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专题03 概率与统计下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：二项式定理新定义
题型二：排列组合新定义
题型三：概率新定义
题型四：统计方法新定义
题型五：信息熵问题
【方法技巧与总结】
解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总
之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践
和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
【典型例题】
题型一：二项式定理新定义
【典例1-1】（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1 的正整数
都可
以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为
的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记
的所有真因数（除了1 和
以外的因数）依次为
，证明：
．
【典例1-2】（2024·安徽合肥·一模）“
数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设
是非零实数，对任
意
，定义“
数”
利用“
数”可定义“
阶乘”
和“
组合数”，即对任意
，
(1)计算：
；
1
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(2)证明：对于任意
，
(3)证明：对于任意
，
【变式1-1】（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱
长为
，若甲从其中一个底面边长和高都为2 的正四棱锥的5 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，定义
随机变量
的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8 条棱中任取2 条，定
义随机变量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9 条棱中任取2 条，定义随机变
量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）
(2)现单独研究棱长
，记
（
且
），其展开式中含
项的系数为
，
含
项的系数为
.
①若
，对
成立，求实数
，
，的值；
②对①中的实数
，
，用数字归纳法证明：对任意
且
，
都成立.
题型二：排列组合新定义
【典例2-1】（2024·高三·北京·阶段练习）设
为正整数，集合
.对于集合
中的任意元素
和
，定义
.
(1)当
时，若
，直接写出所有使
同时成立的
的元素
；
(2)当
时，设
是
的子集，且满足：对于
中的任意两个不同元素
.求集合
中元素
个数的最大值；
2
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(3)给定不小于2 的
，设
是
的子集，且满足：对于
中的任意两个不同的元素
，写出
一个集合
，使其元素个数最多，并说明理由.
【典例2-2】（2024·高三·浙江·开学考试）一般地，
元有序实数对
称为
维向量.对于两个
维向量
，定义：两点间距离
，利
用
维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与
每个标准点的距离
，与哪个标准点的距离
最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测
试，得到业务能力分值
､管理能力分值
､计算机能力分值
､沟通能力分值
（分值
代表要求度，1 分最低，5 分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分
值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员
（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员
（4）
4
5
4
4
17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量
的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方
均小于20 的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为
，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业
的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业
的推荐率
分别为
，试求小明的各项能力分值.
3
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题型三：概率新定义
【典例3-1】（2024·浙江·一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒
检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该
混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为
．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数
，这里X 指该组样本N
个人中患病毒的人数．
(1)证明：
；
(2)若
，
．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人
为阳性．
【典例3-2】（2024·辽宁·模拟预测）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们
对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y
是离散型随机变量，则X 在给定事件
条件下的期望为
，其中
为X 的所有可能取值集合，
表示事件“
”与事件“
”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击
中目标的概率均为p（
），射击进行到击中目标两次时停止.设
表示第一次击中目标时的射击次数，
表示第二次击中目标时的射击次数．
(1)求
，
；
(2)求
，
．
【变式3-1】（2024·福建漳州·一模）在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，发送每个信号数字
之间相互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0．
(1)记发送信号变量为
，接收信号变量为
，且满足
，
，
4
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，求
；
(2)当发送信号0 时，接收为0 的概率为
，定义随机变量
的“有效值”为
（其中
是
的所有可能的取值，
），发送信号“000”的接收
信号为“
”，记
为
，
，
三个数字之和，求
的“有效值”．（
，
）
题型四：统计方法新定义
【典例4-1 】（2024·全国·模拟预测）某校20 名学生的数学成绩
和知识竞赛成绩
如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知识竞赛成绩
290
160
220
20
0
65
70
90
100
60
270
学生编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知识竞赛成绩
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5
计算可得数学成绩的平均值是
，知识竞赛成绩的平均值是
，并且
，
，
．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到
）．
(2)设
，变量
和变量
的一组样本数据为
，其中
两两不相同，
两两不相同．记
在
中的排名是第
位，
在
中的排
名是第
位，
．定义变量
和变量
的“斯皮尔曼相关系数”（记为
）为变量
的排名和变
量
的排名的样本相关系数．
5
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（i）记
，
．证明：
．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到
）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．
；
；
．
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否
喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100 名进行问卷调查，得到如下列联表
．
喜爱
不喜爱
男生
女生
(1)当
时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6 人，再从这6 人中
随机抽取3 人调研不喜爱的原因，记这3 人中女生的人数为
，求
的分布列与数学期望．
(2)定义
，其中
为列联表中第行第
列的实际数据，
为列联表中第行与第
列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如
，
．基于小概率值
的检验规则：首先提出零假设
（变量X，Y 相互独立），然
后计算
的值，当
时，我们推断
不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过
；
否则，我们没有充分证据推断
不成立，可以认为X 和Y 独立．根据
的计算公式，求解下面问题：
①当
时，依据小概率值
的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？
②当
时，依据小概率值
的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少
名男生喜爱冰雪运动？
附：
0.1
0.025
0.005
2.706
5.024
7.879
6
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【变式4-1】（2024·高三·北京·期末）在测试中，客观题难度的计算公式为
，其中
为第题的难度，
为答对该题的人数，
为参加测试的总人数．现对某校高三年级240 名学生进行一次测试，共5 道客观
题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，随机抽取了20 名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人
数
16
1
6
14
1
4
4
(1)根据题中数据，估计这240 名学生中第5 题的实测答对人数；
(2)从抽样的20 名学生中随机抽取2 名学生，记这2 名学生中第5 题答对的人数为X，求X 的分布列和数学
期望；
(3)定义统计量
，其中
为第题的实测难度，
为第题的预估难度
．规定：若
，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预
估是否合理.
题型五：信息熵问题
【典例5-1】（2024·高三·河北·阶段练习）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香
农在1948 年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均
信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量
所有可能的取值为
，且
，定义
的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)若
，判断并证明当
增大时，
的变化趋势；
(3)若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
，证
7
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明：
.
【典例5-2】（2024·高三·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均
量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.
（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特
征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些
其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息
量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵
的单位通常为比特，但也用
、
、
计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息
的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1
的信息，而掷
次就为
位.更一般地，你需要
用
位来表示一个可以取
个值的变量.在1948 年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息
论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871 年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明
违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量
所有取值为
，定义
的信息熵
，（
，
）.
(1)若
，试探索
的信息熵关于
的解析式，并求其最大值；
(2)若
，
（
），求此时的信息熵.
【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的
消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信
道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值
的随机变量，分别记作
和
.条件概率
，描述了输入信号和输
出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量
的平均信息量定义为：
.当
时，信道疑义度定义为
8
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(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的
点数
的平均信息量
；
(2)设某信道的输入变量
与输出变量
均取值0，1.满足：
.试回答以下问题：
①求
的值；
②求该信道的信道疑义度
的最大值.
【过关测试】
1．（2024·高三·全国·专题练习）定义：
为不超过
的最大整数部分，如
，
．
甲、乙两个学生高二的6 次数学测试成绩（测试时间为90 分钟，满分100 分）如下表所示：
高二成
绩
第1 次考试
第2 次考试
第3 次考试
第4 次考试
第5 次考试
第6 次考试
甲
68
74
77
84
88
95
乙
71
75
82
84
86
94
进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二
的数学测试成绩为
，若
，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为
；若
，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为
100．
(1)试预测：在将要进行的高三6 次数学测试成绩（测试时间为90 分钟，满分100 分）中，甲、乙两个学生
的成绩（填入下列表格内）；
高三成
绩
第1 次考试
第2 次考试
第3 次考试
第4 次考试
第5 次考试
第6 次考试
甲
乙
(2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为，规定：
，记为转换分为3 分；
，记为转
换分为4 分；
，记为转换分为5 分．现从乙的6 次数学测试成绩中任意抽取2 次，求这2 次成绩
9
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的转换分之和为8 分的概率．
2．（2024·全国·一模）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连
续型随机变量
，定义其累积分布函数为
．已知某系统由一个电源和并联的
，
，
三
个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之
间工作相互独立．
(1)已知电源电压
（单位：
）服从正态分布
，且
的累积分布函数为
，求
；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量
（单位：天）表
示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为
.
（ⅰ）设
，证明：
；
（ⅱ）若第
天元件
发生故障，求第
天系统正常运行的概率．
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
3．为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100 名患者，均分为两组，
分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别
为
和
．在治疗过程中，用指标
衡量患者是否受益：若
，则认为指标
正常；若
，则认为指标
偏高；若
，则认为指标
偏低．若治疗后患者的指标
正常，则认为患
者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为
0.6．
(1)求
和
；
(2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位
的患者治疗后指标
的值为
，
，2，
，50，定义函数：
（ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．
①
；
10
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②
；
（ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并
根据统计量的取值作出统计决策．
4．（2024·高二·四川遂宁·期末）2020 年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作
的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100 分），根据调查数据制成如下表格和频率
分布直方图，已知评分在
的居民有600 人．
满意度评
分
满意度等
级
不满意
基本满意
满意
非常满意
(1)求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；
(2)定义满意度指数
，若
，则防疫工作需要进行大调整，否则不需要
大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整？（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）
(3)为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在
，
中用分层抽样的方法抽取6 名
居民，倾听他们的意见，并从6 人中抽取2 人担任防疫工作的监督员，求这2 人中仅有一人对防疫工作的
评分在
内的概率．
5．（2024·高三·北京·阶段练习）设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为
11
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，
，
，
，
．指标
可用来刻
画X 和Y 的相似程度，其定义为
．设
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)对任意与
有相同可能取值的随机变量
，证明：
，并指出取等号的充要条件
6．（2024·高三·河南·期末）某国家队要从男子短道速滑1500 米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加
2022 年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：
次序（）
1
2
3
4
5
6
甲（
秒）
142
140
139
13
8
141
140
乙（
秒）
138
142
137
13
9
143
141
(1)分别计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩
，偏优均差
；
(2)若
，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3 次，求有
两次甲、乙水平相当的概率．
注：若数据
中的最优数据为
，定义
为偏优均差．本
题中的最优数据即最短时间．
7．（2024·全国·模拟预测）某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了
市100 位退休人员，统计数据如下表所示：
患痴呆症
不患痴呆症
合计
上网
16
32
48
不上网
34
18
52
12
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合计
50
50
100
(1)依据
的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？
(2)从该市退休人员中任取一位，记事件A 为“此人患痴呆症”，
为“此人上网”，则
为“此人不患痴
呆症”，定义事件A 的强度
，在事件
发生的条件下A 的强度
．
（ｉ）证明：
；
（ⅱ）利用抽样的样本数据，估计
的值．
附：
，其中
．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
8．（2024·高三·山西朔州·开学考试）某校20 名学生的数学成绩
和知识竞赛成绩
如下表：
学生编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
100
99
96
93
90
8
8
85
83
80
77
知识竞赛成绩
290
160
220
200
65
7
0
90
10
0
60
270
学生编号i
11
12
13
14
15
1
6
17
18
19
20
数学成绩
75
74
72
70
68
6
6
60
50
39
35
知识竞赛成绩
45
35
40
50
25
3
0
20
15
10
5
13
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计算可得数学成绩的平均值是
，知识竞赛成绩的平均值是
，并且
，
，
.
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)设
，变量
和变量
的一组样本数据为
，其中
两两不相同，
两两不相同.记
在
中的排名是第
位，
在
中的排名是
第
位，
.定义变量
和变量
的“斯皮尔曼相关系数”（记为
）为变量
的排名和变量
的
排名的样本相关系数.
（i）记
，
.证明：
；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述
“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
；
；
.
9．（2024·高二·湖北·阶段练习）“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，
难度也就越小，“难度系数”的计算公式为
，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷
总分（一般为100 分或150 分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5 套测试卷（总分150 分），用于
对该校高二年级480 名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，
如下表所示：
试卷序号i
1
2
3
4
5
考前预估难度系数
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
测试后，随机抽取了50 名学生的数据进行统计，结果如下：
试卷序号
i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87
14
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(1)根据试卷2 的预估难度系数估计这480 名学生第2 套试卷的平均分；
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设
为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量
， 若
，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不
合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5 套试卷难度系数的预估是否合理．
(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双
方轮换选题，每人每次只选1 道题，先正确解答者记1 分，否则计0 分，先多得2 分者为胜方.若在此次竞
赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为
，明明选题时聪聪得分的概率为
，各题的结果相互独立，二人约
定从0:0 计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1 获胜的概率 .
10．（2024·高三·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标
表示，其中
．而在n 维空间中
，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表
示为n 维坐标
，其中
．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼
哈顿距离为两点
与
坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n 维“立方体”的顶点数；
(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X 的分布列与期望；
②证明：在n 足够大时，随机变量X 的方差小于
．
（已知对于正态分布
，P 随X 变化关系可表示为
）
11．（2024·高二·福建莆田·期末）为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物
进行试验，从该试验群中随机抽查了50 只，得到如下的样本数据（单位：只）：
发
病
没发病
合计
接种疫苗
8
16
24
15
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没接种疫苗
17
9
26
合计
25
25
50
(1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记
表示此动物发病，
表示此动物没发病，
表示此动物接种疫苗，
定义事件
的优势
，在事件
发生的条件下
的优势
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用抽样的样本数据，给出
，
的估计值，并给出
的估计值.附：
，其中
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
12．（2024·高一·山东济南·期末）独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论
和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17 世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼
此不相关的事件．19 世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件
的概率乘法公式．对任意两个事件
与
，如果
成立，则称事件
与事件
相互独立，
简称为独立．
(1)若事件
与事件
相互独立，证明：
与
相互独立；
(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为
，乙每轮
答对的概率为
．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活
动中答对3 道题的概率．
13．（2024·高二·浙江台州·期末）袋中有大小、形状完全相同的2 个红球，4 个白球.采用放回摸球，从袋
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中摸出一个球，定义T 变换为：若摸出的球是白球，把函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来
倍，
（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数
图象上所有的点向下平移1 个单位.函数
经过1 次T
变换后的函数记为
，经过2 次T 变换后的函数记为
，…，经过n 次T 变换后的函数记为
.现对函数
进行连续的T 变换.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求
；
(2)记
，求随机变量
的分布列及数学期望.
14．（2024·高三·上海宝山·阶段练习）已知
为正整数，对于给定的函数
，定义一个
次多项式
如下:
(1)当
时，求
;
(2)当
时，求
;
(3)当
时，求
.
15．（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）通信信号利用BEC 信道传输，若BEC 信道传输成功，则接收端收到
的信号与发来的信号完全相同．若BEC 信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种
是传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）．
另一种是华为公司5G 信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的发明的极化码技术（以两个信
道为例，如图2）．传输规则如下，信号
直接从信道2 传输；信号
在传输前先与
“异或”运算得
到信号
，再从信道1 传输．若信道1 与信道2 均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传
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至接收端，若信道1 输出失败信道2 输出成功，则接收端接收到信道2 信号，若信道1 输出成功信道2 输
出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端．
（注：定义“异或”运算：
）．假设每个信道传输成
功的概率均为
．
(1)对于传统传输技术，求信号
和
中至少有一个传输成功的概率；
(2)对于Erdal Arikan 教授的极化码技术；
①求接收端成功接收信号
的概率；
②若接收端接收到信号
才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率．
16．（2024·高三·河南·阶段练习）2020 年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作
的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100 分)，根据调查数据制成如下表格和频率分
布直方图，已知评分在[80，100]的居民有600 人
满意度评
分
满意度等
级
不满意
基本满
意
满意
非常满意
(1)求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数;
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(2)定义满意度指数
=(满意程度的平均分)/100，若
<0.8，则防疫工作需要进行大调整，否则不需要大调
整.根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(3)为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在[40，50).[50，60)中用分层抽样的方法抽取6 名
居民，倾听他们的意见，并从6 人中抽取2 人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2
人中仅有一人对防疫工作的评分在[40，50)内的概率
17．（2024·全国·模拟预测）受疫情､网购的影响，实体店的经营难度增大.某商场在开业时采取打折促销､
直播带货､增加商品体验度等多种方式吸引顾客，力求提高商品销售量.在开业后的前天，某商品第天的
日销售量
（单位：件）的统计数据如下表：
时间
1
2
3
4
5
日销售量
/件
100
90
95
80
85
(1)经统计分析，日销售量y 与时间t 之间具有线性相关关系，试用最小二乘法求出
关于的线性回归方程
；
(2)定义
，其中
是实际日销售量，
是预报日销售量，
，2，3，4，
5.若
，则认为线性回归方程拟合效果优秀；若
，则认为线性回归方程拟合效果良好；若
，则认为线性回归方程拟合效果很差.试判断第（1）问所求线性回归方程的拟合效果.
参考公式：回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
18．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越
高，难度也就越小“难度系数”的计算公式为
，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试
卷总分（一般为100 分或150 分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5 套测试卷（总分150 分），用
于对该校高二年级480 名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，
如下表所示：
试卷序号i
1
2
3
4
5
19
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考前预估难度系数
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
测试后，随机抽取了50 名学生的数据进行统计，结果如下：
试卷序号
i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87
（1）根据试卷2 的难度系数估计这480 名学生第2 套试卷的平均分；
（2）从抽取的50 名学生的5 套试卷中随机抽取2 套试卷，求抽取的2 套试卷中恰有1 套学生的平均分超
过96 分的概率；
（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设
为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统
计量
， 若
，则认为试卷的难度系数预估合理，否则
认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5 套试卷难度系数的预估是否合理．
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