文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期期末模拟卷
全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 B 版 2019 选择性必修第一册+选择性必修第二册。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知
，则 在 上的投影向量为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
所以 在 上的投影向量为
，
故选：D.
2．游戏《黑神话：悟空》在山西的取景地共 27 处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，
具体分布如下：
城市
大同
朔州
忻州
晋中
长治
晋城
临汾
运城
取景地个数
6
2
6
2
2
3
2
4
某游客计划从中选 5 处景点游玩，其中长治、晋城各选一处，大同选两处，且云冈石窟必选，共有多少种
不同的选法（
）
A．26
B．450
C．480
D．1440
1 / 17
【答案】C
【详解】长治、晋城各选一处，共有
种选法，
大同选两处，且云冈石窟必选，共有
种选法，
剩下可选的景点有：
处，再选 1 处，
种选法，
所以共有
种选法.
故选：C.
3．某兴趣小组研究光照时长
和向日葵种子发芽数量 y（颗）之间的关系，采集 5 组数据，如下表所示．
若去掉最后一组数据
后，下列说法正确的是（
）
光照时长
1
2
3
8
10
种子发芽数量 y（颗）4
6
5
11
2
A．相关系数 r 的绝对值变小
B．相关变量
具有负相关关系
C．拟合误差变大
D．解释变量与响应变量的相关性变强
【答案】D
【详解】观察图象知：
较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉
后，回归效果更好，
对于 A，相关系数
越接近于 1，线性相关性越强，
因此去掉
后，相关系数 的绝对值变大，A 错误；
对于 B，由表格数据可知 越大， 越大，所以相关变量
具有正相关关系，B 错误；
对于 C，因为残差平方和越大，拟合效果越差，因此去掉
后，残差平方和变小，拟合误差变小，C
错误；
对于 D，由选项 A 知，去掉
后，相关系数 的绝对值变大，
因此解释变量 与响应变量 的相关性变强，D 正确.
故选：D
4．已知随机变量 X 服从正态分布
，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2 / 17
【详解】由题可知该正态分布的均值为 ，其图象的对称轴为直线
，
则
，又
，
由对称性可知
，
由条件概率公式得
．
故选：C．
5．在直三棱柱
中，
，
，则
与
所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为直三棱柱
，所以
底面
，
又
底面
，所以
，
，
又因为
，所以
两两垂直，
以 C 为原点，以
分别为
轴，建立如图所示直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
设直线
与
所成角为 ，
则
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：A
3 / 17
6．已知
，
，若圆
上存在点
，使
，则实数 的取值范围
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设点
，则
，
化简得
，即
，所以点 M 在以
为圆心，1 为半径的圆上，
又圆
的圆心为
，半径为
，
由题有
，即
，整理得到
，解得
，
所以实数 的取值范围为
.
故选：C.
7．中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量
，则当
且
时， 可以由服从正态分布的随机变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的均值与方差近
似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子 2500 次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 1300 的
概率为（
）（参考数据：
）
A．0.99865
B．0.97725
C．0.84135
D．0.65865
【答案】B
【详解】投掷一枚质地均匀分布的骰子 2500 次，设向上的点数为偶数的次数为 X，
则
，
，
，
由于
且
，由中心极限定理可知
，
且
，
，
因为
，
故
，
4 / 17
所以利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数小于 1300 的概率为
.
故选：B.
8．已知
是双曲线
右支上不同的两点，
是 的右焦点，点 关于原点 的
对称点为
，且
，则 的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设双曲线的左焦点为
，连接
、
、
、
，如图所示，
根据双曲线的对称性可知四边形
为平行四边形，
又因为
，所以
，所以四边形
为矩形，
因
，设
，则
，
由双曲线的定义可得：
，
，
又因为
为直角三角形，所以
，
则
，得
，则
，
又因为
为直角三角形，
，所以
，
则
，
所以
，即
，其渐近线方程为
.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
5 / 17
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．有 10 个连续排列的方格，每个方格可能被放置一枚棋子，且每个格子被放置棋子的概率均相等，已知
前 4 格同时被放入棋子的概率为
，甲和乙用该方格组进行游戏，游戏分两轮：
第一轮：棋子被放置后，选取第 1 个格子，若有棋子，则甲胜，否则乙胜；
第二轮：棋子被放置后，若这 10 个格子中，存在连续 3 格或以上被放入棋子，则甲胜，否则乙胜．
则（
）
A．第一轮游戏是公平的
B．第一轮游戏是不公平的
C．第二轮游戏不公平，且甲胜率比乙低 D．第二轮游戏不公平，且乙胜率比甲低
【答案】AD
【详解】根据条件，设每个格子被放入棋子的概率为 p，则
，A 正确 B 错误；
研究前 n 个格子，设存在连续 3 格或以上有棋子的概率为 p(n)，分两种情况：
①前 n-1 格已经存在连续 3 格或以上有棋子，概率为 p(n-1)；
②前 n-1 格不存在连续 3 格或以上有棋子，则第 n、n-2、n-1 格有棋子，
第 n-3 格没有棋子，概率为
则
所以
，所以 C 错误 D 正确．
故选：AD.
10．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，抛物线
的焦点与双曲线 的右
焦点重合，点 是这两条曲线的一个公共点，则（
）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．
C．
的面积为
D．
【答案】BC
【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为
，所以双曲线右焦点
，即
.
又
，所以
，所以双曲线的方程为
.
对于 A 项，双曲线 的渐近线方程为
，故 A 项错误；
6 / 17
对于 B 项，联立双曲线与抛物线的方程
整理可得，
，
解得
或
（舍去负值），所以
，代入
可得，
.
设
，又
，所以
，故 B 项正确；
对于 C 项，易知
，故 C 项正确；
对于 D 项，因为
，
所以，由余弦定理可得，
，故 D 项错误.
故选：BC
11．如图，在棱长为 1 的正方体
中，M 为
边的中点，点 P 在底面 ABCD 内运动（包括
边界），则下列说法正确的有（
）
A．不存在点 P，使得
B．点 B 到平面 ACM 的距离为
C．点
到直线 AM 的距离为 1
D．三棱锥
外接球的表面积为
7 / 17
【答案】ABD
【详解】如图建立空间直角坐标系：
则
,
,
,
,
,
,
，
设
，则：
对于 A：
，
，则
，
所以
与
不垂直，即不存在点 ，使得
，故 A 正确；
对于 B：
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，得
.
于是点 到平面
的距离
，故 B 正确；
对于 C：
，
所以点
到直线
的距离等于
，故 C 错误；
对于 D，三棱锥
的外接球就是正方体
的外接球.
设外接球半径为 ，则
，即
，
8 / 17
根据球的表面积公式
可得：
，故 D 正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．
的展开式中含
项的系数是
．
【答案】
【详解】因为
的展开式的通项公式为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
因此
的展开式中含
项的系数为
.
故答案为：
13．假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为
，且各引擎是否有故障是独
立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更为安全，则 p
的取值范围是
．
【答案】
【详解】由已知可得，飞机引擎运行正常的个数
，
所以 4 引擎飞机正常运行的概率为
.
2 引擎飞机正常运行的概率为
.
所以，
.
因为 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更为安全，所以
，
即
.
因为
，所以
.
9 / 17
故答案为：
.
14．关于曲线
，给出下列四个结论：
①曲线 既关于原点对称，又关于直线
对称；
②曲线 是封闭图形，且该封闭图形的面积大于
；
③曲线 不是封闭图形，且它与圆
有公共点；
④曲线 与曲线
恰有四个公共点，且这四点恰为某正方形的四个顶点.
其中所有正确结论的序号是
.
【答案】①③
【详解】若点
在曲线 上，则满足
，将点
代入得
，故曲
线 关于原点对称；
点
关于直线
的对称点是
，代入得
，故曲线 关于直线
对称；①正确；
因为
，所以
，所以
，故曲线 是无界的，不是封闭图形，②错误；
联立曲线 与圆的方程可得
，化简得
，解得
，对应的
，
所以曲线 与圆有公共点，③正确；
联立曲线 与曲线
的方程得
，化简得
，解得
，
所以
，对应的
，所以曲线 与曲线
恰有四个公共点，坐标为
.
由于
，所以
，
所以这四个公共点不是正方形的四个顶点，④错误；
10 / 17
故答案为：①③.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）在
的展开式中，第 、 、 项的二项式系数依次成等差数列.
(1)求 ；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【详解】（1）由题意得，
，即
， ........................................ 2 分
因为
且
，整理得
，解得
. ................................................................................. 4 分
（2）二项展开式共 项，二项式系数最大的项为第 项或第 项，
二项式系数最大的项为
，
.............................. 7 分
（3）展开式共有 项，展开式的通项公式为
，
.................................................................................................................................................................................................. 9 分
当
为整数，即
时为有理项，即有理项共 项， ........................................................... 11 分
由插空法得有理项不相邻的概率为
. .................................................................................................... 13 分
16．（15 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，
平面 ABCD，过 EF 的平面交平面 ABCD 于
.
11 / 17
(1)求证：
平面 CDE；
(2)若平面
平面
为等边三角形，
，求平面 ACEF 与平面 BCE 夹角的余弦值.
【详解】（1）
平面 ABCD，过 EF 的平面交平面 ABCD 于
，
又
四边形 ACEF 为菱形，
平面
平面
平面 ABF.
又四边形 ABCD 为菱形， 同理
平面 ABF ................................................................................................. 2 分
平面
平面
平面 ABF，
又
平面
平面 CDE. ....................................................................................................................... 4 分
（2）设 AC 与 BD 交于点 ，连接 EO.
为等边三角形，四边形 ABCD 为菱形，
为 AC 的中点，
.
又平面
平面 ACEF，且交线为 AC，
平面 ABCD. .......................................................................................................................................................... 7 分
易知
两两互相垂直，故以 为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则
，
12 / 17
............................................................................................................................... 9 分
设平面 BCE 的法向量为
，
则
，不妨取
，则
易知
是平面 ACEF 的一个法向量 ....................................................................................................... 12 分
设平面 ACEF 与平面 BCE 的夹角为 ，
则
，
故平面 ACEF 与平面 BCE 夹角的余弦值为
. ................................................................................................. 15 分
17．（15 分）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人
工智能中的文生视频模型 Sora（以下简称 Sora），能够根据用户的文本提示创建最长 60 秒的逼真视频．为
调查 Sora 的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了 150 名视频从业人员
进行调查，结果如下表所示．
视频从业人员
Sora 的应用情况
合计
减少
减少
应用
54
18
72
没有应用
36
42
78
合计
90
60
150
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
(1)根据所给数据，判断是否有
的把握认为 Sora 的应用与视频从业人员的减少有关？
（附：
，其中
．）
(2)某公司视频部拟开展 Sora 培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为
，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用 Sora．
（i）求员工经过培训能应用 Sora 的概率；
13 / 17
（ii）已知开展 Sora 培训前，员工每人每年平均为公司创造利润 6 万元；开展 Sora 培训后，能应用 Sora 的
员工每人每年平均为公司创造利润 10 万元；Sora 培训平均每人每年成本为 1 万元．视频部现有员工 100 人，
根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展 Sora 培训，现要
求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
【详解】（1）零假设
：Sora 的应用与视频从业人员的减少无关，
， .................................................................................... 2 分
根据小概率值
的独立性检验，可以推断出
不成立，
所以有
的把握认为 Sora 的应用与视频从业人员的减少有关； ......................................................... 4 分
（2）（i）设
“员工第 轮获得优秀”
，
“员工经过培训能应用 Sora”，则
， .................................................................................................................. 6 分
所以
，
所以员工经过培训能应用 Sora 的概率为 ； ..................................................................................................... 9 分
（ii）设视频部调 人至其他部门，
为培训后视频部能应用 Sora 的人数，
则
，因此
， ........................................................................................................ 11 分
调整后视频部的期望年利润为：
（万元），
.................................................................................................................................................................................................. 13 分
令
，解得
，又
，所以
，
因此视频部最多可以调 14 人到其他部门． ............................................................................................................ 15 分
18．（17 分）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一
次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分统计结
果如表所示：
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分
， 近似为这 100 人得分的平均值（同
一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
14 / 17
①求 的值；
②利用该正态分布，求
；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记
（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求
的分布列与数
学期望．
参考数据与公式：
．若
，则
，
，
.
【详解】（1）由题意得：
，
∴
，∵
， ................................................................................................................................. 3 分
，
........................................................................... ............ 5
分
.................................................................................................................................... 7 分
（2）由题意知
，.
获赠话费
的可能取值为 20，40，50，70，100，
，
，
，
，
，. .................................................... 10 分
∴
的分布列为：
20
40
50
70
100
15 / 17
.................................................................................................................................................................................................. 14 分∴
.................................................................................... 17 分
19．（17 分）若椭圆
上的两个不同的点
满足
0，
则称
为该椭圆的一组“相伴点对”，记作
．已知椭圆
的焦距为
，离
心率为
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若
，证明椭圆 上存在两个点
满足“相伴点对”
，并求点
的坐标；
(3)设（2）中的两个点
分别是
，若直线
与直线 的斜率之积为
，直线 与椭圆 交于
两点，点
，点
，连接
交椭圆 于另一点 ，连接
交椭圆 于另一点 ，证明：
三点共线．
【详解】（1）由题可得
，即
，又
，
所以
，
， ................................................................................................................................... 2 分
所以椭圆方程为：
； .................................................................................................................................. 3 分
（2）设“相伴点对”
的坐标为
，
根据定义：点
的坐标满足
，解得
或
，
于是有两个点满足，且点
的坐标为
； ....................................................................... 6 分
（3）由（2）知
，
，所以
，
设
，
，
，
直线
方程为
， ..................................................................................................................... 8 分
16 / 17
由
，得
，
其中
， ............................................................................... 10 分
又
，代入整理得
，
，
，所以
， ............................................................. 12 分
，
同理
，
， .................................................................................... 15 分
由
得
，
由
，
，
所以
，所以
三点共线． ................................................................................................................ 17 分
17 / 17
