2019-2020 学年上学期九年级数学期末测试卷
（满分150，时间120 分钟）
一．选择题，（每小题4 分，共40 分）
1. 菱形ABCD 中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．
A.
1
2
B.4
C.1
D.2
2.如果关于x 的一元二次方程(m+1)x
2+x+m
2-2m-3=0 的一个根为0,则m 的值 ( )
A.-1
B.3 C.-1 或3 D.以上答案都不对
3. .下图所示的是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体,它的主视图是
（ ）
4 在函数𝑦=
−𝑎2−1
𝑥
（𝑎为常数）的图象上有三点（x1,y1），(x2,y2)，(x3,y3) 且
x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是（ ）．
A y2<y3<y1 B y3<y2<y1 C y1<y2<y3 D y3<y1<y2
5．2019 年10 月1 日是新中国成立70 周年纪念日，小康同学为祝贺祖国母亲的
生日，制作了五张反面相同，正面写有“我”“爱”“你”“中”“国”的卡片。将
五张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小康从中抽取两张，恰好是“中”
“国”
的概率为（ ）
A
1
10 B
1
20 C
2
25 D
1
25
6 在△ABC 中，若|sinA－
1
2|＋(√3
3 －tanB)
2＝0，则∠C 的度数为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
7 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ）
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形
都相似；（5）正六边形都相似．
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
8.如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所
得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a：b=（ ）
A. 2：1 B.
：1 C. 3：
D. 3：2
9.已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2 −𝑚𝑥+ 2𝑚−1 = 0的两个实数根的平方和为7，
那么𝑚的值是（ ）
A．5 B．-1 C．5 或-1 D．-5 或1
10 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：
①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b
2<0.其中，正确的结论有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二．填空题（每小题5 分，共20 分）
11. 若2a=3b, （ab≠0） 则
𝑎−𝑏
𝑎 =
12. 已知𝑦与𝑥成反比，且当𝑥= −6时，𝑦= 4，则当𝑥= 2时，𝑦的值为
13. 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE＝AD，过点E 作AC 的垂线，
交边CD 于点F，那么∠FAD＝________度．
14.已知关于𝑥的方程（）(𝑎2 −1)𝑥2 −(𝑎+ 1)𝑥+ 1 = 0的两个实数根互为倒数，
则𝑎的值为________．
三．（本大题共两题，每题8 分，共16 分）
15.解方程
(1)2x
2＋3x＋3＝0; (2)(2x－1)
2＝x(3x＋2)－7.
16. 已知关于x 的方程（k-1）x
2+（2k-3）x+k+1=0 有两个不相等的实数根x1、
x2．
(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；
如果不存在，请说明理由．
．
四（本大题共两题，每题8 分，共16 分）
17.如图是由一个等边△ABE 和一个矩形BCDE 拼成的一个图形,其中B,C,D 点的
坐标分别为(1,2),(1,1),(3,1),正方形网格中,每个小正方形的边长是1 个单位
长度.
(1)求E 点和A 点的坐标;
(2)试以点P(0,2)为位似中心,在网格中作出一个相似比为3 的位似图形
A1B1C1D1E1,并写出各对应点的坐标.
18. 在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E，点F 在边CD 上，DF=BE，
连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB．
五．解答题（本大题共两题，每题10 分，共20 分）
19. 某游乐场设计了一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个
有A,B,C,D,E 五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会
是均等的,并且规定:①玩家只能将小兔从A,B 两个出入口放入,②如果小兔进入
笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值6 元的小兔玩具,否则
应付费4 元.
(1)问游玩者得到小兔玩具的机会有多大?
(2)假设有100 人次玩此游戏,估计游戏设计者可赚多少元?
20. 如图，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D 是线段AC 的黄金分割点．．
六．（本题满分12 分）
21 如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120km 处，小岛C 位于港口O 北偏西
60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以vkm/h 的速
度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60km/h 的
速度驶向小岛C，在小岛C 用1h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送
去．
（1） 快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1h，求v 的值及相遇处与港的距
离。
七．（本题12 分）
22. 、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(𝑘≠0)的图象与反比
例函数y=
𝑚
𝑥 (𝑚≠0)的图象相交于A、B 两点．
八．（本题满分14 分）
23. 进价为每件40 元的某商品，售价为每件50 元时，每星期可卖出500 件，
市场调查反映：如果每件的售价每降价1 元，每星期可多卖出100 件，但售价
不能低于每件42 元，且每星期至少要销售800 件．设每件降价x 元 （x 为正
整数），每星期的利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
（2）若某星期的利润为5600 元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理
由．
（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000 元？
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
A
D
A
D
C
B
B
C
1. 选C
2. 选B。将x=0 代入原方程，解得m=3
3. 选A。从正面看A 选项正确
4. 选A。因为𝑘= −𝑎2 −1 = −(𝑎2 + 1) < 0，所以函数图象在第二、四象限
内，且在第二、四象限内，𝑦随𝑥的增大而增大．因为𝑥1 < 𝑥2，所以𝑦1 <
𝑦2．因为(𝑥3, 𝑦3)在第四象限，而(𝑥1, 𝑦1)，(𝑥2, 𝑦2)在第二象限，所以𝑦3 <
𝑦1．所以𝑦3 < 𝑦1 < 𝑦2．
5. 选D。画出树形图，共有20 种等可能结果，恰好是中国的有两种，故概
率为
1
10
6. 选D。由|sinA－
1
2|＋(√3
3 －tanB)
2＝0，可知∠A=30°，∠B=30°，
∠C=120°
7.选C。（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；
（2）等腰直角三角形都相似，正确；
（3）正方形都相似，正确；
（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；
（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3 个．故选：C．
8.选B。∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF=
1
2AB=
1
2a，∵矩形AFED 与矩形ABCD
相似，∴
𝐴𝐷
𝐴𝐹=
𝐴𝐵
𝐴𝐷，即
𝑎
𝑏=
𝑏
1
2𝑎，∴（
𝑎
𝑏）
2=2，∴
𝑎
𝑏=√2．故选B．
9.选B。设方程的两个根为x
1、x
2，则x1
2+x2
2=7，
∵x1、x2，是方程x
2-mx+2m-1=0 的两个根，∴x1+x2=m，x1·x2=2m-1，
∴（x1+x2）
2= x1
2+x2
2+2 x1·x2=m
2，∴m
2-2(2m-1)-7=0，
解得：m=5 或m=-1，∵方程𝑥2 −𝑚𝑥+ 2𝑚−1 = 0有两个实数根，
∴（- m）
2-4（2 m -1）= m
2-8m+4≥0，解得m≥4+2√3 或m≤4-2√3．
∴m=5 舍去，m=-1，故选B.
10 选C。抛物线开口向下a<0，抛物线过原点∴c=0，则abc=0.
当x=1 时，函数值是a+b+c＜0.
∵抛物线的对称轴为x=-
𝑏
2𝑎 =-
3
2 <0 ,∴b=3a，
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b
2-4ac>0
11.
1
3 12.-12 13. 22.5°
14. √2. 解析 ∵方程（a
2-1）x
2-（a+1）x+1=0 有两个实数根，
∴a≠±1，设方程（a
2-1）x
2-（a+1）x+1=0 的两个实数根分别为α、β，
又∵方程（a
2-1）x
2-（a+1）x+1=0 的两个实数根互为倒数，
∴αβ=
1
𝑎2−1=1，解得a=±√2，∵a=-√2时，△=[-（a+1）]
2-4×（a
2-1）
=（1-√2）
2-4×1=-2√2-1＜0，∴a=-√2时方程（a
2-1）x
2-（a+1）x+1=0 无
解，因此a=-√2舍去，∴a=√2，
15.解(1)∵a＝2，b＝3，c＝3，
∴b
2－4ac＝3
2－4×2×3＝9－24＝－15<0，
∴原方程无实数根．
(2)原方程可化为4x
2－4x＋1＝3x
2＋2x－7，
∴x
2－6x＋8＝0.∴(x－3)
2＝1.
∴x－3＝±1.∴x1＝2，x2＝4.
16.解(1)根据题意，得△＝(2k-3)
2-4(k-1)(k+1)＝4k
2-12k+9-4k
2=
-12k+13>0，∴k<
13
12.由由k-1≠0，得k≠1.
当k<
13
12.且k≠1 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则x1+x2=-
2𝑘−3
𝑘−1
解得．k=
3
2 当k=
3
2时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．
所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数
17 解: (1)过点A 作AF⊥BE 于点F,∵△ABE 是等边三角形,∴AB=BE=2,BF=1,
∴AF=√3,
∴点A 的坐标为(2,2+√3),点E 的坐标为(3,2).
(2)如图,A1(6,2+3√3),B1(3,2),C1(3,-1),D1(9,-1),E1(9,2).
18.解：证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF 为平行四边形，
又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF 为矩形；
（2）∵四边形DEBF 为矩形，
∴∠BFC=90°，∵CF=9，BF=12，∴BC=15，
∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，∴AF 平分∠DAB．
19 解.解:(1)画树状图如下:
共有10 种等可能的结果,其中从开始进入的出入口离开的结果数为2,
所以游玩者玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的机会为
2
10 =
1
5.
(2)100×0.8×4-100×0.2×6=200,
故估计游戏设计者可赚200 元.
20.解：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，∴△ADB、△BDC 是等腰三角形，∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，
∴BC
2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD
2=AC•DC，∴点D 是线段AC 的黄金分割点．
21. 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
∴∠BCO=90°．在Rt△BCO 中，∵OB=120，
∴BC=
1
2OB=60，∴快艇从港口B 到小岛C 的时间为：60÷60=1（小时）；
（2）过C 作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．
则OC=OB•cos30°=60
，CD=
1
2OC=30
，OD=OC•cos30°=90，
∴DE=90﹣3v．∵CE=60，CD
2+DE
2=CE
2，
∴（30
）
2+（90﹣3v）
2=60
2，∴v=20 或40，
∴当v=20km/h 时，OE=3×20=60km， 当v=40km/h 时，OE=3×40=120km．
22. 解：(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，
1
2)，点B 的坐标为(－1，－1)．
∵ 反比例函数𝑦=
𝑚
𝑥(𝑚≠0)的图象经过点A(2，
1
2)，∴ 𝑚＝1．
∴ 反比例函数的解析式为：𝑦=
1
𝑥．
∵ 一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点A(2,
1
2)，点B(－1，－1)，
∴ { 2𝑘+ 𝑏=
1
2 ,
−𝑘+ 𝑏= −1,
解得：{
𝑘=
1
2 ,
𝑏= −
1
2 .
∴ 一次函数的解析式为𝑦=
1
2 𝑥−
1
2．
(2)由图象可知：当𝑥＞2 或－l＜𝑥＜0 时一次函数值大于反比例函数值．
23. 解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）•（500+100x）=﹣100x
2+500x+5000，
∵
，
∴3≤x≤8；
（2）y=﹣100x
2+500x+5000=﹣100（x﹣
5
2）
2+5625，
∵x 取正整数，当x=2 或3 时，y=5600.
∴5600 元是最大利润．
（3）当y=5000 时，y=﹣100x
2+500x+5000=5000，
解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5 时，y≥5000，
即当售价在不小于45 元且不大于50 元时，月利润不低于5000 元．
