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§1.1 集 合
课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含
和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问
题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算.
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.
(3)集合的表示法： 、 、 .
(4)常见数集的记法
集合
非负整数
集(或自
然数集)
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N*(或N+)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A
为集合B 的子集，记作 (或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作
(或B A).
(3)相等：若A⊆B，且 ，则A=B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是 的子集，是
的真子集.
3.集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
交集
补集
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.( )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x=-1 或x=1.( )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).( )
2.(2025·潍坊模拟)已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0}，B={x|-3<2x-1<3}，则A∩B 等于( )
A.{-2，1}
B.(-2，1)
C.{1}
D.(-1，2)
3.(2024·长沙模拟)已知集合M={x|x<1}，N={x|x2<1}，则( )
A.M=N
B.M⊆N
C.N⊆M
D.M∩N=∅
4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是 .
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有
(2n-2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B 时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(多选)下列各组中M，P 表示不同集合的是( )
A.M={3，-1}，P={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}
D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}
(2)已知m∈R，n∈R，若集合{m，n
m ，1}={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
思维升华 解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异
性相矛盾.
跟踪训练1 (1)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a 的值可能为( )
A.-1，3
B.-1
C.-1，3，8
D.-1，8
(2)(多选)非空集合A 具有如下性质：①若x，y∈A，则x
y ∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A，下列判断中，
正确的有( )
A.-1∉A
B.2 024
2 025 ∈A
C.若x，y∈A，则xy∈A
D.若x，y∈A，则x-y∈A
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B 满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是( )
A.A=B
B.B⊆A
C.A∩(∁UB)=∅
D.(∁UA)∩B=∅
(2)已知M={x|-2≤x≤2}，A={x|1-a≤x≤1+a}，且A∩M=A，则实数a 的取值范围为 .
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满
足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2 (1)(多选)已知I 为全集，若A∪B=A，则( )
A.A⊆B
B.B⊆A
C.∁IA⊆∁IB
D.∁IB⊆∁IA
(2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m 的值可以为( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B 等于( )
A.{-1，0}
B.{2，3}
C.{-3，-1，0}
D.{-1，0，2}
(2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(
)
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.∅
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)设集合A={x|x<a2}，B={x|x>a}，若A∩(∁RB)=A，则实数a 的取值范围为( )
A.[0，1]
B.[0，1)
C.(0，1)
D.(-∞，0]∪[1，+∞)
(2)(2025·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a 的取值范围为(
)
A.(1，+∞)
B.[1，+∞)
C.(-∞，1)
D.(-∞，1]
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的
元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
命题点3 集合的应用
容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，
将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.
我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A 中元素的个数.例如，A={a，b，
c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C 三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)
+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).
例5 某校初一(4)班有学生46 人，寒假参加体育训练，其中足球队25 人，排球队22 人，游泳队24 人，
足球、排球都参加的有12 人，足球、游泳都参加的有9 人，排球、游泳都参加的有8 人，则三项都参
加的人数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
思维升华 在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含
关系的问题，确保计算结果的准确性.
跟踪训练3 (1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a 的取值范围是(
)
A.[1，+∞)
B.[2，+∞)
C.(-∞，1]
D.(-∞，2]
(2)(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是( )
A.A∪B=B
B.(∁RB)∪A=R
C.A∩B={x|1<x≤2}
D.(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1 或x>2}
(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203 人，物理179 人，化学165 人；
至少参加两科的：数学、物理143 人，数学、化学116 人，物理、化学97 人；三科都参加的有90 人.则
参加竞赛的学生总人数是 .
集合中的创新问题
数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，
此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解
问题、解决创新问题的能力.
典例 (1)(多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，a
b
∈P(除数b≠0)，则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是一个数域；数集F＝{a＋b√2|a，b∈Q}也是一个数
域.下列关于数域的命题中是真命题的为( )
A.0，1 是任意数域中的元素
B.若数集M，N 都是数域，则M∪N 是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N 都是数域，则有理数集Q⊆M∩N
(2)(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B 为集合A，B 的对
称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是( )
A.若A，B⊆R 且A⊕B＝B，则A＝∅
B.若A，B⊆R 且A⊕B＝∅，则A＝B
C.若A，B⊆R 且A⊕B⊆A，则A⊆B
D.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB
答案精析
落实主干知识
1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于
不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法
图示法 (4)N Z Q R
2.(1)A⊆B (2)A B (3)B⊆A (4)任何集合 任何非空集合
3.{x|x∈A，或x∈B} A∪B
{x|x∈A，且x∈B} A∩B
{x|x∈U，且x∉A} ∁UA
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.C 3.C 4.(-∞，-1]
探究核心题型
例1 (1)ABD [选项A 中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C 中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P；
选项D 中，M 是二次函数y=x2-1，x∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y=x2-1，x∈R 图象上所
有点组成的集合，故M≠P.]
(2)B [因为{m，n
m ，1}
={m2，m+n，0}，m≠0，
所以{
n
m =0，
m=m+n，
m
2=1，
解得{
n=0，
m=1 或{
n=0，
m=-1，
当m=1 时，不满足集合元素的互异性，
故m=-1，n=0，m2 025+n2 025=(-1)2 025+02 025=-1.]
跟踪训练1 (1)D
(2)ABC [对于A，假设-1∈A，则令x=y=-1，则x
y =1∈A，
令x=-1，y=1，则x+y=0∈A，
令x=1，y=0，不存在x
y ，
即y≠0，矛盾，
∴-1∉A，故A 对；
对于B，由题知，1∈A，则1+1=2∈A，2+1=3∈A，…，2 024∈A，2 025∈A，
∴2 024
2 025∈A，故B 对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴1
x ∈A，
∵y∈A，1
x ∈A，∴
y
1
x
=xy∈A，故C 对；
对于D，∵1∈A，2∈A，若x=1，y=2，则x-y=-1∉A，故D 错.]
例2 (1)C [因为集合A，B 满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，
对A，当A 为B 的真子集时，不成立；
对B，当A 为B 的真子集时，也不成立；
对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立；
对D，当A 为B 的真子集时，不成立.]
(2){a|a≤1}
解析 因为A∩M=A，所以A⊆M，
又因为A={x|1-a≤x≤1+a}，
当A=∅时，1-a>1+a，解得a<0；
当A≠∅时，{
a≥0，
1-a≥-2，
1+a≤2，
解得0≤a≤1，
综上，实数a 的取值范围是{a|a≤1}.
跟踪训练2 (1)BC
(2)BCD [当N=∅时，满足N⊆M，此时m=0；
当N≠∅时，m≠0，
解mx=1 可得，x= 1
m.
因为N⊆M，所以1
m=-1 或1
m=1.
当1
m=-1 时，m=-1；
当1
m=1 时，m=1.
综上所述，m=0 或m=-1 或m=1.]
例3 (1)A [因为A={x|-3√5<x<3√5}，
B={-3，-1，0，2，3}，
且1<3√5<2，-2<-3√5<-1，
所以A∩B={-1，0}.]
(2)A [方法一 M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3 的倍数，
即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二 集合M∪N 表示被3 除余1 或2 的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3 整除的整数集.]
例4 (1)A [因为B={x|x>a}，
所以∁RB={x|x≤a}，
又A∩(∁RB)=A，所以A⊆∁RB，
又A={x|x<a2}，所以a2≤a，
解得0≤a≤1，即实数a 的取值范围为[0，1].]
(2)B [由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1}，
∁RA={x|x≤-1 或x≥1}，
所以由(∁RA)∪B=R，得a≥1.]
例5 C [设集合A={x|x 是参加足球队的学生}，
集合B={x|x 是参加排球队的学生}，
集合C={x|x 是参加游泳队的学生}，
则card(A)=25，card(B)=22，
card(C)=24，
card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9.
设三项都参加的有m 人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46，
所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，
即46=25+22+24-12-8-9+m，
解得m=4，
故三项都参加的有4 人.]
跟踪训练3 (1)B
(2)CD [由x2-3x+2≤0，
即(x-2)(x-1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A={x|x2-3x+2≤0}
={x|1≤x≤2}，
由B={x|1<x≤3}，
所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A 错误；
A∩B={x|1<x≤2}，故C 正确；
又∁RB=(-∞，1]∪(3，+∞)，所以(∁RB)∪A=(-∞，2]∪(3，+∞)，故B 错误；
∁RA=(-∞，1)∪(2，+∞)，
所以(∁RB)∪(∁RA)=(-∞，1]∪(2，+∞)，故D 正确.]
(3)281
解析 由题意，用A，B，C 分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，
则card(A)=203，card(B)=179，
card(C)=165，
card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，
card(A∩B∩C)=90，
因此card(A∪B∪C)
=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)
-card(A∩C)+card(A∩B∩C)
=203+179+165-143-97-116+90=281.
所以参加竞赛的学生总人数是281.
微拓展
典例 (1)ACD [对于A 选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素
a≠0∈P，所以有a-a=0∈P，a
a=1∈P，故A 正确；
对于B 选项，假设数域M={a+b√2|a，b∈Q}，N={a+b√3|a，b∈Q}，则当x=√2∈M，y=√3∈N 时，
x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=√2+√3∉M 且x+y=√2+√3∉N，
故x+y=√2+√3∉M∪N，故B 错误；
对于C 选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，
集合P={a+b√Z|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C 正确；
对于D 选项，在A 选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P.
因为0，1 是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0 或1 的和或差，
故所有整数都属于数域P，又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即
Q⊆P，
所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D 正确.]
(2)AB [对于A，因为A⊕B=B，所以B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
所以A⊆B，且B 中的元素不能出现在A∩B 中，因此A=∅，即A 正确；
对于B，因为A⊕B=∅，所以∅={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
即A∪B 与A∩B 是相同的，所以A=B，即B 正确；
对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，
所以B⊆A，当A≠B 时，A⊆B 不成立，即C 错误；
对于D，由于(∁RA)⊕(∁RB)={x|x∈(∁RA)∪(∁RB)，x∉(∁RA)∩(∁RB)}={x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}={x|
x∈A∪B，x∉A∩B}，
而A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B=(∁RA)⊕(∁RB)，即D 错误.]
