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2020 年浙江省杭州市中考数学试卷
一．选择题（共10 小题）
1．
×
＝（ ）
A．
B．
C．
D．3
2．（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2
B．﹣1﹣y2
C．1﹣y2
D．﹣1+y2
3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5 千克，收费13 元；超过5 千克的
部分每千克加收2 元．圆圆在该快递公司寄一件8 千克的物品，需要付费（ ）
A．17 元
B．19 元
C．21 元
D．23 元
4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，则
（ ）
A．c＝bsinB
B．b＝csinB
C．a＝btanB
D．b＝ctanB
5．若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b
B．b+1≥a
C．a+1＞b﹣1
D．a﹣1＞b+1
6．在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个
最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低
分，平均分为z，则（ ）
A．y＞z＞x
B．x＞z＞y
C．y＞x＞z
D．z＞y＞x
8．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k 是实数，a≠0），当x＝1 时，y＝1；当x＝8 时，y
＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
9．如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA⊥BC，点D 在劣弧AC 上（不与点A，点C 重
合），BD 与OA 交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝180°
C．3α﹣β＝90°
D．2α﹣β＝90°
10．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，
b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x 轴的交点个数分别为M1，
M2，M3，（ ）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0
B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0
D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
二．填空题（共6 小题）
11．若分式
的值等于1，则x＝ ．
12．如图，AB∥CD，EF 分别与AB，CD 交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则
∠A＝ ．
13．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝
，则tan∠BOC＝ ．
15．一个仅装有球的不透明布袋里共有4 个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，
5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的
球的编号之和为偶数的概率是 ．
16．如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线
AC 上的点F 处，连接DF．若点E，F，D 在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，
BE＝ ．
三．解答题（共7 小题）
17．以下是圆圆解方程
＝1 的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．某工厂生产某种产品，3 月份的产量为5000 件，4 月份的产量为10000 件．用简单随
机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制
成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
已知检测综合得分大于70 分的产品为合格产品．
（1）求4 月份生产的该产品抽样检测的合格率；
（2）在3 月份和4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
19．如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设
，
①若BC＝12，求线段BE 的长；
②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．
20．设函数y1＝
，y2＝﹣
（k＞0）．
（1）当2≤x≤3 时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a 和k 的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m 时，y1＝p；当x＝m+1 时，y1＝q．圆圆说：“p 一
定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
21．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE，∠DAE 的平分线AG 与CD 边
交于点G，与BC 的延长线交于点F．设
＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF 的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G 为CD 边的中点．
②求λ 的值．
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b 是实数，
a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表
达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（
，
0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m 和n，若m+n＝0，求m，n 的值．
23．如图，已知AC，BD 为⊙O 的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB 于点E，点F 是半径
OC 的中点，连接EF．
（1）设⊙O 的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF 的长．
（2）连接BF，DF，设OB 与EF 交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC 的度数．
2020 年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．
×
＝（ ）
A．
B．
C．
D．3
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
【解答】解：
×
＝
，
故选：B．
2．（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2
B．﹣1﹣y2
C．1﹣y2
D．﹣1+y2
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5 千克，收费13 元；超过5 千克的
部分每千克加收2 元．圆圆在该快递公司寄一件8 千克的物品，需要付费（ ）
A．17 元
B．19 元
C．21 元
D．23 元
【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．
则需要付费19 元．
故选：B．
4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，则
（ ）
A．c＝bsinB
B．b＝csinB
C．a＝btanB
D．b＝ctanB
【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝
，即b＝csinB，故A 选项不成立，B 选项成立；
tanB＝
，即b＝atanB，故C 选项不成立，D 选项不成立．
故选：B．
5．若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b
B．b+1≥a
C．a+1＞b﹣1
D．a﹣1＞b+1
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
【解答】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求得解析式即可判断．
【解答】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y 轴的正半轴，且过点（1，2），
故选：A．
7．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个
最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低
分，平均分为z，则（ ）
A．y＞z＞x
B．x＞z＞y
C．y＞x＞z
D．z＞y＞x
【分析】根据题意，可以判断x、y、z 的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
y＞z＞x，
故选：A．
8．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k 是实数，a≠0），当x＝1 时，y＝1；当x＝8 时，y
＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
【分析】当x＝1 时，y＝1；当x＝8 时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h
的值分别代入即可得出结果．
【解答】解：当x＝1 时，y＝1；当x＝8 时，y＝8；代入函数式得：
，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A 错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B 错误；
若h＝6，则a＝﹣
，故C 正确；
若h＝7，则a＝﹣
，故D 错误；
故选：C．
9．如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA⊥BC，点D 在劣弧AC 上（不与点A，点C 重
合），BD 与OA 交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝180°
C．3α﹣β＝90°
D．2α﹣β＝90°
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α 表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关
系，用α 表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
10．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，
b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x 轴的交点个数分别为M1，
M2，M3，（ ）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0
B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0
D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【分析】选项B 正确，利用判别式的性质证明即可．
【解答】解：选项B 正确．
理由：∵M1＝1，M2＝0，
∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，
∵a，b，c 是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴c＝
b2，
对于y3＝x2+cx+4，
则有△＝c2﹣16＝
b2﹣16＝
（b2﹣64）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B 正确，
故选：B．
二．填空题（共6 小题）
11．若分式
的值等于1，则x＝
0
．
【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
【解答】解：由分式
的值等于1，得
＝1，
解得x＝0，
经检验x＝0 是分式方程的解．
故答案为：0．
12．如图，AB∥CD，EF 分别与AB，CD 交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则
∠A＝
20°
．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝130°，
∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，
∴∠A＝20°．
故答案为：20°．
13．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ﹣
．
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减即可求解．
【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣
，
则P＝﹣
．
故答案为：﹣
．
14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝
，则tan∠BOC＝
．
【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝
＝
＝2
x，于是得到结论．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝
＝
，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝
＝
＝2
x，
∴OB＝
AB＝
x，
∴tan∠BOC＝
＝
，
故答案为：
．
15．一个仅装有球的不透明布袋里共有4 个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，
5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的
球的编号之和为偶数的概率是
．
【分析】画树状图展示所有16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为
偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10 种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是
＝
．
故答案为：
．
16．如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线
AC 上的点F 处，连接DF．若点E，F，D 在同一条直线上，AE＝2，则DF＝
2
，
BE＝
﹣
1
．
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，根据折叠的性质
得到CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，根据全等三角形的性质得到DF＝AE＝
2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，
∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，
∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；
∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴
，
∴
＝
，
∴EF＝
﹣1（负值舍去），
∴BE＝EF＝
﹣1，
故答案为：2，
﹣1．
三．解答题（共7 小题）
17．以下是圆圆解方程
＝1 的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
18．某工厂生产某种产品，3 月份的产量为5000 件，4 月份的产量为10000 件．用简单随
机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制
成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
已知检测综合得分大于70 分的产品为合格产品．
（1）求4 月份生产的该产品抽样检测的合格率；
（2）在3 月份和4 月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）分别求得3 月份生产的产品中，不合格的件数和4 月份生产的产品中，不合格的
件数比较即可得到结论．
【解答】解：（1）（132+160+200）÷（8+132+160+200）×100%＝98.4%，
答：4 月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；
（2）估计4 月份生产的产品中，不合格的件数多，
理由：3 月份生产的产品中，不合格的件数为5000×2%＝100，
4 月份生产的产品中，不合格的件数为10000×（1﹣98.4%）＝160，
∵100＜160，
∴估计4 月份生产的产品中，不合格的件数多．
19．如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设
，
①若BC＝12，求线段BE 的长；
②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出
＝
＝
，即可得出结果；
②先求出
＝
，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即
可得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴
＝
＝
，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴
＝
，
解得：BE＝4；
②∵
＝
，
∴
＝
，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴
＝（
）2＝（
）2＝
，
∴S△ABC＝
S△EFC＝
×20＝45．
20．设函数y1＝
，y2＝﹣
（k＞0）．
（1）当2≤x≤3 时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a 和k 的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m 时，y1＝p；当x＝m+1 时，y1＝q．圆圆说：“p 一
定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）由反比例函数的性质可得
，①；﹣
＝a﹣4，②；可求a 的值和k
的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p 和q，即可
判断．
【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1随x 的增大而减小，y2随x 的增大而增大，
∴当x＝2 时，y1最大值为
，①；
当x＝2 时，y2最小值为﹣
＝a﹣4，②；
由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，
∴当x＝m0时，p＝y1＝
，
当x＝m0+1 时，q＝y1＝
＞0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
21．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE，∠DAE 的平分线AG 与CD 边
交于点G，与BC 的延长线交于点F．设
＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF 的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G 为CD 边的中点．
②求λ 的值．
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE 的长，然后根据正方形的性质，
可以得到AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF 的长，从而可
以得到线段CF 的长；
（2）①要证明点G 为CD 边的中点，只要证明△ADG≌△FGC 即可，然后根据题目中
的条件，可以得到△ADG≌△FGC 的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE 和EB 的比值，从而可以得到λ 的值．
【解答】解：（1）∵在正方形ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG 平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E 为BC 的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝
＝
，
∴EF＝
，
∴CF＝EF﹣EC＝
﹣1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG 和△FCG 中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G 为CD 的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴
，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴
，
∴
，
∴EC＝
a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣
a＝
a，
∴λ＝
．
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b 是实数，
a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表
达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（
，
0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m 和n，若m+n＝0，求m，n 的值．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）函数y1 的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+
+
＝
0，即a（
）2+b•
+1＝0，推出
是方程ax2+bx+1 的根，可得结论．
（3）由题意a＞0，∴m＝
，n＝
，根据m+n＝0，构建方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意，得到﹣
＝3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2 或3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2 或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1+
+
＝0，
即a（
）2+b•
+1＝0，
∴
是方程ax2+bx+1 的根，
即函数y2的图象经过点（
，0）．
（3）由题意a＞0，∴m＝
，n＝
，
∵m+n＝0，
∴
+
＝0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
23．如图，已知AC，BD 为⊙O 的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB 于点E，点F 是半径
OC 的中点，连接EF．
（1）设⊙O 的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF 的长．
（2）连接BF，DF，设OB 与EF 交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC 的度数．
【分析】（1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的
性质即可解决问题．
（2）①过点F 作FG⊥AB 于G，交OB 于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF 是平
行四边形可得结论．
②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB 是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE＝
OA＝
，AE＝EB＝
OE＝
，
∵AC 是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB 是等边三角形，
∵OF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝
AB＝
．
（2）①证明：过点F 作FG⊥AB 于G，交OB 于H，连接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴
＝
＝
，同理
＝
，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF 是平行四边形，
∴PE＝PF．
②∵OE∥FG∥BC，
∴
＝
＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
