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专题07 立体几何常考题型全归纳
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题型01 线面角..............................................................................................................................................................1
题型02 线面角中的探索性问题..................................................................................................................................9
题型03 二面角、面面角............................................................................................................................................16
题型04 二面角、面面角中的探索性问题...............................................................................................................23
题型05 距离问题（含等积法）................................................................................................................................30
题型01 线面角
【解题规律·提分快招】
一、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
.（注意此公式中最后的形式是：
）
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·湖北·开学考试）如图，在三棱柱
中，
，四边形
，
均为菱形，平面
底面
，平面
底面
，M 是
延长线上一点，且
，D 为
中点，连接
.
1
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(1)证明：
平面
；
(2)取
中点Q，求
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）延长
至点N，使得M 为
的中点，连接CN，连接
与
交于点E，连接
，
由中位线性质分别得到
，
，从而
，根据线面平行的判定即可证明；
（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，分别证得
和
，再以
为原点，分别以
，
，
所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间
向量的坐标运算求线面角的方法求解即可.
【详解】（1）证明：延长
至点N，使得M 为
的中点，连接CN，连接
与
交于点E，连接
在
中，
，
分别是
和
的中点，
，
在
中，
，M 分别是
和
的中点，
，
，
又
平面
，
平面
，
平面
；
（2）在三棱柱
中，因为
，即
，
又平面
底面
，平面
底面
，
底面
，
所以
平面
，所以
2
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同理
，故
，
，
两两垂直.
以
为原点，分别以
，
，
所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，令
，则
，
，得
，
，
，
，
设
与平面
夹角为
，
，
即
与平面
夹角的正弦值为
.
2．（24-25 高三下·湖南·开学考试）如图四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
3
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(2)
．
【分析】（1）利用线面垂直的性质得到
，利用勾股定理逆定理得到
，再利用线面垂直的
判定定理求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）如图，取
的中点
，连接
，
因为
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
，
由平行四边形性质得
，则
，
由三线合一性质得
，
故
，则
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
．
（2）由已知得
，
因为
平面
平面
，所以
，
因为
，所以由勾股定理得
，即
，
则
为等腰直角三角形，设其斜边上的高为，
由等面积公式得
，解得
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
过
作垂直于平面
的直线为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
4
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，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
取
，解得
，可得
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
3．（2025·山东·模拟预测）如图所示的多面体是由正四棱台
和正四棱柱
（正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知
，
是
上一动点．
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）法一：连接
，由条件证得
平面
．即可求证；法二，建系，由
向量的垂直关系即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【详解】（1）证明：法一：如图，连接
，
5
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因为几何体
是正四棱台，
所以平面
平面
，且
四点共面．
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
．
因为几何体
是正四棱柱，
所以底面
是正方形，且
底面
，
底面
，
所以
．
又
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，
所以
，
所以
．
法二：多面体是由正四棱台
和正四棱柱
构成，
由多面体的性质，连接
，交
于点
，连接
，交于点
，连接
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
连接
，由
，得
，
．
又
，所以正四棱台的高为
，
所以
．
设
，
则
，
所以
，所以
．
6
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（2）解：建系同（1）中的法二，因为
，
所以
，
所以
．
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，得
，所以平面
的一个法向量为
．
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以
，
故直线
与平面
所成角的余弦值为
．
4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥
中，侧面
是边长为2 的等边三角形，底面
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
．
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(1)当
时，求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直判定定理先得到
平面
，进而证明：平面
平面
.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可得到结果.
【详解】（1）
由题意得
，
因为
，所以
，所以
．
又
，
，
，
平面PAC，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
因为
，所以
为
的中点，所以
，
又
，
，
平面
．
所以
平面
．
因为
平面
．所以平面
平面
，
（2）解：设
分别为
的中点，连接
．
则
，
．
又
平面
，
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
．
以
为坐标原点，
的方向分别为
轴、
轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
8
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则
，
，
，
，
，
，
，
所以
，即
，
．
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
．
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
整理得
．解得
或
．
因为
．所以
．
题型02 线面角中的探索性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·四川德阳·二模）如图，在四棱锥
中，
，底面
是边长为
的菱形，
．
(1)证明：平面
平面
；
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(2)若直线
与平面
所成角的正切值为
，求二面角
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，通过
，
即可求证；
（2）过
作
交
于点
，确定则
即为直线
与平面
所成角
，再以以
为原点，
所在直线为
轴建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
，因为
是菱形，所以
，
又因为
为
的中点，
所以
又
面
，且
，所以
平面
又
平面
，所以平面
平面
（2）过
作
交
于点
，面
面
，面
面
，
面
，
所以
面
，则
即为直线
与平面
所成角
因为
面
，所以
面
，
又
面
，所以
，
所以
为
的交点，
为等边三角形，所以H 为
的重心，
所以
，
，在
中
，解得
，
以
为原点，
所在直线为
轴建立如图坐标系，
则
，
设平面
和平面
的法向量分别为
和
，
则
，即
，令
，可得：
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即
，
又
平面
，则
设平面
和平面
的夹角为
，则
2．（24-25 高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥
的底面
是边长为3 的正方形，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知点
在线段
上，且
（
），若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
．
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理得
平面
，再根据线面垂直的性质定理及线面垂直的
判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用
得
，利用线面角的
向量公式列式求解即可.
【详解】（1）因为四边形
是正方形，所以
，
因为
，
，所以
．
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，即
．
因为
，
，
，所以
，
所以
，即
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
.
（2）由（1）知
，
，
两两垂直，
因为
，
，所以
．
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以点
为原点，
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设
，所以
，
，
因为
，
，所以
，
即
所以
所以
，
，
设
是平面
的一个法向量，则
所以
令
，则
所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，解得
或
．
3．（24-25 高三上·天津西青·期末）如图，在三棱锥
中，
平面
，点
在棱
上，且
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
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(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上是否存在点
满足直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值，
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
.
【分析】（1）以
为原点，以
所在的直线为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系
，用空间向量法证明线面垂直；
（2）用空间向量法求二面角；
（3）假设点
存在，设
，由求线面角的空间向量法求得值．
【详解】（1）以
为原点，以
所在的直线为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系
.
则
方法一：
.
.
平面
平面
.
（证明
中两组均可）
方法二：设
是平面
的一个法向量
取
，得
.
，即
，
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平面
.
（2）设
为平面
的一个法向量，
，令
，则
，
.
由（1）可知
是平面
的一个法向量.（用
均可）
设平面
与平面
的夹角为
平面
与平面
夹角的余弦值为
.
（3）假设存在点
满足题意，设
，
设直线
与平面
所成角为
，则
解得
.
又
，得
，所以
的值为
.
所以存在点
满足题意且
．
4．（24-25 高三上·河南·期末）如图，在多面体
中，四边形
为直角梯形，且满足
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
点的
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位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
或
【分析】（1）四边形
为菱形，所以
，由线面垂直得到
，从而得到
平面
，
，结合
，证明出结论；
（2）证明出
，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，设
，根据线面角的大小，得到方程，求出
或
.所以线段
上存
在点
，
或
.
【详解】（1）证明：因为
且
，所以四边形
为平行四边形，
又
，所以四边形
为菱形，所以
.
因为
平面
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
.
（2）因为
平面
平面
，所以
，
又
，
以
为原点，分别以
的方向为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以
设平面
的法向量为
，则
令
，得
，所以
.
假设线段
上存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，
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设
，
则
,
解得
或
.
所以线段
上存在点
，当
或
时，
使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.
题型03 二面角、面面角
【解题规律·提分快招】
一、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·山西·一模）如图，已知四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，
平面
，
分别是
的中点．
16
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(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，证得
，
即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【详解】（1）证明：连接
．∵底面
为菱形，
，
∴
是正三角形，∵E 是CD 中点，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
，
，又都在平面
内，
∴
平面
，又
平面
，
∴平面
平面
．
（2）由（1）知，
两两垂直，以
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系，
易知：
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
17
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则
，即
令
，得
，解得
．
即
，令
，得
，解得
设二面角
的平面角为
，则
，
所以
．
所以二面角
的正弦值为
．
2．（24-25 高三下·河北·开学考试）在平面四边形
中,
将
沿AC 翻折至
且满足
(1)求证：
平面
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用面面所成角的向量求法求解即可.
【详解】（1）
又
平面
平面
，
平面
（2）以点A 为坐标原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直
角坐标系，
由
则
18
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故
设平面
的一个法向量为
则
，
设平面
的一个法向量为
则
故可取
设二面角
的平面角为
则
故
所以二面角
的正弦值为
3．（24-25 高三上·贵州贵阳·期末）如图，
过球心
，图中画出的以
为直径的圆记为圆O，C 为圆
上不同于
，
的动点，
是球面上不在圆
上的动点，
为
的重心，
在线段
上且
．
19
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(1)证明：
平面
；
(2)当三棱锥
体积最大时，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
并延长交
于
点，连接
，根据
为
的重心和
，得到
，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）由三棱锥
体积最大时，平面
平面
，且
和
为等腰直角三角形，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，分别求得平面
的一个法向量为
和平面
的一个法向量为
，由
求解．
【详解】（1）连接
并延长交
于
点，连接
，如图，
因为
为
的重心，所以
．
因为
，则
，所以
．
又
平面
平面
，
所以
平面
．
（2）当三棱锥
体积最大时，
平面
平面
，且
和
为等腰直角三角形，
设球半径为2，则
．
以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，如图，
20
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则
，
，
所以
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，故
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，故
．
设平面
与平面
所成角为
，则
．
4．（2025·山东·模拟预测）如图①，在等腰梯形
中，
为
边
的中点．将
沿
翻折，使点
到达点的位置，得到四棱锥
，如图②．
(1)证明：在翻折过程中，始终满足
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）先利用平面几何添加辅助中线
，结合勾股定理来求解
长度，从而通过菱形可得到对
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角线相互垂直，即可证明线面垂直，从而可得线线垂直；
（2）利用线线垂直证明线面垂直，从而可得四面体
是棱长为2 的正四面体，再建立空间直坐标系，
用空间向量法来求两平面夹角的正弦值即可.
【详解】（1）证明：因为
为
的中点，且
，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
．
取
的中点
，连接
，如图①，则
．
在
中，
，
所以
．
在
中，
，
所以
，
所以
．
连接
，则四边形
为菱形．
连接
，交
于点
，则
．
在四棱锥
中，设
的中点为
，连接
，
，如图②，
则
．
因为
平面
，
所以
平面
．
又
平面
，因此在翻折过程中，始终满足
．
（2）设
的中点为
，连接
，则
．
因为
平面
，所以
平面
．
又
平面
，所以
，因此
，
22
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所以四面体
是棱长为2 的正四面体．
设
交于点
，连接
，则
平面
，且得
．
设
与
交于点
，由（1）知四边形
是菱形，
故
，且
．
以
为坐标原点，
分别为
轴，
轴的正方向，过点
与
同向为
轴的正方向，建立空间直角坐
标系，
则
，
所以
．
设平面
的法向量为
，则
即
令
，得
，所以平面
的一个法向量为
．
设平面
的法向量为
，则
即
令
，得
，所以平面
的一个法向量为
．
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的正弦值为
．
23
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题型04 二面角、面面角中的探索性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，
和
都垂直于平面
，且
，
是线段
上一点.
(1)若
平面
，证明
是
的中点；
(2)若
，
，平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质可得
，进而根据四边形
是平行四边形，即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解.
【详解】（1）过点
作
交
于点
，连接
，
则
，即
、
、
、
四点共面，
∵
平面
，
平面
,平面
平面
，
∴
，又∵
，
∴四边形
是平行四边形， ∴
，∴
是
的中点
（2）∵
，
平面
，
以
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，过
平行于
的直线为
轴，建立坐标系
.
记
，则
，
，
，
，
.
24
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设
,则
，即点
的坐标为
,
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，则
，则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，则
，
因为平面
与平面
的夹角余弦值为
，
所以
.
整理得
,解得
或
（舍），
所以
.
2．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，且
平面
为棱
的中点，
为棱
上的动点.
25
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(1)求证：平面
平面
.
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出点
的位置；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点
为棱
上靠近点
的三等分点
【分析】（1）连接
，与
相交于点
，连接
，根据
可得
平面
，根据面面
垂直的判定定理可证明结论.
（2）以
为原点建立空间直角坐标系，表示平面
与平面
的法向量，根据两平面夹角的余弦值求
出点
的坐标即可确定点
的位置.
【详解】（1）
如图，连接
，与
相交于点
，连接
.
∵底面
为菱形，∴
为
的中点，
∵
为
的中点，∴
，
∵
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
.
（2）∵四边形
为菱形，且
，∴
为等边三角形，
∴
.
∵
平面
，且底面
为矩形，∴
两两垂直，
以
为原点，向量
的方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
∴
.
设
，则
.
设平面
的法间量为
，
则
令
，可得
.
26
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由题意得
为平面
的一个法向量.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，解得
，
∴存在点
为棱
上靠近点
的三等分点，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
3．（2024·江西上饶·一模）如图1，在矩形
中，
，连接
，将
沿
折
起到
的位置，使得平面
平面
，如图2，若点
在线段
上且
.
(1)求证：
平面
；
(2)若点
在线段
上，且使得平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由勾股定理证明
，再根据面面垂直的性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的一个法向量，代入公式运算得解.
【详解】（1）在
中，
，
在
中，
，
.
又
平面
平面
，平面
平面
平面
，
平面
.
（2）如图，过点
作
，则
两两互相垂直，
以
为坐标原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，
27
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则
，
所以
，
设
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
平面
的一个法向量为
，
易知平面
的一个法向量
，
平面
与平面
夹角的余弦值为
，
，
解得
，
.
4．（2024·全国·一模）如图，在三棱锥
中，
平面
为棱
上的动点．
(1)求证：
平面
；
28
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(2)是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，请求出点
的位置；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
，且当点
位于
上靠近
的三等分点
【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到
，由勾股定理得到
，再根据线面垂直的定义
即可证明
平面
．
（2）过
作
，建立空间直角坐标系，设
，由平面
与平面
夹角的余弦
值为
，即可求出D 的坐标.即得答案.
【详解】（1）因为
平面
平面
平面
，
所以
且
．
由
，且
，可得
．
由
，因为
,可得
．
因为
平面
平面
，所以
平面
．
（2）过
作
，则
两两垂直，
建立如图空间直角坐标系．
则
．
设平面
的法向量为
，
由题可得
，
则
即
取
，则平面
的一个法向量为
．
由于
在棱
上，设
，
所以
．
29
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所以
．
设平面
的法向量为
，
由题可得
，
则
即
取
，则平面
的一个法向量为
．
由题意，得
，
整理得
．
解得
或
．
因为
，所以
．
故存在点
，且当点
位于
上靠近
的三等分点时，
平面
与平面
夹角的余弦值为
．
题型05 距离问题（含等积法）
【解题规律·提分快招】
一、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线，
交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
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的长度.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·云南保山·期末）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，点
是
的中点，且
，
．
(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由
平面
，得
，再结合
利用线面垂直的判定定理证得
平
面
，从而可得
；
（2）解法1：由已知得
是等边三角形，则
，由
得
，从而可
得
，再由
平面
，可得
两两垂直，所以以
为原点，
所在的直
线分别为
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；解法2：取
的中点F，连接
利用
等体积法由
可求得结果.
【详解】（1）证明：∵
平面
，且
平面ABCD，
∴
．
又
，
平面
，
∴
平面
．
31
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平面
，∴
．
（2）∵
∴
是等边三角形，
又∵
，
∴
，
∴
即
又∵
平面
，
平面
，
，
从而
两两垂直．
在
中，
∴
在
，
．
法一：∵
两两垂直，
∴以
为原点，
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
．
∵点
是
的中点，
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，则由
得
，
令
，则
∴
．
从而，点
到平面
的距离
．
法二：（等体积法）∵
平面
，
平面
，∴
,
∴
，
∵点
是
的中点，∴
，
取
的中点F，连接
则
∴
32
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在
中，
边上的高
∴
取
的中点
，连接
，由（1）知
是边长为2 的等边三角形，
则
，
∵
平面
，
平面
，∴平面
平面
，
∵平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，
∵点
是
的中点，∴
到平面
的距离为
，
又
记点
到平面
的距离为
，
则由
即
得
．
2．（23-24 高三上·河南周口·期末）如图，将圆
沿直径
折成直二面角，已知三棱锥
的顶点
在半圆周上，
在另外的半圆周上，
.
(1)若
，求证：
；
(2)若
，
，直线
与平面
所成的角为
，求点
到直线
的距离.
【答案】(1)证明见解析
33
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(2)
【分析】（1）先证明
平面
，推出
，即可证明
平面
，根据线面垂直的性质定
理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用直线
与平面
所成的角为
，求出P 点坐标，
再根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知平面
平面
，平面
平面
，
，且
平面
，故
平面
，
又
平面
，故
；
又
，且
平面
，
故
平面
，而
平面
，
故
；
（2）以O 为坐标原点，
所在直线为
轴，过点O 作平面
的垂线作为z 轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由于
，
，
则
，设
,则
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
即
，令
，则可得
，
由于直线
与平面
所成的角为
，
故
，
解得
，结合
，则
，
故
，
34
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由
，则
，
故点
到直线
的距离为
.
3．（24-25 高三下·浙江·开学考试）如图，在三棱锥
中，
平面
为锐角，动点
在
的边
上，
，三棱锥
的体积为
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)当点
到直线
的距离为
时，求
与平面
所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得线线垂直，即可根据勾股定理求解长度，利用体积公式可得
，进而利用余弦定理求解长度，可得
，即可利用线面垂直的判定求解，
（2）建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量法求解
，即可根据
为线面角求解.
【详解】（1）证明：因为
平面
，
平面
，
所以
，
所以
，同理得
.
又因为
，
所以
.因为
为锐角三角形，所以
.
由余弦定理，可知
，
所以
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
，
所以平面
平面
.
35
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（2）如图，以
为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
.
设
，
则
.
由
，
解得
或
（负值舍去），所以
.
由（1）知
与平面
所成的角为
，所以
，
所以
，即
与平面
所成的角为
.
4．（2024 高三·全国·专题练习）如图1，在直角梯形
中，
，
点
，
分别为
的中点．如图2，将四边形
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小为
，其中
，连接
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)当点
到直线
的距离最大时，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
36
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(2)
.
【分析】
（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）由已知及（1）中信息证明平面
平面
，再以
为原点建立空间直角坐标系，利用空间向
量求点到直线的距离及面面角的求法求解即得.
【详解】（1）在直角梯形
中，由
，点E，F 分别为AB，CD 的中点，得
，
又
，则
，折起后，
，于是
，
，
而
平面
，
，因此
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）知，
，
，即
为二面角
的平面角
，
由
，
平面
，得
平面
，又
平面
，则平面
平面
，
在平面
中过点E 作
，平面
平面
，则
平面
，
则直线
两两垂直，以点
为原点，直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
则点
到直线FC 的距离
，
当
时，点
到直线FC 的距离取得最大值5，此时
，
，
，
显然平面
的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
因此
，设二面角
的平面角为
，
则
，所以二面角
的正弦值为
.
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5．（24-25 高三上·河南驻马店·期末）图1 是等腰梯形
，
，
，
是
中点，
以
为折痕，将
折起，使点
到达点
的位置，如图2.
(1)求证：
；
(2)若
（i）求二面角
的平面角的正弦值；
（ii）在棱
上存在点
，使得
到平面
的距离为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
（2）（ii）
【分析】（1）利用等腰梯形和菱形性质得出线面垂直进而得出线线垂直；
（2）（i）建立平面直角坐标系，建立以
为坐标原点
，
，
为
轴、
轴、
轴的坐标系，空
间向量法求出二面角的正弦值；（ii）设
，根据点到平面距离求出参数，再计算线面
角的正弦值.
【详解】（1）连接
交
于
，在等腰梯形
，
，
，易得
，
因为
是
中点，所以
，易知
是菱形，即
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
38
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（2）由（1）可知，在菱形
中，
，因为
，所以
，
建立以
为坐标原点
，
，
为
轴、
轴、
轴的坐标系，如图所示，
，
，
，
（i）
，
，
，
，
，
设
为平面
的法向量，则
，令
，可得
，即
设
为平面
的法向量，则
，令
，可得
，
即
，
，二面角
的平面角为
，即
（ii）设
，
，
，
即
由（i）可知
为平面
的法向量，
到平面
的距离为
，
即
为
中点，可得
，
易知
，
，所以
，
，
设平面
的法向量
，
令
，则
，
，则
，
39
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设直线
与平面
所成角为
，
直线
与平面
所成角的正弦值
6．（2024·湖北·一模）如图，在平行四边形
中，
为
的中点，沿
将
翻折至
位置得到四棱锥
为
上一动点.
(1)若
为
的中点，证明：在翻折过程中均有
平面
；
(2)若
，①证明：平面
平面
；
②记四棱锥
的体积为
，三棱锥
的体积为
，若
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
.
【分析】（1）取PA 中点G，连FG，EG，可得
∥
，结合线面平行分析证明；
（2）①在平行四边形
中，可得
，由勾股定理可得
，即可得
平面
，进而
可证面面垂直；②由体积可知
为
中点，建系标点，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）取PA 中点G，连FG，EG，
因为
分别为
的中点，则
∥
，且
，
由题意可知：
∥
，且
，
则
∥
，且
，可知四边形CFGE 为平行四边形，
则
∥
，且
平面
，
平面
，
40
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所以
∥平面
.
（2）①在四边形
中，连接
，
由题意可知：
是以边长为2 的等边三角形，则
，
且
，则
，
可知
，即
，且
，
若
，且
，则
，可知
，
且
，
平面
，可得
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
；
②取
中点
，
中点
，连
，
则
，
∥
，可得
，
因为
为等边三角形，则
，
且平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为平行四边形
的高即为等边
的高
，
设点
到平面
的距离为
，
若
，则
，解得
，
即
，可知
为
中点，
以
为原点，OA，OH，
别为
轴建立空间直角坐标系，
41
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则
，
可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
所以点
到平面
的距离
.
一、解答题
1．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在四棱台
中，
平面
，两底面均为正方形，
，点
在线段
上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形可得
.，即可由线面平行的判定求证，
（2）利用等体积法即可求解，或者利用线面垂直可得
平面
，即可利用等面积法求解.
【详解】（1）如图，连接
与
交于点
，连接
.
因为四边形
是正方形，
，所以
.
42
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因为四边形
是正方形，
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
又
，所以四边形
为平行四边形，所以
.
因为
平面
平面
，所以
平面
.
（2）解法一：因为在四棱台
中，两底面均为正方形，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
又
，
设点
到平面
的距离为，由等体积法，得
，
即
，解得
，
所以点
到平面
的距离为
.
解法二：过点
作
，垂足为
.
因为
平面
平面
，所以
.
又四边形
为正方形，所以
.
又
平面
，所以
平面
.
又
平面
，所以
.
又
平面
，所以
平面
.
,
,
43
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所以
,
故
，
根据等面积，得
.
2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在正三棱台
中，
，
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若三棱台的高为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点
作
，交BC 于点E，进而求出相关边长，可证得
，
，
进而可证得到结论；
（2）以AB 的中点O 为原点，OB，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABC 的直线为
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.取线段
中点F，求出平面
与平面
的法向量，进而
可求得结果.
【详解】（1）如图所示，过点
作
，交BC 于点E，
易知四边形
为平行四边形.
所以
，
，所以
44
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又
，所以
，即
故
，
同理可得
又直线
与
相交，且直线
与
都在平面
内，
所以
平面
（2）以AB 的中点O 为原点，OB，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，
过点O 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.取线段
中点F，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
，
故
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
取
，则
，
，
故
，
所以
，
45
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所以平面
与平面
夹角的余弦值为
3．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
(3)求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）连接
、
，设
，根据
，则
即可求出，从而证明四边形
为平行四边形，即可得到
，从而得证；
（2）利用勾股定理逆定理得到
，再由
，即可得到
平面
，即可得证；
（3）过点
作
轴
平面
，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，所以由
求出
点坐标，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接
、
，设
，
46
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则
，
，
因为
，
，则
，
，解得
，则
为
的中点，
由
分别为
的中点，
所以
且
，
且
，即
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）由（1）可知
，则
，
，
所以
，因此
，则
，
有
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
（3）因为
，过点
作
轴
平面
，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
在
中，
，
47
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在
中，
，
即
，
设
，所以由
，可得
，
解得
，所以
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，
令
，则
，所以
，
又平面
的一个法向量为
，
设二面角
为
，显然
为钝角，
所以
，所以二面角
的大小为
.
4．（24-25 高三上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
底面ABCD，底面ABCD 为菱形，
且
，点
为棱DP 的中点.
(1)在棱BC 上是否存在一点
，使得
∥平面PAN？如果存在，确定点N 的位置，如果不存在，请并说
明理由；
(2)若二面角
的余弦值为
时，求棱DP 的长度，并求点A 到平面BCM 的距离．
【答案】(1)存在，点
为
的中点
(2)
；点A 到平面BCM 的距离为
【分析】（1）取
的中点
，可得平面
∥平面PAN，根据面面平行的性质可得
∥
，进而可
得结果；
48
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（2）建系标点，设
，分别求平面BCM、平面PCD 的法向量，根据面面夹角求得a，进而可求点
到面的距离.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
因为
分别为
的中点，则
∥
，
且
平面PAN，
平面PAN，可得
∥平面PAN，
又因为
∥平面PAN，
，
平面
，
可得平面
∥平面PAN，
且平面
平面
，平面
平面
，可得
∥
，
由题意可知：
∥
，则
为平行四边形，
可得
，即点
为
的中点，
所以棱BC 上是存在一点
，使得
∥平面PAN，此时点
为
的中点.
（2）取
的中点
，连接
，
由题意可知：
为等边三角形，则
，
且
∥
，可得
，
又因为
底面ABCD，
则可以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
，
可得
，
设平面BCM 的法向量
，则
，
49
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令
，则
，可得
，
且平面PCD 的法向量
，
由题意可得：
，解得
（舍负），
可得
，
，
所以点A 到平面BCM 的距离
.
5．（2024·浙江台州·一模）如图，已知四边形
为平行四边形，
为
的中点，
，
．将
沿
折起，使点
到达点
的位置．
(1)若平面
平面
，求证：
；
(2)若点A 到直线
的距离为
，求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可得
平面
，进而可得结果；
（2）分析可知
即为二面角
的平面角，记为
，建系，可得
，结合
点到线的距离公式运算求解.
【详解】（1）因为四边形
为平行四边形，且
为等边三角形，所以
．
又因为
为
的中点，则
，所以
为等腰三角形，
可得
，
，即
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
则
平面
，且
平面
，所以
．
（2）取
的中点
，连接
，因为
为等边三角形，所以
，
取
的中点
，则
，由（1）得
，所以
，
所以
即为二面角
的平面角，记为
．
以点
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系．
50
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则
，
，
因为
，则
，
可得
；
，
则点A 到直线
的距离为
，
由题意可得
，解得
，或
，
所以二面角
的平面角的余弦值为
或
．
6．（24-25 高三上·湖北黄冈·期中）如图，四棱台
中，上、下底面均是正方形，且侧面是
全等的等腰梯形，
分别为DC，BC 的中点，上下底面中心的连线
垂直于上下底面，
且
与侧棱所在直线所成的角为
.
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
，若存在，求出线段BM 的长；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
或
.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面
的一个法向量为
，判断
即可；
51
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（2）应用向量法求
到平面
的距离即可；
（3）假设在
上存在点
，且
，
，结合线面角正弦值列方程，求
参数即可；
【详解】（1）由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，
故
，
所以
，
若平面
的一个法向量为
，则
，
令
，则
，显然
，而
面
，
所以
面
；
（2）由（1）知：
，所以
到平面
的距离为
（3）假设在
上存在点
，且
，
，
则
，
直线
与平面
所成的角为
，故
，
所以
，即
，可得
或
，
时，
，则
，
时，
，则
，
综上，
长为
或
.
7．（24-25 高三上·山东烟台·期末）如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，
为等边三角形.
52
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(1)证明：
；
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接
，取
中点O，连接
，先证明
平面
，即得证
；
（2）说明
是二面角
的平面角，以
为原点，
分别为
轴，过
与平面
平面
垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系，可知
轴在平面
内，然后用空间向量法求线面角．
【详解】（1）连接
，取
中点O，连接
，
在直角梯形
中，
，
，
则
，从而
，
所以
是等边三角形，则
，又
是等边三角形，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以
.
（2）由（1）的证明知
是二面角
的平面角，所以
，
以
为原点，
分别为
轴，过
与平面
平面垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系，
如图，
轴在平面
内，
又
，同理
，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，则
，
53
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设直线
与平面
所成角为
，
则
．
8．（24-25 高三上·全国·课后作业）如图，在四棱锥
中，
，且
．
(1)若点
在
上，且
平面
，证明：
为
的中点；
(2)已知二面角
的大小为
，求平面
与平面
夹角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先判断底面
的几何关系，再结合线面平行的性质定理，构造辅助线，即可证明；
（2）首先由几何关系确定
为二面角
的大小，再根据几何关系确定空间直角坐标系，分别
求平面
和平面
的法向量，再利用法向量求二面角的余弦值，即可求正切值.
【详解】（1）因为
，
，所以，
，
，
在直角三角形
中，
，
又因为
，
为
的平分线，
延长
、
交于点
，连接
，
在
中，
，所以，
是等腰三角形，
所以，点
是
的中点，
54
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因为直线
平面
，过
的平面
与平面
的交线为
，则
，
因为
是
的中点，所以
是
的中点.
（2）在
中，
，
，
，则
，即
，
由已知得
，
，
又平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，即
，
所以，
为二面角
的平面角，所以
，
又
，所以
为正三角形，
取
的中点为
，连
，则
，
平面
，
以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，
平面
内垂直于直线
的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设
分别为平面
和平面
的法向量，
则
，取
，则
，
，取
，则
，
所以
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的正切值为
．
55
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9．（24-25 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥
的底面
为正方形，侧面
底面
．设平面
与平面
的交线为．
(1)证明：
平面
；
(2)已知
，
，
为上的点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）先应用线面平行判定定理结合性质定理，再结合面面垂直的性质定理得出线面垂直；
（2）应用空间向量法计算线面角结合值域即可求出最大值.
【详解】（1）在正方形
中，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，所以
，
因为
，平面
平面
且平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，则
平面
．
（2）取
中点记为
，
中点记为
，连接
，所以
，
连接
，因为
为等腰三角形，所以
，
所以
，
，
两两垂直，
如图建立空间直角坐标系
，
因为
，
，
所以
，
，
，
，
，
令
，所以
，
，
，
记平面
的一个法向量
，则
，
可取
，记直线
与平面
所成的角为
，
56
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则
，
当
时，
，当
时，
，
故直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
．
10．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）如图在斜三棱柱
中，
，
，
，平面
平面ABC，E 是棱
上一点，D，F 分别是AC，AB 的中点.
(1)当
，证明：
平面BED；
(2)判断当
的值为多少时，锐二面角
的余弦值为
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，根据平行关系可知
，即可证明线面平行；
（2）由面面垂直的性质可得
平面
，建系标点，利用空间向量求面面夹角.
【详解】（1）连接
，D，F 分别是CA，BA 中点，则
且
，
，
是平行四边形，因此
且
，
所以
与
平行且相等，
是平行四边形，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）当
时锐二面角
的余弦值为
，理由如下：
取
中点
，连接
，
，
57
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因为
，则
，
，
，
则
是正三角形，所以
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
，
以OA，OC，
为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
可得
，
，
设平面
的一个法向量是
，则
，
取
，则
，
，即
，
平面
的一个法向量是
，
设锐二面角
的大小为
，
则
．且
，解得，
，
所以
.
11．（24-25 高三上·青海·期末）如图，已知
和
都是等边三角形，
，平面
平面
，点
在线段
上（不含线段的端点）．
58
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(1)证明：
；
(2)点
、
分别在线段
、
上，且
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出
，利用面面垂直的性质可得出
平面
，再利用线面垂直的性质可
证得结论成立；
（2）以
为坐标原点，
、
的方向分别为
、
轴的正方向，平面
内过点
且垂直于
的直
线为
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出平面
与平面
夹角的余弦值.
【详解】（1）因为
是
的中点，
是等边三角形，所以
．
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
．
因为
平面
，所以
．
（2）因为
平面
，以
为坐标原点，
、
的方向分别为
、
轴的正方向，
平面
内过点
且垂直于
的直线为
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
59
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则
，
因为点
、
分别在线段
、
上，且
，
则
、
、
，
则
，
．
设平面
的法向量为
，
由
，令
，得
．
设平面
的法向量为
，
由上知
，
．
则
，令
，得
．
设平面
与平面
的夹角为
，则
．
因此，平面
与平面
夹角的余弦值为
.
12．（24-25 高三上·浙江·期中）如图，三棱锥
中，
，平面
平面
，平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
为钝角，且二面角
的大小为
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
60
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【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得
平面PAC，利用线面垂直的性质可得
、
，结合线面垂直的判定定理即可证明；
（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得
平面PAC，得
，设
，
，则
，根据
建立方程，解之即可求
解.
法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于
的方程，结合三角恒等变换的化
简计算即可求解.
【详解】（1）如图，在平面ABC 内取点O，过O 作
于M，过O 作
于N，
平面
平面ABC，平面
平面
，
平面ABC，
平面PAC，又
平面PAC，
，同理可证
，
又
，
平面ABC，
平面ABC；
（2）法一：如图，过点B 作
于点H，过H 作
于点Q，连接BQ，
平面ABC，
平面ABC，
，
又
，
平面PAC，
平面PAC，则
为二面角
的平面角，即
设
，
，
则
，
，
所以
，又
，所以
，
所以
，由
得
，
整理得
，又
，解得
或
（舍去），
综上
.
法二：如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，
，
61
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则
，
，
，
，
易知平面PAC 的法向量为
，
设面PAB 的法向量为
，
则
，
，
则
，
整理得
，由
，
得
，解得
或
（舍），
综上，
.
13．（24-25 高三上·吉林长春·开学考试）在如图①所示的平面图形中，四边形
为菱形，现沿
进
行翻折，使得
平面
，过点
作
，且
，连接
，所得图形如图②
所示，其中
为线段
的中点，连接
.
(1)求证：
平面
;
62
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(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，交
于点
，连接
，由题意得
，
，由线面垂直的判定定
理可得
平面
，由题意可得四边形
为平行四边形，可得
，继而即可证明.
（2）取
的中点为
，连接
，由题意，以
为坐标原点，以
分别为
轴建立空间直
角坐标系，设
，由直线
与平面
所成角的正弦值为
，计算可得
，再利用法向
量及两平面夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）连接
，交
于点
，连接
，
四边形
为菱形，
，
平面
，
又
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
分别为线段
的中点，
，且
，
又
，且
，
，且
，
故四边形
为平行四边形，
，
平面
.
63
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（2）在菱形
中，
，
和
都是正三角形，
取
的中点为
，连接
，
，
又
平面
，
平面
，
，
即
两两互相垂直，
如图，以
为坐标原点，以
分别为
轴建立空间直角坐标系，
设
，已知
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
取
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
因为直线
与平面
所成角的正弦值为
，
则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，取
，
，
设平面
的法向量为
，
64
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则
，
取
，则
，
设平面
与平面
所成角为
，
则
，
故平面
与平面
所成角的余弦值为
.
【点睛】
14．（2024·山西吕梁·三模）如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为
底面圆
的内接正三角形，且
的边长为
，点
在母线
上，且
，
.
(1)求证：
，并求三棱锥
的体积；
(2)若点
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）设
，连接
，即可证明
平面
，
平面
、
平面
，
再由锥体的体积公式计算可得；
（2）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线
与平面
所成角的正弦值最
大值，再由点到面的距离公式计算可得.
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【详解】（1）设
，连接
，
为底面圆
的内接正三角形，
为
中点，
又
，
；
，
；
平面
平面
平面
平面
，
平面
平面
平面
平面
，
又
平面
，
又
平面
，又
平面
，
所以
，
又
平面
，
平面
平面
平面
；
为
中点，
，即
，
又
平面
，
平面
，
平面
平面
，
，
，
又
平面
，
.
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（2）
为
中点，又
，
为
中点，
，
，
以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
设
，
；
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
设直线
与平面
所成角为
，
，
令
，则
，
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，
当
，即
时，
，
，此时
，
，
点
到平面
的距离
.
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