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专题05 概率与分布列培优归类
题型1 条件概率：丢书与取球模型
对于条件概率，要通过数图与框架图，来理清概率原理与概括计算公式
1．（22-23 高二下·黑龙江七台河·期中）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10 个纸箱，其中5 箱英语书、
2 箱数学书、3 箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9 箱中任意打开两箱，
结果都是英语书的概率为( )
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设事件
表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件
表示丢失一箱，结合全概率公式，即可求解.
【详解】设事件
表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件
表示丢失一箱为
（其中
，分别表
示英语书、数学书、语文书），
可得
.
故选：C.
2．（24-25 高二下·山西·期末）甲箱中有2 个红球和3 个白球，乙箱中有2 个红球和2 个白球（两箱中所
有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设
“从甲箱中取
出的球是红球”，
“从乙箱中取出的两球都是红球”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式求
，再利用条件概率公式或贝叶斯公式求解即可.
【详解】由题意得：
，
根据全概率公式可得：
，
所以
，
故选：C
3．（22-23 高二下·辽宁·阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共
箱，其中箱语文书、箱数学书、
箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开
箱，结果是
箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】记事件
从剩下的箱书中随机打开
箱，结果是箱语文书、箱数学书，记事件
丢失的一
箱是语文书，事件
丢失的一箱是数学书，事件
丢失的一箱是英语书，利用全概率公式求出
的
值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件
从剩下的箱书中随机打开
箱，结果是箱语文书、箱数学书，
记事件
丢失的一箱是语文书，事件
丢失的一箱是数学书，事件
丢失的一箱是英语书，
则
，
，
由贝叶斯公式可得
.
故选：B.
4．（多选题）（21-22 高二下·福建南平·期末）甲、乙两个袋子中各装有
个大小相同的小球，其中甲袋
2
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中有个红球，
个白球和个黑球，乙袋中有
个红球，个白球和个黑球，先从甲袋中随机取出一球
放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件
、
和
分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑
球，用事件
表示从乙袋中取出的球是红球，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．事件
与事件
相互独立
D．
、
、
是两两互斥的事件
【答案】BD
【分析】利用全概率公式可判断A 选项；直接写出
、
，可判断B 选项；利用独立事件的
定义可判断C 选项；利用互斥事件的定义可判断D 选项.
【详解】对于AB 选项，
，
，
，
，
，
由全概率公式可得
，A 错B 对；
对于C 选项，因为
，C 错；
对于D 选项，因为
，
，
，
故
、
、
是两两互斥的事件，D 对.故选：BD.
题型2 条件概率：三门问题
三门问题实质是分类讨论，所以把三门问题涉及到的条件概率原理，通过分类讨论来理解。
1．（多选题）（24-25 高二下·四川内江·阶段练习）1990 年9 月，Craig F·Whitaker 给《Parade》杂志“Ask
Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后
放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其
中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了
一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参
赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1 号门，接着主持人会从2，3 号门中打开一道后
面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ）
A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为
B．主持人打开3 号门的概率为
C．在主持人打开3 号门的条件下，2 号门有豪车的概率为
D．在主持人打开3 号门的条件下，改选2 号门比保持原选择获得豪车的概率更大
【答案】ABD
【分析】设
分别表示
号门里有豪车，用
分别表示主持人打开
号门，然后用全概
率公式和条件概率公式对选项进行分析即可.
【详解】设
分别表示
号门里有豪车，用
分别表示主持人打开
号门，
对于A，游戏参与者初次选择了1 号门，在做选择的时不知道豪车在哪扇门后，
3
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因此事件
发生的概率均为
，
正确；
对于B，在选择了1 号门的前提下，主持人打开1 号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在1 号门里，主持人打开2，3 号门，
，
豪车在2 号门里，主持人只能打开3 号门，
，
豪车在3 号门里，主持人只能打开2 号门，
，
由全概率公式
，
正确；
对于CD，在3 号门打开的条件下，1 号门和2 号门里有豪车的条件概率为：
，
因此选2 号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即
错误，
正确.
故选：ABD
2．（多选题）（22-23 高二下·贵州安顺·期末）在某电视台举办的猜奖娱乐节目中，事先在编号为1，2，
3 的三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖
品，游戏参与者知道其中一扇门背后是笔记本电脑，其余两扇门背后是水杯，作为游戏参与者当然希望选
中并赢得笔记本电脑，主持人知道笔记本电脑在哪扇门后面，假定你参与了该娱乐节目并初次选择的是1
号门，接着主持人会从2、3 号门中打开一道后面是水杯的门，则以下说法正确的是（ ）
A．主持人打开3 号门的概率为
B．在主持人打开3 号门的条件下，1 号门有笔记本电脑的概率为
C．你获得笔记本电脑的概率为
D．在主持人打开3 号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2 号门与保持原选择获得笔
记本电脑的概率一样大．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率、条件概率、全概率公式计算，逐项判断作答.
【详解】设事件
“笔记本电脑在第号门后”，事件
“主持人打开第号门”（
），
由于游戏参与者不知道哪扇门后是笔记本电脑，只能随机选择一扇门开启，因此
，
C 正确；
由于初次选择的是1 号门，则
，
所以主持人打开3 号门的概率
，A 正确；
在主持人打开3 号门的条件下，1 号门有笔记本电脑的概率
，B 正确；
在主持人打开3 号门的条件下，2 号门有笔记本电脑的概率
，
因为
，则改选2 号门与保持原选择获得笔记本电脑的概率更大，D 错误.
故选：ABC
3．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著
4
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名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4 扇编号为1，2，
3，4 的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门
后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人
是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2 号门，用
表示号门后有奖品，用
表示
主持人打开号门，则
；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 .
【答案】
/0.375
【分析】根据条件概率即可求得第一空答案；结合全概率公式即可求得第二空答案.
【详解】奖品在2 号门后，嘉宾选择了2 号门，主持人可打开1，3，4 号门，则
；
若奖品在2 号门后，其概率为
，嘉宾更改了选择，则其选中奖品的概率为0；
若奖品不在2 号门后，其概率为
，主持人随机打开不含奖品的两扇门中的1 个，
若此时嘉宾更改选择，其选中奖品的概率为
；∴若嘉宾更改选择，其中奖的概率为
.
故答案为：
；
4．（2022·河北邯郸·一模）在一次活动课上，老师准备了4 个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里
面有100 元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下
的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进
行置换.
(1)若以获得有100 元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由.
(2)以（1）中的结果作为置换的依据，记
表示甲获得的金额，求
的分布列与期望.
【答案】(1)甲需要选择置换，理由见解析；
(2)分布列答案见解析，数学期望：
.
【分析】（1）利用条件概率即求；
（2）由题可得
的可能取值为0，100，分别求概率，即得.
【详解】（1）甲需要选择置换.
理由如下：若甲同学不选择置换，则获得有100 元的红包的概率为
，
若甲同学选择置换，若甲同学第一次抽到100 元，概率为
，置换后概率为0，故为
，
若甲同学第一次没有抽到100 元，概率为
，置换后概率为
，故为
；
则获得有100 元的红包的概率为
，因为
，所以甲需要选择置换.
（2）由题可知
的可能取值为0，100.
，
，
的分布列如下：
0
100
.
5
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题型3 分布列基础型
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
1．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺
繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环
节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作
三幅不同的湘绣作品，已知
三幅作品通过设计图案环节的概率依次为
，通过刺绣环节的概率依次为
.
(1)求
三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知
三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为
的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，
三幅作品成为成品作品的件数为
.求随机变量
的分布列及
数学期望
.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由概率乘法公式进行求解；
（2）由条件概率公式求解；
（3）记
三幅作品成为成品的事件分别为
，则
，由
可取
，求出对应的概率，列出分布列即
可求解数学期望．
【详解】（1）记
三幅作品通过设计图案环节分别为事件
，记
三幅中恰有一幅作品通
过设计图案环节为事件
，
则
．
（2）
．
（3）记
三幅作品成为成品的事件分别为
，
则
，
由
可取
，则
，
，
，
，则
的分布列为
0
1
2
3
6
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则数学期望
．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）2025 年7 月6 日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市
篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球足球排
､
､
球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球足球排球三类相关知识题量
､
､
占比分别为
.甲同学回答篮球足球排球这三类问题中每个题的正确率分别为
､
､
.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3 分，回答错误得-1 分.设该同学回答三题
后的总得分为
分，求
的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取
道题目，答对题目数不少于
道，即可获得奖励.现以获得奖励的
概率大小为依据，若甲同学在
和
之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)甲应选
，理由见解析
【分析】（1）设
“甲同学所选的题目回答正确”，
“所选的题目为篮球足球排球相关知识的题目”
､
､
，结合全概率公式即可求解；
（2）确定
的可能取值，求得对应概率即可求解；
（3）由
时，由甲答对题目的数量
，确定甲获奖励的概率
，再从①前8
题答对题目的数量大于等于5，②前8 题答对题目的数量等于4，且最后2 题至少答对1 题，③前8 题答对
题目的数量等于3，且最后2 题全部答对，讨论当
时，甲获奖励的概率，比较大小即可求解.
【详解】（1）设
“甲同学所选的题目回答正确”，
“所选的题目为篮球足球排球相关知识的题目”
､
､
，则
，且
两两互斥.
根据题意得
，
，
则
，
所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为
.
（2）
的可能取值为
，
，
，
，
，则
的分布列为：
-3
1
5
9
所以
.（3）当
时，
为甲答对题目的数量，
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由题意可知
，其中
，故当
时，甲获奖励的概率
，
当
时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前8 题答对题目的数量大于等于5，
②前8 题答对题目的数量等于4，且最后2 题至少答对1 题，
③前8 题答对题目的数量等于3，且最后2 题全部答对，
故当
时，甲获奖励的概率
，所以
，
因为
，所以
，即
，所以甲应选
.
3．（2025·广东·模拟预测）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，信号的传输相互独立.由于随
机因素的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.发送0 时，收到1 的概率为
，
收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概率为
.假设发送信号0 和1
是等可能的.
(1)若
，
，求接收的信号为0 的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信号
重复发送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收
到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
（i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1 的概率；
（ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）答案见解析
【分析】（1）先求条件概率，结合全概率公式可得答案；
（2）（i）利用独立事件的概率公式可得答案；（ii）分别表示出两种方式的概率，作差比较，分情况讨论
可得答案.
【详解】（1）设
“发送的信号为0”，
“接收的信号为0”，则
“发送的信号为1”，
“接收的信号
为1”.由题意可得
.
（2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，
此时依次收到1，0，1 的概率为
（ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1 为
，依次收到1，0，1 为
，
依次收到1，1，0 为
，依次收到1，1，1 为
，且事件
相互互斥.
对于三次传输，记发送1，译码为1 为事件
，
记单次传输发送1，译码为1 为事件
，则
.
因为
，所以
.
当
时，有
，即
，此时选用三次传输方案.
当
时，有
，即
，选用哪种传输方案都可以.
8
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当
时，有
，即
，此时选用单次传输方案.
题型4 分布列模型：射击模型
射击模型，要从这几方面考虑：
1. 一共打了几枪？
2. 为啥要结束？是否符合题中的结束条件？如果有多个结束条件，符合那一条？
3. 是否有子弹限制？
4.最终结束，是因为子弹打完，还是因为“完成任务”
5.有没有限制：如是“连续两枪击中”（或脱靶）还是“累计两枪击中”（或脱靶）
1．（22-23 高二下·浙江宁波·期中）对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，
Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击
落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是
，命中Ⅱ部分的概率是
，命中Ⅲ部分的概率是
，射击进行到击落飞
机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数
的分布列、数学期望和方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
，
【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是
第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；
（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4 四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即
可求出分布列、数学期望和方差.
【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者
第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则
.
（2）依题意，
的可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
，所以
的分布列为：
1
2
3
4
的数学期望
.
1
4
9
16
的方差
9
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2．（2022·湖南长沙·模拟预测）某靶场有
，
两种型号的步枪可供选用，其中甲使用
两种型号的
步枪的命中率分别为
,
；，
(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3 次，则可以获得
一份精美礼品，若甲使用
型号的步枪，并装填5 发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
(2)现在
两把步枪中各装填3 发子弹，甲打算轮流使用
两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续
使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用
种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶
或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记
为射击的次数，求
的分布列与数学期
望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
的数学期望为
.
【分析】（1）分别求出甲击中5 次、4 次、3 次的概率，再相加即可得解；
（2）
的所有可能取值为2,3,4,5，求出
取每个值的概率后，可得分布列.根据数学期望公式可得数学期
望.
【详解】（1）甲击中5 次的概率为
，甲击中4 次的概率为
，
甲击中3 次的概率为
，所以甲获得精美礼品的概率为
.
（2）
的所有可能取值为2,3,4,5,
，
，
，
，
所以
的分布列为：
2
3
4
5
所以
.
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）某猎人发现在距离他100 米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射
击一次就击中猎物的概率为
，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相
互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.
(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使
得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50 米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时
猎物和他之间的距离又增加了50 米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他
之间的距离都会增加50 米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于
时就停止射击，求猎人停
止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.
(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如
果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?
附:
.
10
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【答案】(1)分布列见解析，
(2)5 次．
【分析】（1）设第i 次射击击中猎物的概率为
，猎人和猎物之间的距离为
，则
(k 为常数
)，由
，
，求出
和符合题意
，由射击次数X 的所有取值，计算相应
的概率，列出分布列，计算数学期望；
（2）利用对立事件，计算至少击中一次的概率，列不等式借助对数式的运算计算射击次数.
【详解】（1）因为猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比，
设第i 次射击击中猎物的概率为
，猎人和猎物之间的距离为
，
则
(k 为常数
)，∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
，
．当
时，
，停止射击．
设猎人的射击次数为X，则X 的所有取值为1，2，3，4
，
，
，
，
∴X 的分布列为
x
1
2
3
4
P
∴X 的数学期望为
.
（2）记“第i 次射击击中猎物”为事件
，i=1，2，…，
则n 次连续射击至少击中猎物一次的概率为
，
故
，所以至少要连续射击5 次．
题型5 分布列模型：比赛模型
比赛模式，要从以下几个方面来考虑：
1. 一共比赛了几局？
2. 最终是“谁赢了”。
3. 比赛规则有没有平局，如果有平局，概率是多少？
4. 是否符合这个规则：赢了的必赢最后一局；
4. 比赛为啥结束？是否符合题中的结束比赛条件？如果有多个比赛结束的条件规则，符合那一条规
则？
5. 在比赛前有没有设施“抽签” 环节，如果设置了抽签环节，抽签的概率是多少？
11
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1．（2025·广西·模拟预测）2025 年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦孙颖莎以
､
战胜日本队
组合吉村真晴大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军
､
.假设2026 年的一次乒乓球比赛中，S 组合与
组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛
组合获胜的概率为
，每局比赛胜负结果相互独立，规
定先达到净胜3 局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜
局指的是一方比另一方多胜
局）.
(1)分别求恰好3 局比赛结束时
组合获得比赛胜利的概率
，恰好5 局比赛结束时
组合获得比赛胜
利的概率
；
(2)若规定比赛总局数达到7 局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数
的
分布列；
(3)若比赛局数不限，求
组合获得比赛胜利的概率.
【答案】(1)
，
(2)分布列答案见解析(3)
【分析】（1）根据独立事件的概率公式，分别求
、
即可得答案.
（2）由题意
可能的取值为3，5，7，分别求得各个概率，列出分布列即可.
（3）设事件
表示“比赛局数不限，D 组合获得比赛胜利”，设比赛过程中，D 组合与S 组合累计所赢局数
的差为
，根据全概率公式，则有
，计算可得
构成了以
为首项，
的等比数列，结合累加
法，计算即可得答案.
【详解】（1）由题意，每局比赛
组合获胜的概率为
，S 组合获胜的概率为
，
恰好3 局结束，则
组合连赢三局，所以
，
恰好5 局结束，则
组合前3 局中赢2 局，输1 局，且后2 局均获胜，
所以
；
（2）由题意
可能的取值为3，5，7，
；
；
；分布列为
3
5
7
（3）设事件
表示“比赛局数不限，D 组合获得比赛胜利”.
设比赛过程中，D 组合与S 组合累计所赢局数的差为
，
表示
时最终D 组合获得比赛胜利的概率，其中
.
由题知，
，
，
.
根据全概率公式，则有
，
于是
，
12
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则
构成了以
为首项，
的等比数列，
则
，
，
，
，
，
；累加得，
，解得
，所以
，
故若比赛局数不限，D 组合获得比赛胜利的概率为
.
2．（25-26 高二上·浙江·开学考试）2025 年6 月23 日雷霆队以大比分
战胜步行者队捧起奥布莱恩杯.众
所周知，
总决赛采取7 场4 胜制，当两队大比分战成
，第5 场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲
乙两支队伍闯入
总决赛，首战甲获胜的概率为
，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为
，
每场比赛结果相互独立.
(1)求两场后双方战成
的概率；
(2)若首战乙胜，求再战三场双方战至
后甲在“天王山之战”中获胜的概率；
(3)求甲乙不需要进行第七场比赛的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照独立事件的概率可得；
（2）记所求事件为
，包含的所有结果：
，按照独立事件的概率可得；
（3）只进行四场比赛的结果对应的概率，只进行五场比赛甲获胜的结果；只进行六场比赛甲获胜的结果：
即可计算出甲乙不需要进行第七场比赛的概率.
【详解】（1）设事件
“第场比赛甲获胜”，事件
“第场比赛乙获胜”，
事件
“两场后双方战成1：1”，所以
故有
.
（2）记所求事件为
，包含的所有结果：
所以
（3）记
为只进行
场比赛的概率
①只进行四场比赛的结果：
则对应的概率为
②只进行五场比赛甲获胜的结果：
，
乙获胜的结果：
③只进行六场比赛甲获胜的结果：
，
，
，
，
乙获胜的结果：
，
，
，
，
6 场比赛甲获胜的概率
13
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对应乙获胜的概率
所以
综上，甲乙不需要进行第七场比赛的概率为
9．（2025·广西南宁·三模）甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由
抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂
失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，
该选手获得胜利．
(1)若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
(2)已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率；
(3)求甲成为最终获胜者的概率．
【答案】(1)
;(2)
;(3)
.
【分析】（1）分甲连胜两局、乙连胜两局、甲胜第一局乙连胜后两局和乙胜第一局甲连胜后两局计算概
率即可；（2）合理假设事件，利用独立性乘法公式以及互斥事件加法公式和条件概率公式即可得到答案；
（3）分别计算不同状态下甲乙守擂成功的概率，从而得到方程组，解出即可.
【详解】（1）甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为
，
乙连胜两局，概率为
；
甲胜第一局乙连胜后两局，概率为
；
乙胜第一局甲连胜后两局，概率为
；
设事件A 为比赛在前三局内结束，则
；
答：比赛在前三局内结束的概率为
.
（2）设事件
为比赛在第四局结束，设事件
为甲最终获胜，设事件
为乙最终获胜．
则比赛在第四结局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，
故
.
比赛在第四结局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为
，
故
；
故比赛在第四局结束条件下甲最终获胜的概率
；
答：比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为
.
（3）定义：状态
：当前擂主为甲，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为
；
状态
：当前播主为甲，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为
；
状态
：当前播主为乙，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为
；
状态
：当前擂主为乙，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为
．
当状态为
时，甲守播成功（概率为0.6），进入状态
；甲失败（概率为0.4），进入状态
，
可得，
，
当状态为
时，甲守擂成功（概率为0.6），比赛结束；甲失败（概率为0.4），进入状态
，
可得，
；
当状态为
时，乙守擂成功（概率为0.6），进入状态
；乙失败（概率为0.4），进入状态
，
可得，
；
当状态为
时，乙守擂成功（概率为0.6），比赛结束；乙失败（概率为0.4），进入状态
，
可得，
；综合以上四个方程，可解得，
．
又擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5，故甲成为最终获胜者的概率
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.
题型6 分布列模型：取球模型
取球模式，包含以下思维：
1. 一次取几个球，取球取的是那些颜色（形式）的。
2. 球，是一次性取出，还是一个一个取。
3. 取球，是有放回的取球，还是不放回的取球。
4. 取球为啥停止，是球取完了，还是触发了题中规定的停止取球规则，停止条件是什么。
1．（23-24 高三·山东济南·阶段练习）一个袋中装有形状大小完全相同的球9 个，其中红球3 个，白球6
个，每次随机取1 个，直到取出3 次红球即停止．
(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4 次停止的概率P1；
(2)从袋中有放回地取球．
①求恰好取5 次停止的概率P2；
②记5 次之内(含5 次)取到红球的个数为
，求随机变量
的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2) ①
②
【详解】试题分析：(1)从袋中不放回地取球，连续取4 次，有
个不同的结果，由于是随机取的，每个结
果出现的可能性是相等的，恰好取4 次停止，说明前三次有一次是白球，共有
个不同的结果，所以，
根据古典概型的概率公式得
；
(2) 从袋中有放回地取球，每次取到红球的概率
，取到白球的概率是
连续有放回地取
次，相当于
次独立重复试验；
①求恰好取5 次停止的概率P2；说明前四次有两次发生，第五次一定发生；
②记5 次之内(含5 次)取到红球的个数为
，随机变量
的所以可能取值集合是
由
次独立重复试验概率公式
即可求出随机变量
分布列，并由数学期望的公式计算
出
.
试题解析：
解：(1)
4 分
(2)①
6 分
②随机变量
的取值为
由
次独立重复试验概率公式
，得
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随机变量
的分布列是
0
1
2
3
的数学期望是
12 分
考点：1、古典概型；2、独立重复试验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望.
2．（21-22 高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加某个比赛，比赛开始前
箱子中装有3 个红
球3 个白球，
箱子中装有1 个红球2 个白球．比赛规则是：先由甲同学从
箱子中每次取一个球放入
箱子中，若从
箱子中放入
箱子中的球是红球则停止取球，若是白球则继续取球放球过程，直到第一次
取到红球并放入
箱子中为止．然后再由乙同学从
箱子中任取一个球，若取出的是红球则乙同学获胜，
否则甲同学获胜．
(1)用
表示甲同学从
箱子中取出放入
箱子中球的个数，求
的分布列及数学期望；
(2)求甲同学获胜的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【分析】（1） 求出
的取值和概率可得分布列；
（2）分别计算
箱子中装有2 个红球2 个白球的概率、
箱子中装有2 个红球3 个白球的概率、
箱子中
装有2 个红球4 个白球的概率、
箱子中装有2 个红球3 个白球的概率，再求和可得答案.
【详解】（1）
的可能取值是
，
，
，
，
，
故
的分布列是
故
数学期望为
，故
的数学期望是
．
（2）
时，表示
箱子中装有2 个红球2 个白球，则甲获胜的概率
，
时，表示
箱子中装有2 个红球3 个白球，甲获胜的概率
，
时，表示
箱子中装有2 个红球4 个白球，甲获胜的概率
，
时，表示
箱子中装有2 个红球5 个白球，甲获胜的概率
，
故甲获胜的概率
3．（2024·辽宁大连·一模）一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7 个小球，其中4 个白球，3 个黑
球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．
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(1)求停止取球时盒中恰好剩3 个白球的概率；
(2)停止取球时，记总的抽取次数为
，求
的分布列与数学期望：
(3)现对方案进行调整：将这7 个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3 个小球，其中2 个白球，1 个黑球：
乙盒装4 个小球，其中2 个白球，2 个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒
中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或
者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y
的数学期望的大小关系．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，
所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求
得概率；
（2）先确定
的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期
望.
（3）先确定
的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为
，根据题设得到三者之间的关系，再结合古
典概型的概率公式可求分布.
【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3 个白球”为事件
，
则
；
（2）
的可能取值为3，4，5，6，
，
，
，
，
所以
的分布列为
3
4
5
6
的数学期望
；
（3）
的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为
，
因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，
，
，
，
，
的数学期望
，
在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要
剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．
题型7 马尔科夫链模型
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马尔可夫链：若
，即未来状态
只受当
前状态
马尔科夫不等式
设
为一个非负随机变量，其数学期望为
，则对任意
，均有
，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学
期望间的关系．
证明：当
为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设
的分布列为
其中
，则对任意
，
，其中符号
∑
xi≥ε
Ai
表示对所有满足
的指标i 所对应的
求和．的影响，与之前的
无关.
1．（2025·辽宁·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄
国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第n 次的
状态有关，与第
，
，
，…次状态无关．已知有A，B 两个盒子，各装有1 个黑球、1 个黄球和
1 个红球，现从A，B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，
记A 盒子中红球的个数为
，恰有1 个红球的概率为
，恰有2 个红球的概率为
．
(1)求
，
的值；
(2)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(3)求
的数学期望．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）根据题意可得A 盒子中没有红球的概率为
，进而根据规则求解即可；
（2）由题意可得
，整理可得
，进
而求证，再求解
的通项公式；
（3）由题意可得
,
，整理可得
，进而求解
的分布列，再计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意，A 盒子中没有红球的概率为
，
则
，
，
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，
.
（2）因为
，
，
，
所以
，又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
.
（3）当
，
时，
,①
,②
由①
②得，
，又
，
所以
，则
，
的可能取值为0，1，2，则
，
，
，则
的分布列为：
0
1
2
所以
.
2．（2025·广东湛江·一模）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的
类问
题以及难度系数较高的
类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问
题的概率均为
，甲遇到
类问题时回答正确的概率为
，回答正确记1 分，否则记0 分；甲遇到
类问
题时回答正确的概率为
，回答正确记2 分，否则记0 分，总得分记为X 分，甲回答每个问题相互独立．
(1)当进行完2 轮游戏时，求甲的总分X 的分布列与数学期望．
(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n 分的概率为
．
（ⅰ）证明：
为等比数列．
（ⅱ）求
的最大值以及对应n 的值．
【答案】(1)分布列见解析，1(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当
时，
取到最大值为
【分析】（1）由已知可得X 的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望；
（2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证
为等比数列，可得
，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解.
【详解】（1）X 可以取0，1，2，3，4，每次回答A 类问题且回答正确的概率为
，
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回答A 类问题且回答不正确的概率为
，每次回答B 类问题且回答正确的概率为
，
回答B 类问题且回答不正确的概率为
，
，
，
，
；
，
X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
；
（2）（ⅰ）
，
，由题意得甲累计得分为n 分的前一轮得分只能为
分或
分，故当
时，
，
所以
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（ⅱ）根据（ⅰ）可知，
①，
易得
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
②，令②－①可得
，
所以
，经检验
，
时均满足上式，故
，
所以
，而
显然随着n 的增大而减小，
故
，
又因为
，所以当
时，
取到最大值为
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分
分与
分，
分
之间的概率递推关系，从而得到
与
，
的关系式.
3．（2025·重庆·一模）在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为
10:10，接下来比赛规则如下: 两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得 1 分，直到有一方得分超过对方
2 分时即可获得该局的胜利. 已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6 . 比赛既是实力的较量，也是心态
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的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在
下一球比赛中获胜的概率为
.
(1)求甲以
的比分赢得比赛的概率;
(2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于 0.6，求
的范围;
(3)若
，设甲运动员在第
球比赛中获胜的概率为
，数列
满足
，求
证:
.
（参考知识: 当
时，若
，则
.）
【答案】(1)
；(2)
；
(3)证明见解析.【分析】（1）根据条件概率公式即可得到答案；
（2）记甲运动员在第
球比赛中获胜的概率为
，可推得
，再对
分类讨论即得；
（3）根据（2）得到
则
，化简计算
，最后利用累加法和等比数列求和公
式即可得证.
【详解】（1）记第一球比赛甲运动员获胜的事件为
，第二球比赛甲运动员获胜的事件为
，
由题意知：
，且
，
∴
.
即甲以
的比分赢得比赛的概率为
.
（2）记甲运动员在第
球比赛中获胜的概率为
，则
，
则
,
可知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
则有
，
,
①当
时，
，又
，故
是一个递减数列，
当
时，
，依题需使
，即
与条件矛盾,舍去；
②当
时，
，不合题意；
③当
时，
，又
，故
是一个递增数列，
依题意，只需
，即
，解得
，故
；
④当
时，
，符合题意；
⑤当
时，
，又
，因此
是一个摆动数列，
若
为偶数，则
，
；
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若
为奇数，则
是一个递增数列，只需
，而
，
因
，于是
，
得：
，解得
，故
.
综上：
时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6.
（3）当
时，由（2）可得，
，
则
，
，
，
，
，
故：
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到
，再对
分类讨论.
题型8 传球模型
传球模型，大多数是属于“马尔科夫链”。传球模式要理清以下几个情况：
1.如果没有特殊要求特殊规定，则n 个人传球，每个人接到球的概率是
。
2.起始阶段，球在谁手里，也就是第一次传球，球是从谁手里传出。
3.
1．（24-25 高二下·湖南·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，增强团队协作能力和沟通能力，促进身心
健康发展，某校将举行一次篮球赛.某班准备组建一支5 人的篮球队参加比赛，其中甲、乙2 人已入选，现
要从含丙、丁、戊的另外5 人中再选3 人参赛.
(1)求丙、丁、戊3 人中入选的人数
的分布列及期望；
(2)现甲、乙、丙、丁、戊5 人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外4 个人中的任何1 人，求
次传球后球在甲手中的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）求出X 的所有可能取值及对应概率，得到分布列，再算出期望即可；
（2）根据题意得到
与
的关系式，借助数列递推公式求通项即可得到结果.
【详解】（1）由题意可知X 的所有可能取值为
，
则
，
所以X 的分布列为
X
1
2
3
22
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P
故
．
（2）设n 次传球后球在甲手中的概率为
，则
．
由题意可知
，变形可得
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，故
．
2．（2025·四川凉山·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部
相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行
动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2 小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起
来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
(1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100 名进行调查，得
到
列联表如下：
喜爱排球运动
不喜爱排球运动
合计
男性
60
40
100
女性
45
55
100
合计
105
95
200
依据小概率值
的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
(2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3 人中的1 人，乙也等
可能地随机传向另外3 人中的1 人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1 人，第1 次由甲将球传出，
如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n 次传球之后球在丙或丁手上的概率为
．
（ⅰ）计算
，
，并求
的通项公式；
（ⅱ）记第n 次传球之后球在乙手上的概率为
，求
的通项公式．
附：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)喜爱排球运动与性别无关(2)（ⅰ）
，
，
；（ⅱ）
【分析】（1）用独立性检验的方法求解即可.（2）（ⅰ）构造
是以
为首项，
为公比的等比
数列进行求解即可（ⅱ）构造
是以
为首项，
为公比的等比数列进行求解即可.
【详解】（1）假设
：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
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根据列联表数据，经计算得
，
依据小概率值
的独立性检验，我们没有充分证据推断
不成立，
可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关.
（2）（ⅰ）由题意，
，
且
时
，所以
又
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
（ⅱ）由题意，
，且
时
，
所以
又
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列．
则
，即
3．（23-24 高三上·山东威海·期末）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等
可能地传给其余
人之一，设
表示经过
次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等比数列，并求
；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
则
．记前
次（即从第次到第
次传球）中球传到乙手中的次数为
，求
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）分析已知计算即可得出结果；
（2）记
表示事件“经过
次传递后球传到乙手中”，若
发生，则
一定不发生，则
，
变形可得
，即数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，结合等比数列的
通项公式求解即可；
（3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.
【详解】（1）因为
表示经过
次传递后球传到乙手中的概率，
所以，第一次传到乙手中的概率为：
，第二次传到乙手中的概率为：
.
（2）记
表示事件“经过
次传递后球传到乙手中”，若
发生，则
一定不发生，
24
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所以
，即
，即
，又
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，即
.
（3）由题意，次传球后球在乙手中的次数
，
服从两点分布，且
,所以
由（2）可知，
，
则
.
题型9 多人比赛模式
多人比赛模式，要考虑以下各种情况：
1.第一局比赛双方是谁？怎么确定的。是规定，还是抽签定下来，有没有“选择权”。
2.比赛进行了几局？输赢双方怎么进入下一局比赛？淘汰规则是什么？
3.最终“谁赢了”？赢的规则，是累计，还是连续？
4.比赛规则规定，有没有平局？如果有平局，概率是多少？
5.是否符合“赢了的必赢最后一局”；
6.比赛为啥结束？结束规则是什么？
1．（2023·河南信阳·模拟预测）某地乒乓球协会在年55 岁
65 岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐
兵兵”比赛，3 人一组先进行预赛，选出1 名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第
一轮比赛次序为：甲对乙、甲对丙、乙对丙，先累计获胜2 场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、
丙各胜负一场，则根据抽签确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概
率分别为
，各场比赛互不影响且无平局.
(1)求甲进入正式比赛的概率；
(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为
，求
的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分类讨论由乘法公式计算即可；
（2）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【详解】（1）由题意，可分为两种情况，即分甲连胜两场和前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4 场甲胜
乙：
①甲连胜两场的概率为
；
②前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4 场甲胜乙的概率为
，
则甲进入正式比赛的概率为
.
（2）由题意得若要比四场，则前3 场甲、乙、丙必然各胜一场，
此时第四场甲对乙，故
的可能取值为1，2，
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第四场甲输，则
，第四场甲赢，则
，
故
的分布列为
1
2
则
.
2．（24-25 高三上·山西晋城·期末）甲、乙、丙人进行跳棋比赛，人两两各进行局，共进行局，赢
的局数多者获胜，且这人只有人可获胜，若没有获胜者，则这人两两再各进行局，若还没有获胜者，
则比赛结束.假设甲、乙、丙每人每局赢的概率均为
，每局是平局的概率均为
，每人每局的结果相互独
立.设每赢局得
分，平局得分，输局得
分.
(1)求该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率；
(2)已知前局中甲、乙、丙各赢局，这人两两再各进行局，记甲在这
局中获得的总分为
，求
的
分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分析知乙和丙可能都得
分或分，然后分类讨论将两种情况的概率加起来即可；
（2）分析可得
的可能取值为
，求出对应的概率，列出分布列，即可直接求解数学期望.
【详解】（1）依题意可得乙和丙不可能都得
分或分，
则乙和丙可能都得
分或分，
当乙和丙都得
分时，这局均为平局或这局每人各赢局；
当乙和丙都得分时，乙与丙都赢了甲且乙与丙的对局结果为平局.
所以该跳棋比赛前局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率为
.
（2）依题意可得
的可能取值为
，则
，
，
，
，
，
则
的分布列为：
6
5
4
3
2
故
.
3．（23-24 高三·湖南阶段练习）为了纪念五四运动100 周年和建团97 周年,某校团委开展“青春心向党,建
功新时代”知识问答竞赛.在小组赛中,甲､乙､丙3 人进行擂台赛,每局2 人进行比赛,另1 人当裁判,每一局的输
方担任下局的裁判,由原来裁判向胜者挑战,甲､乙､丙3 人实力相当.
(1)若第1 局是由甲担任裁判,求第4 局仍是甲担任裁判的概率;
(2)甲､乙､丙3 人进行的擂台赛结束后,经统计,甲共参赛了6 局,乙共参赛了5 局而丙共担任了2 局裁判.则甲､
乙､丙3 人进行的擂台赛共进行了多少局?若从小组赛中,甲､乙､丙比赛的所有场次中任取2 场,则均是由甲担
任裁判的概率是多少.
【答案】(1)
;(2)9,
.
26
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【分析】（1）由题意，前4 局当裁判的等可能结果有
种，第4 局仍是甲当裁判只有2 种可能，由古
典概型概率的求法即可得解；
（2）由题意可得甲与乙之间对局2 次,甲与丙之间对局4 次,乙与丙之间对局3 次,即可求得对局次数；计算
出从甲､乙､丙比赛的所有场次中任取2 场的结果数，再找到符合要求的结果数，利用古典概型概率的求解
方法即可得解.
【详解】（1）记“第4 局仍是甲担任裁判”为事件
,由于每场比赛有两种等可能结果.
∴前4 局当裁判的等可能结果有
种,第四局仍是甲当裁判只有2 种可能:
第一局甲做裁判，第二局乙做裁判，第三局丙做裁判，第四局甲做裁判；
第一局甲做裁判，第二局丙做裁判，第三局乙做裁判，第四局甲做裁判；
∴
.
（2）记“甲､乙､丙比赛的所有场次中任取2 场,则均是由甲担任裁判”为事件
,
∵丙共担任了2 局裁判,∴甲与乙之间对局2 次,∵甲共参赛了6 局,乙共参赛了5 局,
∴甲与丙之间对局4 次,乙与丙之间对局3 次,所以,整个小组赛共有
局,
9 局比赛中任取2 场,共有36 种等可能结果,均是由甲担任裁判,即是由乙和丙进行比赛,共有3 局,3 局比赛中
任取2 局,共有3 种等可能结果,∴
.
【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于中档题.
题型10 双盒子换球模式
双盒子换球模式：
1. 换过去的球是啥颜色球。
2. 返回来是啥颜色球。
3. 是同时换，还是A 到B 先放，然后再从B 到A 取
4. 换了几次，结束原因是什么。
1．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处
理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是
，
，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
.已知甲盒子中装有2 个黄球和1 个黑球，乙盒子中装有1 个黄球
和2 个黑球(6 个球的大小形状完全相同).记操作
:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子
中.在重复
次
操作后，记甲盒子中黄球个数为
，恰有3 个黄球的概率为
，恰有2 个黄球的概率为
，并记
的数学期望为
.
(1)求
;
(2)求
;
(3)证明:
.
【答案】(1)
；(2)
；(3)证明见解析.
【分析】（1）根据组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）分析得
的所有可能得取值为3，2，1，0，再写出对应的概率，利用期望公式即可得到答案；
（3）分别计算
，构造得
，再利用等比数列通项公式得
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，再取倒数，求和放缩即可.
【详解】（1）
分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3 个、2 个黄球的概率，
由题可知:
.
（2）记重复
次
操作后，甲盒子中恰有1 个黄球的概率为
，易得
.
由题易得
的所有可能得取值为3，2，1，0，
且
，
，
，
，
所以
的分布列为：
3
2
1
0
数学期望为
.
（3）记重复
次
操作后，甲盒子中恰有1 个黄球的概率为
，
由题，可得
，而
，
，
，
于是，
，
也即
，
因此
是等比数列，公比为
，首项为
，
所以
.
因此:
，
，
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.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造等比数列
，再求出
，最
后求和即可.
2．（2024·湖南衡阳·三模）现有A，B 两个不透明盒子，都装有m 个红球和m 个白球，这些球的大小、形
状、质地完全相同．
(1)若
，甲、乙、丙依次从A 盒中不放回的摸出一球，设X 表示三人摸出的白球个数之和，求X 的分
布列与数学期望；
(2)若
，从A、B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，
次这样的操作后，记A
盒子中红球的个数为
，求：
（i）
的概率；
（ii）
的分布列．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）
；（ii）答案见解析
【分析】（1）解法一：X 的可能取值有0，1，2，3，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，
从而可求出X 的分布列与数学期望；解法二：X 的可能取值有0，1，2，3，然后利用古典概型的概率公式
结合独立事件的概率公式求出相应的概率，从而可求出X 的分布列与数学期望；
（2）（i）利用全概率公式求解即可，（ii）设
，
，
，则由题意
可得
是以1 为首项的常数列，
是以
为首项，
为公比的等比数列，从而求出
，进而可求出
的分布列.
【详解】（1）法一：X 的可能取值有0，1，2，3，
，
;
;
，
所以X 的分布列为：
0 1 2 3
数学期望
法二：X 的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
数学期望
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（2）（i）
，
，
，
,
,
,
所以
;
（ii）设
，
，
，则
，所以
，
所以
，因为
，
所以
是以1 为首项的常数列，
是以
为首项，
为公比的等比数列
所以
，所以
，
，
所以，X 的分布列为：
X
0
1
2
P
【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查全概率公的应用，第（2）问解的
关键是
，
，
，根据题意得
，化简变形构造
等比数列，从而可求出
，考查理解能力和计算能力，属于难题.
3．（24-25 高三上·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性
质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1 次状态的概率分布只与第n 次的状态有关，与第
，…次的状态无关，即
．已知甲盒中装有1 个白球和
2 个黑球，乙盒中装有2 个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1 个球交换放入对方的盒中，重复n 次（
）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为
，甲盒中恰有2 个白球的概率为
，恰有1 个白球
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的概率为
．
(1)求
和
．
(2)证明：
为等比数列．
(3)求
的数学期望（用n 表示）．
【答案】(1)
，
，
；(2)证明见解析；(3)
.
【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1 次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互
斥事件的概率求出
.
（2）按第
次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用
表示
即
可推理得证.
（3）利用（2）的结论，求出随机变量
的分布列，再求出数学期望.
【详解】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2 白1 黑，乙盒中的球变为1 白1 黑，
概率
；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1 白2 黑，乙盒中的球仍为2 白，概率
，
研究第2 次交换球时的概率，根据第1 次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2 白1 黑，乙盒中的球为1 白1 黑时，对应概率为
，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2 白1 黑，
乙盒中的球仍为1 白1 黑，概率为
；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3 白，乙盒中的球变为2 黑，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1 白2 黑，乙盒中的球变为2 白，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2 白1 黑，乙盒中的球仍为1 白1 黑，概率为
，
②当甲盒中的球为1 白2 黑，乙盒中的球为2 白时，对应概率为
，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2 白1 黑，
乙盒中的球变为1 白1 黑，概率为
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1 白2 黑，乙盒中的球仍为2 白，概率为
，
综上，
.
（2）依题意，经过
次这样的操作，甲盒中恰有2 个白球的概率为
，
恰有1 个白球的概率为
，则甲盒中恰有3 个白球的概率为
，
研究第
次交换球时的概率，根据第
次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2 白1 黑，乙盒中的球为1 白1 黑时，对应概率为
，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2 白1 黑，
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乙盒中的球仍为1 白1 黑，概率为
；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3 白，乙盒中的球变为2 黑，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1 白2 黑，乙盒中的球变为2 白，概率为
；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2 白1 黑，乙盒中的球仍为1 白1 黑，概率为
，
②当甲盒中的球为1 白2 黑，乙盒中的球为2 白时，对应概率为
，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2 白1 黑，乙盒中的球变为1 白1 黑，概率
为
；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1 白2 黑，乙盒中的球仍为2 白，概率为
，
③当甲盒中的球为3 白，乙盒中的球为2 黑时，对应概率为
，
此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2 白1 黑，
乙盒中的球变为1 白1 黑，概率为
，
综上，
则
，
整理得
，又
，
所以数列
是公比为
的等比数列.
（3）由（2）知
，则
，
随机变量
的分布列为
1
2
3
所以
.
题型11 多线程模式
多线程模式，类似于复杂条件比赛模式，可从从多图分类，多重条件分流型等入手，采用分类讨论。注
意
讨论时要按照统一的标准，不多讨论，也不遗漏讨论
1．（25-26 高二上·陕西西安·开学考试）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛
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事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败
了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们
四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，
胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进
入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后
总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者
只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来
拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下
两个赛制：假设四支队伍分别为
其中
对阵其他三个队伍时获胜的概率均为
，另外
三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为
，最初分组时，
同组，
同组.
(1)若
，在淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下
获得冠军的概率（用
表示），比较其与
的大小；
(3)据（2）简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)
，
(2)答案见解析(3)双败赛制下对强者更有利
【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率；
（2）分别求出不同赛制下
获得冠军的概率，再作差即可比较大小；
（3）作差得到
，因式分解后判断即可.
【详解】（1）结合题意可得
获得冠军：
组
获胜，再由
与
组胜者决赛并胜出，
所以
获得冠军的概率为
.
结合题意可得
获得冠军：
组
获胜，再由
与
组胜者决赛并胜出，
所以
获得冠军的概率为
.
（2）在淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率为
.因为
，所以
.
在“双败赛制”赛制下，讨论
进入胜者组、败者组两种情况，
当
进入胜者组，若在胜者组
失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组
胜利，后一局（与败者组
胜者比赛）胜，方可得冠军；此时获得冠军的概率为
当
进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；此时
获得冠军的概率为
.
综上
获得冠军的概率为
.
令
，即
.
因为
，所以
，
.所以
，即
.
（3）由上问可得在淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率为
，
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在“双败赛制”赛制下，
获得冠军的概率为
，令
，
则
.
由
得
.若
为强队，则
，此时
.
即
，所以
.所以双败赛制对强者更有利.
2．（2025·四川成都·模拟预测）小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1 分，输球不得分．每
局先得2 分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为
，小勇胜小勤的概
率为
（其中
是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时
）．
小忠与小勇打一局，小忠得1 分而下场的概率为
．
(1)求
；
(2)若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分
的分布列和数学期望；
(3)若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30 秒，小勇可以主动认输，认输也会用
时30 秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为
，其它两人不能主动认输．小
勇要在接下来的6 分钟时间（含第6 分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说
明其状态并求出最大概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)小勇状态见解析，最大概率为
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据条件概率计算得分
对应概率可得分布列，根据分布列可计算概率；
（3）按照比赛时间分类讨论可得达成何种状态时概率最大.
【详解】（1）小忠与小勇打一局，小忠得1 分而下场的概率为
．
所以
，即
，
则
，所以
，或
（舍去）．则
．
（2）定义事件
：小勇与小勤比分为
，
：小勇最终得分为，则的可能取值为：0，1，2，
，
；
；
则小勇的得分
的分布列为：
0
1
2
．
（3）当包括换下时间时，每局比赛花1.5 分钟或2 分钟结束，
则6 分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的．
①小勇与小勤打2 分钟时，
先赢一球，再主动认鍮，再赢一球的概率最高，为
；
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②小勇与小勤打1.5 分钟时，连赢两球，其概率为
；
③小勇与小忠打2 分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为
；
④小勇与小忠打1.5 分钟时，连赢两球，其概率为
；
小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有
局1.5 分钟结束，
则最后一局打
分钟，其中
．
若小勇与小忠第一局打了1.5 分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率
，
故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2 分钟，即
．
时，则第四局小勇可以连输两球，此时
；
时，小勇最后1 球可不赢，此时，
；
时，
；综上，最大概率为
，最佳状态是与小勤打2 局：每局均1.5 分钟，均获胜，
同时与小忠至少打两局：第一局为2 分钟，获胜.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）在一个摸球游戏中，有一个装有许多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分
为三种颜色：红色蓝色和绿色，各球除颜色可能不同外，其余均相同
､
.每次游戏，参与者需要从盒子中随
机取球.已知盒子中红色球蓝色球和绿色球的数量分别为
､
个､
个和个，且总球数为
个
.
(1)若规定每次取一个球，取球后不将球放回盒子中，且连续取两次.求取出一个红色球和一个蓝色球的概率；
(2)若规定每次取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次.设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的
概率为
，当
时，求
；
(3)在（2）的条件下，若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时.参与者获胜；
否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不公平，理由见详解
【分析】（1）根据题意结合不放回抽样事件的概率计算公式求解；
（2）根据题意结合独立重复试验概率公式运算求解，注意球颜色相同的所有可能情况；
（3）根据题意结合独立重复试验概率公式求参与者获胜的概率，并与
对比分析.
【详解】（1）记“取出一个红色球和一个蓝色球”为事件A，则
.
（2）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球蓝色球和绿色球的概率分别为
､
、
和
，
所以
.
（3）因为取球后将球放回盒子中，则每次取到红色球的概率都是
，
记“参与者获胜”为事件B，则
，
所以游戏不公平.
题型12 药物检验方案选优模型
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1．（2020·安徽合肥·模拟预测）某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为
阳性，现有
份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k 次；方案
二：混合检验，将k 份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份血液样本均为
阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份血液中的阳性血液样本，则对k 份血液样本再逐一检验.逐份检验
和混合检验中的每一次检验费用都是
元，且k 份血液样本混合检验一次需要额外收
元的材料费
和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳
性的概率为
.
（1）若
份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X 分布列及数学期望；
（2）①若
，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若
，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k 的最大值.
参考数据：
，
，
，
，
【答案】（1）分布列见解析，
；（2）①答案见解析；②11.
【分析】（1）依据题意写出X 的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列，然后计算期望即可.
（2）①设方案总费用为Y，
，计算数学期望
，然后与方案一的总费用为
，作差比
较即可. ②根据
，可得
，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.
【详解】（1）X 的可能值为1 和
，
，
，
所以随机变量X 的分布列为：
X
1
P
所以
.
（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则
，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又
，所以
，
又方案一的总费用为
，所以
，当
时，
，
，又
，所以
，所以该单位选择方案二合理.
②由①知方案二总费用的数学期望
，
当
时，
，又方案一的总费用为
，
36
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令
得：
，所以
，即
，
即
，所以
，设
，
所以
，令
得
，
得
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
，
，
，
，
，
，所以k 的最大值为11.
【点睛】本题考查概率与导数的综合，本题考查阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导
数算是近几年热点内容，属难题.
2．（21-22 高二下·山东济南·期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结
果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（
，
）个人，每人一份血
液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n 次；
方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾
病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1 次．
(1)若
，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3 次就能确定患病两人的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为
．
（ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p 关于n 的函数解析式
；
（ⅱ）若
，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）根据古典概型概率公式求解可得；
（2）根据两种方案的期望相等列方程，整理可得
；分别求出两种方案检验费用的期望，作差构
造函数，利用单调性可得.
【详解】（1）将5 份待检血液排成一排有
；
满足条件的排法有两种：（1）第一步，将两份选一份排在第三位有2 种；
第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2 种排法；
第三步，将剩余3 份排成一排有
.
所以满足条件的排法共
；
（2）前三个血液均为非患病的，共有
种排法；
所以恰好检验3 次就能确定患病两人的概率为
（2）（ⅰ）因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n；
记方案二检验次数为X，则X 的取值为1，n+1
37
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，
所以
由题可知
，即
，
整理可得
，即
（ⅱ）当
时，记单次检验费用为x，
则方案一：检验费用为
；
方案二：记检验费为Y，则Y 的分布列为
Y
P
则
记
，因为
，所以
因为
，所以
单调递增，由（ⅰ）知，当
时，
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
；
当
时，
；
故当
时，选择方案二；当
时，选择方案一；当
时，选择两种方案均可.
3．（22-23 高三上·河南·期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核
酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行
化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于
份样本，有以下两种检
验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果
为阴性，那么这k 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，
需要对它们再次取样逐份检验，则k 份检验的次数共为
次，若每份样本没有病毒的概率为
，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
(1)若取得8 份样本，采用逐个检测，发现恰有2 个样本检测结果为阳性的概率为
，求
的最大值
点
；
(2)若对取得的8 份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用逐份检验；方案二：平均分成两组，每组
4 份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的
取值范围（精确到0.01）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意写出得8 份样本恰有2 个样本检测结果为阳性的概率为
，
求导利用函数单调性即可得出最大值点
；（2）易知方案一的检验次数的期望值为8，根据随机变量的
分布列可求得方案二的检验次数的期望值为
，即可得出p 的取值范围.
【详解】（1）根据题意可知，每份样本检测结果为阴性的概率为
，则阳性概率为
；
则8 份样本，采用逐个检测，发现恰有2 个样本检测结果为阳性的概率
38
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即
，所以
，
因为
，所以
当
，即
时，
，所以
在
上单调递增；当
，即
时，
，所以
在
上单调递减；
所以
在
时取得最大值，即
的最大值点
.
（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8 次，即检验次数的期望值
；
若采用方案二：平均分成两组，每组4 份样本采用混合检验，
则每组检测结果为阴性的概率为
，则为阳性的概率为
；
所以检验次数
的所有可能取值为
；
当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2 次，则
；
当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6 次，则
；
当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10 次，则
；
此时，方案二的检验次数的期望值
；
若“方案二”比“方案一”更“优”，则
，即
，得
即p 的取值范围为
题型13 机器人游走模型
机器人游走模型
一维随机游走模型：
设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻
时，位于点
，下一个时刻，它
将以概率
或者
（
）向左或者向右平移一个单位.若记状态
表示：在时刻该
点位于位置
，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于
，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在
与
处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不
再游走.于是，
.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为
，原地不动，其概率为
，向
右平移一个单位，其概率为
，那么根据全概率公式可得：
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1．（2019·湖南永州·一模）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检
测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标
来衡量产品的质量.当
时，产品为优等品；当
时，产品为一等品；当
时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500 件，
绘制了这500 件产品的质量指标
的条形图.用随机抽取的500 件产品作为样本，估计该企业生产该产品的
质量情况，并用频率估计概率.
（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1 件，求该产品为优等品的概率；
（2）现某人决定购买80 件该产品.已知每件成本1000 元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80 件
产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80 件产品中随机抽出4 件
产品进行检测，若检测出3 件或4 件为优等品，则按每件1600 元购买，否则按每件1500 元购买，每件产
品的检测费用250 元由企业承担.记企业的收益为
元，求
的分布列与数学期望；
（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控
机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是
，方格图上标有第0 格、第1 格、第2 格、……、
第50 格.机器人开始在第0 格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动
一格（从
到
），若掷出反面，机器人向前移动两格（从
到
），直到机器人移到第49 格（胜
利大本营）或第50 格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器
人移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并解释此方
案能否吸引顾客购买该款产品.
【答案】（1）
（2）分布见解析，数学期望为41500；（3）证明见解析，此方案能吸引顾客购买该款产
品.
【分析】（1）根据条形图，可得优等品的频率为
，进而可得其概率；（2）计算出
的值可
以为47000，39000，计算出其分别对应的概率，得到分布列，进而可得期望；（3）首先易得
，
，根据题意可得
，化简即可得
，即
为等比数列，
利用累加法可得
，再分别计算出获胜和失败的概率，比较大小即可得结
果.
【详解】（1）根据条形图可知，优等品的频率为
，用频率估计概率，则任取一件产品为
优等品的概率为
.
（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为
，由题意
，或
；
.故
的分布列为：
47000
39000
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所以数学期望
.
（3）机器人在第0 格为必然事件，
，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1 格，其概率
.机
器人移到第
格的情况只有两种：①先到第
格，又出现反面，其概率
，
②先到第
格，又出现正面，其概率
.所以
，故
所以
时，数列
为首项
，公比为
的等比数列.
所以
，
，
，
，
，
以上各式累加，得
，
所以
所以获胜概率
，失败概率
，所以获胜概率更大，
故此方案能吸引顾客购买该款产品.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生概率的计算，离散型随机变量的分布列及期望，等比数列
的证明，利用累加法求数列的通项公式，综合性较强，属于难题.
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖
也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.
市教育主管部门为
掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了
人，并将这
人在本月的
网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过
元）：
消费金额（单位：百元）
频数
20
35
25
10
5
5
(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额
（单位：元）近似服从正态分布
，其
中
近似为样本平均数
（每组数据取区间的中点值，
）．现从该市任取
名大学生，记其中网
络外卖消费金额恰在
元至
元之间的人数为
，求
的数学期望；
(2)
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值
元的
饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第
格、第格、第
格、…、
第
格共
个方格．棋子开始在第
格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
，
其中
），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从
到
），若掷出反面，则将棋子向前移动两格
（从
到
）．重复多次，若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关成功”，并赠送
元充值饭卡；
若这枚棋子最终停在第
格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．
①设棋子移到第
格的概率为
，求P2的值，并证明：当
时，
是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．
41
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参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
【答案】(1)
(2)①
，证明见解析 ；②该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析
【分析】（1）根据数据算出
，由
服从正态分布
算出概率，即
，
进而算出的
数学期望；
（2）棋子开始在第
格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1 格，其概率为
，即
，
棋子移到第
格的情况是下列两种，即棋子先到第
格，又掷出反面，其概率为
；棋
子先到第
格，又掷出正面，其概率为
，所以
即
，进而
求证当
时，
是等比数列，计算
符号即可判断.
【详解】（1）
，
因为
服从正态分布
，
所以
．
所以
，所以
的数学期望为
．
（2）①棋子开始在第
格为必然事件，
．
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为
，即
．
棋子移到第
格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第
格，又掷出反面，其概率为
；
棋子先到第
格，又掷出正面，其概率为
，
所以
，
即
，且
，
所以当
时，数列
是首项
，公比为
的等比数列．
②由①知
，
，
，，
，
以上各式相加，得
，
所以
．
42
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所以闯关成功的概率为
，
闯关失败的概率为
．
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
3．（23-24 高三上·江西南昌·阶段练习）某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让
利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100 辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．
现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布
，经计算
第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s 作为
的估计
值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250 千米到400 千米之间的概率．
(3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指
挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8 万元；若最终停在“赠送
车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0 格，客户每掷
一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到
移到第4 格（幸运之神）或第5 格（赠送车模）时游戏结束．若有6 人玩游戏，每人参与一次，求这6 人
获得优惠券总金额的期望值．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
【答案】(1)300 千米
(2)0.8186
(3)33 万元
【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出
．
（2）由
，
．利用正态分布的对称性可得
．
（3）计算车模移到第4 格或第5 格时的概率，计算一次游戏优惠券金额的期望值，再求6 人获得优惠券总
金额的期望值．
【详解】（1）估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
千米
（2）由
，它的单次最大续航里程恰在250 千米到400 千米之间的概率为：
．
（3）硬币出现正、反面的概率都是
，
第一次掷出正面，车模移动到第1 格，其概率为
，
43
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移动到第2 格有两类情况：掷出2 次正面或掷出1 次反面，
，
同理，
，
，
，
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，
或0，
∴X 的期望
万元
设这6 人获得优惠券总金额为Y 万元，优惠券总金额的期望值
万元.
题型14 分布列压轴19 题
1．（2025·山东济南·三模）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多
者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是
（
），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局.
(1)
，若两人共进行5 局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为
，求
的分布列和数学期望；
(2)
时，若两人共进行
（
且
）局比赛，记事件
表示“在前
局比赛中甲赢了
局”.事件
表示“甲最终获胜”.请写出
，
，
，
的值（直接写出结果即可）；
(3)若两人共进行了
局比赛，甲获胜的概率记为
.证明：
时，
.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
，
，
，
(3)证明见解析
【分析】（1）求出
的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望；
（2）分析可得
时，
，故乙最终获胜，则
，同理求出
其他的条件概率；
（3）在（2）的基础上，结合全概率公式可得
，故
，当
时，
，在利用作商法和基本不等式得到
44
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，最终证明出结论.
【详解】（1）
的可能取值为1，3，5，
，
，
，
的分布列为：
1
3
5
；
（2）当
时，
，故乙最终获胜，则
，
当
时，
，
，
故只有最后两场甲全赢才能最终获胜，故
，
当
时，
，
，
最后两场甲至少赢一场才能最终获胜，故
，
当
时，
，故甲最终获胜，故
；
（3）证明：结合（2），由全概率公式得：
，
所以
，当
时，
，
又
，
因为
，所以
，即
.
2．（25-26 高三上·重庆南岸·期中）有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概
率为
，生成
个细胞的概率为
，生成个细胞的概率为
，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞
下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细
胞.记个细胞分裂
次后共有
个细胞的概率为
.
45
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(1)求
、
；
(2)求
；
(3)已知：若
和
均为离散型随机变量，则
.证明：
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，结合一个细胞分别分裂出、
、个细胞的概率，根据第二、三次分裂出
现
个细胞的所有情况，由独立事件概率的乘法公式，求出事件概率；
（2）分析出第
次分裂后只有
、个细胞的情况，根据独立事件概率的乘法公式，求出结果；
（3）根据分裂出细胞数和此情况的概率，求出一次分裂后细胞数的期望，根据离散型随机变量的期望的
性质，和等比数列求和公式，证明不等式即可.
【详解】（1）由题意可得
，
若第二次分裂出现
个细胞，有两种情况：
第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成
个；
第二种情况：第一次个细胞分裂成
个，第二次
个细胞各分裂成个.
所以
；
若第三次分裂出现
个细胞，有两种情况：
第一种情况：第二次个细胞分裂成
个细胞；
第二种情况：第二次
个细胞每个细胞各分裂为个.
所以
.
（2）第
次分裂后只有
个细胞，则这
次分裂中，有次由个细胞分裂成
个细胞，有
次由个细
胞分裂成个细胞；
设第
次由个细胞分裂成
个细胞，后面的
次都是由个细胞分裂成个细胞；则
；则
.
（3）记分裂
次后细胞个数为
，令
，
设
表示第
次分裂后生成的第个新细胞，经过第
次分裂后增加的细胞个数，
即分裂产生个细胞时
，分裂产生
个细胞时
，
分裂产生个细胞时
，可得
；可知
，
得
；
可知
，
；
得
，求得
，
46
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得
，所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列，即
，易知
，
当
时，
，
即
，
所以
，累加可得
，
即
.
3．（2025·浙江·模拟预测）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相
互独立．
(1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3 分，负者获得1 分；②连续2 局获胜或积分率先达到11 分者
可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为
．求甲乙决出冠军时比赛局数
的分
布列与数学期望
；
(2)若每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
．已知甲乙进行了
局比赛且甲胜了11 局，
试给出
的估计值
表示
局比赛中甲胜的局数，以使得
最大的
的值作为
的估计值）．
(3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行
局，若甲
在第
局比赛中获胜的概率为
，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，
第
局的胜者得奖金
元，负者0 元．记随机变量
为比赛结束时甲获得的总奖金数，求
（用
表
示）
参考公式：对任意随机变量
，有
．
【答案】(1)分布列见解析，
；(2)14(3)
【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则
局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨
论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决.
（2）每场比赛是相互独立的，则
服从二项分布 ，求出
，再求最值即可.
（3）由题意，求出第
局获得的奖金期望，再求和即可.
【详解】（1）由比赛规则知，1 局比赛后，甲乙双方共获得4 分，若比赛进行了4 局还未结束，
则双方共计16 分，此时双方均为8 分，则第5 局比赛后必定有一人积分可达到11 分，
因此比赛次数不会超过5，比赛共进行了
局，则
，
记随机事件
“第i 局比赛中甲获胜”，
，
，
，
，
47
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．
所以X 的分布列为：
X
2
3
4
5
P
数学期望
.
（2）依题意，
，
，
记
，已知
，
则
，
由
，得
，
即
时，
，
时，
，
则当
时，
最大，所以n 的估计值为14．
（3）设第
局获得奖金为
，则
，
由于
，则
.
结束
48
