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专题02 常用逻辑用语
【知识点梳理】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若
，则
”为真(记作
)，则
是
的充分条件；同时
是
的必要条件.
2、从逻辑推理关系上看
（1）若
且
，则
是
的充分不必要条件；
（2）若
且
，则
是
的必要不充分条件；
（3）若
且
，则
是
的的充要条件(也说
和
等价)；
（4）若
且
，则
不是
的充分条件，也不是
的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：
，则
是
的充分条件，同时
是
的必要条件.所谓“充分”是指只要
成立，
就成立；所谓“必要”是指要使得
成立，必须要
成立
(即如果
不成立，则
肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“
”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对
中的任意一个
，有
成立”
可用符号简记为“
”，读作“对任意
属于
，有
成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“
”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在
中的一个
，使
成
立”可用符号简记为“
”，读作“存在
中元素
，使
成立”（存在量词命题也
叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题
的否定
为
，
.
（2）存在量词命题
的否定
为
.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.
【方法技巧与总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设
.
（1）若
，则
是
的充分条件(
)，
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不必要
条件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小
大”.
1
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（2）若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
（3）若
，则
与
互为充要条件.
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语
等于
(=)
大于
(>)
小于
(<)
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
(≠)
小于等于
(≤)
大于等于
(≥)
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个
，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x0 使之成立即可，否则这个存在
量词命题就是假命题.
【典型例题】
例1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知
，则下列选项中是“
”的充分不必要条件
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，当
，满足
，但
不成立，
当
时，满足
，但
不成立，故A 错误；
对于B，当
时，
，但
，故B 正确；
对于C，
时，
，但
不成立，
时，
，但
不成立，故C 错误；
对于D，因为指数函数
在
上单调递增，故
，故D 错误.
故选：B
例2．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）已知i 是虚数单位，
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当
时，即
，得
，
2
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而
时，
，推不出一定是
，即推不出
;
所以“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B
例3．（2024·江苏徐州·高一统考期末）若命题“
，
”是假命题，则实数的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】因为命题“
，
”是假命题，
所以命题“
，
”是真命题，
因此有
，所以实数的最小值为
，
故选：C
例4．（2024·湖南邵阳·统考一模）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据全称命题或者特称命题的否定，
所以
的否定为
，
故选：D.
例5．（2024·浙江宁波·高三统考期末）命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若命题“
，
”为假命题，
则命题的否定“
，
”为真命题，
即
，
恒成立，
，
，当
，取得最大值
，
所以
，选项中只有
是
的真子集，
所以命题“
，
”为假命题的一个充分不必要条件为
.
故选：D
3
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例6．（多选题）（2024·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）命题“
”是真命题的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，
则
对
都成立，
又
，所以
，
观察选项可得命题“
”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
例7．（多选题）（2024·黑龙江绥化·高三校考期末）已知
，
，是实数，则下列命题正确的是（ ）
A．
是
的充分不必要条件
B．
是
的既不充分也不必要条件
C．
是
的充分不必要条件
D．
是
的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】取
，
，得
，但
，充分性不成立；
取
，
，得
，但
，故A 错，B 对；
当
时，则
，充分性不成立；若
，则
，所以
，
即
是
的必要不充分条件，故C 错，D 对.
故选：BD
例8．（2024·云南昆明·高一期末）已知
，
（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件
是p，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为q 的一个充分不必要条件是p，
所以
是
的一个真子集，
则
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
例9．（2024·上海松江·高三校考期末）已知
，且
是
的充分不必要条
件，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】
，解得
，设
，
，
若
是
的充分不必要条件，则
，
4
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则有
，且等号不会同时取到，解得
，
则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
例10．（2024·陕西西安·高三校考期末）集合
，其中b 是实数，若A 是B 的充
要条件，则b= ；若A 是B 的充分不必要条件，则b 的取值范围是 （答案不唯一，写出一
个即可）
【答案】
/0.5
【解析】因为A 是B 的充要条件，则
解集相同.
，得
，因为
，则
，解得
；因为A 是B 的充分不必要条件，即
，又因为
，且
，则
，需要
，解得
，即
故答案为：
；
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知直线
和直线
，则
“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线
和直线
平行，
则
，解得
，
所以“
”是“
”的充要条件，
故选：A
2．（2024·河南·高三校联考期末）已知
，直线：
，
：
，则“
”是“
”的（ ）
5
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由直线与
不相交，得
，解得
或
，
当
时，直线：
与
：
重合，
当
时，直线：
与
：
平行，
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
3．（2024·江苏南京·高三南京师大附中期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名
篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度
过阴山是龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
【答案】D
【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，
因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，
所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，
故选：D
4．（2024·山西运城·高三统考期末）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【解析】
，解得
，
由于
是
的真子集，
故
是
的必要不充分条件.
故选：B
5．（2024·江苏常州·高三统考期末）对任意实数
，
，，在下列命题中，真命题是（ ）
A．“
”是“
”的必要条件B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件D．“
”是“
”的充分条件
【答案】B
【解析】对于A，若
，则由
，
“
”不是“
”的必要条件，A 错．
对于B，
，
“
”是“
”的必要条件，B 对，
6
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对于C，若
，则由
，推不出
，“
”不是“
”的充分条件
对于D，当
时，
，即
成立，此时不一定有
成立，
故“
”不是“
”的充分条件，D 错误，
故选：B．
6．（2024·福建漳州·统考模拟预测）若
，
为真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若
，
为真命题，则
.
因为
在
上的最小值为
，所以
，
故选：D.
7．（2024·湖北十堰·高三郧阳中学校考期末）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】命题“
”的否定是“
，
”.
故选：C.
8．（2024·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考开学考试）若命题“
”为假
命题，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意命题“
”为真命题，
所以当且仅当
，
解得
，即m 的取值范围是
.
故选：C.
9．（2024·湖北武汉·高三统考期末）命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（ ）
A．所有三角形都是直角三角形
B．所有三角形都不是直角三角形
C．有些三角形不是直角三角形
D．有些三角形不是锐角三角形
【答案】B
【解析】由命题否定的概念可知，命题“有些三角形是直角三角形”的否定为“所有三角形都不是直角三
7
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角形”.
故选：B
10．（2024·全国·模拟预测）已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】命题
，
是特称命题，
所以
为
，
．
故选：D．
11．（2024·天津·高三校联考期末）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，得
，必有
，
而当
时，
可以是负数，如
成立，却有
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
12．（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知
，则是“
”的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，取
，此时有
，故A 不符合题意；
对于B，由对数函数单调性可知
，故B 符合题意；
对于C，
，故C 不符
合题意；
对于D，
，故D 符合题意.
故选：BD.
13．（2024·江苏扬州·高三统考期末）下列选项中，能说明“
，都有
”为假命题的x 取
值有（ ）.
8
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A．
B．
C．0
D．3
【答案】AB
【解析】易知
，但
，此时为假命题，即A 正确；
同理
，但
，此时为假命题，即B 正确；
而
，但
，此时为真命题，即C 错误；
显然
，可得D 错误；
故选：AB
14．（2024·黑龙江·高三统考期末）关于
的不等式
对任意
恒成立的充分不必要条件有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】当不等式
对任意
恒成立时，
有
，解得
，记
.
当
的取值范围是集合
的非空真子集时，即为不等式
对任意
恒成立的充分不必要条件，
AB 选项中的范围满足题意.
故选：AB
15．（2024·山东临沂·高三统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BCD
【解析】对于A，当
时，
，A 是假命题；
对于B，令
，求导得
，当
时，
，函数
递减，
当
时，
，函数
递增，
，即
，
，B 是真命题；
对于C，令函数
，显然
，因此连续函数
在
上有零点，C
是真命题；
对于D，令函数
，显然
，因此连续函数
在
上有零点，D
是真命题.
故选：BCD
9
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16．（2024·新疆喀什·统考一模）命题“
是
的必要不充分条件”是假命题，则
不可能的取值
是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BCD
【解析】由
是
的必要不充分条件，得
，
于是命题“
是
的必要不充分条件”是假命题，有
，
所以
不可能的取值是2，3，4，即BCD 正确，A 错误.
故选：BCD
17．（2024·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考期末）已知实数
，则“
”的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为函数
是
上的增函数，
所以
，所以
是“
”的充要条件，故A 正确；
对于B，由
，得
，
当
时，
无意义，
所以
是“
”的充分不必要条件，故B 错误；
对于C，因为函数
是
上的增函数，
所以
，所以
是“
”的充要条件，故C 正确；
对于D，当
时，
，
所以
不是“
”的充要条件，故D 错误.
故选：AC.
三、填空题
18．（2024·云南昆明·高二统考期末）若
是
的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个
为
．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由
，解得
或
，故
，
因为
是
的一个充分不必要条件，
写出一个范围比
小的即可，
故
.
故答案为：
（答案不唯一）
10
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19．（2024·天津河西·高三统考期末）命题：“
，
”的否定为 .
【答案】
，
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题：“
，
”的否定为
，
.
故答案为：
，
.
20．（2024·上海虹口·高一统考期末）已知
，
，若
是
的充分条件，则实数
的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
可得
，则
，解得
，
即
，
若
是
的充分条件，则
是
的子集，
可得
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
21．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题“
”为假命题，则实数
m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“
”的否定为：“
”
命题“
”为假命题等价于命题“
”为真命题；
当
时，
，成立；
当
时，结合一元二次函数的图象可得：
，解得
，
综上，实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
22．（2024·北京大兴·高三统考期末）能够说明“设
是任意实数.若
，则
”是假命题的
一组整数
的值依次为 .
【答案】
（答案不唯一）
【解析】当
时，满足
，但是
，
.
故答案为：
（答案不唯一）
23．（2024·山东菏泽·高三校考期末）命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是
．
11
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【答案】
【解析】命题“
，
”是假命题，
则它的否定命题“
，
”是真命题，
当
时，不等式为
，显然成立；
当
时，应满足
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
24．（2024·辽宁沈阳·高三校联考期末）若命题“
，
”为真命题，则实数
的取值
范围是 .
【答案】
【解析】由题意，
为真命题，即
，
恒成立，
令
，
，对称轴为
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
结合对称性可得
，
即可，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
25．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若“
”是真命题，则
的取值范围
是 .
【答案】
【解析】因为“
”是真命题
当
时，
恒成立，符合题意，
当
时，由
解得
，
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
26．（2024·山东菏泽·高三统考期末）若命题“存在
，使得
”是假命题，则实数a 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】因为命题“存在
，使得
”是假命题，
12
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所以命题“任意
，使得
”是真命题，即
在
上恒成立，
则
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
27．（2024·四川南充·模拟预测）若命题“
，使得
成立”为真命题，则实数
的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】因为命题“
，使得
成立”为真命题，
所以
，解得
.
故答案为：
28．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）“
或
”是“
”的 条件.
【答案】充要
【解析】命题“若
或
，则
”是真命题，
命题“若
，则
或
”是真命题，
所以“
或
”是“
”的充要条件.
故答案为：充要
29．（2024·黑龙江大庆·大庆市东风中学校考模拟预测）已知有三个条件：①
；②
；③
，中能成为
的充分条件的是
填序号
【答案】①
【解析】①由
可知
，即
， 故“
”是“
”的充分条件；
②当
时，
；
③当
，
时，满足
，有
；
故②、③不是
的充分条件.所以能成为“
”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
30．（2024·内蒙古呼和浩特·统考二模）有下列命题：①若“
，则
或
”是真命题；②命
题“
，
”的否定是“
，
”；③
，
为真命题，则a 的
最大值为2.其中正确的是 （填序号）.
【答案】①③
【解析】对于①，若“
，则
或
”的逆否命题为：若
且
，则
，显然逆
否命题为真命题，
由于原命题和逆否命题为等价命题，故该命题是真命题，故①为真命题；
对于②，命题“
，
”的否定是“
，
”，故②为假命题；
13
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对于③，因为
，
为真命题，所以
，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即a 的最大值为2，故③为真命题.
故答案为：①③.
14
