文档文本内容
第 4 章 数列
§4.1 数列的概念
1.定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.第一项叫首
项，常用 表示.
a
2.通项公式：如果数列 的第 项 n与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子
叫做这个数列的通项公式.
3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的递推公式.
4.数列 的前 项和：把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和.记作
，即 .
a a+bi=c+di⇔a=b,且c=d
5.通项 n与 之间的关系：
§4.2 等差数列
1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用 表示.
2.等差中项：有三个数 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时 叫做 与 的等差中
项.可知 .
3. 等差数列的通项公式： .
引申式： ， ，
4.等差数列的前 项和公式：
5.等差数列常用性质：
m+n=p+q (m,n,p,q∈N ) a +a =a +a
①若 + ，则 m n p q；
(a ,a ,a ,⋯)
②下标为等差数列的项 k k+m k+2m ，仍组成等差数列；
{λa +b} λ,b
③数列 n （ 为常数）仍为等差数列；
④若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 ，…也
成等差数列.
{a } d
⑤单调性： n 的公差为 ，则：
ⅰ）
d>0⇔ {a
n
}
为递增数列；ⅱ）
d<0⇔ {a
n
}
为递减数列；
ⅲ）
d=0⇔ {a
n
}
为常数列；
a
⑥数列{ n}为等差数列 （p,q是常数）
{a } n S S S S S S
⑦若等差数列 n 的前 项和 n，则 k、 2k k、 3k 2k …是等差数列.
§4.3 等比数列
1.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，常用 来表示（ ）.
2.等比中项：若三数 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项.此时 .
3.通项公式：
引申式： ， .
4.等比数列前 项和公式：
5.等比数列常用性质：
m+n=p+q (m,n,p,q∈N )
①若 + ，则 ；
a ,a ,a ,⋯ qk
② k k+m k+2m 为等比数列，公比为 (下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；
对于正项等比数列 ，则 是公差为 的等差数列；
{a }
④若 n 是等比数列，则 是等比数列，公比依次是
⑤单调性：
为递增数列； 为递减数列；
为常数列；
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列.
{a } n S S S S S S
⑦若等比数列 n 的前 项和 n，则 k、 2k k、 3k 2k …是等比数列.
