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专题03 空间向量与立体几何解答题讲义
解题大招
【典例1】
（2025·广东汕尾·一模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点.
(1)若
，求点
到平面
的距离；
(2)求平面
与平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)
.
(2)
.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求由点到面的距离；
（2）利用向量法求两个平面法向量夹角的余弦，进而可求解．
【详解】（1）方法一：
1
如图建立空间直角坐标系
，则
，
所以
，
设平面
的法向量为
所以
令
，则
，此时
，
因为
，
所以
，
又因为
平面
，所以
平面
.
所以点
到平面
的距离就是点
到平面
的距离，
设此距离为，
，即点
到平面
的距离为
.
方法二：
因为在正方体
中，
且
，
所以四边形
是平行四边形，则
，
又因为
面
，则
平面
.
所以点
到平面
的距离就是点
到平面
的距离，设此距离为，
，
则
，
，
2
，所以
，
则
，
所以
.
（2）平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的正弦值为
.
【典例2】
（2025·江苏·二模）如图，在三棱柱
中，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
【分析】（1）由余弦定理得到
，根据勾股定理逆定理得到
，结合
证明出线面
垂直；
（2）先由线面垂直得到线线垂直，得到二面角
的平面角为
，求出各边长，得到
为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，由线面角的向量公式求出答案.
【详解】（1）
，
，
，
由余弦定理得
，
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面
；
（2）方法一：
平面
，
平面
，
且
，
二面角
的平面角为
，而
，
，
为等边三角形，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
所在平面为
平面，建立如图所示的空间直角
坐标系，
，
，
，
，
4
由
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
，
解得
，令
，则
，故
，
设
与平面
所成角为
，
.
方法二：因为
平面
，又
平面
，所以
．
又
，所以
为二面角
的平面角，即
，
在
中，因为
，
，所以
．故
是等边三角形
所以
．
在三棱柱
中，
，又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．故
为直角三角形．
在直角
中，因为
，
，所以
，故
．
设点
到平面
的距离为
，由
，
得
，解得
．
设直线
与平面
所成角为
，则
，
5
即直线
与平面
所成角的正弦值为
．
【典例3】
（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在三棱锥
和
中，
和
均是以
为斜
边的等腰直角三角形，平面
平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）取
的中点为
，连接
，利用面面垂直的性质得到
平面
，结合已知可
得
，进而结合已知可得
，可证结论；
（2）方法一：连接
，可得
两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面
与平面
的
法向量，利用向量法可求二面角
的正弦值；
方法二：连接
，设
，可证
为正三角形.，取
的中点为
，连接
，
与
的夹角
为二面角
的平面角，求解即可；
方法三：设二面角
为
，二面角
为
，则
，取
的中点为
，连接
，设
，可得
即为二面角
的平面角，求解即可.
6
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
则由
是以
为斜边的等腰直角三角形可知
，
平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以有
平面
，
由已知
平面
，可得
，
出
是以
为斜边的等腰直角三角形亦可知
，
又
，所以
，
从而可得四边形
为平行四边形，因此有
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
（2）（方法一）连接
，由
是以
为斜边的等腰直角三角形可知
，
由（1）知
平面
，知
两两垂直，以
为正交基底
，建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
，则
，
于是
.
7
设平面
的一个法向量为
，则
由
，得
，令
，得
；
设平面
的一个法向量为
，则
由
，得
，令
，得
.
于是
，
设二面角
为
，则
即二面角
的正弦值为
.
（方法二）连接
，设
，由
和
均是以
为斜边的等腰直角三角形可得
1.
，由（1）知
平面
，所以
为直角三角形，从而
，
故
，即
为正三角形.
取
的中点为
，连接
，则
，又
，
平面
平面
，平面
平面
，
所以
与
的夹角为二面角
的平面角，
8
由（1）亦知
，于是
与
的夹解为二面角
的平面角，
即为
的补角，从而二面角
的正弦值就等于
.
连接
，在
中，
，
即二面角
的正弦值为
.
（方法三）因为
平面
平面
，所以平面
平面
，
设二面角
为
二面角
为
，则
，
取
的中点为
，连接
，
设
，由
和
均是以
为斜边的等腰直角三角形可得
，
由（1）知
平面
，所以
为直角三角形，从而
，
故
，即
为正三角形，从而
，
在
中，
，所以
，
平面
平面
，平面
平面
，
所以
即为二面角
的平面角，
在
中，
，
9
从而
，
即二面角
的正弦值为
.
【典例4】
（2025·广东深圳·二模）已知四棱台
，底面
是边长为2 的菱形，
平面
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由底面菱形性质及线面垂直性质证
平面
，得
. 再根据已知边长用
勾股定理逆定理证
. 因为
与
相交，所以
平面
.
（2）解法1，过
作
，证
平面
，再过
作
，得
为二面角平面角.
算出
、
长度，用正切求出
正切值，再求其余弦值.
解法2，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角.先找出平面
的一个法向量
.
10
设平面
法向量
，根据向量垂直关系求出
. 最后用向量夹角公式求两平面夹角余弦值.
【详解】（1）因底面
是菱形，
，
是BC 中点，所以
，又
，则
.
已知
平面
，
平面
，所以
.
因为
平面
，且
，所以
平面
.
又
平面
，故
.
四棱台上下底面平行且相似，上底面
是边长为菱形.
在四边形
中，
，
，由勾股定理得
，
.
在
中，
，所以
，即
.
因为
平面
，
，所以
平面
.
（2）解法1 在等腰直角
中，过
作
，
则M 是
中点，
，
又
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
过M 作
，连接
，
由于
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，故
，
11
所以
为平面
与平面
的夹角，
由（1）知
，在
中，
，
故
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
则
，
又因为
为锐角，
所以
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
解法2 因为
平面ABCD，所以AE，AD，
两两垂直．
以A 为原点，AE，AD，
所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系
则
，
，
由（1）易知平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，
则
，
12
即取
，得
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
【点睛】
【典例5】
（24-25 高三上·浙江杭州·期末）如图，三棱锥
的底面是边长为2 的正三角形ABC，且
，平面
平面
(1)证明：
平面
(2)若BC 与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
13
【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理，即可得；
（2）方法一，建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可得；
方法二，利用线面垂直的判定与性质，找出二面角，即可得.
【详解】（1）取
中点
，
中点
，连接
，
因为
，所以
，
又
，所以
，
又因为
，
，
平面PCE，
所以
平面
，
又
平面
，故有
，
因为
，
所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
又
在平面
内，
所以
平面
，
又
平面
，故有
，
又
，
，
平面
故有
平面
（2）解法一：以点F 为坐标原点，分别以
，
，
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
14
则
，
，
，
设点
，
设平面PAB 的法向量
，
，
，
则
，
可取
，
于是有
，得
平面PAC 的法向量
，平面PAB 的法向量
，设平面PAB 与平面PAC 夹角为
，
则
，
解法二：如图，作
，垂足为 M，连接
因为
平面
，
，故
平面
，
为
与平面
所成角，
有
，得到
，
15
设
，则
，
由
，得
，解得
作
，垂足为
，连接
，
为平面
与平面
夹角，
，由
得，
，
，
，
平面
与平面
夹角的余弦值为
【典例6】
（2025·福建漳州·模拟预测）如图，点
为正方形
所在平面外一点，
为
中点，
.
(1)求证：
平面
；
16
(2)若平面
平面
，
，
.
（i）当
时，求证：
平面
；
（ii）当二面角
的正弦值为
时，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，即证
，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）解法一：建立空间直角坐标系，（i）利用数量积，即证
，
，利用线面垂直的判
定定理即可得证；（ii）求平面
的法向量
，求平面
的法向量设
，利用向量的夹角公式即可
求解；
解法二：（i）利用面面垂直的性质定理，由平面
平面
得
平面
，即证
平面
，得
，利用勾股定理得
，利用线面垂直的判定定理即可得证；（ii）由
，
得二面角
的平面角为
，即
，利用三角恒等变换
求
，最后由正弦定理即可求解；
解法三：（i）同解法二；（ii）由
，
得二面角
的平面角为
，即
，得
，在平面
内，以A 为原点，分别以
，
的方向为
轴、
轴的正方向，建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
，
因为四边形
是正方形，所以
为
中点，
又因为
为
中点，所以在
中，有
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）解法一：
在正方形
中，有
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
17
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，又
，
以
为原点，分别以
，
，
方向为
轴，
轴，
轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示.
则有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（i）当
时，
，
，
所以
，
，
所以
，
，即
，
，
又因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
.
（ⅱ）设
为平面
的法向量，
则有
，即
，
取
，得
，
，则
是平面
的一个法向量，
，
设
为平面
的法向量，
18
则有
，即
，得
，
取
，得
，
，
则
是平面
的一个法向量，
因为二面角
的正弦值为
，所以
，
所以
，即
，
化简得
，解得
或
（舍去）.
所以
的值为
.
解法二：
（i）因为平面
平面
，平面
平面
，
四边形
为正方形，
，
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
又
，
为
中点，所以
，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以
.
又
，
，所以
，所以
，
，
，
又
.
由余弦定理可得
，
所以
，所以
，
19
又
，所以
平面
.
（ii）因为
平面
，
平面
，
所以
，
，
又因为
平面
，
平面
，
所以二面角
的平面角为
，
所以
，
，
在
中，
，
，所以
，
在
中，
，所以
.
又因为
，所以
，
所以
（负值舍去）.
在
中，
，
，
在
中，
，
又
，
由正弦定理，得
，即
，解得
，
20
所以
的值
.
解法三：
（i）同解法二.
（ii）因为
平面
，
平面
，
所以
，
，
又因为
平面
，
平面
，
所以二面角
的平面角为
，
所以
，
，
在平面
内，以A 为原点，分别以
，
的方向为
轴、
轴的正方向，
建立平面直角坐标系，如图所示.
则有
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
化简得
，解得
或
（舍去）.
所以
的值为
.
21
【典例7】
（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，平面
底面
，平面
底面
，
是
的中点，
.
(1)证明：
平面
；
(2)当
时，
（i）证明：直线
平面
；
（ii）求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）0
【分析】（1）先由平面
平面
推得
平面
，可得
，同理可证
，于
是推出
平面
，可得
，再由三角形相似证明
，由线面垂直的判定定理即可证
明；
（2）（i）方法一：当
时，在线段
上取一点
，使得
，证明
平面
，再证
平面
，可得平面
平面
，进而可得直线
平面
；方法二：当
时，在
线段
上取一点
，使得
，证明四边形
是平行四边形即可证得直线
平面
；
（ii）解法一：利用向量法证明
，再由线面垂直证得
，即得
平面
，进而证得
平面
平面
即得；解法二：利用条件建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量坐标，利
用两向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）在矩形
中，
因平面
平面
，
平面
平面
平面
，则
平面
，
又
平面
，所以
；
22
因平面
平面
，平面
平面
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
；
又因
平面
，故
平面
，因
平面
，得
.
在
和
中，
，则
，
故
，则得
即
，
又因
平面
，故
平面
.
（2）（i）法一：当
时，在线段
上取一点
，使得
，即
，
因为
平面
平面
故
平面
，
在矩形
中，因为
，且
，则
，且
，
因
，则
，又
，所以
，
因为
平面
平面
故
平面
，
又
平面
且
，故平面
平面
，
又因为
平面
，所以
平面
.
法二：当
时，在线段
上取一点
，使得
，则
，且
，
23
在线段
上取一点
，使得
，由法一知
，则
且
，
在矩形
中，
，
，因
，则
且
，
则四边形
是平行四边形，故
因
平面
平面
，
故
平面
.
（ii）解法一：
如图，因
，则
，整理得：
又
，
则
，即
因
，由（1）可得
平面
因
平面
，则
，
又
平面
，则
平面
，.
又
平面
，故平面
平面
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为0.
解法二：由（1）得，可以
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，故可取
，
设平面
的一个法向量为
，
24
，故可取
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
.
故平面
与平面
夹角的余弦值为0.
【典例8】
（25-26 高三上·江苏南京·月考）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面PAD：
(2)设点G 是
的重心.
（i）求直线GB 与平面PBD 所成角的正弦值；
（ii）设
平面
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
（ii）6
【分析】（1）根据题意可得
，
，进而证明线面垂直；
（2）（ⅰ）建系标点，求平面PBD 的法向量，利用空间向量求线面夹角；（ii）设
，法一：根据向量共线列式求解即可；法二：根据线面关系结合空间向量运算求解.
25
【详解】（1）在
中，由余弦定理得
，
即
，则
，可知
，
因为
平面ABCD，
平面ABCD，则
，
且
，
平面PAD，
平面PAD，
所以
平面PAD.
（2）（ⅰ）以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
可得
，
，
，
，
因为G 是
的重心，则
，
可得
，
，
设平面PBD 的法向量为
，则
，
令
，则
，
，可得
，
则
，
所以直线GB 与平面PBD 所成角的正弦值为
；
26
（ⅱ）设
，则
，
法一：因为
平面PBD，且
，
不共线，
所以存在实数m，n，使得
，
可得
，解得
，所以
；
法二：由（ⅰ）知平面PBD 的法向量为
，
则
，解得
，
所以
.
【典例9】
（2025·广东广州·模拟预测）如图1，在正四棱锥
中，所有棱长均为
分别是棱
和
上的动点，满足
.
(1)求证：
平面
；
(2)若异面直线
与
垂直，求
的值；
27
(3)如图2，现将棱长为2 的正四面体
与正四棱锥
进行拼接，使得顶点
分别与
重合，求证：
四点共面.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）过
作
，交
于
点，连接
，可得四边形
为平行四边形，从而证明
平面
;
（2）解法一：由（1）知
，从而可得
，利用三角形的性质即可求得
的值；
解法二：作
平面
，则
是正方形
的中心，建立空间直角坐标系；
（3）解法一：作
中点
，连接
，可得
即为二面角
的平面角，
即
为二面角
的平面角，分别求出其余弦值，找到余弦值的关系即可证明；
解法二：作
平面
，则
是正方形
的中心，建立空间直角坐标系，利用边长关系求出点
坐标，在利用向量关系即可证明结论.
【详解】（1）过
作
，交
于
点，连接
，
四边形
为平行四边形
面
面
面
（2）解法一：由（1）知
若异面直线
与
垂直，则
在
中，
为
中点
又
为
中点
28
解法二：作
平面
，则
是正方形
的中心，如图建立空间直角坐标系；
得
，
（3）解法一：作
中点
，连接
在正四棱锥
中，所有棱长均为
，
即为二面角
的平面角，
由于
，
则
，
同理可得在正四面体
中，
即为二面角
的平面角，
，
三点共线，
四点共面
解法二：作
平面
，则
是正方形
的中心，如图建立空间直角坐标系；
29
，设
因为
，解得
，所以
四点共面
【典例10】
（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）已知四棱锥
的底面是边长为1 的正方形，其中
，
二面角
的大小为
，平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小；
(3)如图，若
，平面
平面
为上一动点.平面
与平面
夹角的大小为
，
求
的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
或
；
(3)
.
30
【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直的性质定理得
平面
，再根据线面垂直的判定
定理和性质定理即可证明；
（2）方法一：作出二面角
的平面角，再利用余弦定理求出
或
，再分别讨论即
可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点
，再分别讨论即可；
（3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出
，再利用空间向量法写出面面角余弦的表达式，最
后利用换元法和基本不等式即可求出最值；
方法二：首先同法一求出
，再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理和不等式性
质即可求出最值.
【详解】（1）连接
交于点
，连接
，在平面
内过
作
，垂足为
，
因为
，所以垂足
不与点
重合，如图：
又因为平面
平面
，平面
平面
平面
，则
平面
，
又因为
平面
，所以
．
在正方形
中，
．
平面
平面
，
则
平面
，又因为
平面
，所以
．
（2）方法一：在平面
内，过
作
，垂足为
，连接
，
由（1）得，
平面
，因为
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
所以易知
是二面角
的平面角，
，
在边长为1 的正方形
中，
，
所以
，
31
在Rt
中，
，
在
中，
，
，解得
或
，
（i）当
，又因为
，在
中，满足
，则
．
又因为
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，则
，所以
，
又因为
平面
，所以
到平面
的距离与
到平面
的距离相等，
过
作
，垂足为
．又因为易证
平面
，所以平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，所以
平面
．
在Rt
中，
，所以
到平面
的距离为
．
设
与平面
所成角为
，则
，
又因为
，则
．
（ii）当
，在
中，
得：
，
如图，在
中，
，
32
Rt
中，
，
因为
，
设
到平面
的距离为，所以
，
得：
，解得
，所以
到平面
的距离为
，
设
与平面
所成角为
，又因为
，所以
．
综上，
与平面
所成角为
或
．
方法二：以
为
轴，以
为
轴，过点
的平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，如图．
则
，
设
，则
．因为
，
所以
①．
因为
，所以
②．
因为
平面
，所以平面
法向量
，
设平面
法向量
，
，
则
，不妨取
，则
．所以
．
33
因为二面角
为
，所以
③．
由①②③解得
，或
，即
或
．
（i）当
时，
设平面
法向量
则
即
不妨取
，则
．所以
．
，
设
与平面
所成角为
，
．又因为
，所以
．
（ii）当
时，
．
设平面
法向量
，
则
，即
，
不妨取
，则
．所以
．
，
设
与平面
所成角为
．又因为
，所以
．
综上，
与平面
所成角为
或
．
34
（3）法一：因为
面
，所以
面
．
所以
．以
为正交基建立空间直角坐标系．
因为
平面
平面
，所以
平面
．
又因为
平面
，且平面
平面
，所以
，
设
，
，
设平面
法向量
，
，
则
，不妨取
，则
．所以
．
因为
平面
，所以平面
法向量
．
因为二面角
为
，所以
，
即
，解得
，即
．
设
，设平面
法向量
，
，则
，不妨取
，则
．所以
．
，设平面
法向量
，
，则
不妨取
，则
，所以
.
35
则
，
设
，
．当且仅当
时，
，即
最小值为
．
法二：求出
的过程同法一，
将
补成正方体
，平面
平面
，所以即为
．
又因为
，过
作
，垂足为
，因为
平面
，
所以
为二面角
的平面角
．
在
中，
④，
⑤，
由④⑤得：
，
则
，得
．
则
，解得
，
当且仅当
时，
，此时
，即
最小值为
．
36
课后基础练
1．（2025·四川遂宁·二模）如图，在三棱锥
中，
，
，
分别为棱
，
的中点，
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线面平行即可；
（2）根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可.
【详解】（1）由于
分别为棱
的中点，故
，
又
平面
，且
平面
，
所以
平面
；
（2）由于
平面
，且
平面
，故
，
又
，且
为棱
的中点，故
，
因为
，
平面
，
故
平面
，
2．（24-25 高三上·江苏常州·期末）在直三棱柱
中，
，
分别为
，
的中点，且
，
．
37
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）依题意可得
，
，即可得到
平面
，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为
为直棱柱，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
因为
，
为
中点，所以
，
又因为
，
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，所以
．
（2）以
为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
所以
，
，
38
设平面
的法向量
，则
，
取
，
又平面
的法向量
，
记二面角
为
，则
，
则
，
即二面角
的正弦值为
．
3．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，点
在线段
上，
平面
.
(1)证明：
为
的中点；
39
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，根据线面平行的性质得到
，即可得证；
（2）取
中点
，连接
，即可得到
，建立空间直角坐标，设
，求出平面
、
平面
的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出.
【详解】（1）连接
交
于点
，连接
．
因为底面
为菱形，所以
为
的中点．
又因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
，
所以
为
的中点.
（2）取
中点
，连接
．
在菱形
中，
，所以
，则
为正三角形，
所以
，又
，所以
．
又因为
平面
，如图建立空间直角坐标系
．
设
， 则
，
，
，
，
则
，
，
，
则平面
的一个法向量为
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，
因为二面角
的余弦值为
，
所以
，解得
（负值已舍去），
40
所以
．
4．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2 的正方体
中，
分别是棱
上的点（异于端点），且
．
(1)证明：
与
相交且交点在直线
上．
(2)当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）连接
，由已知得出四边形
为梯形，则
与
相交，再根据点线面的关系即可
证明；
（2）以
为原点，
，
所在的直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，设
，由线面夹角的向量公式列出方程即可求解．
【详解】（1）连接
，因为
，所以
，
，
所以
，
41
因为
分别是棱
上异于端点的点，
所以
，故四边形
为梯形，故
与
相交，
记
，
因为
平面
平面
，平面
平面
，
所以
，即
与
的交点在直线
上．
（2）因为
是正方体，所以以
为原点，
，
所在的直线分别为
轴建立如
图所示的空间直角坐标系，设
，
则
，
，
所以
，
设
为平面
的法向量，
由
，可得
，
令
，得
，则
，
因为
，设直线
与平面
所成的角为
，
所以
，又
，
解得
，故当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，
．
42
5．（2025·全国·模拟预测）如图，直四棱柱
的顶点都在球
的球面上，
是球
的
直径，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由
与
，及
得证
平面
，然后结合平面与平面垂直
的判定定理即可得证；
（2）方法一：以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系
，分
别求出平面
和平面
的法向量
，然后利用
即可求得结果. 方法二：以
为坐
43
标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，建立空间直角坐标系，后面同方法一；方法三：几何法，做
出二面角的平面角，结合解三角形知识求平面角或其补角的余弦值即可得解.
【详解】（1）
为球
的直径，
是
在平面
内的射影，
则
为四边形
外接圆的直径，所以
，
因为
，
所以
，所以
.
又
平面
平面
，所以
.
又因为
，所以
平面
，
因为
平面
，故平面
平面
.
（2）方法一：因为
为球
的直径，又
为球
的球面上，所以
，
又
平面
平面
，所以
，
又因为
，所以
平面
，
又
平面
所以
所在直线两两相互垂直.
如图所示，以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系
，
由已知可得
，所以
为等边三角形.
所以
.
44
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，得
.
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，得
.
令平面
与平面
夹角为
因为
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
.
方法二：设
与
的交点为
，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，过点
且垂直
于平面
的直线为
轴建立空间直角坐标系，如图.
由已知可得
.
所以
.
45
计算可得平面
的一个法向量为
，
平面
的一个法向量为
.
令平面
与平面
夹角为
因为
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
.
方法三：（几何法）作
，垂足为
，连接
.
利用三角形全等，或者证明
平面
，得
，所以平面
与平面
夹角的平面角为
（或其补角）.
可证明
，所以
是直角三角形.
由已知计算可得
，又
，
所以
，同理
.
由余弦定理得
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
课后能力练
6．（2026·四川绵阳·二模）在三棱锥
中，
，
，
为边
的中点，
，且
平面
.
46
(1)在直线
上是否存在一点M，使得直线
平面
?若存在，指出M 点的位置，若不存在，请说
明理由.
(2)若平面
平面
.
①求证：
；
②求二面角
的大小.
【答案】(1)存在，当
为
中点
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）取
为
中点，可得
，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）①由面面垂直的判定定理可得
平面
，即可得
，
，进而可证
平面
，即可得结果；②建系标点，分别求平面
、平面
的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）存在，当
为
中点时
平面
，
当
为
中点时，连接
，
因为
为
中点，则
，
且
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）①因为平面
平面
，平面
平面
，
过
作
交
于H，
因为
平面
，所以
平面
，
且
平面
，可得
，
又因为
平面
，
平面
，则
，
且
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
；
②以
为坐标原点，
，
，
方向为x，y，z 轴正方向，建空间直角坐标系
，
47
由题意可得：
，
，
则
，
，
，
，
，
可得
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，可得
；
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，可得
；
则
，
设二面角
的平面角为
，
由图可知
，则
，可得
，
所以二面角
的大小为
.
7．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别是
，
的
中点，点
，
分别是对角线
，
上的动点（不包括端点），且
，将四边形
沿
翻折，使平面
平面
.
48
(1)求证：
平面
；
(2)求线段
的长（用
表示）；
(3)当线段
的长最小时，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出
平面
，再利用线面垂直的性质定理即可；
（2）以
为原点建系，得出
的坐标，再计算向量的模；
（3）求出
，再求出两个平面的法向量，再根据向量夹角和平面角之间的关系求出.
【详解】（1）在矩形
中，
，
，点
，
分别是
，
的中点，
所以四边形
和
是全等的正方形，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
；
（2）以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
49
则
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
因为
，
所以
，
，
则
，
，
所以线段
的长为
；
（3）因为
，所以当
时，线段
最短，
此时
，
分别为线段
，
的中点，
，
，
则
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，令
，则
，
50
所以平面
的一个法向量为
，
由（1）知，
为平面
的一个法向量，
则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
8．（2026·陕西西安·三模）如图，在三棱柱
中，
，
为
上的点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若底面
是等边三角形，侧面
是菱形，
，且平面
平面
，求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）通过作辅助线证明
，再通过线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证
平面
，再建立空间直角坐标系求出平面
的法向量和平面
的法向量，最后
求解二面角的正弦值即可.
【详解】（1）如图，连接
交
于点
，连接
，
因为
是平行四边形，故
为
的中点，
51
又
，故
为
的中位线，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）设
的中点为
，因为底面
是等边三角形，侧面
是菱形，
，且平面
平面
，连接
，
，则
，
又
，且平面
平面
，
平面
，故
平面
.
以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
的方向为
轴正方向，
的方向为
轴正方向建立空间
直角坐标系.
设
，则由几何关系可知
，
，
，
，
故
，
，
.
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，则有
及
52
不妨取
，
，则
，
.
故
.
故二面角
的正弦值为
.
9．（2026·吉林长春·一模）如图，底面为锐角三角形的直棱柱
中，
，
，
点
在线段
上，且满足
，点
为
的中点.
(1)当
时，证明：
平面
；
(2)若平面
与平面
所成角的余弦值为
.
（ⅰ）求异面直线
与
所成角的大小；
（ⅱ）已知直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
.
【分析】（1）根据给定条件证明
，利用线面平行判定定理证明结论.
53
（2）（ⅰ）分别取
的中点
，以
为原点建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，利用面面角、线线角的向量法求解；（ⅱ）利用线面角的向量法列式求解.
【详解】（1）在直棱柱
中，令
，则
是
的中点，
由
，得
是
中点，而点
为
的中点，则
，
即
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）（ⅰ）分别取
的中点
，则
，又
平面
，
所以
平面
，由
，得
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，向量
的方向分别为
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
令
，则
，
，
，
设平面
与平面
的法向量分别为
，
，
则
，令
，得
，
，令
，得
，
54
由平面
与平面
所成角的余弦值为
，
得
，解得
或
，
由
是锐角三角形，得
，即
，则
，即
，
又
，则
，
而
，因此
，
所以异面直线
与
所成的角为
.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
，则
，
，而平面
的法向量
，
因此
，而
，
所以
.
10．（2026·云南·模拟预测）如图1，
是以
为底边的等腰三角形，
为正三角形.把
沿
翻折至
的位置，得空间四边形
，连接
，如图2.
(1)求证：
；
(2)当
，且二面角
的平面角为60°时，求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
55
【分析】1）通过证明
平面
，来证得
.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角
的余弦值，进而求得其正弦值.
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
由
得
，
由
得
，
又
平面
，
所以
平面
，
由
平面
得
.
（2）因为
平面
，
平面
，
所以
，
所以
为二面角
的平面角，故
，
因为
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，且交线为
，
过
作
于
，
因为
平面
，则
平面
，
以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
因为
，不妨设
，则
，
，
，
所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，由
，得
，
令
得平面
的一个法向量
，
同理得平面
的一个法向量
，
56
，
设二面角
的平面角为
，则
，
因为
，所以
，
所以二面角
的正弦值为
.
课后压轴练
11．（2025·江苏·模拟预测）如图几何体中，四边形ABCD 和AEFD 都是梯形，
.
(1)证明：B，E，F，C 四点共面；
(2)若
，求该几何体的体积；
(3)求平面BDE 与平面BEFC 的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行直线共面关系得出结论；
（2）法1，利用分割法可求几何体的体积；利用补形法可求几何体的体积；
57
（3）建立空间直角坐标系，进而利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）取CD 中点M，DF 中点
，连接BM，MN，EN，则
，
因为
，所以四边形AEND 是平行四边形，
所以
，因为
，
所以四边形ABMD 是平行四边形，
所以
，所以
，
所以四边形BENM 是平行四边形，所以
，所以
，
所以B，E，F，C 四点共面.
（2）法1：连接AF，BF，在平面ADF 中，作
，垂足为
，
因为
平面
，
所以
平面AEFD，即AB 是三棱锥
的高.
因为
平面AEFD，所以
，
因为
，所以
，
因为
平面
，
所以
平面ABCD，
即FG 是四棱锥
的高，且
.
梯形AEFD 的高为
，
所以
，
58
因为
，
所以该几何体的体积
.
法2：延长FE，DA 交于点
，因为
平面
平面ABCD，
所以
是平面BEFC 和平面ABCD 的公共点，
因为平面
平面
，所以
，
所以所求几何体的体积等于三棱锥
与三棱锥
的体积之差.
同法1 可证AB 是三棱锥
的高，CD 是三棱锥
的高，
因为
，
所以
为PD 的中点，即
，因为
，
所以
，
所以该几何体的体积
.
（3）在平面AEFD 中，过点
作
，交EF 于点
，由（2）知
平面ABCD，
以
为原点，
为基底，如图建立直角坐标系，
则
，
59
设
，则
，
所以
.
设平面BDE 的一个法向量
，
则
所以
，
令
，则
，
所以平面BDE 的一个法向量为
，
设平面BEFC 的一个法向量
，则
，所以
，
令
，则
，
所以平面BEFC 的一个法向量
.
设平面BDE 与平面BEFC 的夹角为
，则
60
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以平面BDE 与平面BEFC 的夹角的余弦值的最大值为
.
12．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
为等边三角形，
平面
，且
，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，四棱锥
的各个顶点均在球
的表面上，求球
的表面积；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意，延长
，
交于点
，连接
，证明
，推得
平面
，
即可证
平面
.
（2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，由球心
到
的距离相同，且为球半径，列方
程即可求出球心坐标和球的半径，即得球
的表面积.
（3）根据（2）中的坐标系，求出平面
与平面
的法向量，然后计算夹角的余弦值，化简后利用
基本不等式即得其取值范围.
【详解】（1）延长
，
交于点
，连接
，
因为
平面
，
，
平面
，
所以
，
，
即
，
.
因为
为等边三角形，所以
，
因为
，所以
，所以
，
61
又
，所以
，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
，即
平面
.
（2）由（1）可知
，
，
两两垂直，
故以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）易得
，
又
，所以
，
所以
，
，
，
，
.
设
，球
的半径为，
则
，
，
，
，
，
联立解得
，
，
则球
的表面积为
.
（3）由（2）可知
，
设
，则易得
，
，
则
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
62
则
，故可取
，
设平面
的法向量为
，
则
，故可取
.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
令
，则
，
所以
，
则
，
故平面
与平面
夹角的余弦值的取值范围为
.
13．（2025·浙江温州·一模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为
的正方形，
面
ABCD，若点M 满足
，点E 为PB 中点，过EM 的平面
满足
，且平面
与棱PD，
AD，AB 分别交于点F，G，H.
63
(1)求证：
；
(2)试判断P，E，M，F，G，H 六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由
利用线面平行的性质定理，得到
，得到点
为
中点，再证明
为
中点，可得
，最后利用线面平行的判定定理证明
；
（2）法一：以
为原点建立空间直角坐标系，求出P，E，M，F，G，H 六点坐标，利用球心到球面的距
离等于半径，列方程组，可得方程组有解，所以六点在同一个球面上，并求出半径，得到表面积；法二：
利用传统法：转化得
，
，
，
，
的外接圆即矩形
的外接圆，从而求得
，
再利用
求得外接圆半径.
【详解】（1）因为
，
平面
, 平面
,所以
;
因为点
为
中点，所以点
为
中点；
设
，连接
,
因为
，
平面
，所以
;
因为
，所以
;
因为
三点共线，所以
，所以
为
中点；
又因为
，
，所以
.
（2）法一：由
，
平面
,平面
,所以
又因为
为
中点，所以
为
中点,
以
为原点，
方向为
轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示
64
设
，则
；
若P，E，M，F，G，H 六点在同一个球面上，假设球心
，半径为
，则
所以当
时，P，E，M，F，G，H 六点在同一个球面上，
该球的表面积为
.
法二：若
，
，
，
，
，
六点在同一个球面上，
则
，
，
，
，
五点共圆，
记球的半径为
，圆的半径为
，
因为
，面
面
面
，
所以
，所以
，
因为
，同理
，所以
，
65
所以四边形
为平行四边形．
因为
面
，所以
，所以
，
所以四边形
为矩形，
所以
，
，
，
，
的外接圆即矩形
的外接圆，
所以
，所以
．
设外接球的球心为
，则
面
，
设
，因为
，所以
．所以
，
所以
，所以
．
14．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在正四棱柱
中，
，点
在棱
上，
平面ACE.
66
(1)证明：
平面ACE；
(2)在棱
上是否存在一点
，使得三棱锥
的外接球表面积为
，求AF 的长；
(3)在第（2）问的条件下，求直线
与平面CEF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
.
【分析】（1）先由几何关系得到
，连接DB 交AC 于
，再由线面垂直的判定定理证明
平
面
后可得；
（2）方法一：设
，由几何特征分析得到球心
的位置，再设点
到
的距离为
，直线与
的交点为
，由勾股定理建立方程组可解；方法二：建立如图所示的空间直角坐标系
，设球心
，由四点共面列方程组可得；
（3）建立如图所示的空间直角坐标系
，求出平面FEC 的法向量，代入线面角公式计算可得.
【详解】（1）
依题意，
，所以四边形
为正方形，
67
所以
，连接DB 交AC 于
，则
为DB 的中点，
由
平面ACE 可知，
，所以
为
的中点，
因为
，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
平面ACE
（2）方法一：设
，
可知三棱锥
的外接球的球心必在过CF 中点且垂直面AFC 的直线上，且
，
设球心为
点，三棱锥
的外接球表面积为
，
则三棱锥
的外接球的半径
.
因为点
到面ABC 的距离为，设点
到
的距离为
，直线与
的交点为
，
则
，球心
到CF 中点的距离为
，
则
，
代入上述方程组中的第一个式子，可得
，
又因为
，则
.
68
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系
，由已知可得
，且
，
设球心
，则
，
则
.
（3）建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
.
则
设平面FEC 的法向量为
，
由
即：
69
令
，则
，
所以
.
设直线
与平面CEF 所成的角为
，
所以
所以直线
与平面CEF 所成角的正弦值为
.
15．（2025·湖北武汉·二模）
中，
，
，
，D 是
的中点，E 是
的
中点，F 是
的中点．如图，将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位置，且使得
．
(1)证明：
；
(2)若
，求三棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目条件得到翻折前后线段的数量关系，进而得到
，
，在
中，利用向量加法的三角形法则即可得证；
70
（2）过点
在平面
内作
，垂足为点
，证明出
平面
，可知
为三棱锥
的高，求出
、
，再利用锥体的体积公式即可求得三棱锥
的体积；
（3）在平面
中，过点
作
，交
于点
，以点
为坐标原点，
、
、
的方向
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量法结合基本不等式，
即可求得平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
【详解】（1）
D 是
的中点，
翻折前
，翻折后
.
是
的中点，
翻折前
，翻折后
翻折后
，又
，
且
方向相同，
.
又
E 是
的中点，F 是
的中点，
翻折前、后
，
，
且
方向相同，
，
翻折后，在
中，
；
（2）
过点
在平面
内作
，垂足为
，取
的中点
，连接
，
在
中，
，
，D 是
的中点，
可知翻折前，
；翻折后，
，
又
，
平面
，
又
平面
，
，
又
，
平面
，
71
就是三棱锥
的高.
在
中，
，
，
，
由余弦定理可知
.
，
.
在
中，
，
，
，
，D 是
的中点，E 是
的中点，
，
，
.
（3）在平面
中，过点
作
，交
于点
，
平面
，
，
以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
，
设
，则
，
，
，
，
72
设平面
的一个法向量
，
则
，
令
，则
，
，
，
设平面
的一个法问量
，
则
，
令
，则
，
，
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
，
，则
，
当且仅当
，即
时，即
时，等号成立.
平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值为
.
73
74
