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专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.................................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离...............................5
三、专项训练........................................................8
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体
积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥
四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当
线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线，
交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
1
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二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23·24 高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1 的正方形
中，
分别是
的中点，
沿
把这个正方形折成一个四面体使
三点重合，重合后的点记为
.则在四面体
中，点
到平面
的距离为 .
2．（23·24 高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P 在圆柱
的底面圆O 的圆周上，
，圆O
的直径
，圆柱的高
．
(1)求圆柱的体积；
(2)求点A 到平面
的距离．
2
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3．（17·18 高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体
中，
，
，连接
，过B 点
作
的垂线交
于E，交
于F．
(1)求证：
平面
；
(2)求点A 到平面
的距离；
4．如图，在正方体
中，
.
(1)求证：
∥平面
；
(2)求点
到面
的距离.
3
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5．（23·24 高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形
中
是矩形，
，
沿
折叠成四棱锥
.
(1)从条件①
；②
；③
中任选两个作为补充条件，证明：平面
平面
：
(2)在（1）的条件下，求点
到平面
的距离.
6．（23·24 高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，其中
，
，
底面
，
，
为
的中点，
为
的中点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
4
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7．（23·24 高二上·上海杨浦·期中）如图,
为菱形
外一点,
平面
,
,
为棱
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)若
,求
到平面
的距离.
题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23·24 高二上·广东东莞·阶段练习）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，M 是
的中点，N 是
的中点，P 是
的中点，则点A 到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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2．（23·24 高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥
中，平面
面
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
3．（23·24 上·沧州·阶段练习）如图所示，四棱锥
的底面是矩形，
，
，且
底面
，若边
上存在异于
的一点
，使得直线
．
(1)求
的最大值；
(2)当
取最大值时，求异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)当
取最大值时，求点
到平面
的距离．
6
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4．（23·24 上·北辰·期中）如图，
且
且
且
平面
．
(1)若
为
的中点，
为
的中点，求证：
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的正弦值；
(3)若点
在线段
上，且直线
与平面
所成的角为
，求点
到平面
的距离．
5．（重庆市部分区2022-2023 学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体
中，
．
(1)求证：
；
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(2)求点
到平面
的距离．
三、专项训练
一、单选题
1．（23·24 高二上·陕西·阶段练习）如图，在正四棱柱
中，
，
．点
，
，
分别在棱
，
，
上，
，
，
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23·24 高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为线段
的
中点，
为
线段的中点，则直线
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23·24 高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，
分别是
的中
点，则直线
到平面
的距离为（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．（23·24 上·邯郸·阶段练习）在正三棱柱
中，
，点
分别为棱
的中
点，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23·24 上·绍兴·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，E 为
的中点，F 为
的三等
分点靠近C 点，则点E 到平面BDF 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23·24 高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体
中，
，点B 到平
面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23·24 高二上·湖南益阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱
中，
为棱
的中点，则点
到平面
的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23·24 高二上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，
从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指
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底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所
示的“堑堵”
，其中
，若
，则
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（23·24 高三上·河北沧州·阶段练习）在三棱柱
中，
平面
，
，
，点D 是
的中点，点E 是平面
的中心，则点E 到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
10．（23·24 高二上·宁夏固原·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，点
到平面
的距
离为 .
11．（23·24 高二上·山西太原·阶段练习）如下图所示，在平行六面体
中，各棱长均为2，
已知
，
，则点A 到平面
的距离 .
12．（23·24 高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD 中，平面
平面ABCD，底面ABCD 是边
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长为2 的正方形，
是等边三角形，M，N 分别为AB 和PC 的中点，则平面DMN 上任意一点到底面
ABCD 中心距离的最小值为 .
13．（23·24 高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2 的正方体
，点
是棱
的中点，
点
到直线
的距离为 ．
三、解答题
14．（23·24 高三上·四川成都·阶段练习）已知正方形
的边长为2，
为等边三角形（如图1 所
示）．沿着
折起，点
折起到点
的位置，使得侧面
底面
．
是棱
的中点（如图2
所示）．
(1)求证：
；
(2)求点
与平面
的距离．
15．（23·24 高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥
与一个圆柱
构成（圆
锥底面与圆柱上底面重合.平面
为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.
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(1)求这个组合体的体积
(2)设
为半圆弧
的中点，求
到面
的距离.
16．（23·24 高三上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱
中，点
为侧棱
的中点，且
.
(1)证明：平面
平面
(2)若二面角
的大小为
，求点
到平面
的距离.
17．（23·24 高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体
中，
面
且
面
，
，
，
.
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(1)求证：
平面
；
(2)若二面角
的余弦值为
，求点
到直线
的距离.
18．（23·24 高二上·北京通州·期中）如图，在正方体
中，
分别是棱
，
，
，
的中点.
(1)求证：
四点共面；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
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