，则点𝑄的轨迹方程为
．
9. 已知𝐹1，𝐹2分别是双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的左、右焦点，过点𝐹2且与双曲线的一条渐近线
平行的直线交另一条渐近线于点𝑀，若∠𝐹1𝑀𝐹2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是
．
10. （25-26·湖北）已知双曲线的方程为𝑥2
9 −𝑦2
16 = 1，点𝐹1，𝐹2是其左右焦点，𝐴是圆𝑥2 + (𝑦−5)2 = 4上
的一点，点𝑀在双曲线的右支上，则|𝑀𝐹1| + |𝑀𝐴|的最小值是
．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·广西钦州）若离心率为5
3的双曲线与椭圆𝑥2
40 + 𝑦2
15 = 1的焦点相同，则双曲线的方程是 （ ）
A. 𝑦2
16 −𝑥2
9 = 1
B. 𝑥2
16 −𝑦2
9 = 1
C. 𝑦2
9 −𝑥2
16 = 1
D. 𝑥2
9 −𝑦2
16 = 1
第 09 讲 双曲线中的核心问题
高二数理进阶
好图象，能容纳代数
Page 101
2. 相距1600𝑚的两个哨所𝐴, 𝐵，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320𝑚/𝑠，在𝐴
哨所听到的爆炸声的时间比在𝐵哨所听到时迟4𝑠．若以𝐴𝐵所在直线为𝑥轴，以线段𝐴𝐵的中垂线为
𝑦轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是
（ ）
A.
𝑥2
435600 −
𝑦2
564400 = 1(𝑥> 0)
B.
𝑥2
6402 −
𝑦2
4802 = 1(𝑥> 0)
C.
𝑥2
435600 +
𝑦2
564400 = 1
D.
𝑥2
6402 +
𝑦2
4802 = 1
3. （25-26·北京怀柔）“0 < 𝑚< 2”是“方程𝑥2
𝑚+
𝑦2
𝑚2 −4 = 1表示焦点在𝑥轴上的双曲线”的
（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. （25-26·陕西西安）设点𝐴, 𝐵的坐标分别为(−5, 0)，(5, 0)，直线𝐴𝑀，𝐵𝑀相交于点𝑀，且它们的斜率之
积是4
9，则动点𝑀的轨迹方程为
．
5. （25-26·重庆）已知双曲线𝑦2
𝑎2 −𝑥2
4 = 1(𝑎> 0)两条渐近线的夹角为60°，则𝑎=
（ ）
A. 2√3
B. 2√3
3
C. √3
D. 2√3或2√3
3
第 10 讲 抛物线中的核心问题
高二数理进阶
见数不忘形
Page 103
第 10 讲
抛物线中的核心问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
抛物线的轨迹方程
题型点拨
求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点𝑃的轨迹方程;二是定义法,利用抛物
线的定义判断轨迹是抛物线或抛物线的一部分，再结合限制条件写出轨迹方程及其范围。
典例1 设𝐹(1, 0)，点𝑀在𝑥轴上，点𝑁在𝑦轴上，且𝑀𝑁⃗= 𝑁𝑃⃗, 𝑀𝑁⃗⋅𝑁𝐹⃗= 0，当点𝑁在𝑦轴上运
动时，点𝑃的轨迹方程为
（ ）
A. 𝑦2 = 1
2𝑥
B. 𝑦2 = 1
4𝑥
C. 𝑦2 = 2𝑥
D. 𝑦2 = 4𝑥
变式1 （25-26·江苏苏州）如图，已知点𝐵(2, −1)，𝐵𝐶⟂𝑥轴于点𝐶, 𝑀是线段𝑂𝐵上任意一点，
𝑀𝐷⟂𝑥轴于点𝐷，𝑀𝐸⟂𝐵𝐶于点𝐸.𝑂𝐸与𝑀𝐷相交于点𝑃，则𝑃的轨迹方程为．
（ ）
A. 𝑦2 = 𝑥(0 ≤𝑥≤2)
B. 𝑦2 = 1
2𝑥(0 ≤𝑥≤2)
C. 𝑥2 = −𝑦(0 ≤𝑥≤2)
D. 𝑥2 = −4𝑦(0 ≤𝑥≤2)
高二数理进阶
第 10 讲 抛物线中的核心问题
Page 104
见形不忘数
题型2
抛物线定义理解与焦半径
题型点拨
1、用坐标表示焦半径公式
(1)抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)，|𝑀𝐹| = |𝑥0 + 𝑝
2| = 𝑥0 + 𝑝
2．
(2)抛物线𝑦2 = −2𝑝𝑥(𝑝> 0)，|𝑀𝐹| = |𝑥0 −𝑝
2| = −𝑥0 + 𝑝
2．
(3)抛物线𝑥2 = 2𝑝𝑦(𝑝> 0)，|𝑀𝐹| = |𝑦0 + 𝑝
2| = 𝑦0 + 𝑝
2．
(4)抛物线𝑥2 = −2𝑝𝑦(𝑝> 0)，|𝑀𝐹| = |𝑦0 −𝑝
2| = −𝑦0 + 𝑝
2．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦
半径公式．
2、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，
解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单．
典例2 （25-26·内蒙古包头）已知抛物线𝑥2 = 4𝑦的焦点为𝐹，准线为𝑙，过抛物线上一点𝑃作
𝑃𝑄⟂𝑙且垂足为𝑄，若|𝑃𝐹| = 4，则𝑘𝐹𝑄=．
（ ）
A. √3
3
B. √3
C. ±√3
3
D. ±√3
变式2 （25-26·上海）已知抛物线𝐶：𝑦2 = 4𝑥的焦点为𝐹，点𝐴、𝐵是抛物线𝐶上不同的两点，且𝐴、𝐵中点
的横坐标为2，则|𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| =
.
第 10 讲 抛物线中的核心问题
高二数理进阶
见式不忘域
Page 105
题型3
抛物线中的距离最值问题
题型点拨
(1)解决此类问题时，可利用抛物线的定义，以及“两点之间线段最短”“三角不等式”“垂线段最短”等平面
几何知识，使问题化难为易。
(2)若已知抛物线上点𝑃到焦点𝐹的距离(或与此有关),往往转化为点𝑃到准线的距离,其步骤:
①过𝑃作𝑃𝑁垂直于准线𝑙,垂足为𝑁;
②连接𝑃𝐹;
③|𝑃𝐹| = |𝑃𝑁| = 𝑥𝑃+𝑝
2(焦点在𝑥轴正半轴上时).
典例3 （25-26·吉林）已知𝐴, 𝐵是抛物线𝐶: 𝑦2 = 𝑥上的两点，𝐴与𝐵关于𝑥轴对称，𝐷(3, 0)，则|𝐴𝐵|2 +
|𝐴𝐷|2的最小值为
．
变式3 （25-26·广东深圳）已知𝑃(𝑥0, 𝑦0)是抛物线𝑦2 = 4𝑥上一点，则√2𝑥0 + |𝑥0 −𝑦0 + 3|的最小值为
．
题型4
抛物线几何性质的应用
题型点拨
(1)为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用
抛物线的对称性避免分类讨论.
(2)沿开口方向，抛物线的切线方向逐渐接近对称轴方向，但抛物线本身不存在渐近线。
(3)通径为2𝑝
高二数理进阶
第 10 讲 抛物线中的核心问题
Page 106
见参不忘约束
典例4 （25-26·吉林长春）抛物线𝐶: 𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的焦点为𝐹, 𝐶的准线与𝑥轴交于点𝐴，过𝐹
且倾斜角为𝜋
3 的直线与𝐶交于𝑀, 𝑁两点（𝑀在𝑥轴上方），则|𝐴𝑀|
|𝐴𝑁| =
（ ）
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
D. 3
变式4 （25-26·河南周口）已知边长为8√3的等边三角形的一个顶点位于原点𝑂，另外两个顶点𝐴, 𝐵在抛物
线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)上，则𝑝=
．
题型5
抛物线中的焦点弦问题
题型点拨
1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐
标问题.
2、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．
3、焦点弦长：如图，𝐴𝐵是抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)过焦点𝐹的一条弦，设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，𝐴𝐵的
中点𝑀(𝑥0, 𝑦0)，过点𝐴，𝑀，𝐵分别向抛物线的准线𝑙作垂线，垂足分别为点𝐴1，𝐵1，𝑀1，
根据抛物线的定义有𝐴𝐹= 𝐴𝐴1，𝐵𝐹= 𝐵𝐵1，|𝐴𝐵| = |𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| = |𝐴𝐴1| + |𝐵𝐵1|
故|𝐴𝐵| = |𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| = |𝐴𝐴1| + |𝐵𝐵1|.
又因为𝑀𝑀1是梯形𝐴𝐴1𝐵1𝐵的中位线，所以|𝐴𝐵| = |𝐴𝐴1| + |𝐵𝐵1| = 2|𝑀𝑀1|，
从而有下列结论；
(1)以𝐴𝐵为直径的圆必与准线𝑙相切.
(2)|𝐴𝐵| = 2(𝑥0 + 𝑝
2)(焦点弦长与中点关系)
(3)|𝐴𝐵| = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑝．
第 10 讲 抛物线中的核心问题
高二数理进阶
见等号不忘等价
Page 107
(4)若直线𝐴𝐵的倾斜角为𝛼，则|𝐴𝐵| =
2𝑝
sin2 𝛼．
(5)𝐴，𝐵两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即𝑥1𝑥2 = 𝑝2
4 ，𝑦1𝑦2 = −𝑝2．
(6) |𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| 为定值 2
𝑝.
典例5 （25-26·重庆）（多选）已知抛物线𝑦2 = 4𝑥，过其焦点𝐹的直线与抛物线交于𝐴(𝑥1, 𝑦1)，
𝐵(𝑥2, 𝑦2)两点，𝐴在第一象限，抛物线的准线与𝑥轴交于点𝑃，则
（ ）
A. 𝑥1𝑥2 = 1
B. |𝐴𝐵| = 6时，|𝐴𝐹| = 2|𝐵𝐹|
C. 以𝐴𝐵为直径的圆与准线相切
D.
1
𝑘𝐴𝑃
+
1
𝑘𝐵𝑃
= 0
变式5 （25-26·上海）已知抛物线𝐶：𝑦2 = 4𝑥, 𝑃𝑄是过其焦点𝐹的一条弦，若|𝑃𝑄| = 6，则直线𝑃𝑄的斜率
为
高二数理进阶
第 10 讲 抛物线中的核心问题
Page 108
见平方不忘验根
题型6
抛物线的标准方程
题型点拨
1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
(1)已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到
参数𝑝，从而得焦点坐标与准线方程，要注意𝑝> 0；
(2)焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
2、求抛物线标准方程的方法
(1)直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数𝑝；
(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数𝑝.当焦点位置不确定时，应分类讨
论或设抛物线方程为𝑥2 = 𝑚𝑦或𝑦2 = 𝑚𝑥；
注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；
②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
典例6 （25-26·江苏南京）抛物线𝐶的顶点为坐标原点，焦点在𝑥轴上，直线𝑥= 3交𝐶于𝑀，𝑁两
点，𝐶的准线交𝑥轴于点𝑃，若𝑃𝑀⟂𝑃𝑁，则𝐶的方程为
（ ）
A. 𝑦2 = 4𝑥
B. 𝑦2 = 6𝑥
C. 𝑦2 = 8𝑥
D. 𝑦2 = 12𝑥
变式6 （25-26·江西南昌）抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的焦点为𝐹，𝑂为坐标原点，𝐴为抛物线上一点，且
|𝐴𝐹| = 2|𝑂𝐹|，△𝑂𝐴𝐹的面积为4，则抛物线方程为
第 10 讲 抛物线中的核心问题
高二数理进阶
见绝对值先看距离
Page 109
题型7
抛物线在实际问题中的应用
题型点拨
抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物
线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论.
典例7 （25-26·四川德阳）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕
其对称轴旋转180∘而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴
线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射
后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6𝑚，深度为1𝑚，则其顶
点到焦点的距离等于
（ ）
A. 9
4𝑚
B. 9
2𝑚
C. 1𝑚
D. 3
2𝑚
变式7 （25-26·陕西咸阳）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回
转缆悬索桥.大桥主跨𝑂𝐴长约500米，主塔𝐴𝐵高约100米，缆悬索𝑂𝐵是以𝑂为顶点且开口向上的
抛物线𝐶的一部分，若𝐹为抛物线𝐶的焦点，则主塔端点𝐵到焦点𝐹的距离约为
（ ）
A. 1350米
B. 758米
C. 725米
D. 558米
高二数理进阶
第 10 讲 抛物线中的核心问题
Page 110
见复合先拆层次
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·江苏南通）已知圆𝐹: (𝑥+ 3)2 + 𝑦2 = 1，直线𝑙: 𝑥= 2，则与直线𝑙相切且与圆𝐹外切
的圆的圆心𝑀的轨迹方程是
（ ）
A. 𝑦2 = −6𝑥
B. 𝑦2 = −12𝑥
C. 𝑦2 = 4𝑥
D. 𝑦2 = 8𝑥
2. （25-26·河南）已知点𝑃是抛物线𝐶: 𝑦2 = 8𝑥上的一点，设点𝑃到直线𝑥= −2和𝑥−√3𝑦+ 8 = 0
的距离分别为𝑑1，𝑑2，则𝑑1 + 𝑑2的最小值为
（ ）
A. 5
B. 9
2
C. 3 + 2√2
D. 4√2
3. （25-26·重庆）已知抛物线𝑦2 = 4𝑥的焦点为𝐹, 𝐴、𝐵是抛物线上异于原点𝑂的两点，且𝑂𝐴⟂
𝑂𝐵，则4|𝐹𝐴| + |𝐹𝐵|的最小值为
（ ）
A. 21
B. 13
C. 10
D. 9
4. （25-26·云南）已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 8𝑥，其中𝐴𝐶，𝐵𝐷是过拋物线焦点𝐹的两条互相垂直的弦，
直线𝐴𝐶的倾斜角为𝛼，当𝛼= 45∘时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为
（ ）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
第 10 讲 抛物线中的核心问题
高二数理进阶
见分式先守分母
Page 111
5. （25-26·湖北武汉）（多选）抛物线𝑦2 = 4𝑥的焦点为𝐹，过焦点的倾斜角为𝜃的直线交抛物线于
𝐴, 𝐵两点，设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，则下列结论正确的是
（ ）
A. 𝑥1 ⋅𝑥2 = 2
B. 𝑦1 ⋅𝑦2 = −4
C. 若𝜃= 𝜋
3 ，则|𝐴𝐵| = 16
3
D.
1
|𝐴𝐹| +
1
|𝐵𝐹| = 1
6. （多选)(2025·重庆）已知抛物线𝐶：𝑥2 = 4𝑦的准线为𝑙，焦点为𝐹, 𝑃为抛物线𝐶上的动点，过
点𝑃作⊙𝐴：(𝑥−2)2 + 𝑦2 = 1
2的一条切线，𝑄为切点，过点𝑃作𝑙的垂线，垂足为𝐵，则
（ ）
A. 准线𝑙与圆𝐴相切
B. 过点𝐹, 𝐴的直线与抛物线𝐶相交的弦长为5
C. 当𝑃, 𝐴, 𝐵三点共线时，|𝑃𝑄| = √2
2
D. 满足|𝑃𝐴| = |𝑃𝐵|的点𝑃有且仅有2个
7. （25-26·湖南郴州）已知抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)，过抛物线焦点的直线𝑦= −2𝑥+ 4与抛物线交于𝐴, 𝐵两
点，则|𝐴𝐵| =
．
8. 已知𝐴, 𝐵为抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)上的两点，若△𝑂𝐴𝐵是边长为8√3的等边三角形，𝑂为坐标原点，则抛
物线方程为
．
高二数理进阶
第 10 讲 抛物线中的核心问题
Page 112
见根式先守非负
9. （25-26·上海）已知点𝑃是抛物线𝑦2 = 2𝑥上的动点，点𝑄是圆(𝑥−4)2 + 𝑦2 = 1上的动点，则𝑃, 𝑄两点间
的最短距离为
．
10. 已知抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的焦点为𝐹，准线为𝑙，过点𝐹且倾斜角为120∘的直线交抛物线于点𝐴(点𝐴在
第一象限），过点𝐴作𝐴𝐵⟂𝑙，垂足为𝐵，直线𝐵𝐹交𝑦轴于点𝐶，若△𝐴𝐶𝐹的外接圆的面积为𝜋，则抛物线
的方程为
．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·北京平谷）以(0, 2)为焦点的抛物线标准方程是
（ ）
A. 𝑦2 = 4𝑥
B. 𝑦2 = 8𝑥
C. 𝑥2 = 4𝑦
D. 𝑥2 = 8𝑦
2. （25-26·广东）已知抛物线𝑦= 2𝑥2，则抛物线的焦点到准线的距离为
（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. 1
D. 2
第 10 讲 抛物线中的核心问题
高二数理进阶
见区间先辨端点
Page 113
3. （25-26·湖南永州）已知点(4 −𝑝
2, √3𝑝)在抛物线𝐸: 𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)上，则𝐸的准线方程为
（ ）
A. 𝑥= −3
B. 𝑥= 5
2
C. 𝑥= −1
D. 𝑥= −2
4. （多选）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是
（ ）
A. 平行四边形
B. 梯形
C. 有三条边相等的四边形
D. 有一组对角相等的四边形
5. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽𝐴𝐵为2𝑚，渠深𝑂𝐶为1.5𝑚，水面
𝐸𝐹距𝐴𝐵为0.5𝑚，则截面图中水面宽𝐸𝐹的长度约为（√2 ≈1.414，√3 ≈1.732，√6 ≈2.449）
（ ）
A. 0.816𝑚
B. 1.33𝑚
C. 1.50𝑚
D. 1.63𝑚
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
见对称先找不变量
Page 115
第 11 讲
直线与圆锥曲线综合问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
中点弦
题型点拨
点差法在圆锥曲线中的结论
以下斜率形式均在相关斜率存在、分母不为零时成立；特殊位置应直接使用点差法所得的坐标关系处
理。
(1)椭圆：𝑘𝐴𝐵⋅𝑦0
𝑥0
= 𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝑂𝑀=
{
−𝑏2
𝑎2 = 𝑒2 −1 ⇔焦点在𝑥轴
−𝑎2
𝑏2 =
1
𝑒2 −1 ⇔焦点在𝑦轴
(2)双曲线：𝑘𝐴𝐵⋅𝑦0
𝑥0
= 𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝑂𝑀=
{
𝑏2
𝑎2 = 𝑒2 −1 ⇔焦点在𝑥轴
𝑎2
𝑏2 =
1
𝑒2 −1 ⇔焦点在𝑦轴
(3)抛物线：若 𝐴𝐵 的中点为 (𝑥0 , 𝑦0)，则 𝑦2 = 2𝑝𝑥(开口向右）时 𝑘𝐴𝐵= 𝑝
𝑦0
; 𝑦2 = −2𝑝𝑥(开口向左）
时 𝑘𝐴𝐵= −𝑝
𝑦0
; 𝑥2 = 2𝑝𝑦(开口向上）时 𝑘𝐴𝐵= 𝑥0
𝑝; 𝑥2 = −2𝑝𝑦(开口向下）时 𝑘𝐴𝐵= −𝑥0
𝑝.
典例1 （25-26·浙江）已知椭圆𝐶的中心为坐标原点，一个焦点为𝐹(3 , 0)，过𝐹的直线𝑙与椭圆𝐶
交于𝐴、𝐵两点.若𝐴𝐵的中点为(1 , −1)，则椭圆𝐶的方程为
（ ）
A. 𝑥2
24 + 𝑦2
15 = 1
B. 𝑥2
18 + 𝑦2
9 = 1
C. 𝑥2
15 + 𝑦2
6 = 1
D. 𝑥2
12 + 𝑦2
3 = 1
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 116
见最值先问可达
变式1 已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 6𝑥，过点𝑃(1 , 1)的直线𝑙与抛物线𝐶交于𝐴, 𝐵两点.若|𝑃𝐴| = |𝑃𝐵|，则
直线𝑙的斜率是
（ ）
A. 3
B. −3
C. 1
3
D. −1
3
题型2
弦长
题型点拨
|𝐴𝐵| = √(𝑥1 −𝑥2)2 + (𝑦1 −𝑦2)2
|𝐴𝐵| = √(1 + 𝑘2)(𝑥1 −𝑥2)2
= √1 + 𝑘2|𝑥1 −𝑥2|
= √(1 + 𝑘2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2] （最常用公式，使用频率最高）
= √1 + 1
𝑘2√(𝑦1 + 𝑦2)2 −4𝑦1𝑦2
上式使用纵坐标差形式时需 𝑘≠0；当 𝑘= 0 时直接利用横坐标差求弦长。
典例2 （25-26·江苏常州）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知点𝑀(−2 , 0)，点𝑁(2 , 0)，动点𝑃(𝑥, 𝑦)满足：
直线𝑃𝑀与直线𝑃𝑁的斜率之积是−3
4.
（1）求动点𝑃的轨迹𝐶的方程；
（2）直线𝑙与(1)中轨迹𝐶相交于𝐴, 𝐵两点，且𝑄(1 , 1)为𝐴𝐵的中点，求弦长𝐴𝐵.
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
见恒成立先问全域
Page 117
变式2 （25-26·湖南）已知𝑂为坐标原点，抛物线𝐶：𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的焦点为𝐹，点𝑀(𝑝, 𝑦0)在抛物线
𝐶上，且|𝐹𝑀| = 3．
（1）求抛物线𝐶的方程；
（2）若经过点𝑁(5 , −1)的直线𝑙与抛物线𝐶交于点𝐴，𝐵，且𝑂𝐴⃗⟂𝑂𝐵⃗，求|𝐴𝐵|．
题型3
面积
题型点拨
三角形的面积问题
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
1、一般方法：𝑆= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅𝑑(其中 |𝐴𝐵| 为弦长，𝑑 为顶点到直线 𝐴𝐵 的距离），设直线 𝐴𝐵 为斜截式
𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏.
进一步，|𝐴𝐵| = √1 + 𝑘2 ⋅|𝑥1 −𝑥2| = √1 + 𝑘2 ⋅√(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2，再结合点到直线的距离公式求
面积.
2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着𝑥轴或者𝑦轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点
一般在𝑥轴或者𝑦轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
当以纵向差作为高时：𝑆Δ𝑃𝐴𝐵= 𝑆Δ𝑃𝑄𝐴+ 𝑆Δ𝑃𝑄𝐵= 1
2 ⋅|𝑃𝑄| ⋅|𝑦𝐴−𝑦𝐵| = 1
2 ⋅|𝑃𝑄| ⋅
√(𝑦1 + 𝑦2)2 −4𝑦1𝑦2.
当以横向差作为高时：𝑆Δ𝑃𝐴𝐵= 𝑆Δ𝑃𝑄𝐴+ 𝑆Δ𝑃𝑄𝐵= 1
2 ⋅|𝑃𝑄| ⋅|𝑥𝐴−𝑥𝐵| = 1
2 ⋅|𝑃𝑄| ⋅
√(𝑥1 + 𝑥2)2 −4𝑥1𝑥2.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 118
见存在先问构造
典例3 （2025·江苏南通）已知椭圆𝐶: 𝑦2
𝑎2 + 𝑥2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的焦距与椭圆𝑥2
3 + 𝑦2 = 1的焦距相等，
且𝐶经过点(1 , √2).
（1）求𝐶的方程；
（2）若直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑚与𝐶相交于𝐴、𝐵两点，且𝐴、𝐵关于直线𝑙: 𝑥+ 𝑡𝑦+ 1 = 0对称，𝑂为𝐶的对称中心，
且△𝐴𝑂𝐵的面积为√10
3 ，求𝑘的值．
变式3 （25-26·广东深圳）圆锥曲线第二定义：设动点𝑀到定点𝐹(𝑐, 0)(𝑐> 0)的距离与点𝑀到定直线𝑙:
𝑥= 𝑎2
𝑐的距离的比是𝑐
𝑎，当𝑐
𝑎> 1时，该动点𝑀的轨迹为双曲线.定直线𝑙: 𝑥= 𝑎2
𝑐称为准线，比值𝑒= 𝑐
𝑎称为
离心率，|𝑀𝐹| = |𝑒𝑥0 −𝑎|称为焦半径.如图，𝐹1 , 𝐹2为曲线𝐶的左、右焦点，该曲线离心率𝑒= √5
2 ，准线𝑙:
𝑥= 4√5
5 .动点𝑃(𝑥0 , 𝑦0)(𝑦0 ≥1)在曲线𝐶的右支上.设∠𝐹1𝑃𝐹2的平分线与𝑥轴、𝑦轴分别交于点
𝑁(𝑚, 0), 𝑄.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求𝑚的取值范围；
（3）设过点 𝑄 的直线 𝑙 与双曲线 𝐶 交于 𝐴, 𝐵 两点，求 △𝐹2𝐴𝐵 面积的最大
值.
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
见证明先定目标形
Page 119
题型4
定点问题
题型点拨
圆锥曲线的定点问题
1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零．既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于 𝑥, 𝑦 的方程
组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线
（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直
线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
典例4 （25-26·广东东莞）已知椭圆𝐶: 𝑥2
12 + 𝑦2 = 1，点𝑃为𝐶的上顶点．
（1）求椭圆𝐶的离心率；
（2）设与两坐标轴均不垂直的直线𝑙与椭圆𝐶交于异于𝑃的两点𝐴和𝐵，设直线𝑃𝐴、𝑃𝐵的斜率分别为𝑘1、𝑘2．
当𝑘1 + 𝑘2 = −2时，判断直线𝑙是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．
变式4 （25-26·河南商丘）已知双曲线𝐶: 𝑥2 −𝑦2
3 = 1.
（1）若直线𝑙与双曲线𝐶相交于𝐴, 𝐵两点，线段𝐴𝐵的中点坐标为(2 , 2)，求直线𝑙的方程.
（2）若𝑃为双曲线𝐶右支上异于右顶点的一个动点，𝐹为双曲线𝐶的右焦点，𝑥轴上是否存在定点
𝑀(𝑡, 0)(𝑡< 0)，使得∠𝑃𝐹𝑀= 2∠𝑃𝑀𝐹？若存在，求出𝑡的值；若不存在，请说明理由.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 120
见参数先分主从
变式5 （25-26·河北邢台）已知抛物线𝐶：𝑥2 = 2𝑝𝑦(𝑝> 0)的焦点𝐹到直线𝑙：𝑥−𝑦−2 = 0的距离为
3√2
2 ．
（1）求𝑝的值；
（2）倾斜角为2𝜋
3 的直线𝑙′过𝐹，与𝐶交于𝐴，𝐵两点，求|𝐴𝐵|；
（3）𝐸是直线𝑦= −1上一动点，过点𝐸作𝐶的两条切线，切点分别为𝑀，𝑁，证明：直线𝑀𝑁过定点．
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
见条件先排顺序
Page 121
题型5
定值问题
题型点拨
圆锥曲线的定值问题
1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某
些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
法二、引入变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏或𝑥= 𝑚𝑦+ 𝑛、点的坐
标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进
行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
典例5 （25-26·江苏宿迁）已知椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的焦距为2√2，且经过点
(
2 , 2√3
3 )
.
（1）求椭圆𝐶的方程；
（2）若直线𝑙: 𝑦= 𝑘𝑥+ 1与椭圆𝐶交于𝐴, 𝐵两点，点𝑃是𝑦轴上的一点，过点𝐴作直线𝑃𝐵的垂线，垂足为𝑀.
是否存在点𝑃，使得𝑃𝐵⃗⋅𝑃𝑀⃗为定值？若存在，求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 122
见结论先找入口
变式6 （25-26·四川绵阳）已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的焦点为𝐹，点𝑂为坐标原点，点𝑀(3 , 𝑦0)在
抛物线𝐶上，且|𝑀𝐹| = 5，直线𝑙过定点𝑇(𝑡, 0)（其中𝑡> 0，𝑡≠1）与抛物线𝐶相交于𝐴, 𝐵两点（点𝐴位
于第一象限）．
（1）求抛物线𝐶的方程；
（2）当𝑡= 8时，求证：𝑂𝐴⟂𝑂𝐵；
（3）如图，连接𝐴𝐹, 𝐵𝐹，并延长交抛物线𝐶于两点𝐴1，𝐵1，设△𝐴𝐵𝐹和△
𝐴1𝐵1𝐹的面积分别为𝑆1和𝑆2，求𝑆1
𝑆2
．
变式7 （25-26·江苏宿迁）已知双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0 , 𝑏> 0)的渐近线方程为𝑥± √2𝑦= 0，且点
𝐴(2 , 1)在双曲线上.
（1）求双曲线𝐶的方程；
（2）点𝐴1 , 𝐴2为双曲线𝐶的左右顶点，𝑃为双曲线𝐶上异于𝐴1 , 𝐴2的点，求𝑘𝑃𝐴1 ⋅𝑘𝑃𝐴2的值；
（3）点𝑀, 𝑁在双曲线𝐶上，且𝑘𝐴𝑀⋅𝑘𝐴𝑁= 1
2 , 𝐴𝐷⟂𝑀𝑁, 𝐷为垂足，证明：存在定点𝑄，使得|𝐷𝑄|为定
值.
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
公式应被理解，而非背诵
Page 123
题型6
定直线问题
题型点拨
定直线问题
是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程
的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点𝑃(𝑥0 , 𝑦0)在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三
种情况：
(1)𝑥0 = 𝑎，即动点恒过直线𝑥= 𝑎．
(2)𝑦0 = 𝑏，即动点恒过直线𝑦= 𝑏．
(3)𝑦0 = 𝑓(𝑥0)，即动点恒过直线𝑦= 𝑓(𝑥)．
典例6 已知双曲线𝐶的中心为坐标原点，上焦点为(0 , 2√5)，离心率为√5.记𝐶的上、下顶点分别为𝐴1，
𝐴2，过点(0 , 4)的直线与𝐶的上支交于𝑀, 𝑁两点.
（1）求𝐶的方程；
（2）直线𝐴1𝑀和𝐴2𝑁的斜率分别记为𝑘1和𝑘2，求证𝑘2 = −3𝑘1；
（3）直线𝐴1𝑀与𝐴2𝑁交于点𝑃，证明：点𝑃在定直线上.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 124
计算应被组织，而非堆叠
变式8 已知抛物线𝐸：𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)，过点(−2 , 0)的两条直线𝑙1 , 𝑙2分别交𝐸于𝐴𝐵两点和𝐶, 𝐷两点．
当𝑙1的斜率为2
3时，|𝐴𝐵| = √13.
（1）求𝐸的标准方程：
（2）设𝐺为直线𝐴𝐷与𝐵𝐶的交点，证明：点𝐺必在定直线上．
变式9 已知定点𝑆(−1 , 0), 𝑇(2 , 0)，动点𝑀满足|𝑀𝑆| = 2|𝑀𝑇|．
（1）求动点𝑀的轨迹𝐶的方程．
（2）设过点𝑇且与𝑥轴不重合的直线𝑙交曲线𝐶于𝐸, 𝐹两点．
①过点𝑇作与直线𝑙垂直的直线𝑛交曲线𝐶于𝐺, 𝐻两点，求四边形𝐸𝐺𝐹𝐻面积的最大值；
②设曲线𝐶与𝑥轴交于𝑃, 𝑄两点，直线𝑃𝐸与直线𝑄𝐹相交于点𝑁，证明：点𝑁在定直线上．
题型7
圆锥曲线与向量
题型点拨
三点共线问题的解题策略
(1)斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等来证明三点
共线；
(2)距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；
(3)向量法：利用向量共线定理证明三点共线；
(4)直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上；
(5)点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则
三点共线；
(6)面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离
不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”。
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
推理应被呈现，而非暗藏
Page 125
典例7 （25-26·安徽阜阳）已知椭圆𝐶: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0 , 𝑏> 0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，离心率
为√2
4 ，过点𝐹2且斜率不为0的直线𝑙交椭圆𝐶于𝐴, 𝐵两点，当点𝐹1到直线𝑙的距离取最大值时， |𝐴𝐹2| =
7√2
4 .
（1）求椭圆𝐶的标准方程;
（2）若𝐵𝐹2⃗= 3
2𝐹2𝐴⃗，求△𝐹1𝐴𝐵的面积.
变式10 （25-26·江苏扬州）已知双曲线𝐸: 𝑥2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑏> 0)左、右顶点分别为𝐴1、𝐴2，过点
𝑀(−2 , 0)的直线𝑙交双曲线𝐸于𝑃、𝑄两点.
（1）若离心率𝑒= √2时，求𝑏的值；
（2）若𝑏= 2，过点𝑁(0 , 2)且斜率为𝑡的直线与双曲线𝐸只有一个交点，求𝑡的值；
（3）连接𝑂𝑄并延长交双曲线𝐸于点𝑅，若𝐴1𝑅⃗⋅𝐴2𝑃⃗= 1，求𝑏的取值范围.
变式11 （25-26·湖北）已知双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0 , 𝑏> 0)的离心率为2，且过点(2 , 3).
（1）求双曲线𝐶的方程；
（2）设直线𝑙: 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑚与双曲线𝐶交于𝑃, 𝑄两点，若以𝑃𝑄为直径的圆经过双曲线𝐶的左顶点𝐴（𝑃, 𝑄均
不与点𝐴重合）.求证：直线𝑙恒过定点，并求出该定点的坐标；
（3）在(2)的条件下，若直线𝑙分别与两渐近线交于𝑀, 𝑁两点，问是否存在实数𝑘使得𝑃, 𝑄是线段𝑀𝑁的两
个三等分点？若存在，求出𝑘的值，若不存在，请说明理由.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 126
直觉应被验证，而非放任
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·四川眉山）已知斜率为2的直线交抛物线𝑦2 = 𝑥于𝐴(𝑥1 , 𝑦1)、𝐵(𝑥2 , 𝑦2)两点，求证：
（1）线段𝐴𝐵的中点在一条定直线上
（2）1
𝑘𝑂𝐴
+
1
𝑘𝑂𝐵
为定值(𝑂为坐标原点，𝑘𝑂𝐴、𝑘𝑂𝐵分别为直线𝑂𝐴、𝑂𝐵的斜率）
2. （25-26·福建厦门）已知直线与抛物线𝑦2 = 𝑥交于𝐴，𝐵两点（𝐴，𝐵均异于坐标原点𝑂），且满足𝑂𝐴⟂
𝑂𝐵．
（1）求证：直线𝑙过定点，并求出定点坐标；
（2）求△𝑂𝐴𝐵面积的最小值，并求出此时直线𝑙的方程．
3. （25-26·江苏泰州）已知双曲线𝐶：𝑥2
𝑎2 −𝑦2 = 1(𝑎> 0)的焦距为2√5，且左右顶点分别为𝐴1,𝐴2，过点
𝑇(3 , 0)的直线𝑙与双曲线𝐶的右支交于𝑀,𝑁两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线 𝑀𝑁 的斜率为1，求弦长 |𝑀𝑁|；
（3）记直线𝐴1𝑀,𝐴2𝑁的斜率分别为𝑘1,𝑘2,证明：𝑘1
𝑘2
是定值.
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
经验应被归纳，而非停留
Page 127
4. （25-26·江苏徐州）已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点.
（1）当直线𝑙的倾斜角为𝜋
3 时，求|𝐴𝐵|；
（2）设𝑂为坐标原点，直线𝑂𝐴，𝑂𝐵分别与直线𝑥= −2交于点𝑀，𝑁，求证：以𝑀𝑁为直径的圆过定点，并
求出定点坐标.
5. （25-26·浙江杭州）已知椭圆𝐸: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的离心率为√6
3 ，点𝑃(√3 , 1)在椭圆𝐸上，不
过点𝑃的直线𝑙与椭圆𝐸相交于𝑀, 𝑁两点.
（1）求椭圆𝐸的标准方程；
（2）若弦𝑀𝑁的中点的纵坐标为1
2，求△𝑀𝑂𝑁面积的最大值；
（3）若𝑃𝑀⃗⋅𝑃𝑁⃗= 0，求证：直线𝑙过定点.
6. 已知双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0 , 𝑏> 0)的右顶点为𝐴2，双曲线𝐶的左､右焦点分别为𝐹1､𝐹2，且
|𝐹1𝐹2| = 4，双曲线𝐶的一条渐近线方程为𝑦= √3𝑥.
（1）求双曲线𝐶的标准方程；
（2）已知过点𝑃(1 , 4)的直线与双曲线𝐶右支交于𝐴､𝐵两点，点𝑄在线段𝐴𝐵上，若存在实数𝜆(𝜆> 0且𝜆≠
1)，使得𝐴𝑃⃗= −𝜆𝑃𝐵⃗, 𝐴𝑄⃗= 𝜆𝑄𝐵⃗，证明：直线𝐴2𝑄的斜率为定值.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 128
速度应由清晰产生
7. （25-26·黑龙江牡丹江）已知两定点𝐴(−√2 , 0)，𝐵(√2 , 0)，动点𝑃满足到𝐴与𝐵的连线斜率乘积为1
（1）求𝑃的轨迹方程；
（2）过点 𝐹(2 , 0) 的直线 𝑙 交 𝑃 的轨迹于 𝐴、𝐵(此处 𝐴、𝐵 为交点，不同于前述定点），
(𝑖)若𝐴、𝐵在𝑦轴的右侧，且△𝑂𝐴𝐵的面积为2√2，求𝑙的方程；
(𝑖𝑖)是否存在𝑥轴上的定点𝑀，使得𝑀𝐴⃗⋅𝑀𝐵⃗为定值？若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，请说明理
由.
8. 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，
他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率𝜋等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系𝑂𝑥𝑦
中，椭圆𝐶：𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的面积为2√3𝜋，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点
(1 , 0)的直线𝑙与椭圆𝐶交于不同的两点𝐴, 𝐵.
（1）求椭圆𝐶的标准方程；
（2）设椭圆𝐶的左、右顶点分别为𝑃, 𝑄，直线𝑃𝐴与直线𝑥= 4交于点𝐹，试证明𝐵, 𝑄, 𝐹三点共线.
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
答案只是终点，路径才是能力
Page 129
9. （25-26·湖南长沙）已知在平面直角坐标系中，𝑂为原点，抛物线Γ : 𝑦2 = 2𝑝𝑥的焦点为𝐹(1 , 0)，𝐴、𝐵
是抛物线Γ上两个不同的点.
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若直线𝐴𝐵斜率为1，且过点𝐹，求线段𝐴𝐵的长度；
（3）直线𝑙与拋物线Γ交于不同于𝑂的𝐴、𝐵两点，若以𝐴𝐵为直径的圆经过点𝑂，且𝑂𝐺⟂𝐴𝐵于𝐺，证明：存
在定点𝐻，使|𝐺𝐻|为定值.
10. （25-26·浙江丽水）已知双曲线𝐶的渐近线方程是𝑦= ±√3𝑥，且过点(−4 , 6).
（1）求𝐶的标准方程；
（2）𝐴1 , 𝐴2 分别为双曲线 𝐶 的左、右顶点，𝐹1 , 𝐹2 分别为 𝐶 的左、右焦点，与 𝑥 轴不垂直的直线 𝑙 与双
曲线 𝐶 的左支相交于 𝑃, 𝑄 两点，记直线 𝑃𝐴1 , 𝑃𝐴2 , 𝑄𝐴2 , 𝑄𝐴1 的斜率分别为 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4，已
知 𝑘1 + 𝑘4 = −3(𝑘2 + 𝑘3).
(𝑖)证明直线𝑙过定点，并求出该定点的坐标；
(𝑖𝑖)求△𝐹2𝑃𝑄面积的取值范围.
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
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纸面整洁，是思路可见
11. （25-26·江苏无锡）已知椭圆𝐸: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)的焦距为2，𝐹1，𝐹2为𝐸的左、右焦点，𝑀为
𝐸上一动点，△𝑀𝐹1𝐹2的面积最大为√3．
（1）求𝐸的标准方程；
（2）过点𝐹1作斜率为1的直线𝑙，直线𝑙与𝐸交于点𝐺，𝐻，求△𝐹2𝐺𝐻的面积；
（3）过点𝐹1作斜率之和为2的两条直线𝑙1，𝑙2，𝑙1与𝐸交于点𝐴，𝐵，𝑙2与𝐸交于点𝐶，𝐷，线段𝐴𝐵，𝐶𝐷的中
点分别为𝑃，𝑄，试问：直线𝑃𝑄是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
12. （25-26·江苏连云港）在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃到直线𝑥= −2的距离比到点𝐹(1 , 0)的距离大1，记动
点𝑃的轨迹为曲线𝐶．
（1）求曲线𝐶的方程；
（2）过𝑇(2 , 0)的直线𝑙交曲线𝐶于𝐴, 𝐵两点，过𝑇与直线𝑙垂直的直线交曲线𝐶于𝐷，𝐸两点，其中𝐵, 𝐷在𝑥
轴上方，𝑀，𝑁分别为𝐴𝐵，𝐷𝐸的中点．
求证：(𝑖)直线𝑀𝑁过定点；
(𝑖𝑖)直线𝐴𝐸，𝐵𝐷的交点在定直线上．
13. （25-26·湖北武汉）过坐标原点𝑂作圆𝐶: (𝑥+ 3)2 + 𝑦2 = 6的两条切线，切点为𝑀，𝑁，直线𝑀𝑁恰为
抛物线𝑇: 𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的准线.
（1）求𝑇的方程；
（2）将抛物线𝑇向左移4个单位长度得到新抛物线Γ，抛物线Γ交𝑦轴于𝐴，𝐵两点，𝐸，𝑄为抛物线上不重合
的两点，𝐴𝐸交𝐵𝑄于点𝑍.若直线𝐸𝑄经过坐标原点，求证：△𝐴𝐵𝑍的面积恒为定值.
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
高二数理进阶
草稿有序，错误无处藏身
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14. 已知𝐴, 𝐵分别是双曲线𝐶：𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0 , 𝑏> 0)的左、右顶点，𝑃是𝐶上异于𝐴, 𝐵的一点，直线
𝑃𝐴，𝑃𝐵的斜率分别为𝑘1 , 𝑘2，且𝑘1𝑘2 = |𝐴𝐵| = 4．
（1）求双曲线𝐶的方程；
（2）已知过点(4 , 0)的直线𝑙: 𝑥= 𝑚𝑦+ 4，交𝐶的左，右两支于𝐷, 𝐸两点（异于𝐴, 𝐵).
(𝑖)求𝑚的取值范围；
(𝑖𝑖)设直线𝐴𝐷与直线𝐵𝐸交于点𝑄，求证：点𝑄在定直线上．
15. （25-26·浙江）已知曲线𝐶1 : 𝑥2 + 𝑦2 = 4，从𝐶1上任意一点𝑃向𝑥轴作垂线段𝑃𝑃′，𝑃′为垂足，记线段
𝑃𝑃′的中点𝑀的轨迹为曲线𝐶2．过𝑀作直线𝑙与曲线𝐶2交于另一点𝑁．
（1）求曲线𝐶2的轨迹方程；
（2）若𝑃在第一象限，且直线𝑙的斜率为1，△𝑃𝑀𝑁的面积为3
5，求此时𝑃的坐标；
（3）若𝑃(0 , 2)，𝐴(4 , 0)，直线𝐴𝑀, 𝐴𝑁与曲线𝐶2的另一个交点分别为𝐷, 𝐸，直线𝑀𝑁, 𝐷𝐸交于点𝐵．
问：点𝐵是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·甘肃酒泉）已知椭圆𝑦2
9 + 𝑥2
4 = 1与直线𝑙交于𝐴, 𝐵两点，若点𝑃(−1 , 1)为线段𝐴𝐵的
中点，则直线𝑙的方程是
（ ）
A. 9𝑥+ 4𝑦+ 5 = 0
B. 9𝑥−4𝑦+ 13 = 0
C. 4𝑥+ 9𝑦−5 = 0
D. 4𝑥−9𝑦−13 = 0
高二数理进阶
第 11 讲 直线与圆锥曲线综合问题
Page 132
订正不是改答案，是改思路
2. （25-26·山西太原）已知直线2𝑥−3𝑦−1 = 0与双曲线𝐶: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 0 , 𝑏> 0)相交于
𝐴、𝐵两个不同点，点𝐷(2 , 1)是𝐴𝐵的中点，则双曲线𝐶的离心率为
（ ）
A. 2
B. √2
C. 4
3
D. 2√3
3
3. （25-26·河北保定）若双曲线𝐶: 𝑦2
𝑚−𝑥2
2 = 1的焦距为4，直线𝑙与𝐶交于𝐴, 𝐵两点，且线段𝐴𝐵
的中点为𝑁(2 , 1)，则直线𝑙的斜率为
（ ）
A. 2
B. 3
2
C. 1
D. 5
3
4. 已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)，过𝐶的焦点𝐹且倾斜角为𝜋
3 的直线交𝐶于𝐴, 𝐵两点，线段𝐴𝐵的
中点为𝑊，|𝐹𝑊| = 4
3，则𝑝=
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. （25-26·河北沧州）已知抛物线𝐶: 𝑥2 = 4𝑦，过点𝑃(1 , 0)作直线𝑙.
（1）若直线𝑙与抛物线𝐶只有一个公共点，求直线𝑙的方程；
（2）若直线𝑙过点(0 , 1)，且交抛物线𝐶于𝐴、𝐵两点，求线段𝐴𝐵的长.
第 12 讲 数列的概念
高二数理进阶
复盘要追到第一处偏差
Page 133
第 12 讲
数列的概念
讲
题型精讲
Core examples
题型1
根据递推关系求通项
典例1 （25-26·河南）（多选）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝
上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第𝑛格有𝑎𝑛种情况，数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和
为𝑆𝑛，则
（ ）
A. 𝑎8 = 35
B. 𝑎10 = 89
C. 𝑆8 = 87
D. 𝑆11 = 375
变式1 数列1, 3, 6, 10, 15, …的递推公式可以是𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1 +
(𝑛∈𝑁+, 𝑛≥2)．又𝑎10 = 55，则
𝑎12 =
．
题型2
利用an 与Sn 的关系求通项
题型点拨
数列的通项𝑎𝑛与前𝑛项和𝑆𝑛的关系
𝑎𝑛= {𝑆1, 𝑛= 1
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
𝑛≥2
先由
𝑎𝑛= 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
(𝑛≥2)
化简得到𝑎𝑛= 𝑓(𝑛)，再计算𝑎1 = 𝑆1。若𝑎1 = 𝑓(1)，则可将通项公式合并；否则应写成分段形式。
高二数理进阶
第 12 讲 数列的概念
Page 134
难题常从简单结构入手
典例2 已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑛𝑎𝑛= 𝑆𝑛−1 + 1(𝑛≥2), 𝑎1 = 0，则𝑆2025等于
（ ）
A. 0
B. 1012
C. 2025
2
D. 2025
变式2 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 + 2𝑎2 + ⋯+ 2𝑛−1𝑎𝑛= 𝑛⋅2𝑛，则数列{𝑎𝑛}的通项公式为
.
题型3
数列的单调性及其应用
题型点拨
判断数列的单调性的方法
(1)作差比较法：
𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛> 0⇔数列{𝑎𝑛}是递增数列；𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛< 0⇔数列{𝑎𝑛}是递减数列；
𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛= 0⇔数列{𝑎𝑛}是常数列．
(2)作商比较法：
𝑖.当𝑎𝑛> 0时，则𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
> 1⇔数列{𝑎𝑛}是递增数列；𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 1⇔数列{𝑎𝑛}是递减数列；
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 1⇔数列{𝑎𝑛}是常数列；
第二种：当 𝑎𝑛< 0 时，则 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
> 1 ⇔ 数列 {𝑎𝑛} 是递减数列；𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 1 ⇔ 数列 {𝑎𝑛} 是递增数列；
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 1⇔数列{𝑎𝑛}是常数列．
(3)结合相应函数的图象直观判断：
写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到
数列中去．
第 12 讲 数列的概念
高二数理进阶
新题常借旧模型开门
Page 135
典例3 （多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是
（ ）
A. 𝑎𝑛= 1 + 𝑛
B. 𝑎𝑛= 2𝑛2 −5𝑛+ 1
C. 𝑎𝑛= 1
4𝑛
D. 𝑎𝑛= {𝑛+ 1
𝑛≤2
2𝑛−1
𝑛> 2
变式3 设数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛= 𝑛2 + 𝑘𝑛，若数列{𝑎𝑛}是递增数列，则实数𝑘的取值范围为
题型4
求数列中的最大（小）项
题型点拨
求数列最大(小)项的方法
(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
(2)相邻项比较法需要先明确全局单调结构。
当已经证明数列在第𝑛项之前递增、之后递减时，可由
𝑎𝑛≥𝑎𝑛−1,
𝑎𝑛≥𝑎𝑛+1
判断𝑎𝑛为最大项。
类似地，当数列先递减后递增时，可利用相邻项关系判断最小项。
典例4 （25-26·江苏苏州）数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛= 𝑛(𝑛+ 1), {𝑏𝑛}满足：𝑏𝑛= 𝑎𝑛⋅
( 8
11)
𝑛
，则数列{𝑏𝑛}的最大项是第
项．
（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
高二数理进阶
第 12 讲 数列的概念
Page 136
熟题也需重新审题
变式4 （25-26·辽宁大连）已知数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛= 𝑛−√197
𝑛−√198
，则𝑎𝑛最小的项是第
项．
题型5
数列的周期性及其应用
题型点拨
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
典例5 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行
上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 →4 →2 →1．这就是数学史上著名的“冰雹
猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1,𝑎𝑛+1 =
{
𝑎𝑛
2 , 当𝑎𝑛为偶数时
3𝑎𝑛+ 1, 当𝑎𝑛为奇数时
则
𝑎2025 =
（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
变式5 已知数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛= cos 𝑛𝜋
3 ，𝑛∈𝑁∗，记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项之和，则
𝑆2020的值是
．
第 12 讲 数列的概念
高二数理进阶
变式检验迁移能力
Page 137
练
强化训练
Targeted Practice
1. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项的积为𝑇𝑛，且𝑇𝑛= 𝑛(𝑛= 1, 2, 3, ⋯)，则数列{𝑎𝑛}
．
（ ）
A. 有最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项
D. 无最大项，无最小项
2. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1 =
{
2𝑎𝑛,
0 ≤𝑎𝑛< 1
2,
2𝑎𝑛−1,
1
2 ≤𝑎𝑛< 1.
若𝑎1 = 6
7，则𝑎2005的值为
（ ）
A. 6
7
B. 5
7
C. 3
7
D. 1
7
3. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和是𝑆𝑛，若𝑆𝑛= (−1)𝑛+1𝑎𝑛+ 𝑛，𝑛∈𝑁∗，则𝑎2025 =
（ ）
A. −1
B. 1
C. 2
D. 3
4. （25-26·四川成都）已知数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛= 𝑛2 −2𝑡𝑛+ 5, (𝑛∈𝑁∗)，若{𝑎𝑛}是单调
递增数列，则实数𝑡的取值范围是
（ ）
A. (0, 3
2)
B. (0, 1)
C. (−∞, 1)
D. (−∞, 3
2)
高二数理进阶
第 12 讲 数列的概念
Page 138
反思沉淀方法边界
5. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2，且𝑎𝑛+2 =
{
𝑎𝑛, 𝑛为奇数
𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛, 𝑛为偶数，则{𝑎𝑛}的前50项的和为
（ ）
A. 36
B. 39
C. 41
D. 45
第 12 讲 数列的概念
高二数理进阶
问题越准，进步越快
Page 139
6. （25-26·广东揭阳）（多选）记𝑆𝑛为正项数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑆𝑛= 𝑎2𝑛−𝑎𝑛+ 1，则
（ ）
A. 𝑎1 = 1
B. 𝑆2 = 2
C. 数列{𝑎𝑛}单调递增
D. 𝑎𝑛+1 −1 ≤𝑎𝑛
7. （25-26·四川成都）（多选）已知数列{𝑎𝑛}的通项公式为 𝑎𝑛= 𝑛−√98
𝑛−√99
，前 𝑛 项的乘积为 𝑆𝑛 ，
则下列说法正确的是
（ ）
A. 在数列{𝑎𝑛}中，𝑎10是最大项
B. 在数列{𝑎𝑛}中，𝑎9 是最小项
C. 数列{𝑆𝑛}单调递减
D. 使𝑆𝑛取得最小值的𝑛为 9
8. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛= 3𝑛−1，则其通项公式𝑎𝑛=
．
9. （25-26·广东深圳）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 + 3𝑎2 + ⋯+ 3𝑛−1𝑎𝑛= 𝑛⋅3𝑛，则𝑎2025 =
．
高二数理进阶
第 12 讲 数列的概念
Page 140
表述越精，理解越深
10. （25-26·甘肃兰州）数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= 𝑛2 + 2𝑛，数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛= 𝑛(𝑎𝑛+ 1)(10
13)
𝑛
，则数列
{𝑏𝑛}的最大项为第
项.
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·辽宁丹东）已知数列1, −3, 5, −7, 9, ⋯，则该数列的第99项为
（ ）
A. −197
B. 197
C. −199
D. 199
2. （25-26·广东清远）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙
粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1, 3, 6, 10称为三角形数，第二行的
1, 4, 9, 16称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为
（ ）
A. 22
B. 26
C. 35
D. 51
第 12 讲 数列的概念
高二数理进阶
细节不是枝节
Page 141
3. （25-26·北京）在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = 2，𝑎𝑛+
1
𝑎𝑛−1
= 1（𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗），则𝑎2025 =
（ ）
A. −1
B. 1
C. 1
2
D. 2
4. （25-26·四川绵阳）（多选）下列通项公式中，数列{𝑎𝑛}是递增数列的是
（ ）
A. 𝑎𝑛= 2𝑛−11
B. 𝑎𝑛= −3𝑛+ 32
C. 𝑎𝑛= 2 ⋅(1
3)
𝑛
D. 𝑎𝑛= 2 ⋅3𝑛
5. （25-26·黑龙江绥化）已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 + 2𝑆𝑛= 2𝑛+ 1，则𝑆2024 =
．
第 13 讲 等差数列
高二数理进阶
条件的次序，也是思路的次序
Page 143
第 13 讲
等差数列
讲
题型精讲
Core examples
题型1
等差数列通项公式基本量计算及性质应用
题型点拨
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公差为𝑑，那么它的通项公式是𝑎𝑛= 𝑎1 + (𝑛−1)𝑑．
(2)通项公式的推广：𝑎𝑛= 𝑎𝑚+ (𝑛−𝑚)𝑑(𝑛, 𝑚∈𝑁∗)．
(3)在等差数列{𝑎𝑛}中，当𝑚+ 𝑛= 𝑝+ 𝑞时，𝑎𝑚+ 𝑎𝑛= 𝑎𝑝+ 𝑎𝑞(𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞∈𝑁∗)．
特别地，若𝑚+ 𝑛= 2𝑡，则𝑎𝑚+ 𝑎𝑛= 2𝑎𝑡(𝑚, 𝑛, 𝑡∈𝑁∗)．
(4)𝑎𝑘, 𝑎𝑘+𝑚, 𝑎𝑘+2𝑚，…仍是等差数列，公差为𝑚𝑑(𝑘, 𝑚∈𝑁∗)．
(5)等差中项
若三个数𝑎，𝐴，𝑏成等差数列，则𝐴叫做𝑎与𝑏的等差中项，且有𝐴= 𝑎+ 𝑏
2
．
(6)若{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}是等差数列，则{𝑝𝑎𝑛+ 𝑞𝑏𝑛}也是等差数列．
典例1 （25-26·北京房山）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今
有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代
的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每
个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到
（ ）
A. 1
3钱
B. 2
3钱
C. 5
6钱
D. 1钱
高二数理进阶
第 13 讲 等差数列
Page 144
结论的形式，暗示方法的形式
变式1 （25-26·河南焦作）已知数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式分别为𝑎𝑛= 4𝑛−3，𝑏𝑛= 5𝑛−4，
由{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的公共项从小到大排列得到的数列为{𝑐𝑛}，则𝑐100 =
（ ）
A. 1941
B. 1961
C. 1981
D. 2001
题型2
等差数列前n 项和公式及基本量计算
题型点拨
设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，其前𝑛项和𝑆𝑛= 𝑛𝑎1 + 𝑛(𝑛−1)
2
𝑑= 𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
．
典例2 （25-26·甘肃平凉）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛
应用于各种商业场合．“苏州码子”中0 ∼9的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、𝛿、〦、〧、〨、
攵．某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发
车站的里程为31公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在𝐴点处里程碑上刻着“刂〧”，在𝐵点
处里程碑上刻着“〧𝛿”，则从𝐴点到𝐵点的所有里程碑上所刻数之和为
（ ）
A. 720
B. 792
C. 867
D. 945
变式2 （25-26·甘肃兰州）设{𝑎𝑛}为等差数列，公差𝑑= −2，𝑆𝑛为其前𝑛项和，若𝑆13 = 𝑆8，
则𝑆𝑛等于
（ ）
A. 𝑛2 + 21𝑛
B. 𝑛2 + 19𝑛
C. −𝑛2 + 19𝑛
D. −𝑛2 + 21𝑛
题型3
等差数列中an 与Sn 的关系
题型点拨
𝑎𝑛= {𝑆1, 𝑛= 1
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
𝑛≥2
第 13 讲 等差数列
高二数理进阶
能化简，是看见了结构
Page 145
典例3 （25-26·上海奉贤）已知数列{𝑎𝑛}的前 𝑛 项和 𝑆𝑛 满足 𝑆𝑛= 𝑛2 + 1，则 {𝑎𝑛}的通项公式为
变式3 （25-26·湖南）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= 𝑛2 + 2𝑛，则∑
2𝑛
𝑖=3
𝑎𝑖=
.
题型4
等差数列前n 项和公式的重要性质
题型点拨
(1)𝑆𝑛, 𝑆2𝑛−𝑆𝑛, 𝑆3𝑛−𝑆2𝑛，…也成等差数列，公差为𝑛2𝑑．
(2)若{𝑎𝑛}是等差数列，则{𝑆𝑛
𝑛}也成等差数列，其首项与{𝑎𝑛}首项相同，公差是{𝑎𝑛}公差的1
2．
𝑆1
1 , 𝑆2
2 , 𝑆3
3 , ⋯为等差数列，公差为𝑑
2．
(3)若{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}为等差数列，且前𝑛项和为𝑆𝑛与𝑇𝑛，则𝑎𝑚
𝑏𝑚
= 𝑆2𝑚−1
𝑇2𝑚−1
．
典例4 （25-26·陕西咸阳）已知𝑆𝑛，𝑇𝑛分别为等差数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的前𝑛项和，且𝑆𝑛
𝑇𝑛
=
4𝑛+ 1
3𝑛−2，则𝑎8
𝑏8
=
（ ）
A. 61
43
B. 3
2
C. 4
3
D. 43
61
高二数理进阶
第 13 讲 等差数列
Page 146
能推广，是理解了本质
变式4 （25-26·甘肃金昌）设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆14
𝑆7
= 7，则𝑆21
𝑆14
=
（ ）
A. 18
7
B. 3
2
C. 11
7
D. 11
6
题型5
等差数列中的函数性质
题型点拨
将等差数列前𝑛项和公式𝑆𝑛= 𝑛𝑎1 + 𝑛(𝑛−1)
2
𝑑，整理成关于𝑛的函数可得𝑆𝑛= 𝑑
2𝑛2 + (𝑎1 −𝑑
2)𝑛.
当𝑑≠0时，𝑆𝑛关于𝑛的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(𝑛, 𝑆𝑛)在其相应的二次函数的图
象上，这就是说等差数列的前𝑛项和公式是关于𝑛的二次函数，它的图象是抛物线𝑦= 𝑑
2𝑥2 + (𝑎1 −
𝑑
2)𝑥上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
典例5 （25-26·北京海淀）已知无穷等差数列{𝑎𝑛}前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎1 < 0，则“𝑆𝑛有最大
值”是“公差𝑑≤0”的
（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式5 （25-26·黑龙江绥化）已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，𝑎1 = −10，{𝑆𝑛
𝑛}是公差为1的等
差数列，则下列选项中不正确的是
（ ）
A. 𝑆2 = −18
B. 当且仅当𝑛= 6时，𝑆𝑛取得最小值
C. 𝑎𝑛= 2𝑛−12
D. 数列{
𝑎𝑛
2𝑛−11}中第5项的值最大
第 13 讲 等差数列
高二数理进阶
能反驳，是守住了逻辑
Page 147
题型6
等差数列的证明
题型点拨
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛= 𝑑（常数）(𝑛∈𝑁∗) ⇒{𝑎𝑛}是等差数列；
2、中项法：2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2(𝑛∈𝑁∗) ⇒{𝑎𝑛}是等差数列；
3、通项公式法：𝑎𝑛= 𝑘𝑛+ 𝑏（𝑘，𝑏为常数）⇒{𝑎𝑛}是等差数列。
典例6 （25-26·广东湛江）已知{𝑎𝑛}为各项均为正数的数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆𝑛= 𝑎𝑛(𝑎𝑛+ 1)
2
.
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
变式6 对任意的正整数𝑛，数列{𝑎𝑛}满足𝑛𝑎𝑛= (𝑛+ 2)𝑎𝑛+1 + 2，且𝑎3 = 6.
（1）求𝑎1，𝑎2；
（2）证明：{𝑛(𝑛+ 1)𝑎𝑛+ 𝑛2}是等差数列；
高二数理进阶
第 13 讲 等差数列
Page 148
能构造，是掌握了关系
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·甘肃陇南）已知数列{𝑎𝑛}, {𝑏𝑛}都是等差数列，且𝑎2 = 3，𝑏2 = 7，𝑎9 + 𝑏9 = 100，
则数列{𝑎𝑛+ 𝑏𝑛}的前10项的和为
（ ）
A. 550
B. 450
C. 1100
D. 900
2. （25-26·江苏苏州）设等差数列{𝑎𝑛}, {𝑏𝑛}的前𝑛项和分别为𝑆𝑛, 𝑇𝑛．若𝑆𝑛
𝑇𝑛
= 2𝑛+ 1
𝑛+ 3 ，则𝑎9
𝑏9
= （ ）
A. 7
4
B. 11
8
C. 19
12
D. 2
3. （25-26·重庆）等差数列{𝑎𝑛}(𝑛∈𝑁∗)的公差为𝑑，前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆3 = 27，𝑎3 = 7，则当
𝑆𝑛取得最大值时，𝑛=
（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4. （25-26·广东广州）已知𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，设𝑇𝑛为数列{𝑆𝑛
𝑛}的前𝑛项和，若𝑆4 =
12，𝑆8 = 40，则𝑆𝑛=
（ ）
A. (𝑛+ 2)𝑛
2
B. 𝑛(𝑛+ 1)
2
C. 𝑛(𝑛−2)
2
D. 𝑛(𝑛−1)
2
5. （25-26·广东广州）已知两个等差数列2, 6, 10, ⋅⋅⋅, 190及2, 8, 14, ⋅⋅⋅, 200，将这两个等差数列的
公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{𝑏𝑛}，则𝑏5 =
（ ）
A. 45
B. 50
C. 54
D. 60
第 13 讲 等差数列
高二数理进阶
能分类，是尊重了差异
Page 149
6. （25-26·湖北）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= 𝑝𝑛2 + 𝑞𝑛+ 𝑟（𝑝, 𝑞, 𝑟为常数），则“{𝑎𝑛}为递增的
等差数列”是“𝑝> 0”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. （多选）数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑆𝑛= 𝑘𝑛2 −2𝑛(𝑘∈𝑅)，则下列结论正确的是
（ ）
A. {𝑎𝑛}为等差数列
B. {𝑎𝑛}不可能为常数列
C. 若{𝑎𝑛}为递增数列，则𝑘> 0
D. 若{𝑆𝑛}为递增数列，则𝑘> 1
8. （25-26·浙江金华）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= −𝑛2 + 2𝑛+ 3，则通项公式𝑎𝑛=
．
9. 已知正项数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且4𝑆𝑛= 𝑎2𝑛+ 2𝑎𝑛+ 1；
（1）求𝑎1, 𝑎2和𝑎3的值；
（2）求证数列{𝑎𝑛}是等差数列，并求出数列{𝑎𝑛}的通项公式；
10. 记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑎1 = 3，𝑛𝑎𝑛+1 = 2𝑆𝑛+ 3𝑛.
（1）证明：数列{𝑎𝑛}为等差数列；
高二数理进阶
第 13 讲 等差数列
Page 150
能统一，是把握了共性
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·江苏连云港）已知{𝑎𝑛}为等差数列，𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 = 15，𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 = 9，则𝑎3 +
𝑎4 =
（ ）
A. 6
B. 5
C. 12
D. 8
2. （25-26·北京东城）做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长
为1.5𝑚的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2𝑚的一根木杆刚好可以截成最下面的
三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是
（ ）
A. 13
24𝑚
B. 7
12𝑚
C. 5
8𝑚
D. 2
3𝑚
3. （25-26·北京）若等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎2023 + 𝑎2024 = 1，𝑎2023 −𝑎2025 = 6，则𝑎2023 +
𝑎2026 =
（ ）
A. 5
B. 7
C. −5
D. −7
4. （25-26·甘肃兰州）已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆4 = 9, 𝑆12 = 6，则𝑆8 =
（ ）
A. 3
2
B. 15
2
C. 10
D. 11
5. （25-26·广西南宁）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和公式为𝑆𝑛= −3𝑛2，则{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛=
.
第 14 讲 等比数列
高二数理进阶
数学不惧复杂，惧无结构
Page 151
第 14 讲
等比数列
讲
题型精讲
Core examples
题型1
等比数列通项公式基本量计算及性质应用
题型点拨
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公比为𝑞(𝑞≠0)，则它的通项公式𝑎𝑛= 𝑎1𝑞𝑛−1 = 𝑐⋅𝑞𝑛(𝑐=
𝑎1
𝑞)(𝑎1, 𝑞≠0)．
(2)推广形式：𝑎𝑛= 𝑎𝑚⋅𝑞𝑛−𝑚
(3)等比中项：如果𝑎，𝐺，𝑏成等比数列，那么𝐺叫做𝑎与𝑏的等比中项．
即𝐺是𝑎与𝑏的等比中项 ⇔𝑎，𝐺，𝑏成等比数列 ⇒ 𝐺2 = 𝑎𝑏．
(4)等比中项的推广：若𝑚+ 𝑛= 𝑟+ 𝑠时，则𝑎𝑚𝑎𝑛= 𝑎𝑟𝑎𝑠，特别地，当𝑚+ 𝑛= 2𝑟时，𝑎𝑚𝑎𝑛= 𝑎2𝑟．
其中𝑚, 𝑛, 𝑟, 𝑠∈𝑁∗．
(5)①设{𝑎𝑛}为等比数列，则{𝜆𝑎𝑛}（𝜆为非零常数），{|𝑎𝑛|}仍为等比数列；当𝑚∈𝑍，或在各项𝑎𝑚
𝑛均
有意义的前提下，数列{𝑎𝑚
𝑛}仍为等比数列，其公比为𝑞𝑚．
②设{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}为等比数列，则{𝑎𝑛𝑏𝑛}也为等比数列．
(6)若{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}（项数相同）是等比数列，则{𝜆𝑎𝑛}(𝜆≠0)，{ 1
𝑎𝑛
}，{𝑎2𝑛}，{𝑎𝑛⋅𝑏𝑛}，{𝑎𝑛
𝑏𝑛
}仍是
等比数列．
(7)在等比数列{𝑎𝑛}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即𝑎𝑛, 𝑎𝑛+𝑘, 𝑎𝑛+2𝑘, 𝑎𝑛+3𝑘⋯为
等比数列，公比为𝑞𝑘，其中𝑘∈𝑁∗．
典例1 （25-26·广东）已知等比数列{𝑎𝑛}的前3项积为8，𝑎1 > 0，𝑎4 = 8，则𝑎3等于
（ ）
A. 4
B. −4
C. 16
D. 2
高二数理进阶
第 14 讲 等比数列
Page 152
思考不怕缓慢，怕无方向
变式1 已知等比数列{𝑎𝑛}的公比大于1，且𝑎2𝑎7 = (6 + 𝑎6)𝑎1，则𝑎10的最小值为
（ ）
A. 20
B. 22
C. 24
D. 38
题型2
等比数列前n 项和公式及基本量计算
题型点拨
等比数列的前𝑛项和公式
等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞(𝑞≠0)，其前𝑛项和为𝑆𝑛=
{
𝑛𝑎1(𝑞= 1)
𝑎1(1 −𝑞𝑛)
1 −𝑞
= 𝑎1 −𝑎𝑛𝑞
1 −𝑞
(𝑞≠1)
注：①等比数列的前𝑛项和公式有两种形式，在求等比数列的前𝑛项和时，首先要判断公比𝑞是否为1，
再由𝑞的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比𝑞是否为1时，要分𝑞= 1与𝑞≠1两种情况讨论求解．
②已知𝑎1, 𝑞(𝑞≠1), 𝑛（项数），则利用𝑆𝑛= 𝑎1(1 −𝑞𝑛)
1 −𝑞
求解；已知𝑎1, 𝑎𝑛, 𝑞(𝑞≠1)，则利用𝑆𝑛=
𝑎1 −𝑎𝑛𝑞
1 −𝑞
求解．
③𝑆𝑛= 𝑎1(1 −𝑞𝑛)
1 −𝑞
= −𝑎1
1 −𝑞⋅𝑞𝑛+
𝑎1
1 −𝑞= 𝑘𝑞𝑛−𝑘(𝑘≠0, 𝑞≠1)，𝑆𝑛为关于𝑞𝑛的指数型函数，且系
数与常数互为相反数．
典例2 已知正项等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆4 = 2𝑆3 −𝑆2 + 6, 𝑎2 = 1，则𝑎5 =
（ ）
A. 16
B. 32
C. 27
D. 81
变式2 （25-26·甘肃白银）已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且{𝑎𝑛}满足2𝑆3 = 3𝑎2 + 2𝑎1，
2𝑆7 −𝑆6 = 8，则𝑎3𝑎7 =
（ ）
A. 1
16
B. 1
32
C. 64
D. 32
第 14 讲 等比数列
高二数理进阶
严谨不是沉重，是可靠
Page 153
题型3
等比数列中an 与Sn 的关系
题型点拨
𝑎𝑛= {𝑆1, 𝑛= 1
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
𝑛≥2
典例3 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛= 1 −3𝑎𝑛, 𝑛∈𝑁∗，则𝑆𝑛的取值范围是
（ ）
A. (1
4, 1)
B. [1
4, 1)
C. (1
3, 1]
D. [1
4, 1
3)
变式3 记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若1
2𝑆𝑛= (3
2)
𝑛
−1，则1
𝑎1
+ 1
𝑎2
+ ⋯+ 1
𝑎𝑛
=
．
题型4
等比数列前n 项和公式的重要性质
题型点拨
(1)公比不为−1的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则𝑆𝑛，𝑆2𝑛−𝑆𝑛，𝑆3𝑛−𝑆2𝑛仍成等比数列，其公比
为𝑞𝑛．
(2){𝑎𝑛}为等比数列，若𝑎1 ⋅𝑎2⋯𝑎𝑛= 𝑇𝑛，则𝑇𝑛, 𝑇2𝑛
𝑇𝑛
, 𝑇3𝑛
𝑇2𝑛
, ⋯成等比数列．
(3)当𝑞≠0，𝑞≠1时，𝑆𝑛= 𝑘−𝑘⋅𝑞𝑛(𝑘≠0)是{𝑎𝑛}成等比数列的充要条件，此时𝑘=
𝑎1
1 −𝑞．
典例4 （25-26·河南南阳）已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆6 = 7, 𝑆12 = 21，则𝑆24 =
（ ）
A. 56
B. 105
C. 112
D. 189
高二数理进阶
第 14 讲 等比数列
Page 154
抽象不是疏离，是凝练
变式4 （25-26·海南省直辖县级单位）设公比小于零的等比数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，𝑇6 = −6，
且𝑇9 = 7𝑇3，则𝑐13 + 𝑐14 + 𝑐15 =
（ ）
A. 243
B. 216
C. 81
D. 27
题型5
等比数列中的函数性质
题型点拨
1、等比数列{𝑎𝑛}的单调性（等比数列的单调性由首项𝑎1与公比𝑞决定）．
当{𝑎1 > 0
𝑞> 1 或{𝑎1 < 0
0 < 𝑞< 1时，{𝑎𝑛}为递增数列；
当{𝑎1 > 0
0 < 𝑞< 1或{𝑎1 < 0
𝑞> 1 时，{𝑎𝑛}为递减数列．
当𝑞= 1时，{𝑎𝑛}为常数列；
当𝑞< 0时，由于各项正负交替，{𝑎𝑛}既不是递增数列，也不是递减数列。
2、𝑆𝑛与𝑞的关系
(1)当公比𝑞≠1时，等比数列的前𝑛项和公式是𝑆𝑛= 𝑎1(1 −𝑞𝑛)
1 −𝑞
，
它可以变形为𝑆𝑛=
𝑎1
1 −𝑞−
𝑎1
1 −𝑞𝑞𝑛，设𝐴=
𝑎1
1 −𝑞，则上式可以写成𝑆𝑛= 𝐴−𝐴𝑞𝑛的形式，
由此可见，数列{𝑆𝑛}的图象是函数𝑦= 𝐴−𝐴𝑞𝑥图象上的一群孤立的点；
(2)当公比𝑞= 1时，等比数列的前𝑛项和公式是𝑆𝑛= 𝑛𝑎1，则数列{𝑆𝑛}的图象是函数𝑦= 𝑎1𝑥图象上的
一群孤立的点。
3、𝑆𝑛与𝑎𝑛的关系
当公比𝑞≠1时，等比数列的前𝑛项和公式是𝑆𝑛= 𝑎1 −𝑎𝑛𝑞
1 −𝑞
，它可以变形为𝑆𝑛=
𝑎1
1 −𝑞−
𝑞
1 −𝑞𝑎𝑛
设𝐴= −
𝑞
1 −𝑞，𝐵=
𝑎1
1 −𝑞，则上式可写成𝑆𝑛= 𝐴𝑎𝑛+ 𝐵的形式，则𝑆𝑛是𝑎𝑛的一次函数。
第 14 讲 等比数列
高二数理进阶
统一不是相同，是同构
Page 155
典例5 （25-26·四川）若等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则“𝑎1 > 0”是“𝑆𝑛单调递增”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
变式5 （25-26·吉林松原）设公比为𝑞的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，前𝑛项积为𝑇𝑛，且𝑎1 >
1，𝑎2024𝑎2025 > 1，𝑎2024 −1
𝑎2025 −1 < 0，则下列结论正确的是
（ ）
A. 𝑞> 1
B. 数列{𝑇𝑛}无最大值
C. 𝑇2025是数列{𝑇𝑛}中的最大值
D. 𝑆2024𝑆2025 > 20242
题型6
等比数列的证明
题型点拨
等比数列的判定方法
1、定义法：𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝑞（常数），且𝑎𝑛≠0(𝑛∈𝑁∗)，⇒{𝑎𝑛}为等比数列；
2、中项法：𝑎2
𝑛+1 = 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+2（𝑎𝑛≠0）⇒{𝑎𝑛}为等比数列；
3、通项公式法：𝑎𝑛= 𝑘𝑞𝑛, 𝑘𝑞≠0或𝑎𝑛= 𝑘𝑞𝑛−1（其中𝑘≠0 , 𝑞≠0）⇒{𝑎𝑛}为等比数列.
典例6 （25-26·广东江门）记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑆𝑛= 2𝑛+ 𝑛−1.
（1）证明：数列{𝑎𝑛−1}为等比数列；
高二数理进阶
第 14 讲 等比数列
Page 156
变化不是混乱，有律可循
变式6 （25-26·广东江门）数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 2, 𝑎2 = 5, 𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛+1 −2𝑎𝑛.
（1）求证：数列{𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛}是等比数列；
（2）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
第 14 讲 等比数列
高二数理进阶
模型不是标签，是关系的骨架
Page 157
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·福建）在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 + 𝑎2 = 6，若𝑎1，𝑎2 + 3，𝑎3成等差数列，则{𝑎𝑛}的公
比为
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. （25-26·江苏苏州）已知𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑆𝑛= 3 −𝜆⋅22𝑛−2，则𝜆=
（ ）
A. 0
B. 3
C. −3
D. 12
3. （25-26·江苏南京）记𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑆3 + 𝑆6 = 2𝑆9，则𝑎6
𝑎3
=
（ ）
A. 1
2
B. −1
2
C. 1或−1
2
D. −1或1
2
4. （25-26·黑龙江哈尔滨）对于等比数列{𝑎𝑛}，则“𝑎1 < 𝑎2”是“数列{𝑎𝑛}为单调递增数列”的
（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. （25-26·安徽合肥）已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆8 + 𝑆24 = 140，且𝑆24 = 13𝑆8，
则𝑆16 =
（ ）
A. −30
B. 40
C. 30或−40
D. −30或40
高二数理进阶
第 14 讲 等比数列
Page 158
方法不是套路，是选择的理由
6. （25-26·山西吕梁）数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛= 21 × (1
2)
𝑛
，当{𝑎𝑛}的前𝑛项积最大时，𝑛为
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7. （25-26·浙江湖州）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎1 = 1，且𝑎𝑛+1 = 3𝑆𝑛（𝑛∈𝑁∗），则 （ ）
A. {𝑆𝑛}为等比数列
B. {𝑆𝑛}为等差数列
C. {𝑎𝑛}为等比数列
D. {𝑎𝑛}为等差数列
8. （25-26·北京昌平）设无穷等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，前𝑛项积为𝑇𝑛，则“𝑇𝑛有最大值”是“−1 <
𝑞< 0”的
（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，其前𝑛项和为𝑆𝑛，前𝑛项积为𝑇𝑛，且满足条件𝑎1 > 1，𝑎2022 ⋅
𝑎2023 > 1，(𝑎2022 −1) ⋅(𝑎2023 −1) < 0，则下列选项不正确的是
（ ）
A. {𝑎𝑛}为递减数列
B. 𝑆2022 + 1 < 𝑆2023
C. 𝑇2022是数列{𝑇𝑛}中的最大项
D. 𝑇4045 < 1
10. （25-26·福建宁德）已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛−
5
3𝑛+1.
（1）若𝑎1, 𝑎2, 𝑎3依次成等差数列，求𝑎1；
（2）若𝑎1 = 4
3，证明：数列{𝑎𝑛−1
3𝑛}为等比数列；
第 14 讲 等比数列
高二数理进阶
技巧若无前提，便不可迁移
Page 159
11. （25-26·广东东莞）已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑛𝑎1 + (𝑛−1)𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛= 2𝑆𝑛−𝑛（𝑛∈
𝑁∗）．
（1）证明数列{𝑆𝑛+ 1}为等比数列；
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·北京海淀）在等比数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎1 = 2, 𝑎𝑛= 32, 𝑞= 2，则𝑛为
（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
2. （25-26·福建龙岩）已知{𝑎𝑛}是等比数列，𝑎3 = 2，𝑎7 = 18，则𝑎5 =
（ ）
A. 10
B. −10
C. 6
D. −6或6
3. 已知实数−1, 𝑥, 𝑦, 𝑧, −4成等比数列，则𝑦=
（ ）
A. −8
B. ±8
C. −2
D. ±2
4. 设等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛.已知𝑆𝑛+1 = 2𝑆𝑛+ 1
2，𝑛∈𝑁∗，则𝑆6 =
.
5. （25-26·黑龙江哈尔滨）已知等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + 𝑎8 = 16(𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎7)，
则公比𝑞=
（ ）
A. 2
B. 4
C. 16
D. ±2
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
高二数理进阶
证明若无层次，便不可阅读
Page 161
第 15 讲
累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
讲
题型精讲
Core examples
题型1
累加法
题型点拨
形如𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑓(𝑛)型的递推数列（其中𝑓(𝑛)是关于𝑛的函数）可构造：
{
𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 = 𝑓(𝑛−1)
𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−2 = 𝑓(𝑛−2)
...
𝑎2 −𝑎1 = 𝑓(1)
将上述 𝑛−1 个式子两边分别相加，可得：𝑎𝑛= 𝑓(𝑛−1) + 𝑓(𝑛−2) + … + 𝑓(2) + 𝑓(1) + 𝑎1(𝑛≥2).
大题注意检验𝑛= 1时满足条件.
典例1 (25 −26 ⋅黑龙江哈尔滨）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，𝑎𝑛−𝑎𝑛+1 = 2𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1，则𝑎𝑛=
（ ）
A.
2
2𝑛−1 + 1
B.
1
2𝑛−1
C. 2𝑛+1 −1
2𝑛+ 1
D.
1
2𝑛−1
变式1 (25 −26 ⋅重庆）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 33 , 𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛= 2𝑛，则𝑎𝑛
𝑛的最小值为
（ ）
A. 21
2
B. 2√33 −1
C. 53
5
D. 33
5
高二数理进阶
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
Page 162
运算若无结构，便不可控制
题型2
累乘法
题型点拨
形如𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛𝑓(𝑛)型的递推数列（其中𝑓(𝑛)是关于𝑛的函数），当相关各项𝑎𝑘≠0时，可写成𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
=
𝑓(𝑛)，并构造：
{
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
= 𝑓(𝑛−1)
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−2
= 𝑓(𝑛−2)
⋯
𝑎2
𝑎1
= 𝑓(1).
将上述 𝑛−1 个式子两边分别相乘，可得：𝑎𝑛= 𝑓(𝑛−1) ⋅𝑓(𝑛−2) ⋅… ⋅𝑓(2) ⋅𝑓(1) ⋅𝑎1(𝑛≥2).
有时若不能直接用，可先变形成这种形式；若递推过程中可能出现零项，应直接由乘法形式讨论，不能
直接作除法．
典例2 (25 −26 ⋅吉林）在数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = √3 , 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= √𝑛+ 3
𝑛+ 2，则𝑎34 =
.
变式2 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 2𝑛，𝑛∈𝑁∗，则下列说法不正确的是
（ ）
A. 𝑎4 −𝑎3 = 2
B. 𝑎2𝑛= 2𝑎2𝑛−1
C. {𝑎2𝑛}是等比数列
D. 𝑎2𝑛−1 + 𝑎2𝑛= 2𝑛+1
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
高二数理进阶
由特殊入手，由一般收束
Page 163
题型3
加减常数构造
题型点拨
形如𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑞（其中𝑝, 𝑞均为常数且𝑝≠0）型的递推式：
(1)若𝑝= 1时，数列{𝑎𝑛}为等差数列；
(2)若𝑞= 0时，数列{𝑎𝑛}为等比数列；
(3)若𝑝≠1且𝑞≠0时，数列{𝑎𝑛}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 𝑎𝑛+1 + 𝜆= 𝑝(𝑎𝑛+ 𝜆)，展开整理得 𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ (𝑝−1)𝜆，与题设 𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑞 比较
系数得 𝜆=
𝑞
𝑝−1(𝑝≠1)，即 𝑎𝑛+1 +
𝑞
𝑝−1 = 𝑝(𝑎𝑛+
𝑞
𝑝−1)，因此 {𝑎𝑛+
𝑞
𝑝−1} 构成以 𝑎1 +
𝑞
𝑝−1 为首项、𝑝 为公比的等比数列，再利用等比数列通项公式整理可得 𝑎𝑛= (𝑎1 +
𝑞
𝑝−1)𝑝𝑛−1 −
𝑞
𝑝−1.
（*）法二：由𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑞得𝑎𝑛= 𝑝𝑎𝑛−1 + 𝑞(𝑛≥2)，两式相减得𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛= 𝑝(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)．若
𝑎2 ≠𝑎1，则差数列{𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛}构成以𝑎2 −𝑎1为首项、𝑝为公比的等比数列；若𝑎2 = 𝑎1，则差数列恒
为0，原数列为常数列．求出{𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛}的通项后，再用累加法便可求出𝑎𝑛．
典例3 已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑆2 = 3，𝑎𝑛+1 = 𝑆𝑛+ 1，则𝑆8 =
（ ）
A. 255
B. 256
C. 127
D. 128
变式3 (1)设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，且𝑎𝑛= 3𝑎𝑛−1 + 4(𝑛≥2)，则数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=
．
（2）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛+ 2𝑎𝑛= 𝑛，则𝑎𝑛=
．
高二数理进阶
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
Page 164
从局部观察，向整体归纳
题型4
加减构造
题型点拨
形如𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑓(𝑛)(𝑝≠1)型的递推式：
(1)当𝑓(𝑛)为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 𝑏𝑛= 𝑎𝑛+ 𝐴𝑛+ 𝐵，通过待定系数法确定 𝐴, 𝐵 的值，转化成以 𝑎1 + 𝐴+ 𝐵 为首项、以 𝑝 为
公比的等比数列 {𝑎𝑛+ 𝐴𝑛+ 𝐵}，再利用等比数列的通项公式求出 𝑏𝑛 的通项，整理可得 𝑎𝑛.
法二：当𝑓(𝑛)的公差为𝑑时，由递推式得：𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑓(𝑛)，𝑎𝑛= 𝑝𝑎𝑛−1 + 𝑓(𝑛−1)两式相减得：
𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛= 𝑝(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1) + 𝑑，令𝑏𝑛= 𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛得：𝑏𝑛= 𝑝𝑏𝑛−1 + 𝑑，再用（*）便可求出𝑎𝑛.
(2)当𝑓(𝑛)为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：当递推式为𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑟𝑞𝑛（𝑞≠0）且𝑝≠𝑞时，可设𝑏𝑛= 𝑎𝑛+ 𝜆𝑞𝑛，比较𝑏𝑛+1 = 𝑝𝑏𝑛得
𝜆=
𝑟
𝑝−𝑞，从而把数列{𝑏𝑛}化为以𝑝为公比的等比数列；若𝑝= 𝑞，则该常数𝜆不能按此法确定，应改
用法二中除以𝑞𝑛后转化为等差数列的处理．
法二：递推公式为𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑟𝑞𝑛（其中𝑝, 𝑞, 𝑟均为常数，𝑞≠0）时，先在原递推公式两边同时除
以𝑞𝑛+1，得𝑎𝑛+1
𝑞𝑛+1 = 𝑝
𝑞⋅𝑎𝑛
𝑞𝑛+ 𝑟
𝑞．引入辅助数列𝑏𝑛= 𝑎𝑛
𝑞𝑛，可化为𝑏𝑛+1 = 𝑝
𝑞𝑏𝑛+ 𝑟
𝑞，再按加减常数构造
法求解；特别地，当𝑝= 𝑞时，有𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛+ 𝑟
𝑞，此时按等差数列处理，不能继续套用“加减常数构造
等比数列”．
典例4 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 3 , 𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛+ 𝑛−3，则其前𝑛项和𝑆𝑛=
．
变式4 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = 3，𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛−2𝑛+ 3，𝑛∈𝑁∗，𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前项和，则数列{𝑎𝑛}
的通项公式𝑎𝑛=
；𝑆8 =
.
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
高二数理进阶
在限制中寻找自由
Page 165
题型5
取倒数构造
题型点拨
形如𝑎𝑛+1 = 𝑚
𝑎𝑛
𝑝𝑎𝑛+ 𝑞的递推式，在𝑚≠0、𝑎𝑛≠0、𝑎𝑛+1 ≠0且𝑝𝑎𝑛+ 𝑞≠0时，可取倒数：
1
𝑎𝑛+1
=
𝑝
𝑚+ 𝑞
𝑚⋅1
𝑎𝑛
，转化为线性递推求1
𝑎𝑛
，再求𝑎𝑛．
典例5 (25 −26 ⋅甘肃白银）已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = 1 , 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛(𝑛≥2 , 𝑛∈𝑁∗)，
则𝑎10 =
（ ）
A. 1
7
B. 1
10
C. 1
9
D. 1
8
变式5 (25 −26 ⋅河南）数列{𝑎𝑛}中，若𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛
1 + 2𝑎𝑛
，则1
𝑎10
=
．
题型6
其他形式构造
题型点拨
1、形如𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛= 𝑝𝑎𝑛−1𝑎𝑛（𝑝为常数且𝑝≠0）的递推式：作除法前须保证𝑎𝑛−1𝑎𝑛≠0．两边同除
以𝑎𝑛−1𝑎𝑛，转化为1
𝑎𝑛
−
1
𝑎𝑛−1
= 𝑝，从而得到数列{ 1
𝑎𝑛
}为等差数列，再求𝑎𝑛；
2、形如 𝑎𝑛+2 = 𝑝𝑎𝑛+1 + 𝑞𝑎𝑛 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列 {𝑎𝑛−𝑎𝑛−1} 的形式求解．
方法为：设 𝑎𝑛+2 −𝑘𝑎𝑛+1 = ℎ(𝑎𝑛+1 −𝑘𝑎𝑛)，比较系数得 ℎ+ 𝑘= 𝑝, −ℎ𝑘= 𝑞，可解得 ℎ, 𝑘，于是
{𝑎𝑛+1 −𝑘𝑎𝑛} 是公比为 ℎ 的等比数列，这样就化归为 𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑞 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可
用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式𝑎𝑛.
高二数理进阶
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
Page 166
在边界处检验答案
典例6 (25 −26 ⋅四川成都）在数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1 = 1，且满足𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛= 3 ⋅2𝑛，设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项
和𝑆𝑛，则𝑎𝑛=
，𝑆9 =
．
变式6 已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 = 1，对∀𝑘∈𝑁∗, 𝑎2𝑘= 𝑎2𝑘−1 + 2 , 𝑎2𝑘+1 = 2𝑎2𝑘，则𝑎99 =
（ ）
A. 250 −4
B. 251 −4
C. 5 ⋅249 −4
D. 5 ⋅250 −4
题型7
递推法
题型点拨
若已知数列的前𝑛项和𝑆𝑛与𝑎𝑛的关系，
求数列{𝑎𝑛}的通项𝑎𝑛可用公式𝑎𝑛= {𝑆1
(𝑛= 1)
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
(𝑛≥2) 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即𝑎1和𝑎𝑛合
为一个表达，（要先分𝑛= 1和𝑛≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
典例7 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，满足2𝑆𝑛= 3𝑎𝑛−1，则𝑆5 =
.
变式7 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = 1，𝑎𝑛> 0，前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎𝑛= √𝑆𝑛+ √𝑆𝑛−1(𝑛∈𝑁∗, 𝑛≥2)，则
𝑎𝑛=
.
变式8 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 + 2𝑎2 + 3𝑎3 + ⋯+ 𝑛𝑎𝑛= 2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，若𝑏𝑛= 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+2，则数列
{𝑏𝑛}的前10项和为
（ ）
A. 11
12
B. 11
24
C. 175
66
D. 175
132
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
高二数理进阶
在对称处减少复杂
Page 167
练
强化训练
Targeted Practice
1. (25 −26 ⋅浙江）设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆𝑛= 2𝑎𝑛−2𝑛，则
（ ）
A. 5𝑎8 > 4𝑎9
B. 5𝑎8 < 4𝑎9
C. 5𝑆8 > 4𝑎9
D. 5𝑆8 < 4𝑎9
2. (25 −26 ⋅广东佛山）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1 = 4𝑎𝑛−12𝑛+ 4，且𝑎1 = 4，若𝑎𝑘= 2024，则
𝑘=
（ ）
A. 253
B. 506
C. 1012
D. 2024
3. 已知数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1 = 1
2，且满足𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛
2 −𝑎𝑛
，若1
𝑎1
+ 1
𝑎2
+ 1
𝑎3
+ ⋅⋅⋅+ 1
𝑎𝑛
< 1000，则
满足条件的最大整数𝑛=
（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
4. (25 −26 ⋅江苏苏州）数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 + 2𝑎2 + 3𝑎3 + ⋯+ 𝑛𝑎𝑛= 2𝑛−1(𝑛∈𝑁, 𝑛≥1)，则数
列{ 𝑎𝑛
𝑛+ 2}的前9项和为
（ ）
A. 161
165
B. 106
165
C. 49
66
D. 72
55
5. (25 −26 ⋅宁夏银川）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 + 3𝑎2 + ⋅⋅⋅+3𝑛−1𝑎𝑛= 𝑛⋅3𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，设数列
{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则下列结论错误的是
（ ）
A. 数列{𝑎𝑛}为等差数列
B. 𝑆𝑛= 3𝑛2 + 6𝑛
C. 数列{|𝑎𝑛−20|}的前20项和为284
D. 数列{(−1)𝑛𝑎𝑛}的前100项和为300
高二数理进阶
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
Page 168
在极端处显露规律
6. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且2𝑎𝑛= 3𝑆𝑛+ 2(𝑛∈𝑁∗)，则数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛=
.
7. 数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛，若𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 = 5𝑆𝑛(𝑛≥1)，则𝑎𝑛=
．
8. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛, 𝑆𝑛+1𝑆𝑛+ 𝑎𝑛+1 = 0 , 𝑎1 = 1，则𝑎10 =
.
9. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛+ 𝑛, 𝑎1 = 2，则𝑎𝑛=
．
10. 已知数列{𝑎𝑛}，下列结论正确的是
．
（1）若𝑎1 = 2 , 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑛+ 1，则𝑎20 = 211；
（2）若𝑎1 = 1 , 𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛+ 3，则𝑎𝑛= 2𝑛−1 −3；
（3）若𝑎1 = 1 , 𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛
1 + 3𝑎𝑛
，则𝑎𝑛=
1
3𝑛−2；
（4）若𝑎1 = 2 , 2(𝑛+ 1)𝑎𝑛−𝑛𝑎𝑛+1 = 0，则𝑎𝑛= 𝑛⋅2𝑛．
第 15 讲 累加、累乘、构造、递推求数列的通项公式
高二数理进阶
在等价处保证安全
Page 169
测
知识小测
Exit Quiz
1. (25 −26 ⋅河北石家庄）设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 4 , 𝑎𝑛+1 = 1
3𝑎𝑛+ 2，则𝑎100 =
（ ）
A. 3101 + 1
3100
B. 399 + 1
3100
C. 3101 + 1
399
D. 3100 + 1
399
2. (25 −26 ⋅安徽）设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛+ 𝑛= 2𝑎𝑛−1，则𝑎5 =
（ ）
A. 16
B. 31
C. 47
D. 63
3. (25 −26 ⋅湖北孝感）数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ log2(𝑛+ 1
𝑛
)，则𝑎8 =
（ ）
A. 2√2
B. 3
C. 4
D. 4√2
4. (25 −26 ⋅北京）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛= 𝑛2 + 𝑛+ 5，则𝑎1 =
，𝑎5 =
.
5. (25 −26 ⋅北京）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛=
1
𝑛(𝑛+ 1)，则𝑎4 =
（ ）
A. 3
4
B. 7
4
C. 4
5
D. 9
5
第 16 讲 等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
高二数理进阶
在反例处校正判断
Page 171
第 16 讲
等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
讲
题型精讲
Core examples
题型1
等差数列Sn 的最大值问题
题型点拨
1、公差𝑑< 0 ⇔{𝑎𝑛}为递减等差数列，𝑆𝑛有最大值；
2、在等差数列{𝑎𝑛}中
(1)若𝑎1 > 0, 𝑑< 0，则满足{𝑎𝑚≥0
𝑎𝑚+1 ≤0的项数𝑚使得𝑆𝑛取得最大值𝑆𝑚；
即若{𝑎1 > 0
𝑑< 0 ，则𝑆𝑛有最大值（所有正项或非负项之和）；
典例1 （25-26·云南曲靖）等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎3 + 𝑎7 = 20, 𝑎8 = 4，若𝑆𝑛为前𝑛项和，则𝑆𝑛最
大时，𝑛的值为
（ ）
A. 9或10
B. 8
C. 9
D. 10或11
变式1 （25-26·吉林）已知等差数列{𝑎𝑛}，𝑆𝑛为其前𝑛项和，且满足𝑆2024 > 0，𝑆2025 < 0，则
当𝑛=
时，𝑆𝑛最大.
（ ）
A. 1010
B. 1011
C. 1012
D. 1013
变式2 （25-26·江西）记等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎1 + 𝑎2 = 21, 𝑎3 + 𝑎4 = 16，则𝑆2𝑛最大时𝑛的
值为
．
高二数理进阶
第 16 讲 等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
Page 172
在回代处确认结果
题型2
等差数列Sn 的最小值问题
题型点拨
1、公差𝑑> 0 ⇔{𝑎𝑛}为递增等差数列，𝑆𝑛有最小值；
2、在等差数列{𝑎𝑛}中
若𝑎1 < 0, 𝑑> 0，则满足{𝑎𝑚≤0
𝑎𝑚+1 ≥0的项数𝑚使得𝑆𝑛取得最小值𝑆𝑚．
若{𝑎1 < 0
𝑑> 0 ，则𝑆𝑛有最小值（所有负项或非正项之和）．
典例2 （25-26·甘肃平凉）设𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑎15 > 0, 𝑎11 + 𝑎20 < 0，若
𝑆𝑘< 0(𝑘∈𝑁∗)，则𝑘的最小值为
（ ）
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
变式3 （多选）已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，公差为𝑑，前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1 = 2025, 𝑎2024
𝑎2025
<
−1，则
（ ）
A. 当𝑛= 2024时，𝑆𝑛取最大值
B. 使得𝑆𝑛> 0的𝑛的最大值为4048
C. 使得𝑆𝑛< 0的𝑛的最小值为4050
D. −4050
4047 < 𝑑< −2025
2024
变式4 （25-26·江西）已知𝑆𝑛是公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，数列{𝑆𝑛
𝑎𝑛
}是等差数列，𝑎1 = 2．
若𝑏𝑛= 𝑆𝑛−𝑎3𝑛，记𝑇𝑛是数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和，则𝑇𝑛的最小值为
．
第 16 讲 等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
高二数理进阶
思路先行，笔墨随后
Page 173
题型3
含绝对值求和问题
题型点拨
1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列{𝑎𝑛}加绝对值后得到的数列{|𝑎𝑛|}求和,设{𝑎𝑛}的前𝑛项和为
𝑆𝑛, {|𝑎𝑛|}的前𝑛项和为𝑇𝑛,数列{𝑎𝑛}的第𝑘项小于0而从第𝑘+ 1项开始大于或等于0,于是有 𝑇𝑛=
{−𝑆𝑛,
𝑛⩽𝑘
𝑆𝑛−2𝑆𝑘,
𝑛> 𝑘
2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列{𝑎𝑛}加绝对值后得到的数列{|𝑎𝑛|}求和,设{𝑎𝑛}的前𝑛项和为
𝑆𝑛, {|𝑎𝑛|}的前𝑛项和为𝑇𝑛,数列{𝑎𝑛}的第𝑘项大于0而从第𝑘+ 1项开始小于或等于0,于是有 𝑇𝑛=
{𝑆𝑛,
𝑛⩽𝑘
2𝑆𝑘−𝑆𝑛,
𝑛> 𝑘
典例3 （25-26·陕西西安）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= −𝑛2 + 10𝑛+ 2(𝑛∈𝑁∗).
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）设𝑇𝑛= |𝑎1| + |𝑎2| + |𝑎3| + ⋯+ |𝑎𝑛|，求𝑇𝑛.
变式5 （25-26·重庆）已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = −15, 𝑎2𝑛= 𝑎2
𝑛−1 + 8𝑛−72(𝑛≥2).
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式.
（2）记𝑏𝑛= |𝑎𝑛|，数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇𝑛.
变式6 （2025·江苏南京）已知数列{𝑎𝑛}满足3𝑎1 + 32𝑎2 + ⋯+ 3𝑛𝑎𝑛= 𝑛(𝑛∈𝑁∗)．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）记𝑏𝑛= |11 + log3 𝑎2𝑛|，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．
高二数理进阶
第 16 讲 等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
Page 174
章法在前，技巧在后
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·福建龙岩）（多选）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= 𝑛2 −11𝑛，则下列说法正确的是
（ ）
A. 𝑎2 = −8
B. 数列{𝑆𝑛
𝑛}是等差数列
C. 𝑆𝑛的最小值为−121
4
D. |𝑎1| + |𝑎2| + ⋯+ |𝑎20| = 240
2. （25-26·天津滨海新）（多选）设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项的和为𝑆𝑛，公差为𝑑，已知𝑎3 = 12，
𝑆12 > 0，𝑎7 < 0，则
（ ）
A. 𝑆5 = 60
B. −4 < 𝑑< −7
2
C. 𝑎6 > 0
D. 𝑆𝑛< 0时，𝑛的最小值为14
3. （25-26·浙江嘉兴）（多选）首项为正数，公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}，其前𝑛项和为𝑆𝑛，则下
列说法正确的是
（ ）
A. 若𝑆8 < 𝑆9，则𝑆9 < 𝑆10；
B. 若𝑆11 = 0，则𝑎2 + 𝑎10 = 0；
C. 若𝑆13 > 0, 𝑆14 < 0，则{𝑆𝑛}中𝑆7最大；
D. 若𝑆2 = 𝑆10，则使𝑆𝑛> 0的𝑛的最大值为11
第 16 讲 等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
高二数理进阶
取舍有据，推进有序
Page 175
4. （25-26·河北）（多选）已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎3 + 𝑎16 < 0, 𝑆17 > 0，则
（ ）
A. {𝑎𝑛}是递减数列
B. |𝑎8| > |𝑎10|
C. 当𝑛= 10时，𝑆𝑛取得最小值
D. 当𝑛= 9时，𝑆𝑛取得最大值
5. （25-26·江苏常州）（多选）设𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑆15 < 0，𝑎7
𝑎8
< −1，则
（ ）
A. 𝑑< 0
B. |𝑎𝑛|中最小值为|𝑎8|
C. 当𝑆𝑛取得最大值时，𝑛= 7
D. 使𝑆𝑛> 0成立的最大整数𝑛为15
6. （25-26·山东菏泽）（多选）若数列{𝑎𝑛}为等差数列，𝑆𝑛为前𝑛项和，𝑆5 < 𝑆6，𝑆6 = 𝑆7，
𝑆7 > 𝑆8，下列说法中正确的有
（ ）
A. 𝑑< 0
B. 𝑎5 < 0
C. 𝑆6和𝑆7均为𝑆𝑛的最大值
D. 𝑆9 > 𝑆5
7. （多选）已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，𝑎1 = −10，{𝑆𝑛
𝑛}是公差为1的等差数列，则
（ ）
A. 𝑆2 = −18
B. 当且仅当𝑛= 6时，𝑆𝑛取得最小值
C. 𝑎𝑛= 2𝑛−12
D. 数列{
𝑎𝑛
2𝑛−11}中第5项的值最大
高二数理进阶
第 16 讲 等差数列中的Sn 范围与含绝对值求和
Page 176
问题有根，解法有源
8. （25-26·甘肃兰州）（多选）已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆26 < 𝑆24 < 𝑆25，则
（ ）
A. 数列{𝑎𝑛}是递减数列
B. 当𝑛= 25时，𝑆𝑛最大
C. 使得𝑆𝑛< 0成立的最小自然数𝑛= 52
D. {𝑆𝑛
𝑎𝑛
}中的最小项为𝑆25
𝑎25
9. （25-26·甘肃兰州）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1 = 18，𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛+ 𝑎𝑛−2.
（1）求证：数列{𝑎𝑛}是等差数列；
（2）记𝑏𝑛= |𝑎𝑛|，求数列{𝑏𝑛}的前22项和.
10. （25-26·天津和平）记等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑎1 = 4, 𝑆8 = 4
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）求𝑆𝑛的最大值以及取得最大值时的𝑛的值；
（3）求{|𝑎𝑛|}的前𝑛项和𝑇𝑛．
第 17 讲 数列求和问题
高二数理进阶
由形入理，由理返形
Page 177
第 17 讲
数列求和问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
裂项求和基础型
题型点拨
基础原理：𝑚
𝑝𝑞=
𝑚
𝑞−𝑝(1
𝑝−1
𝑞)，如：
1
2 × 4 =
1
4 −2(1
2 −1
4)；
基本题型：①
1
𝑛(𝑛+ 1) = 1
𝑛−
1
𝑛+ 1；②
1
(2𝑛−1)(2𝑛+ 1) = 1
2(
1
2𝑛−1 −
1
2𝑛+ 1)；
注意（避免掉坑）
①分母分解因式：
1
𝑛2 + 3𝑛=
1
𝑛(𝑛+ 3) = 1
3(1
𝑛−
1
𝑛+ 3)；
②系数不相同就提系数：
1
𝑛(2𝑛+ 4) = 1
2 ⋅
1
𝑛(𝑛+ 2) = 1
2 ⋅1
2(1
𝑛−
1
𝑛+ 2)；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察消项后剩余的首尾项
（或正、负项）的对应关系.
(1)
1
𝑛(𝑛+ 𝑘) = 1
𝑘(1
𝑛−
1
𝑛+ 𝑘) ；
(2)
1
(2𝑛−1)(2𝑛+ 1) = 1
2(
1
2𝑛−1 −
1
2𝑛+ 1) ；
(3)
1
𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) = 1
2[
1
𝑛(𝑛+ 1) −
1
(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)] ；
分式型分子裂差法
形如
𝑓(𝑛)
𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1
型，如果𝑓(𝑛) = 𝜆(𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛)，则可以分子裂差：
𝑓(𝑛)
𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1
= 𝜆(𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛)
𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1
=
𝜆( 1
𝑎𝑛
−
1
𝑎𝑛+1
)
高二数理进阶
第 17 讲 数列求和问题
Page 178
以简驭繁，以稳致远
典例1 （25-26·广东佛山）已知{𝑎𝑛}是首项为1的等比数列，数列{𝑏𝑛}满足𝑏1 = 3, 𝑎𝑛𝑏𝑛−𝑎𝑛= 𝑛𝑎𝑛+1．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）设𝑐𝑛=
2
𝑏𝑛𝑏𝑛+1
，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．
变式1 （25-26·湖南）已知等比数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，首项𝑎1 = 3，𝑆𝑛为其前𝑛项和，且𝑆1 + 3𝑆2 =
𝑆3．
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）𝑏𝑛= log3 𝑎𝑛，𝑐𝑛=
1
𝑏𝑛𝑏𝑛+2
，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．
题型2
裂项求和根式、指数型
题型点拨
(1)
1
√𝑛+ 𝑘+ √𝑛
= 1
𝑘(√𝑛+ 𝑘−√𝑛)
(2)
2𝑛
(2𝑛+1 −1)(2𝑛−1) = (2𝑛+1 −1) −(2𝑛−1)
(2𝑛+1 −1)(2𝑛−1)
=
1
2𝑛−1 −
1
2𝑛+1 −1
(3)
3𝑛
(3𝑛−1)(3𝑛+1 −1) = 1
2(
1
3𝑛−1 −
1
3𝑛+1 −1)
(4)
𝑛+ 2
𝑛(𝑛+ 1) ⋅2𝑛= 2(𝑛+ 1) −𝑛
𝑛(𝑛+ 1) ⋅2𝑛= (2
𝑛−
1
𝑛+ 1) ⋅1
2𝑛=
1
𝑛⋅2𝑛−1 −
1
(𝑛+ 1) ⋅2𝑛
第 17 讲 数列求和问题
高二数理进阶
不急求答案，先求关系清楚
Page 179
典例2 已知各项都是正数的数列{𝑎𝑛}，其前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 1，且𝑆𝑛−√𝑆𝑛= (𝑎𝑛+ 1)(𝑎𝑛−1)
4
.
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）若𝑏𝑛= √𝑎𝑛+ √𝑎𝑛+1，求证：1
𝑏1
+ 1
𝑏2
+ ⋯+
1
𝑏24
= 3.
变式2 数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=
1
𝑛√𝑛+ 1 + (𝑛+ 1)√𝑛
，则这个数列的前63项之和为
（ ）
A. 8
9
B. 7
9
C. 7
8
D. 9
10
题型3
错位相减求和
题型点拨
(1)适用条件
若{𝑎𝑛}是公差为𝑑(𝑑≠0)的等差数列，{𝑏𝑛}是公比为𝑞(𝑞≠1)的等比数列，求数列{𝑎𝑛⋅𝑏𝑛}的前𝑛项和
𝑆𝑛．
(2)基本步骤
(3)注意事项
①在写出𝑆𝑛与𝑞𝑆𝑛的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出𝑆𝑛−𝑞𝑆𝑛；
高二数理进阶
第 17 讲 数列求和问题
Page 180
不滥用技巧，先确认条件适配
典例3 （25-26·湖南长沙）已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎2 + 𝑎10 = 12，𝑎8 = 8，数列{𝑏𝑛}满足𝑏1 = 1，
𝑏𝑛+1 = 2𝑎𝑛+ 𝑏𝑛．
（1）求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；
（2）设𝑐𝑛=
𝑎𝑛
𝑏𝑛+ 1，数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求证：1
2 ≤𝑆𝑛< 2．
变式3 （25-26·北京）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛= 3𝑛−1，数列{𝑏𝑛}满足，𝑏1 = −1，𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛+
(2𝑛−1)(𝑛∈𝑁+).
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛；
（2）求数列{𝑏𝑛}的通项公式𝑏𝑛；
（3）若𝑐𝑛= 𝑎𝑛⋅𝑏𝑛
2𝑛
，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.
题型4
分组、并项求和
题型点拨
并项求和法：一个数列的前𝑛项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
典例4 （25-26·江苏苏州）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛= 2𝑎𝑛−1 + 2𝑛−1(𝑛≥2)，且𝑎4 = 81．
（1）证明：数列{𝑎𝑛−1
2𝑛
}是等差数列，并求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．
第 17 讲 数列求和问题
高二数理进阶
不迷信经验，先完成逻辑闭环
Page 181
变式4 已知数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1 = 1，𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+1 = 3 × 2𝑛．
（1）求证：{𝑎𝑛−2𝑛}是等比数列；
（2）求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛；
（3）令𝑏𝑛=
𝑛2
𝑎𝑛−(−1)𝑛，求数列{𝑏𝑛}的最大项．
题型5
倒序相加求和
题型点拨
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可
用倒序相加法（等差数列前𝑛项和公式的推导即用此方法）．
典例5 （25-26·福建漳州）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1 + 2 +
3 + ⋯+ 100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈
现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数𝑓(𝑥) =
2𝑥
3𝑘+ 6078（𝑘> 0），则
𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯+ 𝑓(𝑘+ 2025)等于
（ ）
A. 𝑘+ 2025
3
B. 2𝑘+ 6078
3
C. 2𝑘+ 6078
6
D. 𝑘+ 2025
6
变式5 （25-26·黑龙江哈尔滨）若等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎1013 = 1
2，则
1
4𝑎1 + 2 +
1
4𝑎2 + 2 + ⋯+
1
4𝑎2025 + 2 =
（ ）
A. 2025
B. 2025
2
C. 2025
4
D. 2025
8
高二数理进阶
第 17 讲 数列求和问题
Page 182
不放过端点，不忽略定义域
练
强化训练
Targeted Practice
1. （25-26·广东佛山）已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且2𝑆𝑛= 𝑎𝑛+1 −1.
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）求数列{𝑆𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.
2. （25-26·福建龙岩）设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆𝑛= 𝑛2 + 𝑛，{𝑏𝑛}是等比数列，𝑏1 = 1，𝑏2 = 𝑎2𝑎3
8
.
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）求数列{ 1
𝑆𝑛
+ 𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.
3. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1 = 3，𝑎3 = 15，且数列{𝑎𝑛
𝑛}为等差数列．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）记𝑆𝑛为数列{ 1
𝑎𝑛
}的前𝑛项和，证明：𝑆𝑛< 3
4．
4. （25-26·浙江温州）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛= 2𝑛+1 −2.
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）令𝑏𝑛=
𝑎𝑛
(𝑎𝑛−1) ⋅(𝑎𝑛+1 −1)，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.
第 17 讲 数列求和问题
高二数理进阶
看见结构，才有速度
Page 183
5. （25-26·湖南邵阳）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 5，𝑎𝑛+1 −2𝑎𝑛= 3𝑛（𝑛∈𝑁∗），记𝑏𝑛= 𝑎𝑛−3𝑛.
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项；
（2）设𝑐𝑛= 2𝑛+ 1
𝑏𝑛
，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛.
6. （25-26·广西北海）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 4, 𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛−2．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）若𝑏𝑛= 2(𝑎𝑛−1)
𝑎𝑛𝑎𝑛+1
，记数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求证：𝑇𝑛< 1
4．
7. （25-26·福建厦门）已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎2 + 𝑎10 = 12, 𝑎8 = 8，数列{𝑏𝑛}满足𝑏1 = 1, 𝑏𝑛+1 = 2𝑎𝑛+
𝑏𝑛.
（1）求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；
（2）设𝑐𝑛=
𝑎𝑛
𝑏𝑛+ 1，数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求𝑆𝑛.
8. 记𝑆𝑛, 𝑇𝑛分别为数列{𝑎𝑛}, {𝑏𝑛}的前𝑛项和，已知9𝑆𝑛= 12𝑎𝑛−4𝑛+1 + 4，且𝑏𝑛=
2𝑛
2√𝑎𝑛+ √𝑎𝑛+1
．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）证明：2𝑇𝑛≥√2 −1．
高二数理进阶
第 17 讲 数列求和问题
Page 184
守住前提，才有推广
9. （25-26·江苏盐城）已知等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，且𝑑≠0，设𝑆𝑛为{𝑎𝑛}的前𝑛项和，数列{𝑏𝑛}满足
𝑏𝑛= 2𝑆𝑛−𝑛(𝑛∈𝑁∗).
（1）若𝑎1 = −1，𝑑= 1，且𝑏𝑛< 𝑎𝑛，求𝑛；
（2）若数列{√𝑏𝑛}也是公差为𝑑的等差数列
①求数列{𝑏𝑛}的通项公式；
②求数列{(−1)𝑛𝑏𝑛}的前2𝑛项和𝑇2𝑛.
10. （25-26·江苏苏州）已知函数𝑓(𝑥) = lg 20 −10𝑥
1 + 𝑥
，数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛= 𝑓( 1
2𝑛) + 𝑓( 2
2𝑛) + 𝑓( 3
2𝑛) + ⋯
+𝑓(2𝑛−1
2𝑛
).
（1）求证：𝑓(𝑥) + 𝑓(1 −𝑥)为定值，并求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）记数列{
1
𝑎𝑛𝑎𝑛+1
}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求证：1
3 ≤𝑇𝑛< 1
2．
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·北京顺义）已知等比数列{𝑎𝑛}为递增数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 3，𝑆3 = 21.
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）若数列{𝑏𝑛−𝑎𝑛}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{𝑏𝑛}的通项公式及前𝑛项和𝑇𝑛.
第 17 讲 数列求和问题
高二数理进阶
写清理由，才有说服
Page 185
2. （25-26·福建厦门）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 2, 𝑎𝑛= 𝑛(𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛)(𝑛∈𝑁∗)．
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）设𝑏𝑛=
1
𝑎2𝑛−1，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛．
3. （25-26·河南）已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且2𝑎3 + 𝑎4 = 46，𝑆8 = 160．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式和𝑆𝑛；
（2）若𝑏𝑛= 1
𝑆𝑛
，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．
4. （25-26·江西南昌）已知等差数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 = 2，且𝑎1，𝑎2，𝑎4成等比数列．
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）若等差数列{𝑎𝑛}的公差不为零，且数列{𝑏𝑛}满足：𝑏𝑛=
1
√1
2𝑎𝑛+ √1
2𝑎𝑛+1
，求数列{𝑏𝑛}的前99项和
𝑇99.
5. 已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 2𝑛(𝑛∈𝑁∗).
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）设数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑏𝑛= 𝑎𝑛+ 1
𝑎𝑛𝑎𝑛+1
，求证：𝑆𝑛< 1.
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
高二数理进阶
学会选择，也学会舍弃
Page 187
第 18 讲
数列中的奇偶项问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
等差数列中的奇偶项性质
题型点拨
等差数列中
①若项数为偶数2𝑛，则𝑆2𝑛= 𝑛(𝑎1 + 𝑎2𝑛) = 𝑛(𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+1)；𝑆偶−𝑆奇= 𝑛𝑑；
𝑆奇
𝑆偶
=
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1
．
②若项数为奇数2𝑛−1，则𝑆2𝑛−1 = (2𝑛−1)𝑎𝑛；𝑆奇−𝑆偶= 𝑎𝑛；
𝑆奇
𝑆偶
=
𝑛
𝑛−1．
典例1 （25-26·天津）等差数列{𝑎𝑛}共2𝑛+ 1项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则𝑛=
．
变式1 若等差数列{𝑎𝑛}的项数为2𝑛+ 1，则𝑆2𝑛+1 = (2𝑛+ 1)𝑎𝑛+1,𝑆偶−𝑆奇= −𝑎𝑛+1,
𝑆偶
𝑆奇
=
．
题型2
等比数列中的奇偶项性质
题型点拨
等比数列{𝑎𝑛}中，若项数为2𝑛，则
𝑆偶
𝑆奇
= 𝑞；若项数为2𝑛+ 1，则
𝑆奇−𝑎1
𝑆偶
= 𝑞．
高二数理进阶
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
Page 188
把题做薄，把法做深
典例2 若等比数列{𝑎𝑛}共有2𝑛项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{𝑎𝑛}的所有项之和为
．
变式2 （25-26·重庆）若等比数列 {𝑎𝑛} 共有奇数项，且所有奇数项和 𝑆奇= 255 ，所有偶数项和 𝑆偶=
−126 ， 末项是192，则公比 𝑞=
.
题型3
求和问题中的奇偶项处理
题型点拨
1、项数问题
①数列项数是2𝑛项，那么奇数和偶数分别是𝑛项；
②数列项数是2𝑛+ 1项，那么奇数为𝑛+ 1项，偶数为𝑛项；
③当项数是𝑛项时，要分𝑛为奇数和𝑛为偶数；
2、常见类型
①𝑐𝑛= {𝑎𝑛, 𝑛为奇数
𝑏𝑛, 𝑛为偶数，求𝑇2𝑛的值；则𝑇2𝑛= (𝑎1 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎2𝑛−1) + (𝑏2 + 𝑏4 + ⋯+ 𝑏2𝑛)
②𝑐𝑛= {𝑎𝑛, 𝑛为奇数
𝑏𝑛, 𝑛为偶数，求𝑇𝑛的值
(1)𝑛为奇数时，有𝑛+ 1
2
个奇数项，有𝑛−1
2
个偶数项，则𝑇𝑛= (𝑎1 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛) + (𝑏2 + 𝑏4 + ⋯+
𝑏𝑛−1)
(2)𝑛为偶数时，有𝑛
2个奇数项，有𝑛
2个偶数项，则𝑇𝑛= (𝑎1 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛−1) + (𝑏2 + 𝑏4 + ⋯+ 𝑏𝑛)
3、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题：𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑛)或𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑛)
②含有(−1)𝑛类型
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
高二数理进阶
让复杂回到基本关系
Page 189
典例3 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 2，𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 2𝑛+1，求数列{𝑎𝑛}的通项公式．
变式3 （25-26·浙江绍兴）已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2 + 𝑎10 = 22, 𝑎8 = 15，等比数列{𝑏𝑛}中，𝑏1 =
𝑎2, 𝑏4 = 𝑎40 + 2.
（1）求数列{𝑏𝑛}的通项公式；
（2）记𝑐𝑛= {𝑎𝑛, 𝑛为奇数
𝑏𝑛, 𝑛为偶数，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项的和𝑆𝑛.
高二数理进阶
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
Page 190
让答案经得起追问
练
强化训练
Targeted Practice
1. 已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公
比为
（ ）
A. 8
B. −2
C. 4
D. 2
2. （25-26·江苏连云港）（多选）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1 = 1，𝑎2 = 2，𝑎𝑛+1 +
𝑎𝑛= 3𝑛，则
（ ）
A. 𝑎4 = 5
B. 𝑆20 = 300
C. 𝑆31 = 720
D. 𝑛为奇数时，𝑆𝑛= 3𝑛2 + 1
4
3. （25-26·云南保山）等比数列{𝑎𝑛}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为85
32，偶数项之和为21
16，则
这个等比数列的公比𝑞=
.
4. 已知等差数列{𝑎𝑛}的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为
；项
数为
．
5. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛= −3𝑛(𝑛∈𝑁∗)，记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆𝑛= −192，则
𝑛=
.
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
高二数理进阶
心中有序，笔下有解
Page 191
6. （25-26·福建龙岩）已知数列{𝑎𝑛}, 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 2，前𝑛项和为𝑆𝑛，
（1）若{𝑎𝑛}是等差数列，求数列{
1
𝑎𝑛𝑎𝑛+1
}的前𝑛项和𝑇𝑛；
（2）若𝑎𝑛= {𝑛, 𝑛为奇数
2𝑛−1, 𝑛为偶数, (𝑛∈𝑁∗)，求𝑆2𝑛；
7. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，𝑎2 = 2，𝑎𝑛+2 −𝑎𝑛= 3.
（1）求𝑎2𝑛；
（2）当𝑛为奇数时，求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛.
8. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛= {6𝑛−1, 𝑛为奇数
2𝑛, 𝑛为偶数
求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．
高二数理进阶
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
Page 192
以理为舟，向深处行
9. （25-26·江苏苏州）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1 = {2𝑎𝑛, 𝑛为奇数
𝑎𝑛+ 1, 𝑛为偶数，𝑎1 = 1，前𝑛项和为𝑆𝑛．
（1）求证：数列{𝑎2𝑛+ 2}是等比数列；
（2）求𝑆𝑛；
（3）记𝑏𝑛= 𝑆2𝑛，数列{𝑏𝑛}中是否存在不同的3项𝑏𝑚、𝑏𝑘、𝑏𝑝（其中𝑚、𝑘、𝑝成等差数列）成等差数列？
若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
10. （25-26·福建厦门）已知数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，其前𝑛项和为𝑆𝑛，且2√𝑆𝑛= 𝑎𝑛+ 1.数列{𝑏𝑛}满足
𝑏𝑛= {𝑎𝑛+ 1, 𝑛为奇数
3𝑎𝑛, 𝑛为偶数
，其前𝑛项和为𝑇𝑛.
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）若𝑇𝑛−𝑆𝑛> 𝜆𝑛对任意𝑛∈𝑁∗恒成立，求实数𝜆的取值范围.
第 18 讲 数列中的奇偶项问题
高二数理进阶
静水流深，笃行致远
Page 193
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·江苏苏州）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项
的和为261.则此数列的项数为
（ ）
A. 10
B. 19
C. 21
D. 29
2. （25-26·四川南充）等差数列{𝑎𝑛}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11 :
9，则公差𝑑的值是
（ ）
A. −8
B. 4
C. 8
D. 9
3. 已知一个项数为偶数的等比数列{𝑎𝑛}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，
则𝑎1 =
（ ）
A. 1
B. 4
C. 12
D. 36
4. 已知一个项数为𝑛的等差数列{𝑎𝑛}，设其前𝑛项和为𝑆𝑛，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为
360，公差𝑑= −8，则当𝑛为偶数时，此数列首尾两项之和为
．
5. 若等比数列{𝑎𝑛}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为
，项数为
．
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
于细微处见秩序
Page 195
第 19 讲
数列中的特殊模型、不等式与归纳法
讲
题型精讲
Core examples
题型1
杨辉三角中的数列
题型点拨
1、第2 斜列是自然数列
2、第3 斜列是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．
3、每一行的数字之和是一个2倍增长的数列
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 196
让推理先于答案
典例1 （多选）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的
数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第𝑛行的所有
数字之和为2𝑛−1，若去除所有为1的项，依次构成数列{𝑎𝑛}：
2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 4 , 5 , 10 , 10 , 5 , ⋯，则下列说法正确的是
（ ）
A. 𝑎12 = 𝑎14
B. 𝑆15 = 104
C. 第𝑛2 −𝑛+ 2
2
项为𝑛+ 1 , 𝑛∈𝑁∗
D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1 , 3 , 6 , 10 , 15 , …，得到其倒
数和𝑆，则𝑆= 1 + 1
3 + 1
6 + 1
10 + 1
15 + ⋅⋅⋅> 2
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
数形相证，虚实相生
Page 197
变式1 （25-26·福建）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此
可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由 “杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一
条斜线之和为𝑎1，第二条斜线之和为𝑎2，第三条斜线之和为𝑎3，以此类推，组成数列{𝑎𝑛}.例如𝑎1 =
1 , 𝑎2 = 1 , 𝑎3 = 1 + 1 , ⋯,若𝑎𝑘= 1 + ∑
2024
𝑛=1
𝑎2𝑛，则𝑘=
.
题型2
斐波那契数列
题型点拨
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … 称为斐波那契数列 ，一般记为{𝐹𝑛}。
2、斐波那契数列的递推公式
𝐹1 = 𝐹2 = 1 , 𝐹𝑛= 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2(𝑛≥3 , 𝑛为正整数）．
3、斐波那契数列的通项公式
通项公式：𝐹𝑛= √5
5 ×
[(
1 + √5
2
)
𝑛
−
(
1 −√5
2
)
𝑛
]
4、斐波那契数列的性质（通项公式𝑎𝑛,前𝑛项和𝑆𝑛)
(1)𝑆𝑛= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛= 𝑎𝑛+2 −1 ；
(2)𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + ⋯+ 𝑎2𝑛−1 = 𝑎2𝑛；
(3)𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯+ 𝑎2𝑛= 𝑎2𝑛+1 −1 ；
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 198
条件有界，思路有向
(4)𝑎3 + 𝑎6 + 𝑎9 + ⋯+ 𝑎3𝑛= 1
2(𝑎3𝑛+2 −1) ；
(5)𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛+2 = 3𝑎𝑛；
(6)𝑎𝑚+𝑛−1 = 𝑎𝑚𝑎𝑛+ 𝑎𝑚−1𝑎𝑛−1 ；
(7)𝑎2𝑛= 𝑎𝑛+1𝑎𝑛−𝑎𝑛𝑎𝑛−1 ；
(8)𝑎2𝑛+ 𝑎2
𝑛+1 = 𝑎2𝑛+1 ；
(9)𝑎2
1 + 𝑎2
2 + 𝑎2
3 + ⋯+ 𝑎2𝑛= 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 ；
(10)𝑎2𝑛
𝑎𝑛
= 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛+1
典例2 （25-26·上海）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 ,…，即𝑎1 = 𝑎2 = 1，𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2(𝑛≥3 , 𝑛∈𝑁)，
此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一
个新数列{𝑏𝑛}，则数列{𝑏𝑛}的前2026项的和为
（ ）
A. 1350
B. 676
C. 1351
D. 1352
变式2 （多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , …，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数
组成的数列{𝑎𝑛}称为“斐波那契数列”，记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，则下列结论正确的为
（ ）
A. 𝑎5 = 8
B. 𝑎𝑛+3 = 2𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛对∀𝑛∈𝑁+恒成立
C. 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5⋯+ 𝑎2023 = 𝑎2024
D. 𝑎2
1 + 𝑎2
2 + ⋯+ 𝑎2
2022
𝑎2022
= 𝑎2023
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
在变化中守住不变
Page 199
题型3
数列不等式
题型点拨
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题
相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利
用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1、常见放缩公式：
(1) 1
𝑛2 <
1
(𝑛−1)𝑛=
1
𝑛−1 −1
𝑛(𝑛≥2) ；
(2) 1
𝑛2 >
1
𝑛(𝑛+ 1) = 1
𝑛−
1
𝑛+ 1 ；
(3) 1
𝑛2 =
4
4𝑛2 <
4
4𝑛2 −1 = 2(
1
2𝑛−1 −
1
2𝑛+ 1) ；
(4) 1
√𝑛=
2
√𝑛+ √𝑛<
2
√𝑛−1 + √𝑛
= 2(−√𝑛−1 + √𝑛) (𝑛≥2) ；
(5) 1
√𝑛=
2
√𝑛+ √𝑛>
2
√𝑛+ √𝑛+ 1
= 2(−√𝑛+ √𝑛+ 1) ；
(6) 1
√𝑛=
2
√𝑛+ √𝑛<
2
√𝑛−1
2 + √𝑛+ 1
2
=
2√2
√2𝑛−1 + √2𝑛+ 1
= √2(−√2𝑛−1 + √2𝑛+ 1) ；
(7)
2𝑛
(2𝑛−1)2 =
2𝑛
(2𝑛−1)(2𝑛−1) <
2𝑛
(2𝑛−1)(2𝑛−2)
=
2𝑛−1
(2𝑛−1)(2𝑛−1 −1) =
1
2𝑛−1 −1 −
1
2𝑛−1(𝑛≥2) ；
(8)
1
2𝑛−1 <
2𝑛−1
(2𝑛−1 −1)(2𝑛−1) =
1
2𝑛−1 −1 −
1
2𝑛−1 (𝑛≥2) ．
(9)2(√𝑛+ 1 −√𝑛) =
2
√𝑛+ 1 + √𝑛
< 1
√𝑛<
2
√𝑛+ √𝑛−1
= 2(√𝑛−√𝑛−1) ．
典例3 （25-26·广西贺州）已知正项数列{𝑎𝑛}满足𝑎2𝑛= 𝑎2
𝑛−1 + 2𝑎𝑛−1 + 1（𝑛≥2且𝑛∈𝑁），𝑎1 = 1.
（1）求𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4；
（2）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（3）设{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝜆⋅𝑎𝑛
2 −𝑆𝑛≤2恒成立，求𝜆的取值范围．
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 200
在复杂中辨认结构
变式3 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1
4，𝑎𝑛，3
2𝑎𝑛+1，2𝑎𝑛𝑎𝑛+1成等差数列.
（1）求证：数列{ 1
𝑎𝑛
−1}是等比数列，并求出{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）记{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，证明：3
8[1 −(1
3)
𝑛
] ≤𝑆𝑛< 5
12.
变式4 已知首项为1的数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑛𝑆𝑛+1 −(𝑛+ 2)𝑆𝑛= 1
3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)．
（1）求𝑆𝑛及数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）数列{𝑎𝑛}中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说
明理由.
（3）若数列{𝑏𝑛}满足𝑎2𝑛+1 ⋅𝑏𝑛= 𝑎2𝑛，求证：𝑏1 ⋅𝑏2𝑏3⋯𝑏𝑛<
1
𝑛+ 1．
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
凡结论，必有来路
Page 201
题型4
数学归纳法
题型点拨
1、数学归纳法定义：对于某些与自然数𝑛有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
𝑛取第一个值𝑛0时命题成立；然后假设当𝑛= 𝑘（𝑘∈𝑁∗，𝑘≥𝑛0）时命题成立，证明当𝑛= 𝑘+ 1时
命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小正整数 𝑛0. 如果 𝑛= 𝑛0 时命题成立，再假设当 𝑛= 𝑘(𝑘≥𝑛0 , 𝑘为
正整数）时命题成立，根据这个假设，如能推出当 𝑛= 𝑘+ 1 时命题也成立，那么就可以递推出对所有
不小于 𝑛0 的正整数 𝑛0 , 𝑛0 + 1 , 𝑛0 + 2 , …，命题都成立．
2、运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当𝑛取第一个值𝑛0结论正确；
(2)假设当𝑛= 𝑘（𝑘∈𝑁∗，𝑘≥𝑛0）时结论正确，证明当𝑛= 𝑘+ 1时结论也正确
由(1),(2)可知，命题对于从𝑛0开始的所有正整数𝑛都正确
②用数学归纳法证题的注意事项
(1)弄错起始𝑛0．𝑛0不一定恒为1，也可能𝑛0 = 2或3(即起点问题）．
(2)对项数估算错误．特别是当寻找𝑛= 𝑘与𝑛= 𝑘+ 1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．
(3)没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明
过程也就不正确了（即伪证问题）．
(4)关键步骤含糊不清．“假设𝑛= 𝑘时结论成立，利用此假设证明𝑛= 𝑘+ 1时结论也成立”是数学归纳法
的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨
性、规范性（即规范问题）．
典例4 已知数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，且前𝑛项和𝑆𝑛= 1
2(𝑎𝑛+ 1
𝑎𝑛
)，试猜想{𝑎𝑛}的通项公式并证明．
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 202
凡转化，必问等价
变式5 （25-26·江苏盐城）设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，已知𝑎1 = −1，{𝑆𝑛
𝑛}是公差为3
2的等差数列.
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）设数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，且满足𝑇𝑛= 1 −𝑏𝑛.
①证明：{𝑏𝑛}是等比数列；
②设数列{
1
𝑎𝑛𝑎𝑛+1
}的前𝑛项和为𝐻𝑛，证明：1 + 𝐻𝑛≤𝑇𝑛< 1.
题型5
数列中的结构不良问题
典例5 （25-26·福建宁德）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，
.请在①𝑎1 = 2 , 𝑆𝑛+1 =
𝑛+ 2
𝑛+ 1𝑎𝑛+ 𝑆𝑛；②𝑎1 , 𝑎3 , 𝑎7成等比数列，𝑆𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑆𝑛+ 1两个条件中任选一个补充在上面横线中，
并解答下面问题.
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）记𝑇𝑛=
1
𝑎1 ⋅𝑎2
+
1
𝑎2 ⋅𝑎3
+ ⋯+
1
𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1
，求𝑇𝑛的取值范围.
变式6 （25-26·四川南充）设正项数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 1，且满足
．给出下列三
个条件：
①𝑎3 = 4，2 lg 𝑎𝑛= lg 𝑎𝑛−1 + lg 𝑎𝑛+1(𝑛≥2)； ②𝑆𝑛= 𝑚𝑎𝑛−1(𝑚∈𝑅)；
③2𝑎1 + 3𝑎2 + 4𝑎3 + ⋯+ (𝑛+ 1)𝑎𝑛= 𝑘𝑛⋅2𝑛(𝑘∈𝑅)．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）若𝑏𝑛= 3𝑛⋅log2 𝑎2𝑛+1，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛 ．
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
审题见边界，落笔见章法
Page 203
练
强化训练
Targeted Practice
1. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重
要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二
阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二
阶等差数列的前4项为：2 , 3 , 6 , 11，则该数列的第15项为
（ ）
A. 196
B. 197
C. 198
D. 199
2. （25-26·吉林）（多选）斐波那契数列(𝐹𝑖𝑏𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒)，又称黄金分割数列，因数学家莱
昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以𝑎𝑛=
𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2(𝑛≥3 , 𝑛∈𝑁)的递推方法定义，已知𝑎1 = 1，𝑎2 = 1，则
（ ）
A. 𝑎6
𝑎3
= 4
B. 3𝑎𝑛= 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛+2(𝑛≥3 , 𝑛∈𝑁∗)
C. 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + ⋯+ 𝑎2023 = 𝑎2024
D. 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯+ 𝑎2024 = 𝑎2025
3. （25-26·江苏南京）已知数列{𝑎𝑛}是递增的等比数列，前3项和为13，且𝑎1 + 2，3𝑎2，𝑎3 + 6成等差数
列，
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）数列{𝑏𝑛}的首项𝑏1 = 1，其前𝑛项和为𝑆𝑛，且
，若数列{𝑐𝑛}满足𝑐𝑛= 𝑎𝑛𝑏𝑛，求{𝑐𝑛}的前𝑛项和
𝑇𝑛．
在如下两个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
①𝑏𝑛= 𝑏𝑛−1 + 2（𝑛≥2，𝑛∈𝑁+）；
②3𝑆𝑛+ 𝑏𝑛= 4（𝑛∈𝑁+）．
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 204
思维贵清，表达贵准
4. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1 = 1 , 𝑎2 = 4 ,
请在①𝑆𝑛+1 + 𝑆𝑛−1 = 3𝑛+ 2𝑆𝑛(𝑛≥
2)；②{3𝑎𝑛−2𝑆𝑛}是公差为1的等差数列；③{𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛}是公比为3的等比数列，这三个条件中任选一
个补充在上面题干中，并解答下面问题.
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）在𝑎𝑛与𝑎𝑛+1之间插入𝑛个实数，使这𝑛+ 2个数依次组成公差为𝑑𝑛的等差数列，数列{ 1
𝑑𝑛
}的前𝑛项和
𝑇𝑛，证明：𝑇𝑛< 5
4.
5. （25-26·浙江绍兴）设𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且𝑆2 = 8 , 2𝑆𝑛= (𝑛+ 1)𝑎𝑛+ 𝑛−1.
（1）求𝑎𝑛；
（2）若不等式𝜆⋅2𝑛−𝑆𝑛> 0恒成立，求实数𝜆的取值范围.
6. （25-26·安徽）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，前𝑛项积为𝑇𝑛，满足𝑇𝑛= 1 −2𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)．
（1）求𝑇1，𝑇2和𝑇𝑛；
（2）证明：𝑛
2 −1
2 + (1
2)
𝑛+1
< 𝑆𝑛< 𝑛
2．
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
先立骨架，再铺细节
Page 205
7. 在数列{𝑎𝑛} , {𝑏𝑛}中，𝑎1 = 2 , 𝑏1 = 4，且𝑎𝑛, 𝑏𝑛，𝑎𝑛+1成等差数列，𝑏𝑛, 𝑎𝑛+1 , 𝑏𝑛+1成等比数列（𝑛∈
𝑁∗）．
（1）求𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4及𝑏2 , 𝑏3 , 𝑏4；
（2）根据计算结果，猜想{𝑎𝑛} , {𝑏𝑛}的通项公式，并用数学归纳法证明．
8. （25-26·福建莆田）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1 , 𝑎2 = 3，且对任意正整数𝑛≥3有𝑎𝑛= 3𝑎𝑛−1 −2𝑎𝑛−2，
数列{𝑏𝑛}满足𝑏1 = 1 , 𝑏𝑛= 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1(𝑛≥2)
（1）证明：数列{𝑏𝑛}是等比数列；
（2）设𝑐𝑛= 2𝑛−1
𝑏𝑛
，数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛；
①求𝑆𝑛；
②若不等式𝜆−
𝑛
2𝑛−2 < 𝑆𝑛对任意的正整数𝑛恒成立，求实数𝜆的取值范围．
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 206
一笔一式，皆有根据
9. 已知正项数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛= 𝑎𝑛(𝑎𝑛+ 2)
4
(𝑛∈𝑁∗)．
（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）求证：1
𝑎3
1
+ 1
𝑎3
2
+ 1
𝑎3
3
+ ⋯+ 1
𝑎3𝑛
< 5
32(𝑛∈𝑁∗)．
10. （25-26·广东深圳）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所
著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图
右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……
（1）设“三角垛”各层球数构成一个数列{𝑎𝑛}，观察发现杨辉三角中第3斜列即为数列{𝑎𝑛}；
1 , 3 , 6 , 10 , 15 , …，请写出𝑎𝑛与𝑎𝑛−1(𝑛∈𝑁∗, 𝑛≥2)的递推关系，并求出数列{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）记杨辉三角的第𝑛行所有数之和为𝑏𝑛，令𝑐𝑛= 2𝑎𝑛𝑏𝑛
𝑛+ 1 ，设𝑇𝑛为数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和．
(𝑖)求𝑇𝑛；
(𝑖𝑖)若∀𝑛∈𝑁∗, 𝑇𝑛+ 2𝑛+1 < 𝑚⋅3𝑛+1 + 2成立，求𝑚的取值范围．
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
高二数理进阶
求解不是试探，是组织
Page 207
测
知识小测
Exit Quiz
1. （25-26·福建龙岩）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的
三角形数阵，记𝑎𝑛为图中虚线上的数1 , 3 , 6 , 10，⋯构成的数列{𝑎𝑛}的第𝑛项，则𝑎2025 =
（ ）
A. 1014 × 2025
B. 1013 × 2025
C. 1013 × 2024
D. 1015 × 2026
2. （25-26·广西桂林）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三
角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，1
3，1
6，1
10，⋯，构成数列{𝑎𝑛}，其前𝑛项和为
𝑆𝑛，则𝑆31 =
（ ）
1
1 1
1 1
21
1 1
3
1
3
1
1 1
4
1
6
1
41
1 1
5
1
10
1
10
1
51
⋯
A. 31
16
B. 39
20
C. 31
32
D. 39
40
高二数理进阶
第 19 讲 数列中的特殊模型、不等式与归纳法
Page 208
把关系写成语言
3. （25-26·江西新余）数列{𝐹𝑛} : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , ⋯，称为斐波那契数列，又称
黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又
称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{𝐹𝑛}的前𝑛项和为
𝑆𝑛，则下列结论正确的是
（ ）
A. 𝐹2024 = 𝑆2022 + 1
B. 𝐹2024 = 𝑆2023 + 1
C. 𝑆2022 = 𝐹2024 + 2
D. 𝑆2023 = 𝐹2024 + 2
4. （25-26·福建）（多选）斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的
应用.斐波那契数列{𝑎𝑛}可以用如下方法定义：𝐹1 = 𝐹2 = 1，𝐹𝑛= 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2(𝑛≥3 , 𝑛∈
𝑁∗).则
（ ）
A. 𝐹12 = 145
B. 𝐹2𝑛= 𝐹𝑛𝐹𝑛+1 −𝐹𝑛𝐹𝑛−1
C. 𝐹2
1 + 𝐹2
2 + ⋯+ 𝐹2𝑛= 𝐹𝑛𝐹𝑛+1
D. 𝐹1 + 𝐹2 + ⋯+ 𝐹𝑛= 𝐹𝑛+2 −𝐹2
5. （25-26·广东佛山）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层开始，第𝑛层从左到右的
数字之和记为𝑎𝑛，如𝑎1 = 1 + 1 = 2，𝑎2 = 1 + 2 + 1 = 4，…，则{𝑎𝑛}的前9项和𝑆9 =
.
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
高二数理进阶
把语言化为关系
Page 209
第 20 讲
数列中的新文化与新定义问题
讲
题型精讲
Core examples
题型1
数列中的新文化问题
题型点拨
解决数列与数学文化相交汇问题的关键
典例1 （25-26·广东江门）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们
根据沙粒或小石子所排列的形状把数分类，如图中第一行1 , 3 , 6 , 10称为三角形数，第二行的
1 , 4 , 9 , 16称为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是
（ ）
A. 100
B. 289
C. 1225
D. 1378
高二数理进阶
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
Page 210
从已知中取材
变式1 （25-26·河南）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生
日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为
前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽
略不计），需要经过的时间最少为
（ ）
A. 3天
B. 4天
C. 5天
D. 6天
变式2 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义
的函数𝑓(𝑥) = [𝑥]称为高斯函数，其中[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，如[2.3] = 2，[−1.9] = −2.
已知等差数列{𝑎𝑛}的第5项为5，前10项和为55，等比数列{𝑏𝑛}的第3项为4，第6项为32.若数列
{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，𝑐𝑛= [−log2(𝑇𝑛−1)]，则[𝑐1000] =
（ ）
A. −1009
B. −1010
C. −1011
D. −1012
题型2
数列中的新定义问题
题型点拨
一、新定义问题的方法和技巧
1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解得较为透彻；
3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
二、与数列有关的新定义问题的策略
1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的
情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的.
2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要
求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
高二数理进阶
向目标处搭桥
Page 211
典例2 （25-26·广东广州）设 𝑚 为正整数，数列 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎3𝑚+2 是公比不为 1 的等比数列，
若从中删去两项 𝑎𝑖 和 𝑎𝑗(𝑖< 𝑗)后剩余的 3𝑚 项可被平均分为 𝑚 组，且每组的 3 个数都能构成等
比数列，则称数列 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎3𝑚+2 是 (𝑖, 𝑗) −可分数列．现有下列 3 个命题：①数列
𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎5 是 (1 , 5) −可分数列；②数列 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎8 是 (2 , 5) −可分数列；③数列
𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎3𝑚+2(𝑚≥3)是 (6 , 9) −可分数列．其中是真命题的为
（ ）
A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ②③
变式3 （25-26·北京石景山）设{𝑎𝑛}为无穷数列，如果对于任意𝑛∈𝑁∗，都有𝑎𝑛+4 + 𝑎𝑛= 2𝑎𝑛+2，则称
数列{𝑎𝑛}具有性质𝑃.
（1）判断下列两个数列是否具有性质𝑃; (结论不需要证明）
①等差数列𝐴: 5 , 3 , 1…;②等比数列𝐵: 1 , 2 , 4 , …；
（2）已知数列{𝑎𝑛}具有性质𝑃，𝑎1 = 1，𝑎2 = 2，且由该数列所有项组成的集合{𝑎𝑛∣𝑛∈𝑁∗} = 𝑍，求
{𝑎𝑛}的通项公式.
变式4 （25-26·安徽宣城）设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若1
2 ≤𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
≤2(𝑛∈𝑁, 𝑛≥1)，则称{𝑎𝑛}
是“紧密数列”.
（1）已知数列{𝑎𝑛}是“紧密数列”，前4项依次为1，2
3，𝑥，8
27，求𝑥的取值范围;
（2）若数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= 1
4(𝑛2 + 3𝑛)，判断{𝑎𝑛}是否是“紧密数列”，并说明理由;
（3）设数列{𝑎𝑛}是公比为𝑞的等比数列.若数列{𝑎𝑛}与{𝑆𝑛}都是“紧密数列”，求𝑞的取值范围.
高二数理进阶
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
Page 212
用结构减轻运算
练
强化训练
Targeted Practice
1. 在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数
列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或
者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为1､3､6､10､15､21､28､36，则该数列的
第50项为
（ ）
A. 1275
B. 1596
C. 1597
D. 1598
2. （25-26·江苏泰州）若𝑎0 ∈𝑁, 𝑎𝑖∈𝑁∗(𝑖∈𝑁∗)，则称表达式𝑎0 +
1
𝑎1 +
1
𝑎2 +
1
𝑎3 +
1
⋱+ 1
𝑎𝑛
为𝑛阶有限连分数，通常记为[𝑎0; 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯, 𝑎𝑛]，则[1; 1 , 1 , 1 , 1] =
（ ）
A. 5
3
B. 8
5
C. 13
8
D. 21
13
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
高二数理进阶
用定义校准直觉
Page 213
3. 如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、
两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九
枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两= 24铢，1斤= 16两），且按从小到大的顺
序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2 , 5 , 7枚
铜环权的质量和，则该物体的质量为
（ ）
A. 2两4铢
B. 2两14铢
C. 3两2铢
D. 3两12铢
4. （25-26·上海奉贤）对于数列{𝑎𝑛}，若存在实数𝑝, 𝑞，使得 𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛+ 𝑞 对任意正整数 𝑛 都
成立，则称数列{𝑎𝑛} 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性
数列，下列说法正确的是
（ ）
A. ①正确②正确
B. ①正确②错误
C. ① 错误②正确
D. ①错误②错误
5. 对于数列{𝑥𝑛}，若存在实数𝑀> 0，使得对一切正整数𝑛，恒有|𝑥𝑛| ≤𝑀成立，则称数列{𝑥𝑛}为
有界数列.设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则下列选项中，满足数列{𝑆𝑛}为有界数列的是
（ ）
A. 𝑎𝑛= 2𝑛+ 1
B. 𝑎𝑛= (−2)𝑛
C. 𝑎𝑛=
1
𝑛(𝑛+ 1)
D. 𝑎𝑛= (−1)𝑛𝑛2
高二数理进阶
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
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用图象照亮关系
6. （25-26·上海普陀）定义:对于任意𝑛∈𝑁∗，满足条件𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2
2
≤𝑎𝑛+1且𝑎𝑛≤𝑀(𝑀是与𝑛无关的常数)
的无穷数列{𝑎𝑛}称为𝑇数列.
（1）若𝑎𝑛= 2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，试举反例说明数列{𝑎𝑛}不是𝑇数列；
（2）若𝑏𝑛= −𝑛2 + 9𝑛(𝑛∈𝑁∗)，证明:数列{𝑏𝑛}是𝑇数列；
（3）设数列{𝑐𝑛}的通项为𝑐𝑛= 50𝑛−(3
2)
𝑛
，且数列{𝑐𝑛}是𝑇数列，求常数𝑀的取值范围.
7. （25-26·广东深圳）已知数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}，{𝑐𝑛}，𝑛∈𝑁∗，且𝑏𝑛= 𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛，𝑐𝑛= 𝑏𝑛+1 −𝑏𝑛，若
{𝑏𝑛}是一个非零常数列，则称{𝑎𝑛}是一阶等差数列；若{𝑐𝑛}是一个非零常数列，则称{𝑎𝑛}是二阶等差数
列.
（1）若𝑎1 = 1，𝑏1 = 3，𝑐𝑛= 2，试写出二阶等差数列{𝑎𝑛}的前4项，并求𝑎𝑛；
（2）若𝑎1 = 5，且满足𝑏𝑛+1 −𝑐𝑛= 2𝑎𝑛−4，
(𝑖)判断{𝑎𝑛}是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
(𝑖𝑖)记数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若不等式𝜆⋅3𝑛+ 2𝑆𝑛−4𝑎𝑛< 0对于∀𝑛∈𝑁∗恒成立，求实数𝜆的
取值范围.
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高二数理进阶
用代数守住严谨
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8. （25-26·四川宜宾）如图，曲线𝑦2 = 𝑥(𝑦≥0)下有一系列正三角形，设第𝑛个正三角形△𝑄𝑛−1𝑃𝑛𝑄𝑛
（𝑄0为坐标原点）的边长为𝑎𝑛．
（1）求𝑎1 , 𝑎2的值；
（2）记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，探究𝑎𝑛+1与𝑆𝑛的关系，并求数列{𝑎𝑛}的通项
公式；
（3）定义：若数列{𝑥𝑛}满足①{𝑥𝑛}是单调数列；②存在𝑀> 0，使得|𝑥𝑛| ≤𝑀，
则称数列{𝑥𝑛}收敛．令𝑏𝑛= 2
3𝑎𝑛
2
, 𝑐𝑛=
𝑏𝑛−1
𝑏𝑛(2𝑏𝑛−3)，记{𝑐𝑛}的前𝑛项和
为𝑇𝑛，证明：数列{𝑇𝑛}收敛．
9. （25-26·湖南长沙）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数列
{𝑎𝑛} , {𝑏𝑛}，定义无穷数列 𝑐𝑛= ∑
𝑛
𝑘=1
𝑎𝑘𝑏𝑛+1−𝑘(𝑛为正整数），记作“𝑐𝑛= 𝑎𝑛＊𝑏𝑛”(这里 ＊ 表示卷积记
号），称为 {𝑎𝑛} 与 {𝑏𝑛} 的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即 {𝑐𝑛} 中的项依次为所列数阵从左上角
开始各条对角线上元素的和，易知有交换律.
（1）若𝑎𝑛= 𝑛，𝑏𝑛= 3𝑛，{𝑎𝑛} ∗{𝑏𝑛} = {𝑐𝑛}，求𝑐1，𝑐2，𝑐3，𝑐4；
（2）对𝑖∈𝑁∗，定义𝑇𝑖{𝑎𝑛}如下：①当𝑖= 1时，𝑇𝑖{𝑎𝑛} = {𝑎𝑛}；②当𝑖≥2
时，𝑇𝑖{𝑎𝑛}为满足通项𝑑𝑛= {0
𝑛< 𝑖
𝑎𝑛+1−𝑖, 𝑛≥𝑖
的数列{𝑑𝑛}，即将
{𝑎𝑛}的每一项向后平移(𝑖−1)项，前(𝑖−1)项都取为0.试找到数列{𝑡(𝑖)
𝑛}，
使得{𝑡(𝑖)
𝑛} ∗{𝑎𝑛} = 𝑇𝑖{𝑎𝑛}；
（3）若𝑎𝑛= 𝑛，{𝑎𝑛} ∗{𝑏𝑛} = {𝑐𝑛}，证明：当𝑛≥3时，𝑏𝑛= 𝑐𝑛−2𝑐𝑛−1 +
𝑐𝑛−2.
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先辨对象，再谈方法
10. （25-26·浙江宁波）若数列{𝑎𝑛}满足：𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛> 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1（𝑛≥2，且𝑛∈𝑁∗），则称数列{𝑎𝑛}
为“差增数列”；若对于差增数列{𝑎𝑛}，存在整数𝑘，同时满足以下两个条件：①对任意𝑛∈𝑁∗，都有𝑎𝑛≥
𝑘𝑛成立；②存在𝑛∈𝑁∗，使得𝑎𝑛= 𝑘𝑛成立，则称数列{𝑘𝑛}为差增数列{𝑎𝑛}的“下限数列”.
（1）已知数列{𝑎𝑛}是差增数列，若𝑎𝑛∈{𝑥∣𝑥为小于20 的质数}，试写出项数为5的差增数列{𝑎𝑛}；
（2）已知等差数列{𝑏𝑛}是公差为𝑑的正项数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，等比数列{𝑐𝑛}是公比为𝑞(𝑞∈𝑁∗)的非常
数数列，且𝑐1 = 3；
(𝑖)试判断数列{𝑛𝑆𝑛}是否为“差增数列”，并说明理由；
(𝑖𝑖)若𝑏1 = 2，且𝑆2，𝑆3，𝑆4 + 4成等比数列，则是否存在以数列{2𝑑
𝑞𝑛}为“下限数列”的差增数列
{ 𝑐𝑛
𝑆𝑛
}？若存在，求𝑞的值；若不存在，请说明理由.
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1. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的
太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华
传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是
0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 18 , 24 , 32 , 40 , 50 , ⋯，则此数列的第20项为
（ ）
A. 162
B. 180
C. 200
D. 220
第 20 讲 数列中的新文化与新定义问题
高二数理进阶
先定范围，再求最值
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2. （25-26·天津滨海新）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该
数除以 2.冰雹猜想认为：反复进行上述运算，经过有限次步骤后最终会进入循环圈 1 →4 →2 →
1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列 {𝑎𝑛} 满足：𝑎1 = 1；当
𝑎𝑛 为偶数时，𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛
2 ；当 𝑎𝑛 为奇数时，𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛+ 1，则𝑎2025 =
（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
3. （25-26·天津滨海新）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功
疾”的题．若从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第16天织布量为13尺（市制长度单
位），则1个月（按31天计）织布总量为
（ ）
A. 13
B. 26
C. 208
D. 403
4. 定义数列{𝑎𝑛}的“匀称值”为𝐺𝑛= 𝑎1 + 2𝑎2 + ⋅⋅⋅+𝑛𝑎𝑛
𝑛
，若{𝑎𝑛}的匀称值𝐺𝑛= 𝑛，则𝑎8 =
（ ）
A. 8
5
B. 9
2
C. 21
4
D. 15
8
5. （25-26·江西上饶）若数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛−1，则称{𝑎𝑛}为“对奇数列”.已知{𝑏𝑛+ 1
2}
为“对奇数列”，且𝑏1 = 3，则𝑏2025 =
（ ）
A. 3 × 22024
B. 32025
C. 2 × 32024
D. 2 × 32023
