《初中数学•秋季三阶学生讲义》9年级(北师)提高班_《初中数学•秋季三阶学生讲义分节》789年级(北师)_《初中数学•秋季三阶讲义》9年级(北师)

九年级-秋季-北师版-提高班
第1讲 特殊的平行四边形......................................................................................................................................................................................4
知识点1：矩形...................................................................................................................................................................................................4
知识点2：菱形...................................................................................................................................................................................................7
知识点3：正方形.............................................................................................................................................................................................11
第2讲 一元二次方程..............................................................................................................................................................................................18
知识点1 一元二次方程的概念及解法.........................................................................................................................................................18
知识点2：根与系数的关系.............................................................................................................................................................................23
知识点3：一元二次方程的应用.....................................................................................................................................................................25
第3讲 概率初步....................................................................................................................................................................................................33
知识点1 随机事件与概率...............................................................................................................................................................................33
知识点2 用列举法求概率...............................................................................................................................................................................37
知识点3用频率估计概率................................................................................................................................................................................40
第4讲 图形的相似..................................................................................................................................................................................................47
知识点1：相似多边形及性质.........................................................................................................................................................................47
知识点2平行线分线段成比例........................................................................................................................................................................49
知识点3 相似三角形.......................................................................................................................................................................................54
知识点4 位似...................................................................................................................................................................................................55
第5讲 相似三角形................................................................................................................................................................................................62
知识点1相似三角形的判定............................................................................................................................................................................62
知识点2 相似三角形的性质...........................................................................................................................................................................67
知识点3相似三角形的综合应用....................................................................................................................................................................69
第6讲 相似模型总结............................................................................................................................................................................................76
知识点1 平行线型...........................................................................................................................................................................................76
知识点2 垂直型...............................................................................................................................................................................................78
知识点3 斜交型（反A）................................................................................................................................................................................79
知识点4 旋转型...............................................................................................................................................................................................81
第7讲 反比例函数的图象及其性质......................................................................................................................................................................85
知识点1反比例函数的概念............................................................................................................................................................................85
知识点2反比例函数的图象及其性质............................................................................................................................................................86
知识点3系数K的几何意义............................................................................................................................................................................91
第8讲 反比例函数的综合运用..............................................................................................................................................................................98
知识点1反比例函数实际应用........................................................................................................................................................................98
知识点2反比例函数与一次函数..................................................................................................................................................................101知识点3反比例函数与几何综合应用..........................................................................................................................................................104
第9讲 锐角三角函数......................................................................................................................................................................................112
知识点1 正弦、余弦、正切.........................................................................................................................................................................112
知识点2 特殊角的三角函数值.....................................................................................................................................................................114
知识点3 解直角三角形.................................................................................................................................................................................115
知识点4 解直角三角形应用.........................................................................................................................................................................119
第10讲 函数的图象及其性质..............................................................................................................................................................................129
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式..........................................................................................................................................129
知识点2二次函数图象与基本性质..............................................................................................................................................................130
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系.................................................................................................................................................136
知识点4二次函数图象变换..........................................................................................................................................................................141
知识点5二次函数的解析式..........................................................................................................................................................................145
知识点6二次函数的最值..............................................................................................................................................................................147
第11讲 二次函数的实际问题...............................................................................................................................................................................152
知识点1二次函数的实际问题之利润问题..................................................................................................................................................152
知识点2：二次函数的实际问题之轨迹问题...............................................................................................................................................153
知识点3二次函数的实际问题之面积问题..................................................................................................................................................154
知识点4二次函数的实际问题之函数图象问题..........................................................................................................................................157
第12讲 二次函数与方程、不等式综合..............................................................................................................................................................161
知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）...................................................................................................161
知识点2二次函数与一次函数的综合..........................................................................................................................................................164
知识点3二次函数与不等式的综合..............................................................................................................................................................165
第13讲 二次函数存在性问题..........................................................................................................................................................................171
知识点1二次函数中直角三角形存在性问题..............................................................................................................................................171
知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题..............................................................................................................................................173
知识点3二次函数中四边形存在性问题......................................................................................................................................................175
第14讲 圆的有关性质........................................................................................................................................................................................180
知识点1 垂径定理.........................................................................................................................................................................................180
知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系.................................................................................................................................................186
知识点3 圆周角定理及推论.........................................................................................................................................................................190
知识点4 圆内接四边形的性质.....................................................................................................................................................................193
第15讲 与圆有关的位置关系及计算..................................................................................................................................................................198
知识点1 点和圆的位置关系.........................................................................................................................................................................198
知识点2 直线和圆位置关系.........................................................................................................................................................................201
知识点3 切线的性质及判定定理.................................................................................................................................................................205
知识点4 弧长和扇形面积.............................................................................................................................................................................209第 1 讲 特殊的平行四边形
知识点1：矩形
1.矩形的性质：
（1）矩形具备平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线平分且相等
（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
【典例】
1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．
（1）求矩形较短边的长．
（2）矩形较长边的长．
（3）矩形的面积．
【方法总结】
本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，
根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对
公式的应用。
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____
【方法总结】
本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线
相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．
3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、
AC于M、N．
求证：
（1）四边形AECF是矩形；
（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．
【方法总结】
本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。第（1）问给出了AE⊥CE、AF⊥CF，可以得出四边形有两个直角，欲证明该四边形
是矩形，可以找第三个直角。题中给出了将平角一分为二的两个角的平分线，选取中间的两个小角恰好可以组成一个直角，利用有三
个角是直角的四边形是矩形判定得出结论。第（2）问利用矩形的性质——对角线相等且平分，得出矩形两条对角线与一边组成的三
角形是等腰三角形，结合角平分线的性质判定平行线。
【随堂练习】
1．（邗江区二模）如图，在平行四边形 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，
DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长．
2．（滨海县一模）平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
知识点2：菱形
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形；
【典例】
1.如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a
（1）求∠ABC的度数；
（2）求对角线AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．【方法总结】
本题主要考查了菱形的性质——四边相等且对角线互相垂直平分。第（1）问根据已知DE垂直平分AB以及AD=AB，得出直角三角
形的直角边和斜边的关系，推出了直角三角形30°的锐角，进而求出菱形的内角。第（2）问要求对角线的长先求对角线的一半长，通
过添加辅助线构建出等边三角形和直角三角形，用勾股定理求出结果。（3）直接套用公式即可。
2.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：OE=CB；
（2）如果OC：OB=1：2，OE=❑√5，求菱形ABCD的面积．
【方法总结】
本题主要考查菱形的性质——对角线垂直且平分。第（1）问根据菱形的对角线互相垂直，与对角线平行的直线也互相垂直，得出四
边形OBEC是矩形；第（2）问先根据菱形对角线垂直构建直角三角形，用勾股定理求出对角线的一半长，再根据对角线互相平分求
出对角线的长。
3.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF
是菱形．
【方法总结】
本题是菱形的判定与三角形全等的综合题。通过两次证明三角形全等得出四边形的两组邻边相等，两对角相等；再加上平行线的性质，证明第三组邻边相等，进而得出四边都相等。根据菱形的判定定理得出结论。用边的关系证明四边形是菱形的时候，经常会用到三角
形全等等方法。
【随堂练习】
1．（惠安县期末）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=2，AC=2 ，求四边形ABCD的面积．
2．（道里区校级月考）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．且∠AED=∠BEC，延
长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
知识点3：正方形
1.正方形的性质：
（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；
（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．
【典例】
1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）试说明∠BAE=∠DAF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并说明你的理由．【方法总结】
本题主要考查正方形的性质——四边相等、四个角是直角；对角线垂直平分且相等。第（1）问利用正方形的边、角相等，证明三角
形全等，对应角相等。第（2）问利用正方形一条对角线平分平分一组对角以及四边等、四角等证明三角形全等得出对应边相等，推
出对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．
【方法总结】
本题主要考察正方形的判定方法。判定一个图形为正方形时常用的方法有：（1）矩形具备什么条件是正方形；（2）菱形具备什么条件是正方形；（3）平行四边形具备什么条件变成正方形；（4）四边形具备什么条件变成四边形。判定时需要从边、角、对角线的角
度选择需要的条件。本题证明四边形ADCE是正方形先证明它是矩形，再证明对角线垂直的矩形是正方形。
【随堂练习】
1．（东阿县期末）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作
EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE= ，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
2．（南昌期中）如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．
综合运用
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC．若BD=CD，求证：四边
形ADCE是矩形．
2.如图，将□ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．3.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是BC边延长线上一点，且BD⊥DE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=3，BD=4，求△DCE的周长．
4.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且 BE=DF 连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，
交AD于点H．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．
5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O， ∠AOF=90°．求证：BE=CF．6.如图所示，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形
CEDF是正方形吗？ △ 请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）第 2 讲 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别
称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
1. 形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法
ax2 bxc  o  a  0 
2. 用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式
的推导和结论
（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是
移项得：
二次项系数化为1，得：：
即
当 时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
1
x2  0
x2 ax2 bxc0
A. B.
(x1)(x2)1 3x2 2xy5y2 0
C. D.
2.把一元二次方程 化成一般形 其中 、 、 分别为（ ）
A. 、 、 B. 、 、
C. 、 、 D. 、 、
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般
形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
【典例2】直接开平方法a (x 17)2 100 b (y4)2 17 a b ab
1.若 为方程式 的一根， 为方程式 的一根，且 、 都是正数，则 之值为何?( )
83 10 17
A. 5 B. 6 C. D.
(x2)2 9
2.解方程 .
【方法总结】
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解
【典例3】配方法
1.已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
x2 4x20
2.用配方法解方程：
【方法总结】
ax2 bxc  o  a  0 
用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(xm)2 n
④化原方程为 的形式；
n0
⑤如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解
【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+ =0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断2x2 8x30
2.用公式法解方程： .
【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是
b b2 4ac
x  (b2 4ac0)
1,2 2a
【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
2.解方程： .
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【随堂练习】
1．（山西模拟）一元二次方程 配方后可化为
A． B． C． D．
2．（温州期末）若关于 的方程 无实数根，则 的值可以是下列选项中的
A． B． C．9 D．10
3．（乳山市期末）已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根，且满足 ，则 的值为
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
4．（滨海新区期末）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
A． B． 且 C． D． 且
5．（聊城）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为
A． B． 且 C． D． 且
二．填空题（共1小题）
6．（平房区期末）若一元二次方程 的两个根分别是矩形的边长，则矩形对角线长为 ．
三．解答题（共4小题）
7．（历城区期末）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
8．（乳山市期末）【阅读材料】
解方程：
解：设 ，则原方程变为
解得， ， ．
当 时， ，解得 ．
当 ， 解得 ．
所以，原方程的解为 ． ， ， ．
【问题解决】利用上述方法，解方程： ．
9．（房山区期末）当 是什么整数时，关于 的一元二次方程 与 的根都
是整数．
10．（黄石港区校级模拟）关于 的一元二次方程
（1）求方程的解；
（2）若方程的解为整数，求 值．
知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
(3)当方程的两个根分别为x、x 满足条件的方程为（x-x）（x-x）=0
1 2， 1 2
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．（乳山市期末）已知 ， 是关于 的方程 的两个实数根，且满足 ，则 的值
为
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
2．（鄂州）关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，且 ，则 的值为A． B． C． D．0
3．（河南一模）关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则另一根为
A．1 B． C．2 D．3
4．（中原区校级模拟）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是
A． B． C． D．
5．（长沙模拟）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是
A． B．3 C． D．1
6．（伍家岗区期末）已知一元二次方程 的两个根为 、 ，则 的值是
A． B． C．4 D．2
7．（高港区期末）已知 ， 是 的两个根，则 是
A． B．4 C．1 D．
8．（茂名期末）若 、 是一元二次方程 的两个不相等的根，则 的值是
A．3 B． C． D．15
9．（呼和浩特模拟）已知 ， 是关于 的方程 的两根，且满足 ，那么 的值为
A．5 B． C．4 D．
二．填空题（共6小题）
10．（海门市二模）若 、 是关于一元二次方程 的两实数根，则 的值为 ．
11．（平江县二模）在等腰 中， 、 、 的对边分别为 、 ， ，已知 ， 和 是关于 的方程 的两个实数根，则 的周长是 ．
12．（江油市模拟）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
13．（双流区模拟）已知 ， 是一元二次方程 的两实数根，则 的值是 ．
14．（诸城市一模）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根分
别为 ， ，且 ，则 的值是 ．
15．（新余一模）二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是 和 ，那么这个方程是 ．
知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一
定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度． 年市政府共投资 亿元人民币建设了
廉租房 万平方米，预计到 年底三年共累计投资 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到 年底共建设了多少万平方米廉租房．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。
【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少
10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应
进货多少个？定价为多少元？
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数量与售价之间满足的函数关
系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长 米，宽 米的矩形场地 上修建三条同样宽的人行道，使
其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为 平方米．
求人行道的宽。
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 （围墙 最长可利用
），现在已备足可以砌 长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为 ．则 长度
为多少【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
① 利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度
移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度
的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运
动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
② 当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）
【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较
为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】
1．（松北区期末）哈市某专卖店销售某品牌服装，该服装进价为每件80元，当每件服装售价为240元时，月销售
量为200件，该专卖店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当销售单价每降价 10
元，月销量就增加20件．设每件服装售价为 元，该专卖店的月销售量为 件．
（1）求 与 的关系式；
（2）在某月进货时，该专卖店进货款不超过18000元，售价定为多少元可使月利润达到33000元？
2．（沙坪坝区模拟）为提升红岩联线景区旅游服务功能和景区品质，沙区政府投资修建了白公馆到渣滓洞的人行
步道．施工单位在铺设人行步道路面时，计划投入34万元的资金购买售价分别为60元 张和50元 张的 、 两
种型号的花岗石石材，且购买 型花岗石的数量不超过 型花岗石数量的2倍．
（1）求该施工单位最多能购买 型花岗石多少张？
（2）在实际购买中，销售商为支持景区建设，将 、 两种型号花岗石的售价均打 折（即原价的 出售，因
施工实际需要， 型花岗石的数量在（1）中购买最多的基础上再购买 张， 型花岗石的数量在（1）中购买
最少的基础上再购买 张，这样购买花岗石石材的总费用恰好比原计划减少了6460元，求 的值．
3．（张家港市期末）某商店以每件 50元的价格购进800件 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件．第
二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，该商店为增加销售量决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，
可多销售出10件，但最低单价应不低于50元，第二个月结束后，该商店对剩余的 恤一次性清仓，清仓时单价为
40元．设第二个月单价降低 元，
（1）填表（用含 的代数式完成表格中的①②③处）
时间 第一个月 第二个月 清仓
单价（元 80 ① 40
200 ② ③
销售量（件
（2）如果该商店希望通过销售这800件 恤获利9000元，那么第二个月单价降低多少元？
4．（温州期末）阳光小区附近有一块长 ，宽 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一
横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，
设步道的宽为 ．
（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为 ，长方形区域甲
的面积比长方形区域乙大 ，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．
5．（新泰市期末）我市晶泰星公司安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．
根据市场行情测得，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元．而实际生产中，生产乙产品需要额外支
出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天每件乙产品平均获利减少2元，设每天安排 人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类 每件产品可获利润
每天工人数（人 每天产量（件
甲 15
乙
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可
获得总利润是多少元？
6．（沙坪坝区校级月考）年3月23日，年足球世界杯预选赛中国队与韩国队在长沙交锋，由于球迷热情参与，五
万多张票一票难求，3月1日大麦网楷书四启动球票申购，许多球票被一些不良商家大量抢购，再高价卖出，某不
良商家以480元 张的价格购进若干张球票，将这些球票标价为1500元 张，然后在标价的基础上打折出售，折后
再降价 张．
（1）问该商家最多打几折销售，能使利润率不低于 ？
（2）为了照顾广大球迷，组委会决定将大量球票通过球迷协会统一购买的方式卖给球迷．某球迷协会组委会售票
处得 张球票，每张球票价格比（1）中商家售出的最低价格少 ，购票共用去38880元，求 的值
．7．（南岗区期末）某地年为做好“精准扶贫”，投入资金1200万元用于异地安置，并规划投入异地安置资金的
年平均增长率在三年内保持不变，已知年在年的基础上增加了投入异地安置资金1500万元．
（1）年该地投入异地安置资金为多少元？
（2）在年异地安置的具体实施中，该地要求投入用于优先搬迁租房奖励的资金不低于年该地投入异地安置资金的
．规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，
求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程
2.用配方法解方程： .
3.用公式法解方程 .
4.解方程 （因式分解法）
5.果农李明种植的草莓计划以每千克 元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，
减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买 吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金 元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中
平均一台电脑会感染几台电脑？7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售出 千克，后来经过市场调查发现，
单价每降低 元，则平均每天的销售可增加 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
8.如图，在宽为 ，长为 矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其
草坪面积为 ，则宽为多少
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发
沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动
过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.第 3 讲 概率初步
知识点1 随机事件与概率
随机事件的概念
在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。
在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
概率的概念及意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即 ，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜
P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但
二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典例】
1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）太阳从西边落山；
（2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）；
（3）水往低处流；
（4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；
（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不
确定、不可能事件、还是必然事件．（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为偶数；
（2）点数大于2且小于5．
4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 ，求y与x之间的函数关系式．
【方法总结】
要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发
生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即 ，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜
P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但
二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【随堂练习】
1．（贵阳期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是
A．大于4的点数 B．小于4的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数
2．（市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，
其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了 1个汤圆，下
列各种描述正确的是
A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大
B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多
C．她不可能吃到豆沙馅汤圆
D．她一定能吃到枣泥馅汤圆
3．（金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是
白球的概率为
A． B． C． D．
4．（任城区二模）为了庆祝“六一儿童节”，六年级同学在班会课进行了趣味活动．小舟同学在模板上画出一个菱形 ，将它以点 为中心按顺时针方向分别旋转 ， ， 后得到如图所示的图形，其中
， ，然后小舟将此图形制作成一个靶子，那么当我们投飞镖时命中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
5．（大兴区一模）小冬和小松正在玩“掷骰子，走方格”的游戏．游戏规则如下：（1）掷一枚质地均匀的正方
体骰子（骰子六个面的数字分别是1至 ，落地后骰子向上一面的数字是几，就先向前走几格，然后暂停．（2）
再看暂停的格子上相应的文字要求，按要求去做后，若还有新的文字要求，则继续按新要求去做，直至无新要求
为止，此次走方格结束．下图是该游戏的部分方格：
1 2 3 4 5 6
大本营 对自己说 后退一格 前进三格 原地不动 对你的小伙伴说 背一首古诗
“你好！”
“加油！”
例如：小冬现在的位置在大本营，掷骰子，骰子向上一面的数字是 2，则小冬先向前走两格到达方格2，然后执行
方格2的文字要求“后退一格”，则退回到方格1，再执行方格1的文字要求：对自己说“加油 ”．小冬此次
“掷骰子，走方格”结束，最终停在了方格1．如果小松现在的位置也在大本营，那么他掷一次骰子最终停在方格
6的概率是
A． B． C． D．
6．（江北区一模）从五个数 中任意抽取一个作为 ，则 满足不等式 的概率是
A． B． C． D．
7．（瓯海区一模）在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中4个红球、3个黄球和2个白球．从袋
中任意摸出一个球，不是白球的概率为
A． B． C． D．8．（广西模拟）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅
匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 ，则袋中原有黑球
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共5小题）
9．（贵阳期末）小邦制作了十张卡片，上面分别标有 这十个数字，从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被5
整除的概率是 ．
10．（大庆）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口
袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是 ．
11．（通辽）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆
放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为 ，则数字 使分式方程 无解的概率
为 ．
12．（红桥区二模）一个不透明的袋子中装有11个球，其中3个红球、5个黑球，3个黄球，这些球除颜色外无其
他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是 ．
13．（成都）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白
球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为 ，则盒子中原有的白球的个数为
三．解答题（共2小题）
14．（成都期末）如图①，在 中， ，两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ．如图②，现将
与 全等的四个直角三角形拼成一个正方形 ．
（1）若 的两直角边之比均为 ．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概
率是多少？
（2）若正方形 的边长为8， 的周长为18，求 的面积．
15．（秦淮区校级模拟）在边长为4的正方形平面内，建立如图1所示的平面直角坐标系．学习小组做如下实验：
连续转动分布均匀的转盘（如图 两次，指针所指的数字作为直角坐标系中 点的坐标（第一次得到的数为横坐
标，第二次得到的数为纵坐标）．（1）转盘转动共能得到 个不同点， 点落在正方形边上的概率是 ；
（2）求 点落在正方形外部的概率．
知识点2 用列举法求概率
用列表法和树状图法，求事件的概率
1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求
出某事件的概率．
2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树
形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．
【典例】
1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下
字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记
录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀.
（1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标
之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果)
（2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数
再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数.
【方法总结】
求概率应掌握以下方法：
1. 直接公式法： ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.
2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件
A出现的结果数m；④用公式 求事件A发生的概率
3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相
等，则游戏公平，否则不公平.
4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致
的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况
【随堂练习】
1．（武侯区校级自主招生）将一枚六个面编号分别为 1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，
记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于 、 的方程组 ，只有正数解的概率为
A． B． C． D．
2．（宿豫区模拟）同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上两个数字之积为偶数的概率是
A． B． C． D．
3．（柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，
那么，小李获胜的概率为
A． B． C． D．
4．（周口二模）在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸
取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是
A． B． C． D．
5．（南充模拟）在一个不透明的袋子中装有两个黑球、两个白球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个
球，记下颜色，放回袋中摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到黑球的概率是A． B． C． D．
6．（临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽
车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是
A． B． C． D．
7．（东西湖区模拟）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4．随机抽取两张
卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是
A． B． C． D．
8．（德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3
的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为 ，从乙中
任取一张卡片，将其数字记为 ．若 ， 能使关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为
A． B． C． D．
9．（广东二模）有三张正面分别写有数字 ， ，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗
匀后随机抽取一张，以其正面数字作为 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为 的值，
则点 在第二象限的概率为
A． B． C． D．
10．（河南二模）在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1， ，3，4，随机摸取
一个小球记下标号后放回，再随机摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球的标号之积为负数的概率为
A． B． C． D．
二．解答题（共2小题）
11．（碑林区校级模拟）6月电商的“年中大促销”已开始预热，实体店也摩拳擦掌提前备战，积极展开促销活动．
陈阿姨参加了某店“砸金蛋赢优惠”活动，该店提供四个外观一样的“金蛋”，每个“金蛋”内装一张优惠券，
分别是10，20，50，100（单位：元）的优惠券．四个“金蛋”内的优惠券不重复．砸到哪个“金蛋”就会获得“金蛋”内相应的优惠券．
（1）如果随机砸1个“金蛋”，求陈阿姨得到100元优惠券的概率；
（2）如果随机砸2个“金蛋”，且第一次砸过的“金蛋”不能再砸第二次，请用列表或画树状图的方法求出陈阿
姨所获优惠券总值不低于70元的概率为多少？
12．（岳麓区校级三模）长沙地铁四号线丁今年五月开通，被称之为“麓山专列”，给同学们上学带来方便．初
一数学兴趣班同学在全校范围内随机抽取了 50名走读同学进行“使用哪种出行方式上学”调查活动，将调查问卷
整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有4000名同学，请估计全校走读同学选择乘坐“地铁”上学的有多少人？
（3）该兴趣班同学还用四个完全相同的小球，把四种出行方式分别标为 、 、 、 ，再将它们放在一个不
透明的口袋中，让冋学们随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出个小球，请用列表或画树形图的方法，求
出恰好两次都摸到“ ”的概率．
知识点3用频率估计概率
用频率估计概率
实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在
一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
【典例】
1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下
颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，
摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．.2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪
一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是 ，理由是：
.
3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个
球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，
摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）= ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【方法总结】
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P
附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．
3．利用频率估计出的概率是近似值.
【随堂练习】
1．（南平模拟）盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它
的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，由此估计摸白色乒乓球的概率为A． B． C． D．
2．（江西模拟）在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不
同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在 0.4左右，若小明在袋子中随
机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为
A． B． C． D．
3．（武汉模拟）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
移植总数
47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活数
0.94 0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
成活频率
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 （结果保留小数点后两位）
A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.92
4．（天津期末）一个不透明的盒子里有几个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 6个红球，每次摸球前先将盒
子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定
在 ，那么估计盒子中小球的个数 为
A．15 B．18 C．20 D．24
5．（通州区期末）在一个不透明的布袋中，共有30个小球，除颜色外其他完全相同．若每次将球搅匀后摸一个
球记下颜色再放回布袋．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在0.2左右，则口袋中红色球
的个数应该是
A．6个 B．15个 C．24个 D．12个
6．（海安县期末）在一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有4个红球，若每次将
球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在
左右，则 的值大约为
A．16 B．20 C．24 D．28
7．（东城区期末）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数 96 282 382 570 948 1904 28500.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
发芽的频率
下面有三个推断：
①当 为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽
的概率是0.95；
③若大豆粒数 为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
8．（宝安区期末）在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别．每次从袋
子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球有
A．12个 B．20个 C．24个 D．40个
9．（南山区期末）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位
同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球
和白球的个数是
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
二．解答题（共3小题）
10．（贵阳期末）为了准备体育艺术节的比赛，某篮球运动员在进行定点罚球训练，如表是部分训练记录：
罚球次数 20 40 60 80 100 120
命中次数 15 32 48 65 80 96
命中频率 0.75 0.8 0.8 0.81 0.8 0.8
（1）根据上表：估计该运动员罚球命中的概率是 ；
（2）根据上表分析，如果该运动员在一次比赛中共获得10次罚球机会（每次罚球投掷2次，每命中一次得1分），
估计他罚球能得多少分，请说明理由．
11．（福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，
每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维
修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需
支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性
额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数 8 9 10 11 12频率（台数） 10 20 30 30 10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11
次维修服务？
12．（株洲）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温 有关，现将
去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
需求量（单位：杯）
最高气温 （单位：
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于 的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超
过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的
价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温 满足 （单位： ，
试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
综合运用：概率初步
1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：
（1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？
（2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？
2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有 2个，黄球有1个，现从中任意摸出一
个是白球的概率为 ．
（1）试求袋中篮球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率．3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的
形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积能被2整除的概率．
4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机
地摸出一个小球，将小球上的数字记为n．
（1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求 所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率．
5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分．
（1）这个游戏公平吗？为什么？
（2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？
6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每
人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答
下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法
求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字
1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于
6，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．第 4 讲 图形的相似
知识点1：相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比
叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【典例】
1.图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．
2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．
（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；
（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．【方法总结】
相似图形：所谓形状相同，就是与图形的大小，位置无关，与摆放角度，摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但
也不能认为是形状相同
相似多边形：（1）在相似多边形中，对应变成比例，对应角相等，这两个条件必须同时成立，才能说明这两个多边形是相似多边形；
（2）相似多边形的性质可以用来确定两个相似多边形中未知的边的长度或未知的角的度数；
（3）相似比得值与两个多边性的前后顺序有关；
（4）相似比1:1的两个相似多边形是全等多边形；
【随堂练习】
1．（博野县期末）如图所示，长为 ，宽为 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与
原矩形相似，那么剩下矩形的面积是
A． B． C． D．
2．（河北一模）如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是
A． B．
C． D．
3．（北海期末）如图， ， 分别为矩形 的边 ， 的中点，若矩形 与矩形 相似，
，则矩形 的面积是A．4 B．2 C． D．
4．（南山区期末）下列说法不正确的是
A．所有矩形都是相似的
B．若线段 ， ，则
C．若线段 ， 是线段 的黄金分割点，且 ，则
D．四条长度依次为 ， ， ， 的线段是成比例线段
知识点2平行线分线段成比例
1比例性质：
①
a:b=c:d⇔ad=bc
；② （其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：
3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质： ．
a c e m a+c+e+⋯+m a
= = =⋯= (b+d+f +⋯+n≠0) =
b d f n b+d+f +⋯+n b
5等比性质：如果 ，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足 ,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得 等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
【典例】
1.已知a，b，c，d是四条线段，试判断的它们是不是成比例线段．
（1）a=1mm，b=0.8cm，c=0.02cm，d=4cm；
（2）a=1 cm，b=0.4cm，c=40cm，d=3 cm．
2.如图，△ABC∽△ADE，AD=8cm，BD=4cm，BC=15cm，EC=7cm．
（1）DE∥BC吗？为什么？
（2）求DE，AE的长．
（3）你还能发现哪些线段成比例？
3.如图，l //l //l ，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．
1 2 3
【方法总结】
ad=bc a:b=c:d
1.由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ，除了可化为 ，还可化为
a:c=b:d c:d=a:b b:d=a:c b:a=d:c c:a=d:b d:c=b:a d:b=c:a
， ， ， ， ， ， ．
2.比例的合比性质做题时可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：a c {b−a d−c
= ⇒¿ = ¿¿¿
b d a c
3.等比性质
①此性质的证明运用了“设K法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．
②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
③可利用分式性质将 连等式的每一个比的前项与 后项同时乘以一个数， 再利用等比性质也成立．如：
a c e a −2c 3e a−2c+3e a
= = ⇒ = = ⇒ =
b d f b −2d 3f b−2d+3f b b−2d+3f≠0
；其中 ．
4.平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段
的比.
【随堂练习】
1．（香坊区二模）如图，直线 ，直线 分别交直线 、 、 于点 、 、 ，直线 分别交直线
、 、 于点 、 、 ，直线 、 交于点 ，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
2．（南岗区模拟）如图，如果 ，那么下列比例式中，错误的是
A． B． C． D．
3．（嘉兴期末）如图，直线 ，直线 分别交 ， ， 于点 ， ， ：直线 分别交 ， ， 于点 ， ， ．若 ，则
A． B． C． D．
4．（昌图县期末）已知：如图， ， ，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
5．（大连期末）在 中，点 、 、 分别在 、 、 上，且 ， ，若 ，
则 的值为
A． B． C． D．
6．（福田区期末）如图， ，直线 ， 与 、 、 分别相交于 、 、 和点 、 、 ，若
， ，则 的长是A．9 B．10 C．2 D．15
7．（新乐市期末）如图， ， ， ， ，则 的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（宜兴市期末）如图， ，直线 、 与 分别交于点 、 、 和点 、 、 若 ，
，则 的长是
A． B． C．6 D．10
9．（杭州期末）如图，直线 ，直线 交 、 、 于点 、 、 ，直线 交 、 、 于点 、
、 ，已知 ，若 ，则 的长是A． B．4 C． D．7
10．（张家港市期末）如图，在 中，点 ， 分别为边 ， 上的点，且 ，若 ，
， ，则 的长为
A．3 B． C．4 D．
知识点3 相似三角形
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
【典例】
1.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．
（1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）；
（2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一个动点（不运动到点C或D），BE的延长线交AD的延长线于点F，问图中共有几
对相似三角形？试证明其中的一对三角形相似．【方法总结】
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其
实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
【随堂练习】
1．（吉林模拟）如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似
三角形共有（ ）对．
A．2对B．3对C．4对D．5对
知识点4 位似
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这
两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质：位似形的有关性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；(3)各对对应
顶点到位似中心的距离的比等于相似比；此时，把这个点叫做位似中心.这时的相似比叫做位似比。
【典例】
1.
利用位似图形的方法把四边形 ABCD放大到原来的2倍，并使新四边形A′B′C′D′与原图形分别在对
称中心的两旁．
2.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OAB，使它与△OAB的位似比为2：1，并分别写出点A、B的
1 1
对应点A、B 的坐标；
1 1（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△OAB，并写出点A、B的对应点A、B 的坐标；
2 2 2 2 2
（3）判断△OAB 和△OAB 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 M，并写出点M的坐标．
1 1 2 2 2
【方法总结】
1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有两个位似中心）；
3两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似
6位似图形满足的条件：两图形相似；每组对应点所在直线都经过同一点；
同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形.两条件缺一不可
【随堂练习】
1．（济南期末）如图，菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 、 分别是边 、 的中点，连接
、 、 ，则下列叙述正确的是
A． 和 都是等边三角形
B．四边形 和四边形 都是菱形
C．四边形 与四边形 是位似图形
D． 且
2．（北碚区校级月考）如图，已知 与 位似，位似中心为点 ，且 的面积等于 面积的 ，
则 的值为A． B． C． D．
3．（九龙坡区校级期末）下列说法正确的是
A．四条边相等的平行四边形是正方形
B．一条线段有且仅有一个黄金分割点
C．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
D．位似图形一定是相似图形
4．（潍城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ．以原点 为位似中心，把 扩
大到原来的2倍则点 的对应点 的坐标为
A． B．
C． 或 D． 或
5．（岳麓区校级三模）如图，以原点 为位似中心，把 缩小为原来的 后得到△ ，若 点坐标为
，则 的坐标为A． 2， B．
C． 2， 或 D． 2， 或
6．（太仓市期末）如图，在 中， ， 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是 ．以点 为位似中心，
在 轴的下方作 的位似图形△ ，使得△ 的边长是 的边长的2倍．设点 的横坐标是 ，
则点 的横坐标是
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（会宁县模拟）如图，线段 两个端点的坐标分别为 、 ，以原点为位似中心，将线段 放大
得到线段 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为A． B． C． D．
8．（梧州一模）以原点 为位似中心，作 的位似图形△ ， 与△ 相似比为3，若点 的
坐标为 ，则点 ’的坐标为
A． B． 或
C． D． 或
9．（建宁县模拟）如图，在 所在平面上任意取一点 （与 、 、 不重合），连接 、 、 ，
分别取 、 、 的中点 、 、 ，再连接 、 、 得到△ ，则下列说法不正确的是
A． 与△ 是位似图形
B． 与是△ 相似图形
C． 与△ 的周长比为
D． 与△ 的面积比为
综合运用：图形的相似
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48， ，求△ABC三边的长．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l、l 于点A、B、C和D、E、F．若 = ，AC=14，
1 2
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，
E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．第 5 讲 相似三角形
知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为 上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不
与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过
P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的
值；若不存在，说明理由．
【方法总结】
（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（碑林区校级一模）如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，点 是边上的动点，当 、 、 两两相似时，则
A． B． C． 或 D． 或1
2．（岱岳区期末）如图， ， ，点 在边 上（与 、 不重合），四边形 为正方
形过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，对于下列结论：① ；②四边形
是矩形；③ ．其中正确的是
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．（白云区二模）如图，在梯形 中， ，过点 作 ，交 延长线于点 ，对角线 、
相交于点 ，下列结论中，错误的是
A． B．
C．四边形 是平行四边形 D．
4．（楚雄州一模）如图， 为 的直径， 为 的弦， ， 交 于点 ， ， ，
延长 到点 ，使得 ，连接 ．则下列结论中不正确的是A． B．
C． D．直线 与 相切
二．解答题（共5小题）
5．（泰山区期末）如图，四边形 中， 交 于点 ，点 、 分别是 、 的中点， 平
分 交 于点 ， ，连接 ，
求证：
（1） ；
（2） ．
6．（黄冈）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 的切线交
于点 ，连接 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求证： ．
7．（南昌二模）如图，在 中， 是 延长线上的一点， 与 交于点 ．求证： ．8．（海淀区校级月考）如图，在 中， 是 上一点，连接 ． 为 上一点，且
求证： ．
9．（安庆期末）如图，在 中， ， ， ，垂足分别为 ， ， ．
（1）求证： ；
（2） 交 于点 ，求证： ；
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（沈阳）已知 △ ， 和 是它们的对应中线，若 ， ，则 与△
的周长比是
A． B． C． D．
2．（九龙坡区模拟）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，
另一个三角形的最长边长为 ，则它的最短边为A． B． C． D．
3．（梁平区期末）已知 △ ’，△ 的面积为6，周长为 周长的一半，则 的面积
等于
A．1.5 B．3 C．12 D．24
二．解答题（共4小题）
4．（张家港市模拟）如图，在四边形 中， ， ． ， ， ，动
点 从点 开始沿 边匀速运动，动点 从点 开始沿 边匀速运动，它们的运动速度均为 ．点 和
点 同时出发，设运动的时间为 ， ．
（1）用含 的代数式表示 ；
（2）当以点 ． ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
5．（北海期末）已知四边形 中， ， 平分 ，过点 作 于点 ，点 为 上一
点，且 ， ．
（1）求证： ；
（2） 为线段 上一点，连结 ，若 ， ， ，求 的值．
6．（通州区期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个
小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个
三角形的优美线．（1）如图，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 为 的优美线；
（2）在 中， ， 是 的优美线，且 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数．
7．（宽城区校级月考）如图， 与 相交于点 ， ， ， ， ，求
（1） 的长．
（2）求 ．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影
长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到
古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：
可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，
正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的
长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出
解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角
形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（济南期末）如图，在正方形 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ，延长 交
的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．2．（渝中区校级期末）如图，在平行四边形 中， 平分 ，分别交 、 于点 、点 ．点
是 上一点，连接 交 于点 ，过点 作 的平行线，交 于点 ．
（1）若 ， ， ，求 的面积；
（2）若 ，求证： ．
3．（重庆模拟）如图，在 中，过 作 于点 ，过点 作 分别与 、 交于点 、
，连接 ，已知 ， ．
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求证： ．
4．（润州区期中）如图，在 中， ， ， ， 于点 ．点 从点 出发，
沿线段 向点 运动，点 从点 出发，沿线段 向点 运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，
当点 运动到 时，两点都停止．设运动时间为 秒．
（1）求线段 的长；
（2）设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻 ，使得
？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．5．（高淳区期末）如图，在 中， 、 分別是 、 的中点，连接 、 交于点 ，连接 、
交于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）当 时，四边形 为矩形．
6．（泰山区期末）如图，已知 是等边三角形，点 、 、 、 在同一条直线上，且 ，求证：
．
7．（潍城区期末）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， 、 的延长线相交丁点 ，且
．
（1）求证： ；
（2）当 ， ， 时，求 的长．8．（广西模拟）如图所示，在 中， 平分 交直线 于 ， 交直线 于
（1）求证： ；
（2）若点 为 的中点，求 的值．
综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点
F． △ △
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．
2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知
BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，
其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是 ，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
△小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思
路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，
△连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．第 6 讲 相似模型总结
知识点1 平行线型
平行型：（A型、X型）
（1）如图1所示，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，可以得到的比例线段主要有AD：AB＝AE：AC＝DE：BC;
AD：BD＝AE：EC．
（2）如图2所示，线段AB∥线段CD，且AD、BC交于点E，则△ABE∽△DCE，可以得到的比例线段主要有AB：CD＝AE：
DE＝BE：EC．
【典例】
1.如图， 和 相交于点 ， .
1证明： ， .
2求证： .
2.如图，已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与
△ABC相似，求MN的长．【方法总结】
此类型的题目主要是观察出平行线构造出的相似模型，如果没有的话则需要添加辅助线，构造基本相似模型.
E E E
A A A
F M F F
M
B D C B D M C B D C
E E E M
A A A
F F F
M
B D C M B D C B D C
【随堂练习】
1．（衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．
作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：△COD∽△CBE．
（2）求半圆O的半径r的长．
2．（阳谷县一模）如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延
长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF．
（1）如果 = ，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
知识点2 垂直型
如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形，这时候△ABC与这两个三角形都是相似的.
【典例】
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
（1）写出图中所有相似三角形： （不需证明）；
（2）如果AB=10，AC=8，以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如下图），求点A、点B、点C坐标；
（3）在（2）的情况下，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线
段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．是否存在点Q，使以点B、P、Q为顶点
的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【方法总结】
垂直模型的特征比较明显，一定是出现在直角三角形中，解题时候很好辨认出该模型，解题时，可以根据射影定理进行计算求解（直
角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）
【随堂练习】
1．（门头沟区期末）已知：如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．
△（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．
知识点3 斜交型（反A）
如图3中的△ADE和△ACB，图4中的△ACD和△ABC，都有一个公共角相等，只需要知道另一对角相等，就可得到相似，这样的相
似属于反A共角形相似．
A
B
J
D
C
对于平行中的八字形也有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似
【典例】
1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积
为_______
2.如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【方法总结】
斜交型解题时难点在于对应角和对应边的关系，千万不能写错，有一个简单的方法是短边对短边，长边对长边，根据两个三角形中
线段直观长度进行判断对应边，但是动点题要谨慎使用这个方法
【随堂练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，
求证：（1）△ADE∽△ABC；（2）求AE的长．
2．（襄城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与 AC，
AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
知识点4 旋转型
如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，则△ACD∽△BEC；如图2，∠A＝∠B＝∠DCE，
则ACD∽△BEC；图1、图2这样的相似模型叫做“K”型
由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示【典例】
1. ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
△
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的
一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
2.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，
连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写
出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
【方法总结】
旋转型是相似模型中综合度最高的一类，往往结合其他知识一起出题，解题时旋转的那个角一般是相似证明过程中的一组对应角之一，
利用好这个特征， 根据它所在的三角形就比较容易判断出相似模型了.
【随堂练习】
1．（杭州一模）如图，已知CD为Rt ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD
△
的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE=3，CD=4，求CB的长．
综合运用：相似模型总结
1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），
B（0，3）
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC
相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．
2.如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．
3.探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：
（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据 （指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：
．
（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求： 的值；
（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求： 的值．（用k的代数式表示）4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G
（1）求证：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的长．第 7 讲 反比例函数的图象及其性质
知识点1反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
k
y=
x
y=kx−1
一般地，函数 （k是常数，k¿0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 的形式。自变量x的取
值范围是x¿0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定
k
y=
x
由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确
定其解析式。
【典例】
1.下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. y= B. y= C. y=2x D. y=
2.已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）
A. y= B. y=﹣ C. y= D. y=﹣
3.函数y=（m+1）x 是y关于x的反比例函数，则m= ．
4.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），反比例函数y= （k≠0）（k≠0）的图
象经过点B，则求反比例函数的表达式为 ．【方法总结】
y=kx−1
反比例函数解析式注意 ，x的次数为-1，求解析式时可用k=xy.
【随堂练习】
1．（昭平县期末）已知 是反比例函数，则函数的图象在
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
2．（靖江市期中）已知 是 关于 的反比例函数，则 ．
3．（红桥区期末）已知 ，若 是 的反比例函数，则 的值为 ．
4．（昌图县期末）已知函数 是反比例函数，则 ．
5．（资阳区一模）若函数 是反比例函数，则 ．
6．（包河区期末）如果函数 为反比例函数，则 的值是 ．
知识点2反比例函数的图象及其性质
（1）反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反
比例函数中自变量x¿0，函数y¿0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不
到坐标轴。
（2）反比例函数的性质【典例】
1.对于反比例函数y=﹣ ，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C. 图象经过点（1，﹣2）
D. 若点A（x，y），B（x，y）都在图象上，且x＜x，则y＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
2.已知a＞﹣ ，若当1≤x≤2时，函数y= （a≠0）的最大值与最小值之差是1，则a的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，且反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，若k是整数，则k的值为______
【方法总结】
1.双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.
2.选择题考对称性时酌情考虑用特殊点排除不正确的答案.
【随堂练习】
1．（乐清市期末）反比例函数y＝ 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．4
2．（成都模拟）函数y＝ 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．（崂山区二模）二次函数y＝ax 2 +bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b 2与反比例函数y＝ 在同一坐标系内的
图象大致为（ ）A． B．
C． D．
4．（市北区期末）已知二次函数y＝kx 2 +k（k≠0）与反比例函数y＝ （k≠0），它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（永州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ 与y＝kx+1（k为常数，k≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
7．（汉阳区模拟）反比例函数y＝ （x˂0）交等边△OAB于C、D两点，边长为5，OC＝3BD，则k的值（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
8．（沈阳模拟）下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝ x﹣1 B．y＝﹣2x C．y＝ D．y＝x 2
9．（南岗区校级月考）反比例函数y＝﹣ 的图象位于第（ ）象限．
A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．二、三
10．（九龙坡区校级期末）如图，在平面直角坐标中，菱形 ABCO的顶点O在坐标原点，且与反比例函数y＝ 的图象相交于A
（m，3 ），C两点，已知点B（2 ，2 ），则k的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．6 D．﹣6
11．（平度市期末）若反比例函数y＝ （k≠0）的图象位于二、四象限，则二次函数y＝kx 2 +kx+1的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
二．填空题（共3小题）
12．（河南二模）已知一次函数y＝k1x+2的图象经过点A（m，3），B（m+2，﹣1），反比例函数y＝ 的图象位于一、三象限，
则k1 k2 ．（填＞，＜或＝）
13．（江干区二模）给出下列函数：①y＝﹣3x+2：② ；③y＝2x 2；④y＝3x上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自
变量x增大而减小”的是
14．（丰顺县期末）若函数y＝ 的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为 ．
知识点3系数K的几何意义
k
y= |k|
x
①过双曲线 (k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为 。
k |k|
y=
x 2
②过双曲线 (k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为 ．
k
y=
P P P P Q Q
x
③双曲线 (k≠0) 同一支上任意两点 1、 2与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形 1 2 2 1的面积．
【典例】
1.函数y= 和y= 在第一象限内的图象如图，点P是y= 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y= 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP．其中所有正确结
论的序号是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
2.如图，点A与点B分别在函数y= 与y= 的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为
2，则k﹣k 的值是________
1 2
3.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 （x＞0）与AB
相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=______
【方法总结】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的
面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．
【随堂练习】
1．（昆明模拟）如图，函数 和 的图象分别是 和 ．设点 在 上， 轴交 于点， 轴，交 于点 ， 的面积为
A． B． C． D．
2．（南岸区校级模拟）如图，矩形 的顶点 和对称中心在反比例函数 ，若矩形 的
面积为10，则 的值为
A．10 B． C． D．5
3．（绥化模拟）如图，点 ， 在双曲线 ，连接 ， ．若 ，则 的值是
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
4．（邗江区校级模拟）如图，点 、点 分别在反比例函数 和 的图象上，且 轴，则 的
面积等于 ．5．（泸西县一模）如图，直线 轴于点 ，且与反比例函数 及 的图象分别交于点
， ，连接 ， ，已知 的面积为3，则 ．
6．（双峰县一模）如图， 的顶点 、 的坐标分别是 ， ，顶点 、 在双
曲线 上， 边 交 轴于点 ，且 的面积是 面积的 8 倍， 则 ．
7．（邗江区校级期中）如图，在以 为原点的直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在 轴、 轴的
正半轴上，反比例函数 与 相交于点 ，与 相交于点 ，若 ，且 的面积是
9，则 ．8．（临河区期末）如图， 函数 与函数 的图象相交于 ， 两点， 过 ， 两点分
别作 轴的垂线， 垂足分别为点 ， ． 则四边形 的面积为 ．
综合运用：反比例函数图象及其性质
1.m为何值时，下列函数是反比例函数？
（1）y=（m﹣1） ；
（2）y= ．
2.【探究函数y=x+ 的图象与性质】
（1）函数y=x+ 的自变量x的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+ 的图象大致是 ；
（3）对于函数y=x+ ，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0，∴y=x+ =（ ）2+（ ）2=（ ﹣ ）2+ ．
∵（ ﹣ ）2≥0，∴y≥ ．
【拓展说明】（4）若函数y= （x＞0），求y的取值范围．
3.小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y= 的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你
来完成：
（1）函数y= 的定义域是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
表中m的值是 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数y= 的图象，写出这个函数的性质： ．（只需写一个）
4.如图，已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限．
（1）该函数图象的另一分支位于第 象限，m的取值范围是 ；
（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y= （k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点
B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
6.（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 ．
（2）反比例函数 关于y轴对称的函数的解析式为 ．
（3）求反比例函数 （k≠0）关于x轴对称的函数的解析式．
7.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．第 8 讲 反比例函数的综合运用
知识点1反比例函数实际应用
1.分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。
2.函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函
数
3.概括整合
（1）简单的反比例函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【典例】
1.某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
3.某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在年1月1日投放市场，前3个月只在本地销售，同时每月投入500万元开拓外地市场，
3个月后，外地市场开拓成功进行正常销售．（1）只在本地销售时，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格x（元/件）与月销售量y（万件）满足函
数关系式y= ，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（不考虑每月对开拓外地市场的投
入）
（2）3个月后正常销售，该种产品销售价格统一为（80﹣m）元/件，公司每月可销售（10+0.2m）万件．从第4个月开始，每月可获
得的最大利润是多少万元？
（3）若该产品的销售情况一年内不发生变化（含只在本地销售的3个月），请从该年的最大总利润的角度分析，开拓外地市场能使
公司增加多少利润？
【方法总结】
应用反比例函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图象的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
【随堂练习】
1．（文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自年 1月开始限产进行治
污改造，其月利润 （万元）与月份 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后
是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
二．填空题（共1小题）
2．（江岸区校级模拟）如图，一块砖的 、 、 三个面的面积比是 ，如果 面向下放在地上，地面所受
压强为 ，那么 面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
三．解答题（共4小题）
3．（泰州期末）小明家饮水机中原有水的温度为 ，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温与开机时间 （分 满足一次函数关系），当加热到 时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温
与开机时间 （分 成反比例关系），当水温降至 时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所
示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当 时，求水温 与开机时间 （分 的函数关系式；
（2）求图中 的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少 ？
4．（西湖区期末）某游泳池有900立方米水，每次换水前后水的体积保持不变．设放水的平均速度为 立方米
小时，将池内的水放完需 小时，
（1）求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若要求在2.5小时至3小时内（包括2.5小时与3小时）把游泳池内的水放完，求放水速度的范围．
5．（余杭区期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中
的含药量 与药物在空气中的持续时间 成正比例；燃烧后， 与 成反比例（如图所示）．现测得药物
10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为 ．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时及燃烧后 关于 的函数表达式
（2）当每立方米空气中的含药量低于 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员
不能停留在教室里？
（3）当室内空气中的含药量每立方米不低于 的持续时间超过20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断
此次消毒是否有效，并说明理由．6．（鼓楼区期末）小明要把一篇社会调查报告录入电脑当他以100字 分的速度录入文字时，经240分钟能完成
录入．设他录入文字的速度为 字 分时，完成录入的时间为 分
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）要在 内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
知识点2反比例函数与一次函数
1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无
交点。
2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x与反比例函数y= （k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为 ，求直线BC的
解析式．
2.如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y= 的图象有唯一的公共点C
（1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y= 交于D、E两点，求△CDE的面积．【方法总结】
一次函数，反比例两函数比大小：
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个X ,X 且X＜0＜X 那么把这个图像分为了4份，分别为Ⅰ:X＜X，Ⅱ:X ＜X＜0，
1 2 1 2 1 1
Ⅲ:0＜X＜X，Ⅳ:X＞X ，树形结合，自变量相同，谁高谁大。（考虑反比例函数时一定要分支考虑，分为0左边，0右边，所以两
2 2
个交点把图像分为了4部分）
【随堂练习】
1．（梁溪区期末）在平面直角坐标系中，分别过点 ， 作垂直于 轴的直线 和 ，探究直线 、
与函数 的图象（双曲线）之间的关系，下列结论错误的是
A．两条直线中总有一条与双曲线相交
B．当 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C．当 时，两条直线与双曲线的交点都在 轴左侧
D．当 时，两条直线与双曲线的交点都在 轴右侧
2．（泉港区期末）如图，直线 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．若点 的坐标是
，则点 的坐标是A． B． C． ． D．
3．（定远县一模）已知反比例函数 与一次函数 的图象相交于点 ， 两点，一次函数的
图象与 轴交于点 ，点 在 轴上，其坐标为 ，则 的面积为
A．12 B．9 C．6 D．5
4．（安庆一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于 点，交 轴于 点，以 为边在第一
象限作正方形 ，其中顶点 恰好落在双曲线 上，现将正方形 向下平移 个单位，可以使得顶
点 落在双曲线上，则 的值为
A．2 B． C． D．3
5．（包头二模）如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于 ， 两点，过 作 轴的垂线，
交函数 的图象于点 ，连接 ，则 的面积为A．1 B．2 C．3 D．4
6．（南岸区校级月考）如图所示，菱形 的顶点 在 轴上，顶点 在反比例函数 的图象上，边 ，
分别交反比例函数 的图象于点 ，点 ，边 交 轴于点 ，连接 ．已知四边形 的面积为
12， ，则 的值为
A． B． C． D．
知识点3反比例函数与几何综合应用
反比例函数的基本性质在几何中的应用，适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的
代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标系解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变
换等结合及点坐标的应用。
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点D在反比例函数 的第一象限的图象上，CA的
延长线与y轴负半轴交于点E．若△ABE的面积为1.5，则k的值为 ．2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与y= （x＞0）的图象关于x轴对称，Rt AOB的顶点A，B
1 2
△
分别在y= （x＞0）和y= （x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 ．
1 2
3.如图，反比例函数y= （x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象
于点B。
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．
4.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点
P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．【方法总结】
反比例函数与几何的综合主要与全等，勾股、相似及反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识结合；熟练掌握这些知识点是解
决问题的关键．
求出多解时要注意看象限，判断是否需要舍值。
【随堂练习】
1．（南关区校级期末）学习完反比例函数的图象及性质后，老师给冋学们留了这样一道作业题：“已知点
和点 都在反比例函数 的图象上，试比较 和 的大小？”以下是彬彬同学的解题过程：
（1）彬彬的解答过程在第 步开始出错，出错的原因是 ．请你帮助彬彬写出正确的解答过程．
（2）若点 、点 和点 也在反比例函数 的图象上，直接比较 、 、 的大小 （结
果用“ ”连结）
2．（永康市期末）如图，平行四边形 的顶点 在原点上，顶点 ， 分别在反比例函数
， 的图象上，对角线 轴于 ，已知点 的坐标为
（1）求点 的坐标；
（2）若平行四边形 的面积是55，求 的值．3．（恩施市二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边 的边 在 轴的负半轴上，反比例函数
的图象经过 边的中点 ，且与 边交于点 ．
（1）求 的值；
（2）连接 ， ，求 的面积；
（3）若直线 与直线 平行，且与 的边有交点，直接写出 的取值范围．
4．（常州期末）在平面直角坐标系中，已知点 、 的坐标分别为 ， 、 ，把点 绕坐标原点 顺
时针旋转 得点 ，若点 在反比例函数 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点 、 的坐标．
5．（工业园区期末）如图， 的直角边 在 轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过斜边的中点 ，与直角边 相交于点
（1）若点 ，求点 的坐标：
（2）若 △ ，求 的值．
6．（泉州期末）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 和 ．以线段 为一边在第一象限内作
，其顶点 在双曲线 上．
①求证：四边形 是正方形；（提示：作 垂直 轴，垂足为
②探索：将正方形 沿 轴向左平移多少个单位长度时，点 恰好落在双曲线 上．（提示：作
垂直 轴于 ，交双曲线于点
7．（沙坪坝区校级期末）在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 图象交于点
；另一条直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数 图象交于点
和点 ， ，连接 、 ．
（1）求反比例函数解析式和点 的坐标；
（2）求 的面积．8．（北碚区校级期末）如图，反比例函数 与一次函数 相交于 ， 两点， 轴
于点 ，则：
（1）求反比例函数与一次函数的解析式：
（2）若 则直接写出 的取值范围：
（3）若 为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足 ，则求点 的坐标．
9．（九龙坡区校级期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象
限的 、 两点，与 、 轴分别交于 、 两点，过点 作 轴于点 ，连接 ，且
的面积为3，作点 关于 轴对称点 ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）连接 、 ，求 的面积．综合运用: 反比例函数的综合运用
1.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y= （x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点
【选项D】
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．
2.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y= 的图象相交于点C（﹣
1 1 1 2
4，﹣2），D（2，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，y＞0；
1
（3）当x为何值时，y＜y，请直接写出x的取值范围．
1 23.实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关
系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y= （k＞0）表示（如图所
示）．
（1）求k的值．
（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）第 9 讲 锐角三角函数
知识点1 正弦、余弦、正切
锐角三角函数相关概念
正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。
余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。
∠A
锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做 的锐角三角函数。
（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值
随角度的变化而变化。
°0<∠A<90°
（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0
函数的增减性分别为：
∠A
①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大
∠A
②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而减小
∠A
③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随 的增大而增大.
【典例】
1.在Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC= ，sinA=
△
2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为 ．3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD= ．
【方法总结】
1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。
2、相等的角相对应的三角函数值相等。
3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。
4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比.
【随堂练习】
1．（东莞市校级月考）三角函数sin45°，cos16°，cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin45° B．cos16°＞cos43°＞sin45°
C．cos16°＞sin45°＞cos43° D．cos43°＞sin45°＞cos16°
2．（绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是___．
3．（南沙区一模）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA= ，则sinB=____．
△知识点2 特殊角的三角函数值
30° ，45° ，60°
特殊角的三角函数值主要是指 这三个角的三角函数值，如下表：
【典例】
1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）= ，则α等于 度．
2.4cos30°+ +|﹣2|= ．
【方法总结】
1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。
2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。
【随堂练习】
1．（马鞍山期末）若 为锐角，且 ，则
A． B． C． D．
2．（昭平县期末）在 中， ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．3．（阳江一模）已知 是锐角，且满足 ，则 的大小为
A． B． C． D．无法确定
4．（太仓市期末）如图，在 中， ， ，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
知识点3 解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程
叫做解直角三角形。
【典例】
1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD= ，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记| |=a，则a的取值范围为
．
3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【方法总结】
1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。
2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。
【随堂练习】
1．（云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1， 的顶点都是格点，则 的值为A． B．1 C．5 D．
2．（柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形 ， ， ，
，连接 ，则 的值等于
A． B． C． D．
3．（长沙）如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，则
的最小值是
A． B． C． D．10
4．（广东二模）点 在第二象限， 与 轴所夹的锐角为 ， ，则 的值为
A． B． C．2 D．35．（海港区校级自主招生） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ， ， ，
则
A． B． C．2 D．3
6．（南海区二模）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，那么 的值是
A． B． C． D．
7．（沙坪坝区校级月考）如图，已知 中， ， ，过 作 交边 于 点，且
，则
A．8 B． C．7 D．
8．（萧山区一模）如图， 中， ，点 是 边上一点．若 ， ，则 为A． B． C． D．
9．（路桥区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点 ， ， ， ， 均在格点上，连接 ， ，
， ，线段 的延长线交 于点 ，则 的值
A． B． C． D．
10．（江岸区校级模拟）如图，在 中， ， ， ，则 长为
A．12 B．14 C． D．
11．（川汇区期末）如图， 的顶点是正方形网格的格点，则
A． B． C． D．
12．（如皋市期末）如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点．若 的顶点都在格点上，则 的值等于
A． B． C． D．
13．（象山县期末）如图，网格中小正方形的边长都为1，点 ， ， 在正方形的顶点处，则 的值为
A． B． C． D．
知识点4 解直角三角形应用
①坡度，坡角
∠ABC
如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的 称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l
的比叫做坡面的坡度（或坡比），用
ι
表示，记作
ι=
h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，
α α
记作 于是 ，显然，坡度越大， 越大，坡面就越陡。
。° ∠NOA,∠SOB,∠NOD,∠SOC
②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90 得角叫方位角.如图； 都是方位
角.
° °
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35 ；目标方向OB表示的方位角为南偏东75 ；目标方向OC表示的方位角为南偏西45
° °
，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40 .
③仰角、俯角
∠AOC成为仰角；
如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的 把视线 OB与水平
∠BOC
线OC所形成的 称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在
水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.
【典例】
1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱
BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为
3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为 m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）．2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时
测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，
渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡
行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望
C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈ ，cos53°≈ ，tan63.4°≈2，
sin63.4°≈ ）
【方法总结】
1、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。
2、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。
【随堂练习】
1．（日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米 B．（36﹣15 ）米 C．15 米 D．（36﹣10 ）米
2．（北碚区校级一模）休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面
的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面
的竖直方向的距离A′E约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m
3．（渝中区校级三模）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与
地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为
30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
4．（沙坪坝区校级模拟）为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度，小南同学使用的无人机进行观察，当无人机与大金鹰
侧面在同一平面，且距离水平面垂直高度GF为100米时，小南调整摄像头方向，当俯角为45°时，恰好可以拍摄到金鹰的头顶A
点；当俯角为63°时，恰好可以拍摄到金鹰底座点E．已知大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面CE长12.5米，坡度为1：
0.75，石台上方BC长10米，头部A点位于BC中点正上方．则金鹰自身高度约（ ）米．（结果保留一位小数，sin63°≈0.89，
cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）A．26.5 B．36.4 C．36.5 D．63.5
5．（云南模拟）在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．
6．（沙坪坝区校级二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物 CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡
BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了 米，刚好到达坡底E处，
这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度
约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米
7．（柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形 ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接
BD，则tan∠CBD的值等于（ ）A． B． C． D．
8．（益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大
桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架
顶端离水面的高CD为（ ）
A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ
C．atanα+atanβ D． +
9．（雨花区校级二模）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问
古塔BC的高度为（ ）米．
A．25.5 B．26 C．28.5 D．20.5
10．（长寿区模拟）如图，菩提山上灯一盏”是我区老八景之一．某人为了测量菩提山上的“塔式佛教圣灯”ED的高，他在山下某
点A处测得塔尖D的仰角为45°，在沿AC方向前进24.40m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°．
那么塔式佛教圣灯ED的高度约为（ ）（计算中 ≈1.7， ≈1.4，结果保留两位小数）A．35.78m B．37.54m C．39.53m D．40.52m
综合运用：锐角三角函数
1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD．
3.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，求△ABC的面积。
4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC= ，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是
BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式．5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证： = ．
6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网
格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 AE=2DF，EF⊥BF，求DF
的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路
面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： =1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H），其中L为楼间水平距离，
1
H为南侧楼房高度，H 为北侧楼房底层窗台至地面高度．
1
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为
4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数
不低于1.25，底部C距F处至少多远？
10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为
∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414， ≈1.732）第 10 讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y= x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
2.函数y=（a﹣1）x +x﹣3是二次函数时，则a的值是______
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，
但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不
论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义
作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．（资中县一模）若关于 的函数 是二次函数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（镇江模拟）已知函数 的图象是一条抛物线，则 ．
3．（施甸县模拟）若函数 是二次函数，则 的值是 ．
4．如果 是二次函数，那么 需满足的条件是 ．
5．（奉贤区一模）如果函数 是常数）是二次函数，那么 的取值范围是 ．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.2.二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
3.二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴
及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、
以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关
于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
4. 二次函数 的性质（1）当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 ．
（2） 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（海州区二模）已知二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 在直角坐标系中的图
象大致为
A． B．
C． D．2．（葫芦岛）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
3．（日照期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致是
A． B． C． D．
4．（呼和浩特）二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是
A． B．C． D．
5．（南沙区一模）在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的大致图象是
A． B．
C． D．
6．（宜宾）已知抛物线 与 轴交于点 ，与直线 为任意实数）相交于 ， 两点，则下列结论
不正确的是
A．存在实数 ，使得 为等腰三角形
B．存在实数 ，使得 的内角中有两角分别为 和
C．任意实数 ，使得 都为直角三角形
D．存在实数 ，使得 为等边三角形
7．（南浔区二模）如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，顶点为 ，
直线 经过点 ，与抛物线的对称轴交于点 ，点 是对称轴上的一个动点，若 的值最小，
则点 的坐标为A． B． C． D．
8．（蓝田县一模）开口向下的抛物线 的对称轴经过点 ，则 的值为
A． B．1 C． 或2 D．
9．（老河口市模拟）已知点 ， 均在抛物线 上，点 是该抛物线的顶点，若
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．解答题（共3小题）
10．（宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与抛物线 均经过
点 ．直线 在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）．函数 的图象记为
，函数 的图象记为 ，图象 与 合起来得到的图形记为 ．
（1）求 、 的值．
（2）当 时，求图形 上 随 的增大而减小时 的取值范围．
（3）当 时，图形 上最高点的纵坐标为2，求 的值．
（4）当直线 与图形 有2个公共点时，直接写出 的取值范围．11．（上城区一模）已知二次函数 ．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当 时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当 时， 随着 增大而增大，求 的取值范围．
12．（思明区校级月考）点 为二次函数 图象的顶点，直线 分别交 轴正半轴，
轴于点 ， ．
（1）判断顶点 是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由．
（2）若二次函数图象也经过点 ， ，且 ，借助图象，求出 的取值范围．
（3）点 坐标为 ，点 在 内时，若点 ， ， ， 都在二次函数图象上，试比较 与
的大小．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）A. B. C. D.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【方法总结】
1、抛物线 与 轴的交点个数与一元二次方程 的 有关系，
①当 时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当 时，抛物线与x轴有一个交点；③当 时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与 有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于 .(“ ”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与 三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如 的图
象经过(1,0)，可以得到0= )
【随堂练习】
1．（丹东二模）已知抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．以下结论：
① ；
② ；
③ 是大于1的实数）；
④
其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（汇川区模拟）抛物线 的对称轴为直线 ，部分图象如图所示，下列判断中：
① ；
② ；
③ ；
④若点 ， 均在抛物线上，则 ；
⑤ ；
其中正确的个数有A．2 B．3 C．4 D．5
3．（天心区校级期末）抛物线 的部分图象如图所示，与 轴的一个交点坐标为 ，抛物
线的对称轴是 ．下列结论中：① ； ② ； ③方程 有两个不相等的实数根；
④ ； ⑤若点 在该抛物线上，则 ，其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（碑林区校级一模）已知抛物线 的图象如图所示，则下列结论① ，② ，
③ ④ 中正确的有
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．（碑林区校级三模）二次函数 ，经过点 ，对称轴 如图所示，若 ，， ，则 ， ， 中，值小于0的数有 个．
A．2 B．1 C．0 D．3
6．（桐梓县模拟）如图是二次函数 的部分图象，图象过点 ，对称轴为直线 ，给出四
个结论：① ：② ③ ④若点 ， ， ， 为函数图象上的两点，则 ，
其中正确结论是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
7．（红花岗区校级二模）如图是二次函数 的图象的一部分，对称轴是直线 ，以下结论：①
；② ；③ 为任意实数，则有 ；④若 ， 是抛物线上的两点，则
，正确的有 个．A．1 B．2 C．3 D．4
8．（铅山县一模）二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，
下列论正确的是
A．
B．
C．
D．若 ， 在该函数图象上，则
9．（随州）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， ，
对称轴为直线 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是关于 的一元二次
方程 的一个根．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（巴中）二次函数 的图象如图所示，下列结论① ，② ，③ ，④ ．其中正确的是
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2
（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新
的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由 ， 的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点
1
a=
式 ，确定其顶点坐标 ；保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 3 处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（资阳）如图是函数 的图象，直线 轴且过点 ，将该函数在直线 上方的图象沿
直线 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不
大于5，则 的取值范围是
A． B． C． D． 或
2．（玉环市一模）把抛物线 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图
象的解析式是 ，则 的值为
A．2 B．3 C．5 D．12
3．（婺城区模拟）如图所示，抛物线 与 、 轴分别交于 、 、 三点，连结 和 ，
将 沿与坐标轴平行的方向平移，若边 的中点 落在抛物线上时，则符合条件的平移距离的值有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（新野县三模）如图，将抛物线 的图象 轴上方的部分沿 轴折到 轴下方，图象的其余部分不
变，得到一个新图象．则新图象与直线 的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（金水区校级一模）如图，点 ， 是抛物线 上的两点，将抛物线 向左平移，
得到抛物线 ，点 ， 的对应点分别为点 ， ．若曲线段 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物
线 的解析式是
A． B． C． D．6．（金水区校级模拟）二次函数 的图象与 的图象形状相同，开口方向相反，且经过点 ，则
该二次函数的解析式为
A． B． C． D．
7．（西青区二模）作抛物线 关于 轴对称的抛物线 ，再将抛物线 向左平移2个单位，向上平移1个单位，
得到的抛物线 的函数解析式是 ，则抛物线 所对应的函数表达式是
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
8．（慈溪市模拟）把抛物线 （其中 是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线 只
有一个公共点，则需平移 个单位．
9．（吴兴区一模）在平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点 顺时针旋转 后，得到新曲线 ．
（1）如图①已知点 、 在函数 的图象上，若 、 是 、 旋转后的对应点，连结
、 ，则 ；
（2）如图②，曲线 与直线 相交于点 、 ，则 ．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°
后得到抛物线的解析式为 ．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当
的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.
已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（北京模拟）写出经过点 ， 的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
2．（台安县一模）一抛物线和另一抛物线 的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是 ，则该抛物
线的解析式为 ．
二．解答题（共5小题）
3．如图一，抛物线 过 ， 、 三点（1）求该抛物线的解析式；
（2） ， 、 两点均在该抛物线上，若 ，求 点横坐标 的取值范围；
（3）如图二，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，该抛物线的对称轴与 轴交于点 ，连结 、 ，点
为线段 的中点，点 、 分别为直线 和 上的动点，求 周长的最小值．
4．（安阳二模）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 在 轴负半轴上，且 ，抛
物线 经过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的动点，设点 的横坐标为 ，过点 作 ，垂足为 ，用含 的代数
式表示线段 的长，并求出线段 的最大值．
5．（滨海新区二模）在平面直角坐标系中， 为原点，抛物线 经过点 ， ，对称轴
为直线 ，点 关于直线 的对称点为点 ．过点 作直线 轴，交 轴于点 ．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点 在 轴上，当 的值最小时，求点 的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（瓯海区二模）已知抛物线 的对称轴为 ，且过点 ， ．
（1）求抛物线的表达式．（2）已知点 和点 在此抛物线上，其中 ，请判断关于 的方程 是否有实数根，并说
明理由．
7．（芜湖二模）如图，抛物线 经过点 和点 ．
（1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；
（2）若点 是抛物线落在第一象限，连接 ， ，求 的面积 的最大值及此时点 的坐标．
知识点6二次函数的最值
b
x=−
y=ax2 +bx+c(a≠0) 2a
1. 一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，当 时，二次函数
4ac−b2
y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
有最小（大）值 ；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值
为________
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为
_______
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】1．（怀柔区二模）在平面直角坐标系 中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
2．（拱墅区二模）二次函数 的图象经过坐标原点 和点 ，直线 交 轴于点 ，动
点 在直线 上，且 ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，则 的最值情况是
A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最小值8 D．有最大值8
3．（邯郸模拟）对于题目“二次函数 ，当 时， 的最小值是1，求 的值．”甲
的结果是 ，乙的结果是 ，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
4．（玉州区一模）已知二次函数 为常数），在自变量 的值满足 的情况下，与其对应的
函数值 的最大值为0，则 的值为
A． 和6 B．2和6 C． 和3 D．2和35．（下城区一模）已知二次函数 ，其中 ， 为常数．下列说法正确的是
A．若 ， ，则二次函数 的最大值小于0
B．若 ， ，则二次函数 的最大值大于0
C．若 ， ，则二次函数 的最大值小于0
D．若 ， ，则二次函数 的最大值大于0
6．（江北区一模）已知点 ， 在抛物线 的图象上，且 ，则线段 长的最大值、
最小值分别是
A． ，2 B． ， C． ，2 D． ，
7．（河北模拟）对于题目“当 时，二次函数 有最大值4，求实数 的值．”：甲的
结果是2或 ，乙的结果是 或 ，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
8．（江都区校级月考）已知二次函数 为常数），在自变量 的值满足 的情况下，与其
对应的函数值 的最小值为4，则 的值为
A．2 B．2或 C．2或 D．2或 或
9．（白水县一模）若二次函数 的最高点在 轴上，则 的值为
A．1 B．2 C． D．
10．（和平区期末）当 时，函数 的最小值为4，则 的值为
A． B．4 C．4或3 D． 或3综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
2.已知反比例函数y= 的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，
m）．则函数y=ax2+bx+ 有最 值，这个值是 ．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为
．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣ x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．第 11 讲 二次函数的实际问题
知识点1二次函数的实际问题之利润问题
1.利润、售价、进价之间的关系：
利润=售价-进价。
2.总利润、单价利润、数量之间的关系：
总利润=单件利润×数量。
【典例】
【题干】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价
每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A. y=（x﹣40）（500﹣10x） B. y=（x﹣40）（10x﹣500）
C. y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
2.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：①若只在国内销售，销售价格y
（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣ x+150，成本为20元/件，月利润为W （元）；②若只在国外销售，销售价格
内
为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳 x2元的附
加费，月利润为W （元）．
外
（1）若只在国内销售，当x=1000（件）时，y= （元/件）；
（2）分别求出W 、W 与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
内 外
（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．
【方法总结】
解这类题方法是：
（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式,把二次函数化成顶点式来求题目中的最大值。
【随堂练习】
1．（准格尔旗三模）鄂尔多斯市某百货商场销售某一热销商品 ，其进货和销售情况如下：用16000元购进一批
该热销商品 ，上市后很快销售一空，根据市场需求情况，该商场又用7500元购进第二批该商品，已知第二批所购件数是第一批所购件数的一半，且每件商品的进价比第一批的进价少10元．
（1）求商场第二批商品 的进价．
（2）商场同时销售另一种热销商品 ，已知商品 的进价与第二批商品 的进价相同，且最初销售价为165元，
每天能卖出125件．经市场销售发现，若售价每上涨1元，其每天销售量就减少5件，问商场该如何定售价，每天
才能获得最大利润？并求出每天的最大利润是多少？
知识点2：二次函数的实际问题之轨迹问题
1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。
2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。
3.利用待定系数法求二次函数的解析式。
4.运用已求二次函数的解析式解决问题。
【典例】
1.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的
最高点M离墙1 m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是________
2.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高
度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标
系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32米，各方向喷
出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【方法总结】
b
x=−
y=ax2 +bx+c(a≠0)
2a
1.一般地，抛物线 的顶点就是抛物线的最低（高）点，当 时，二次函数
4ac−b2
y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
有最小（大）值
2.利用函数的观点来认识现实生活中的模型，可以用二次函数的最值来解决实际问题。
【随堂练习】
1．（集美区模拟）如图，排球运动员站在点 处练习发球，将球从 点正上方 的 处发出，把球看成点，
其运行的高度 与运行的水平距离 满足抛物线解析式．已知球达到最高 的 点时，与 点的水平距
离 为 ．
（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；
（2）球网 与点 的水平距离为 ，高度为 ．球场的边界距 点的水平距离为 ．该球员判断此次
发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．
知识点3二次函数的实际问题之面积问题
1.二次函数的应用中动点产生的图形面积问题；
2. 二次函数的最值：
b
x=−
y=ax2 +bx+c(a≠0) 2a
一 般 地 ， 抛 物 线 的 顶 点 就 是 抛 物 线 的 最 低 （ 高 ） 点 ， 当 时 ， 二 次 函 数
4ac−b2
y=ax2 +bx+c(a≠0) 4a
有最小（大）值 ；
当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种
植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为 ，当x= 时，种植面积最大= m2．2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向
点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．
（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）t为何值时s最小，最小值时多少？
3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．
4.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数
关系式，并写出自变量x的取值范围．
【方法总结】
根据图形的形状列出函数的解析式，再确定自变量的取值范围，根据二次函数的顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）；
【随堂练习】
1．（天心区校级期末）某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形
（篱笆只围 ， 两边），设 ．
（1）若花园的面积 ，求 的值；
（2）若在 处有一棵树与墙 ， 的距离分别是 和 ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗
细），求花园面积 的最大值．
2．（滨江区期末）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为 ，饲养室之间用一
道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 ，设三间饲养室合计长 ，
总占地面积为 ．
（1）求 关于 的函数表达式和自变量的取值范围．
（2） 为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
知识点4二次函数的实际问题之函数图象问题
【典例】
（宜兴市一模）某制衣企业直销部直销某类服装，价格 （元 与服装数量 （件 之间的关系如图所示，现有甲
乙两个服装店，计划在“五一”前到该直销部购买此类服装，两服装店所需服装总数为120件，乙服装店所需数
量不超过50件，设甲服装店购买 件，如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装，两服装店需付款总和为
元．
（1）求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围．（2）若甲服装店购买不超过100件，请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？
【方法总结】
这种题型先观察图象，确定两个变量的关系，并根据题意来确定相应的关系式或最值
【随堂练习】
1．（芜湖三模）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成
本为每千克10元，草莓成熟后投人市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量 （千克）
与销售单价 （元 千克）之间函数关系如图所示．
（1）求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围．
（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？
（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量600千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？
请说明理由．
综合运用：二次函数的实际应用
1.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6
千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y（元）与国内销售量x（千件）的关系为：
1
y=
1
若在国外销售，平均每件产品的利润y（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为
2
（1）用x的代数式表示t为：t= ；当0＜x≤4时，y 与x的函数关系为：y= ；当 ＜x＜
2 2
时，y=100；
2（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的
取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
∠C=60∘
2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9， ，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点
D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
（1）求AD的长；
ΔPDQ
（2）设CP= x，问当x为何值时， 的面积达到最大？求出最大值。
3.一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤 30元，
据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元
的价格全部售出．
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每斤海鲜的市场价为 元；
②x天后死去的海鲜共有 斤；死去的海鲜的销售总额为 元；
③x天后活着的海鲜还有 斤；
（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y，写出y 关于x的函数关系式；
1 1
（3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y 关于放养天数x的函数关系式．
2
4.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出
一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，
建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，
得到如下部分数据：
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值．
6.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门
口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时
的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m= ，解释m的实际意义： ；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．第 12 讲 二次函数与方程、不等式综合
知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
ax2 +bx+c=0(a≠0) Δ=b2 −4ac
抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程 中的 决定。
Δ>0 ax2 +bx+c=0(a≠0)
若 ，抛物线与x轴有两个交点，方程 有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二
次方程的两个实根。
Δ=0 ax2 +bx+c=0(a≠0)
若 ，抛物线与x轴有一个交点，方程 有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点
的横坐标。
Δ《<0 ax2 +bx+c=0(a≠0) a>0 a<0
若 ，抛物线图象与x轴没有交点，方程 无实根， 抛物线在x轴上方， ，抛物线在x
轴下方。
【典例】
1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
则t的取值范围是______
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6
4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1
【方法总结】
Δ>0
解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的
，二次函数与x
Δ《<0
轴有两个交点， 时，二次函数与x轴有一个交点， 时，二次函数与x轴没有交点。
【随堂练习】
1．（大庆一模）对于二次函数 ，有下列结论：①其图象与 轴一定相交；②若
，函数在 时， 随 的增大而减小；③无论 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论 取
何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（莱芜区）将二次函数 在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一
个新图象，若直线 与这个新图象有3个公共点，则 的值为
A． 或 B． 或2 C． 或2 D． 或
3．（宁波自主招生）三个关于 的方程： ， ， ，已知常数
，若 、 、 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是
A． B．
C． D．不能确定 、 、 的大小
4．（集美区模拟）二次函数 的对称轴为 ．若关于 的一元二次方程 在的范围内有实数解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
5．（梧州）已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
6．（南充模拟）针对关于 的方程 ，下列说法错误的
A．可以有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．一个根大于0，一个根小于0 D． 时才有整数根
7．（绍兴模拟）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为6，称此抛物线为定弦抛物线．已知某
定弦抛物线开口向上，对称轴为直线 ，且通过 ， ， ， 四点，则 ， ， ，
中为正数的是
A． B． C． D．
8．（莘县二模）如图，抛物线 交 轴点 和 ，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ，
下列四个判断：①当 时， ；②若 ，则 ；③抛物线上有两点 ， 和 ， ，若
，且 ，则 ；④点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，
当 时，四边形 周长的最小值为 ，其中，判断正确的序号是
A．①② B．②③ C．①③ D．②③④
9．（三明一模）二次函数 满足以下条件：当 时，它的图象位于 轴的下方；当时，它的图象位于 轴的上方，则 的值为
A．27 B．9 C． D．
10．（齐齐哈尔一模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，
其部分图象如图所示，现有下列结论：① ：② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减
小；⑤ ；⑥ ．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（武功县一模）已知抛物线 ，当 时， ，且当 时， 的值随 值的增大而
减小，则 的取值范围是
A． B． C． D．
知识点2二次函数与一次函数的综合
求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的 x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐
标。
【典例】
1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______
2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x，0），B（x，0），且x2+x2=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线
1 2 1 2CM的函数表达式．
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【方法总结】
解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选
项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【随堂练习】
1．（孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
则方程ax2=bx+c的解是______．
知识点3二次函数与不等式的综合
y=ax2 +bx+c(a》>0)
1.二次函数 与一元二次不等式之间的关系
Δ>0 y=ax2 +bx+c>0 x<x ,x>x (x <x )
若 ， 的解集为 1 2 1 2 ；
y=ax2 +bx+c<0 x <x<x (x <x )
的解集为 1 2 1 2 。
若
Δ=0
，
y=ax2 +bx+c>0
的解集为
x≠x
1,2；
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
Δ<0 y=ax2 +bx+c>0
若 ， 的解集为x可取任意实数。
y=ax2 +bx+c<0
的无解。
2.二次函数与一次函数不等关系
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。
【典例】
1.如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出
1 2使y≥y 成立的x的取值范围______
1 2
2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______
3.在同一坐标系下，抛物线y=﹣x2+4x和直线y=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______
1 2
4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
【方法总结】
解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的
上方！
【随堂练习】
1．（兰山区二模）如图，二次函数y＝ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax 2 +bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（ ）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
2．（秀洲区期末）给出下列命题及函数y＝x，y＝x 2和y＝ 的图象．（如图所示）①如果 ＞a＞a 2，那么0＜a＜1；②如果a 2＞a
＞ ，那么a＞1；③如果a 2＞ ＞a，那么a＜﹣1．则真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共7小题）
3．（雨花区校级二模）如图抛物线y＝ax 2 +bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax 2 +bx+c＞0的解集
为 ．
4．（济宁）如图，抛物线y＝ax 2 +c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax 2 +mx+c＞n的解集是 ．
5．（开封一模）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax 2 +bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b 2＞4ac；②ax 2 +bx+c≥
﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是 ．
6．（海曙区期末）如图抛物线y＝ax 2 +c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax 2 +c＜0
时自变量x的取值范围是 ．
7．（铁西区模拟）如图，已知函数y＝﹣ 与y＝ax 2 +bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式bx+
的解集为 ．
8．（桓台县二模）如图，直线y1 ＝kx+n（k≠0）与抛物线y2 ＝ax 2 +bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1
＞y2 时，x的取值范围是 ．
9．（祥云县二模）已知抛物线y1 ＝x 2 +bx+c与直线y2 ＝kx+m相交于A（﹣2，3）、B（3，﹣1）两点，则y1≥y2 时x的取值范围是
．综合运用：二次函数与方程、不等式的综合
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，顶点为D．
（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的
位置准确）．
（2）若M（m﹣1，y），N（m，y）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y，y 的大小关系．（直接写结果）
1 2 1 2
（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．
（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果．
2.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3及一次函数y=x+m．
1 2
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新
图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值；
2
（3）当0≤x≤2时，函数y=y+y+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．
1 2
3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即x，x 就是方程的解．
1 2（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与一个一次函数y=
的 图 象 交 点 的 横 坐 标 ② 画 出 这 两 个 函 数 的 图 象 ， 用 x ， x 在 x 轴 上 标 出 方 程 的 解 ．
1 2
4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的
横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字）第 13 讲 二次函数存在性问题
知识点1二次函数中直角三角形存在性问题
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才
能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x）（x－x），
1 2
通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x，x 才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－ ， ）．
1 2
对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，
对称轴，顶点．
【典例】
1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线
BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；
（3）当△PBC的面积为 时，求点E的坐标．
【方法总结】
探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；
（2）找点：当所给定长没有说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。
再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。
【随堂练习】
1．（琼中县一模）如图，已知抛物线y＝﹣x 2 +bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点M，使△AMN为直角三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（孝义市二模）综合与探究
如图，抛物线y＝﹣ x 2 + x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点P是第一象限抛物线上的一个动
点，点P的横坐标为m，过点P作直线l垂直于x轴，垂足为D，交直线AC于点E．连接CD．
（1）求出A，B，C三点坐标及直线AC的解析式；
（2）当∠DCO＝∠DCA时，直接写出此时点P坐标；
（3）在点P运动的过程中，是否存在以点P，C，E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说
明理由．
知识点2二次函数中等腰三角形存在性问题此知识点是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．
难点在于第（2）（3）问，符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C：y=2x2+x+1，动直线
1 2
x=t与抛物线C 交于点N，与抛物线C 交于点M．
1 2
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于
点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
【方法总结】
探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且
交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点，则交点即为所求的点，若作
出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。以上方法即可找出所有符合条件的点；
（3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有
时也可利用直角三角形的性质进行求解。
【随堂练习】
1．（和平区二模）如图1，抛物线y＝ax 2 +bx+2与x轴交于A（5，0）．B（﹣1，0）两点，与y轴交于C点，若点P是抛物线上的动
点，设点P的横坐标为t（﹣1＜t＜2），过点P作PQ⊥x轴于点Q作PM∥x轴交抛物线于另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形
PQNM，矩形PQNM的周长为l．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求1与t的函数关系式，并求l的最大值；
（3）当l＝12时连接对角线PN，在线段PN上取一点D（点D与点P，N不重合），连接DM，过点D作DE⊥DM交x轴于点E
① 的值为 ；
②是否存在点D．使△DEN是等腰三角形．若存在请直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在请说明理由．
知识点3二次函数中四边形存在性问题
本知识点重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数
学思想方法．
平行四边形的判定与性质
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形两组对边分别相等；
③平行四边形两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于
另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求
出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【方法总结】
在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3
个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边
形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条
件的平行四边形；
（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全
等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的
解为交点坐标的方法求解。
【随堂练习】
1．（咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ x 2 +bx+c经过A，B两点
且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E
点的坐标．2．（鹤壁一模）如图，抛物线y＝ax 2 +bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P
（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点
R的坐标；若不存在，说明理由．
综合运用：二次函数存在性问题
1.如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0），过点B
作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）在直线x=﹣ 上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明
理由．2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y
轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等
腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为
正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与直线y= x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x．
①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x的函数解析式，并求出PM的最大值；
②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，请直接写出此时点P的坐标．第 14 讲 圆的有关性质
知识点1 垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
⌒
(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作AB,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 .
小于半圆的弧叫做劣弧，如 。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相
等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r 与半径为r 的⊙O叫做同心圆。
1 2
（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 与⊙O 的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
1 2
（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石
块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）
和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（利川市一模）如图， 为 直径， 于点 ， 于 ， 过圆心 ，且 ．则四
边形 的面积为
A． B． C． D．
2．（渝中区校级三模）如图， 的半径 弦 于点 ，连结 并延长交 于点 ，连结 ．若
，
，则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．2.5
3．（梧州）如图，在半径为 的 中，弦 与 交于点 ， ， ， ，则 的长
是A． B． C． D．
4．（金华模拟）如图，以 为圆心，3为半径的圆与 轴交于点 、 ， 是 上异于 、 的一动点，
直线 与 分别交 轴于点 、 ，以 为直径的 交 轴于点 、 ，则 的长
A． B．5 C． D．不能确定
二．填空题（共8小题）
5．（剑阁县模拟）如图， 为 的直径， ， 为 的弦，已知 于点 ， ，现
要作 的另一条弦 ，使得 且 ，则 的长度为 ．
6．（广元一模）如图，在平面直角坐标系中， 的半径为5，弦 的长为6，过 作 于点 ，
内一点 的坐标为 ，当弦 绕 点顺时针旋转时，点 到 的距离的最小值是 ．7．（鹿城区校级三模）如图，在直角坐标系中， 的圆心坐标为 ， 半径为 ，函数 的图象被
截得的弦长为2，则 的值为 ．
8．（鹿城区校级二模）如图， 是半圆 的直径， ， 为弦， 于 ， 交半圆 于
点 ， 于 ，若 ，则 的长为 ．
9．（嘉兴）如图，在 中，弦 ，点 在 上移动，连结 ，过点 作 交 于点 ，则
的最大值为 ．10．（怀柔区二模）如图，在 中，直径 于点 ， 为直径上一点，且 ，过 作弦 ，
．则弦 ， ， ， 中最短的是 ．
11．（淄川区一模）如图， 是 的直径，且 ，弦 的长为8，若弦 的两端在圆周上
滑动，始终与 相交．记点 ， 到 的距离分别为 ， ，则 等于
．
12．（呼和浩特模拟）如图， 是 的弦，点 在 上，以 为边作等边三角形 ，点 在圆内，且
恰好经过点 ，其中 ， ，则 的长为 ．
知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。
（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是 的三等分点（ ＞ ），BG交AF于点
H，若 的度数为30°，则∠GHF等于
2.如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=38°，则∠AEO的度数是
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．如图，在 中， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
2．（瑞安市期末）如图， ， ， 是 上的三点， ， 的圆心 的两侧，若 ，，则 的度数为
A． B． C． D．
3．（台湾）如图表示 、 、 、 四点在 上的位置，其中 ，且 ， ．若阿超在
上取一点 ，在 上取一点 ，使得 ，则下列叙述何者正确？
A． 点在 上，且 B． 点在 上，且
C． 点在 上，且 D． 点在 上，且
4．（武汉模拟）如图， 是 的直径， 是 的弦 ．若 ， ，则 的长为
A． B． C． D．
5．（安徽一模）已知 的直径 为2，弧 的度数为 ，点 是弧 的中点，点 在直径 上移动，
则 的最小值为A．1 B．2 C． D．
6．（衢州一模）如图， 已知 和 是 的两条等弦 ． ， ，垂足分别为点
、 ， 、 的延长线交于点 ，联结 ． 下列四个说法中：
① ；② ；③ ；④ ，正确的个数是
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
7．（港南区四模） 是 外一点， 、 分别交 于 、 两点， 已知 、 的度数别
为 、 ，则 的度数为
A ． B ． C ． D ．
二．填空题（共2小题）
8．（德州）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ， ，则弦 的长度为．
9．（青浦区二模）如图，在 中， 、 为半径，连接 ，已知 ， ，那么圆心 到
的距离为 ．
知识点3 圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（下城区二模）如图， 为 的直径， 为 延长线上的一点， 在 上（不与点 ，点 重合），
连接 交 于点 ，且 ．设 ， ，下列说法正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（武汉模拟）如图， 为 的直径， 为半圆的中点， 为 上一点， ，则 的长为
A． B．2 C． D．
3．（高青县一模）如图， 为 的直径， 为 上一点，其中 ， ， 为 上的动点
连 ，取 中点 ，连 ，则线段 的最大值为A．3 B． C． D．
4．（北碚区校级期末）如图， 的直径 ， ， 是 上的两点，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
5．（中原区校级三模）如图所示，在 中 ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交
于一点 ，交 于点 ，则 的度数为
A． B． C． D．
6．（沙坪坝区校级二模）如图， 是 的直径， 、 为圆上两点， ，则 的度数为A． B． C． D．
7．（泉山区校级二模）如图， 、 、 是 上的点，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
8．（瑶海区校级一模）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ，则 等于
A． B． C． D．
9．（碑林区校级模拟）如图， 、 是以线段 为直径的 上两点，若 ，且 ，则
的度数为
A． B． C． D．
知识点4 圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且 的度数为50°，则∠B+∠D的度数为 ．
2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是
3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为
cm2．
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（镇江）如图，四边形 是半圆的内接四边形， 是直径， ．若 ，则 的度数
等于
A． B． C． D．
2．（十堰）如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点 ，若 平分 ， ，，则
A．3 B． C． D．
3．（凤翔县二模）如图，已知 为四边形 的外接圆， 为圆心，若 ， ，则
的半径长为
A． B． C． D．3
4．（鼓楼区二模）如图，四边形 是 的内接四边形， 平分 ，点 是弧 的中点，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
5．（姜堰区二模）如图，四边形 为 的内接四边形， ，则A． B． C． D．
6．（澄海区一模）如图，四边形 内接于 ，它的一个外角 ，分别连接 、 ，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
7．（常熟市模拟）如图，四边形 内接于 ，连接 ， ．若 ， ．则 的度
数为
A． B． C． D．
8．（祥云县一模）如图，四边形 内接于 ， 为 延长线上一点，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
9．（苏州一模）如图，四边形 内接于 ， 是直径， ，若 ，则 的度数为A． B． C． D．
综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
第 15 讲 与圆有关的位置关系及计算
知识点1 点和圆的位置关系
点与圆的位置关系共有三种：圆内，圆上，圆外。
设点到圆心的距离为d，半径为r，
当d＜r时，点在圆内；
当d=r时，点在圆上；
当d＞r时，点在圆外。
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是
2.如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处
的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为
【方法总结】
在判定点与圆的位置关系时，先要确定两在要素：
1、点与圆心的距离
2、圆的半径
然后，通过两者的大小关系来判定点与圆的位置关系。
【随堂练习】
1．（薛城区模拟）如图，若 内接于半径为2的 ，且 ，连接 、 ，则边 的长为
A． B． C．2 D．
2．（富阳区期末）用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 ”．应假设
A．一个三角形中没有一个角大于或等于
B．一个三角形中至少有一个角小于
C．一个三角形中三个角都大于等于
D．一个三角形中有一个角大于等于
3．（洪山区校级模拟）如图，线段 ， 为线段 上的一个动点，以 、 为边作等边 和等边， 外接于 ，则 半径的最小值为
A．6 B． C． D．3
4．（梧州二模）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以 为圆心，2为半径
的圆上一动点，连结 、 ，则 面积的最小值是
A．26 B．24 C．22 D．20
5．（东西湖区模拟）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 平分 ．若 ， ，
则 的长为
A． B． C． D．6．（潍坊一模）如图， 为 的内接三角形， 为直径， 的平分线 交 于点 ，且
，则 的度数是
A． B． C． D．
7．（白水县一模）如图， 是 的外接圆，直径 ， ，则 的长为
A． B．2 C．4 D．2
知识点2 直线和圆位置关系
直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
【典例】
1.已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为
2.已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x
的取值范围是
3.如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是
【方法总结】
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)
中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，
（1）d＜r 直线l与⊙O相交；
（2）d=r 直线l与⊙O相切；
（3）d＞r 直线l与⊙O相离.
【随堂练习】
1．（长丰县二模）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，圆心 的坐标为 ，圆 与 轴
相切于点 ．若将圆 沿 轴向左移动，当圆 与该直线相交时，横坐标为整数的点 的个数是
A．2 B．3 C．4 D．52．（荔湾区校级模拟）行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3．（南岗区一模）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心作圆，如果圆 与线段
没有公共点，那么圆 的半径 的取值范围是
A． B． C． 或 D． 或
4．（丹江口市期末）如图，在 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点，则以
为直径的圆与 的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
5．（滨湖区期末）若直线 与半径为6的 相交，则圆心 到直线 的距离 为
A． B． C． D．
6．（鄞州区期末）圆 的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心 到该直线的距离可能是
A．2.5 B． C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
7．（南浔区一模）如图，已知在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿着 方向以1个单位长度 秒的速度匀速运动，同时动点 从点 出发，沿着 方向也以1个单位长度 秒的速度匀速运
动，设运动时间为 秒 ，以 为圆心， 长为半径的 与 的另一个交点为点 ，连结 ．当
与线段 只有一个公共点时， 的取值范围是 ．
8．（黄埔区期末）圆的半径为 ，如果圆心到直线的距离为 ，那么直线与圆有公共点的个数是 ．
9．（邗江区期末）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的一点，且
，若以 为直径的圆与斜边 相交于 、 ，则 的最大值为 ．
10．（翁牛特旗期末）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 是以 为圆心，1为
半径的圆上一动点，连结 、 ．则 面积的最小值是 ．
11．（蔡甸区模拟）已知 中， ， ，以 为圆心，以 为半径作圆．若此圆与线段 只有
一个交点，则 的取值范围为 ．三．解答题（共1小题）
12．（宿豫区模拟）如图， 是 的直径， 是弦 延长线上一点，且 ， 的延长线交 于点
，过点 作 ，垂足为点 ．
（1） 与 有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若 ， 的半径为5，求 的长度．
知识点3 切线的性质及判定定理
1.切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直。
3.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
注意：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可。
4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
5.切线长定理推论：
1、圆的外切四边形的两组对边的和相等；如图，ABCD为圆O的外切四边形，∵AL=AP，BL=BM，CM=CN，DN=DP，故：AB+CD=AD+BC，即有以上结论。
2、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【典例】
1.如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B
按顺时针方向旋转
2.如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD的边长为4，点O 为正方形ABCD的中心，OO⊥CD于点P，OO=5．现将⊙O 绕点P按
1 2 1 2 1 2 1
顺时针方向旋转180°，则在旋转过程中，⊙O 与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 次？
1
3.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，
则平移的距离是 .
【方法总结】
1、在遇有圆的切线问题时，经常添加过切点的半径作为辅助线。
2、遇有圆的直径时，通常在圆周上另找一点，从这一点分别向直径的两个端点连结线段，来构造一个直角三角形。
4.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点
F，FB恰为⊙O的直径．
判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由。5.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中
点，连接CF，CM,判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由.
6.如图所示，AB为⊙O的直径，AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA=∠AED．
【方法总结】
在证明圆的切线问题中，主要有两种题型：
1、知半径，证垂直
2、知垂直，证半径
解决切线相关问题的技巧
①注意利用切线长定理进行线段转换。
②注意利用切线长定理的推论进行角度转换。③见切线连半径是处理切线问题的“通法”。
【随堂练习】
1．（黄冈二模）如图，正三角形 的边长为2，点 ， 在半径为 的圆上，点 在圆内，将正三角形
绕点 逆时针旋转，当边 第一次与圆相切时，旋转角为 ．
2．（利津县期末）在 中，以 为直径作 ， 交 的中点 ，过点 作 ，垂足为 ．求
证：
（1） 是 的切线；
（2） ．
3．（碑林区校级二模）如图，四边形 内接于 ，对角线 为 直径，点 在 延长线上，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 ，当 ， ，求 的半径．
4．（姑苏区校级二模）如图， 内接于圆 ， 为直径， 与点 ， 为圆外一点， ，与 交于点 ，与圆 交于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）当 时，连接 ，
①求证： ；
②若 ，求线段 的长．
知识点4 弧长和扇形面积
1．相关名词
弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。
圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆
锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线÷2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
2.圆中有关计算：
（1）圆的面积公式： ，周长C＝2πR．
（2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ．
（3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l， S
（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
（5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为 ，侧面积为2πRl，全面积为 ．
（6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为 ，母线长、圆锥
高、底面圆的半径之间有 ．【典例】
1.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为
【题干】如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长
为10，则该餐盘的面积是
2.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则
需要毛毡的面积是
【方法总结】
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
需根据不同的情况作出不同的处理：
①当弓形所含弧为劣弧时，S =S -S
弓 扇
△
②当弓形所含弧为优弧时，S =S +S
弓 扇
△
③当弓形所含弧为半圆时，S = S
弓 圆
【随堂练习】1．（兴庆区校级三模）如图， 为 的直径，点 在 上，若 ， ，则弧 的长为
A． B． C． D．
2．（云南模拟）如图，在 中， ， ，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
点 经过的路径为 ，将线段 绕点 顺时针旋转 后，点 恰好落在 上的点 处，点 经过的路径为
，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
3．（黄州区校级模拟）如图， 的斜边 ， ，以 、 为直径分别作圆．则这两圆的
公共部分面积为
A． B． C． D．
4．（临沂）如图， 中， ， ， ，则阴影部分的面积是A． B． C． D．
5．（随县一模）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，已知 ， ，则线段 扫过的
图形面积为
A． B．
C． D．以上答案都不对
6．（阜宁县一模）如图，边长为2的正方形 的四个顶点分别在扇形 的半径 、 和 上，且点
是线段 的中点，则 的长为
A． B． C． D．
7．（庆云县二模）如图，在 中， ， ， ，将 绕一逆时针方向旋转 得到 ，点 经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
8．（鄞州区模拟）圆锥的母线长为10，侧面积为 ，则这个圆锥的底面周长为
A． B． C． D．
9．（资阳区一模）如图， 是边长为2的菱形 的高， ，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交
于 ，交 于 ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
10．（东阳市模拟）圆锥的底面面积为 ，母线长为 ，则这个圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
11．（滨海新区期末）已知扇形的圆心角为 ，半径长为5，则该扇形的弧长为
A． B． C． D．
12．（海曙区期末）如图，已知 的半径为5，弦 ， ，则图中阴影部分面积为A． B． C． D．
13．（香洲区期末）如图，在扇形 中， ，点 是弧 上的一个动点（不与点 、 重合），
， ，垂足分别为点 、 ．若 ，则弧 的长为
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
14．（兴庆区校级三模）已知扇形的圆心角 ，所对的弧长为 ，则此扇形的面积是 ．
综合运用：与圆有关的位置关系及计算
1.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外的完全区域，已知这个导火索的长度为
18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
2.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为 ．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧 的长．
（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．3.如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作
CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．
4.如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC交于点P．
（1）求证：四边形ABCF是菱形；
（2）求证：AC2+BF2=4AB2；
（3）若AB=2，求△CDF的周长．
5.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长．