1
平移（1）
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1、掌握平移的性质。
2、掌握平移的定理。
3、理解平移的证明。
1、平移的定义
平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形
运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相
等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可
以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若是一个已知的
向量，是空间中一点，平移。
图片平移的方向，不限于是水平。
2、平移的条件：
确定一个平移运动的条件是平移的_____和_____。
3、平移的要点：
（1）原来的图形的形状和大小和平移后的图形是_______的。
（2）平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n 度，东偏北n 度，西偏南n 度，西偏北n
度）
（3）平移的距离。（长度，如7 厘米，8 毫米等）
4、平移的性质
经过平移，对应线段_______，对应角_______，对应点所连接的线段_______；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。
（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
2
（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行
（或共线）且相等。
5、平移作用
1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘
贴。
2.平移常与平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条
件集中到一个图形上,使问题得到解决。
6、总体归纳
1 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小
完全相同。
2 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组
对应点的线段，平行且相等（或在同一直线上）。
7、平移特征
1 平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变。
2 新图形与原图形的对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上）。
3 新图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
8、画法
以画雪人为例。可以把半透明纸盖在图上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，
再描出第二个、第三个……而求必须水平或垂直于原图。根据平移的方向，作出每一个图形要点的
平移点（如：直线的顶点，圆的圆心等）
方法是通过原来图形的点作平移方向的平行线，并取距离为平移的长度的点 用三角板的话，
第一块三角板斜边对齐平移方向；第二块三角板斜边贴住第一块三角板的直角边作为第一块三角板
移动的准线（之后第二块三角板必须保持固定）；第一块三角板沿着第二块三角板斜边移动到相应
的点，轻轻画出平行线（以后要擦除），在平行线上量出平移的距离的点就是目标“平移点”；2,
根据平移点，作出原来的图形（如：直线只要直接连接两个端点，以平移圆心为圆心作等半径的圆。
参考答案：2、方向 距离
3、全等
4、平行（或共线）且相等 相等 平行且相等
1、平移的性质
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。
（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
【例1】（2014•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用
铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
3
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
解析：由平移的性质和图形可知：
甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
练1、（2014•舟山）如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为16cm，
则四边形ABFD 的周长为（ ）
A．16cm
B．18cm
C．20cm
D．22cm
答案：C
练2、（2014•济南）如图，将边长为12 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着
AD 方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32 时，它移动的距离AA′等于 ．
答案：4 或
8
练3、（2014•江西）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平
移2 个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C 的周长为 ．
答案：12
4
【例2】（2014•呼伦贝尔）将点A（﹣2，﹣3）向右平移3 个单位长度得到点B，则点B 所处的象
限是（ D ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析:点A（-2，-3）向右平移3 个单位长度，得到点B 的坐标为为（1，-3），根据各象限的特征可
知点在第四象限．故选D．
练4、（2014•呼和浩特）已知线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C
（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D 的坐标为（ ）
A．（1，2）
B．（2，9）
C．（5，3）
D．（﹣9，﹣4）
答案： A
练5、（2014•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3 个单位长度得到点B，则
点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是 ．
答案：（2，﹣2）
练6、（2014•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA 向右平移
3 个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是 ，A1的坐标是 ．
答案：（3，0） （4，3）
【例3】（2014•仙桃）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，2），点C 的坐标为（﹣3，
0），将点C 绕点A 逆时针旋转90°，再向下平移3 个单位，此时点C 的对应点的坐标为
．
解析：此题考察了旋转和平移的性质，并且联合练网格的特性。
根据旋转的性质可知，点C 旋转后的坐标是（1，0），再向下平移3 个单位后，横坐标没有发生变
化，纵坐标变为-3，故答案是（1，﹣3）
练7、（2014•钦州）如图，△A′B′C′是△ABC 经过某种变换后得到的图形，如果△ABC 中有一点P
的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q 的坐标为 ．
答案：（a+5，﹣2）
练8、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 经过平移后点A 的对应点为点A′，则平移后点B 的对
应点B′的坐标为 ．
5
答案:（﹣2，1）
【例4】已知△ABC 的面积为36，将△ABC 沿BC 平移到△A′B′C′，使B′和C 重合，连接AC′交
A′C 于D，则△C′DC 的面积为 ．
解析：根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可得
BC＝B′C′，连接AA’后可知，AA’＝B′C′并且他们还平行。由此可知四边形ACC’A’是平行四边形。根据同底
等高三角形的面积的．与平行四边形的比为1：2 可知，四边形ACC’A’的面积为72，根据平行四边形的性质可知
△C′DC 的面积等于平行四边形面积的四分之一。
答案：18
练9、如图，△OAB 的顶点B 的坐标为（4，0），把△OAB 沿x 轴向右平移得到△CDE．如果
CB=1，那么OE 的长为 ．
答案：7
练10、如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼
睛的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣2，2），右图中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标
是
_____
6
答案：（5，4） ．
【例5】如图，在直角坐标系中，线段AB 的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0），B（0，4）．
（1）画出线段AB 先向右平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到的线段CD，并写出A 的对应
点D 的坐标，B 的对应点C 的坐标；
（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明）
解
答：
（1）如图所示，CD 即为所求作的线段，D（0，﹣4），C（3，0）；
（2）∵AC、BD 互相垂直平分，
∴四边形ABCD 是菱形．
练11、（2014•南海区二模）已知△A′B′C′是由△ABC 经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐
标系中的坐标如下表所示：
ABC
△
A（a，0）
B（3，0）
C（5，5）
A′B′C′
△
A′（4，2）
B′（7，b）
C′（c，7）
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a=
0
，b=
2
，c=
9
；
（2）在平面直角坐标系中画出△ABC 及平移后的△A′B′C′；
（3）直接写出△A′B′C′的面积是
．
解答：解：（1）由表格得出：
∵利用对应点坐标特点：A（a，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b）；C（5，5），
C′（c，7）
∴横坐标加4，纵坐标加2，
a=0
∴
，b=2，c=9．
7
故答案为：0，2，9；
（2）平移后，如图所示．
（3）△A′B′C′的面积为：×3×5=
．
故答案为：
．
练12、在平面直角坐标系xOy 中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C（﹣1，0）三点．
（1）点A 关于原点O 的对称点A′的坐标为 （
1 ，﹣
5 ）
，点B 关于x 轴的对称点B′的坐标为
（
4 ，﹣
2 ）
，点C 关于y 轴的对称点C 的坐标为 （
1 ，
0 ）
．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
解答：解：（1）∵A（﹣1，5），
∴点A 关于原点O 的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．
B
∵（4，2），
∴点B 关于x 轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．
C
∵（﹣1，0），
∴点C 关于y 轴的对称点C′的坐标为（1，0）．
故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．
（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，
0）．
A′C′=|
5
0|=5
∴
﹣﹣
，B′D=|4
1|=3
﹣
，
S
∴
A′B′C′
△
= A′C′•B′D= ×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′
的
面积是7.5．
8
1.将如图1 所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
2.关于平移,下列说法正确的是( )
A.原图中两顶点连成的线段的长是平移的距离
B.平移后的图形中,两顶点连成的线段长是平移的距离
C.以对应点中一点为端点的射线是平移的方向
D.以原图中的一点为端点,经过它的对应点的射线的方向是平移的方向,这对对应点之间的距离就是
平移的距离
3.如图,网格中的两个图形可以互相平移而得到,它们平移的距离是( )
A.3 格
B.4 格
C.5 格
D.6 格
4.如图,将三角形ABC 沿直线AB 的方向向右平移至三角形BDE 的位置,若
∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE 的度数为 .
5.如图,线段DE 是由线段AB 平移得到的,AB=DC=6cm,EC=3cm,则三角形DCE 的周长是 cm.
[来源:学+科+网]
6.某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯,已知主楼
梯宽为3m,其剖面如图所示,那么需要购买地毯 m2.
9
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7.观察如图所示网格中的图形,解答下列问题:将网格中的左图沿水平方向向右平移,使点A 移至点
A'处,作出平移后的图形.
8.如图所示,Rt△ABC 中,直角边AB=8,将Rt△ABC 沿BC 所在直线向右平移6 个单位就可以得到
Rt△DEF,此时DG=3,求图中阴影部分的面积.
9.如图所示,图形的操作过程(四个长方形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b);将线段
A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分如图(1));将折线A1A2A3向右平移1
个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分如图(2)).
(1)在图(3)中,请你类似地画出一条有两个折点的折线,同样向右平移1 个单位,从而得到一个封闭
图形,并画出阴影;[来源:学科网ZXXK]
(2)请你分别写出上述三个阴影部分外的面积S1= ,S2= ,
S3= ;
(3)联想与探索:如图(4),在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1
个单位),请你猜想空白部分草地面积是多少?并说明你的猜想是否正确.
10．（2012•北京）操作与探究：
10
（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1 个
单位，得到点P 的对应点P′．
点A，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B 的对应点
分别为A′，B′．如图1，若点A 表示的数是﹣3，则点A′表示的数是
0
；若点B′表示的数
是2，则点B 表示的数是
3
；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重合，
则点E 表示的数是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个
点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m＞
0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B 的对应点分别为A′，B′．已
知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．
11．（2013•巴中）△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．
（1）作△ABC 关于点C 成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4 个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x 轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P 的坐标（不写解答过程，直接写出结
果）
12．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，AD＜BC，画出线段AB 平移后的线段，其平移方向
为射线AD 的方向，平移距离为AD 的长，平移后所得的线段与BC 相交于E．线段DE 与线段DC 相等
吗？∠DEC 与∠C 相等吗？∠DEC 与∠B 相等吗？∠C 与∠B 相等吗？试说明理由．
11
12
参考答案
1.【解析】选A.平移只改变图形的位置,不改变图形的大小、形状和方向.
2.【解析】选D.由平移的定义知,以原图中的一点为端点,经过它的对应点的
射线的方向是平移的方向,一对对应点之间的距离就是平移的距离.
3.【解析】选C.确定任一组对应点之间的距离均可得到答案.
4.【解析】由平移的性质知,∠CAB=∠EBD=50°,又∠ABC=100°,所以∠CBE=
180°-∠ABC-∠EBD=180°-100°-50°=30°.
答案:30°
5. 【解析】由平移的性质知,DE=AB=6cm, 所以三角形DCE 的周长
=DE+DC+EC=6+6+3=15(cm).
答案:15
6.【解析】利用平移知识可得:所有台阶的水平距离的和正好与BC 的长度
相等,所有台阶的竖直高度的和正好与AB 的长度相等.所以地毯总长为
AB+BC=1.2+2.4=3.6(m).
所以购买地毯面积为3.6×3=10.8(m2).[来源:学科网ZXXK]
13
答案:10.8
【知识拓展】如图1 是运动员的领奖台,最高处的高为1m,底边宽为2m,为
了美观要在上面铺上红地毯(如图1 中的阴影处),则至少需要红地毯
m.
【解析】如图2 所示,
通过平移后,原来地毯的AB,CD 的长之和就是ST 的长;原来BC,DE,FG 的长
之和就是PQ 的长;原来EF,GH 的长之和就是XY 的长,所以要在领奖台上铺
上的红地毯的长就是ST,PQ 和XY 这三段的长之和.根据题意,领奖台的高为
14
1m,底边宽为2m,那么ST 与XY 的长都是1m,PQ 的长是2m,因此至少需要
红地毯(1+1+2)m,即为4m.
答案:4
【归纳整合】以上练习均是将零散的线段聚在一起,运用整体思想求出线段
的和.其做法是:利用线段平移后长度不变的性质,把所有的横边通过平移都
移到上(或下)面的一条边上,发现所有横边之和等于上(或下)面边长.再把所
有的竖边平移到左(或右)面的一条边上,发现所有竖边之和等于左(或右)面
边长.
7.【解析】将网格中左图中的三个顶点B,C,D 分别沿A→A'的方向平移15
格到B',C',D'的位置,然后连接A'B',B'C',C'D',D'A',得到平移后的图形A'B'C'D'.
所作的图形如图所示:
15
8.【解析】根据题意,得
AB=8,BE=6,GE=8-3=5.
因此S 梯形ABEG=1
2×(8+5)×6=39.
由平移的性质可知S△ABC=S△DEF.
故S△ABC-S△CEG=S△DEF-S△CEG,
即阴影部分的面积=S 梯形ABEG.
所以阴影部分的面积为39.
9.【解析】(1)如图.
(2)S1=ab-b;S2=ab-b;
S3=ab-b.
(3)草地面积为ab-b.
理由:将右边草坪向左平移一个单位就可得到一个水平方向边长为(a-1),竖
直方向边长为b 的长方形草坪,其面积为(a-1)b=ab-b.
10.
解答：
解：（1）点A′：﹣3× +1=
1+1=0
﹣
，
设点B 表示的数为a，则a+1=2，
解得a=3，
16
设点E 表示的数为b，则b+1=b，
解得b= ；
故答案为：0，3，；
（2）根据题意得，
，
解得
，
设点F 的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F 重合，
∴x+ =x，y+2=y，
解得x=1，y=4，
所以，点F 的坐标为（1，4）．
11.
解答：解；（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：作出A1关于x 轴的对称点A′，连接A′C2，交x 轴于点P，
可得P 点坐标为：（，0）．
12.
解答：解：平移后的图形如下所示：
由题意可知：四边形ABCD 是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
又DE 是由AB 平移得到的，故DE=AB，∠DEC=∠B，
∴DE=DC．∠DEC=∠C
17
课程顾问签字： 教学主管签字：
