期末选优拔尖测试
（120 分,90 分钟）
一、选择题（每题3 分，共24 分）
1.如图1 所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
图1
2.下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．水中捞月 B．拔苗助长
C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
3.如图2,AB 是⊙O 的直径，∠ACD=15°，则∠BAD 的度数为（ ）
A．75° B．72°
C．70° D．65°
图2 图3
4.有一块长为30 m，宽为20 m 的矩形菜地，准备修筑同样宽的三条直路（如图
3），把菜地分成六块作为试验田，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩
形菜地面积的
，设道路的宽度为x m，下列方程：
①30x +20x ×2=30×20×
；②30x+20x×2－2x2=30×20×
；③(30－2x)(20－
x)=30×20×
,其中正确的是（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
5.已知关于x 的一元二次方程x2－2x=m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范
围是（ ）
A．m<1 B．m<－2
C．m=0 D．m>－1
6.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1∶
∶
B．
∶
∶1
C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
图4
7.如图4，点A、B、C、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O－C－D－
O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则如图5 所示图
象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）
图5 图6
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图6 所示,则下列5 个代数式：ab,ac,a－
b+c,b2－4ac,2a+b 中,值大于0 的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每题3 分，共21 分）
9.(陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2－x－6 向上(下)或向左(右)平移m 个
单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m 的最小值为_______.
10.已知点P(a,－3)关于原点的对称点为P1(－2,b),则a+b 的值是_______.
11.已知2－
是一元二次方程x2－4x+c=0 的一个根，则方程的另一个根是
_______.
12.如图7 所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，
两侧距地面3 m 高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6 m，则厂门的高度约
为_______.（精确到0.1 m）
图7
13.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6 cm,则此圆锥的
表面积为_______cm2.
14.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2－5x+6=0 的两根,且O1O2=1,则
⊙O1和⊙O2的位置关系是_______.
15. 如图8,Rt△ABC 的边BC 位于直线l 上,AC=
,∠ACB=90°,∠A= 30°; 若
Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A 第3 次落在直线l 上时,点A 所
经过的路线的长为_______ (结果用含π 的式子表示).
图8
三、解答题（16～18 题每题6 分，19～22 题每题8 分，23 题11 分，24 题14 分，共
75 分）
16.已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线
的解析式.
17.解方程x2－4x+2=0.（用配方法）
18. 已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x2 －
(2k+1)x+k(k+1)=0 的两个实数根,第三边BC 的长为5.
(1)k 为何值时,△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?
(2)k 为何值时,△ABC 是等腰三角形?并求△ABC 的周长.
19. 现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字
“1”“2”“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二
次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字.请用列表或画树状图的方法表示
出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概
率.
20.已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A，点G、E 分别在线段AD、
AB 上.
（1）如图9（1），连接DF、BF，若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，判断
命题：“在旋转的过程中线段DF 与BF 的长始终相等.”是否正确，若正确请说
明理由，若不正确请举反例说明；
（2）若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你
能否找到一条线段的长与线段DG 的长始终相等.并以图9（2）为例说明理由.
图9
21.如图10，AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A，点B 是⊙O 上的一点，且
∠BAC=30°，∠APB=60°.
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，求弦AB 及PA，PB 的长.
图10
22.“五一”期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图11 为某游乐场大型摩天轮
的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24 分钟，最底部点B 离地面1m.
小明乘坐的车厢经过点B 时开始计时.
（1）计时4 分钟后小明离地面的高度是多少？
（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m 以上的空中
图11
23.为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号
线第15 标段工程进行招标，施工距离全长为300 米.经招标协定，该工程由甲、乙
两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万
元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8－0.09x,(2)乙公司施工单价y2
（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8－0.05x.
(注:工程款=施工单价×施工长度)
(1)如果不考虑其他因素,单独由甲公司施工,那么完成此项工程需工程款多少万
元?
(2)考虑到设备和技术等因素,甲公司必须邀请乙公司联合施工,共同完成该工程.
因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140 万元（从工程款中扣
除）.
①如果设甲公司施工a 米（0<a<300）,那么乙公司施工______米,其施工单价
y2=_______万元/米,试求市政府共支付工程款P(万元)与a(米)之间的函数关系式;
②如果市政府支付的工程款为2 900 万元,那么应将多长的施工距离安排给乙公
司施工?
24.如图12，y 关于x 的二次函数y=－
(x+m)(x－3m)图象的顶点为M,图象交x
轴于A、B 两点，交y 轴正半轴于点D.以AB 为直径作圆，圆心为点C，定点E 的坐
标为（－3，0），连接ED.（m>0）
（1）写出A、B、D 三点的坐标；
（2）当m 为何值时，点Ｍ在直线ＥＤ上？判定此时直线ED 与圆的位置关系；
（3）当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S，并在直角坐标系中画出S 关于m 的
函数图象示意图.
图12
参考答案及点拨
一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C
二、9. 2 10. 5 11. 2+
12. 6.9 m 13. 16π 14. 内切
15. (4+
)π
三、16. 解：设抛物线的解析式为y=a(x－2)2+k.把A(1,0),B(0,－3)的坐标代入,得
解得
∴y=－(x－2)2+1= －x2+4x－3.
17. 解：移项，得x2－4x=－2，配方，得x2－4x+4= －2+4，即（x－2）2=2，所以x－
2=±
，x1=2+
，x2=2－
.
18. 解：(1)∵x2－(2k+1)x+k(k+1)=0,
∴(x－k)·［x－(k+1)］=0,
∴x1=k,x2=k+1.
由勾股定理，得k2+(k+1)2=52,解得k1=3,k2=－4(舍去).
∴当k=3 时,△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.
(2)当△ABC 是等腰三角形时,有三种情况:
①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b2－4ac=［－(2k+1)］2－4k(k+1)=1,即
AB≠AC.因此此种情况不存在;
②AB=BC 或AC=BC.此时x=5 是已知方程的一个根，所以52－5(2k+1)+k(k+1)=0,
解得k1=4,k2=5.
当k1=4 时,方程的两个根为x1=k=4,x2=k+1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可
以构成三角形,
∴此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;
当k=5 时,方程的两个根为x1=k=5,x2=k+1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可
以构成三角形,
∴此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.
19. 解：画树状图如答图1：
∵共有9 种等可能的结果,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3 种情
况,∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为:
=
.
答图1
20. 解：（1）不正确，当F 在线段AB 上时，设大正方形边长为a，小正方形边长为
b,计算可得DF=
>a,BF=｜AB－AF｜=｜a－
｜<a,故DF>BF,即此时
DF≠BF;
(2)BE=DG.理由：连接BE，在△ADG 和△ABE 中，∵AD=AB，∠DAG=∠BAE，
AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴BE=DG.
21.（1）证明：连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.∴ ∠AOB=180°
－30°－30°=120°.∵PA 切⊙O 于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B 是⊙O 上的一点，
∴PB 是⊙O 的切线.
（2）解：连接OP.∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB，∠OPA=
∠OPB=
∠APB=30°.
在Rt△OAP 中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=
=
=2
.
∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2
.
22. 解：(1)设4 分钟后小明到达点C,过点C 作CD⊥OB 于点D,如答图2，DA 即
为小明离地面的高度,∵∠COD=
×4=60°，∴OD=
OC=
×20=10（m），
∴DA=20－10+1=11（m）.
答:计时4 分钟后小明离地面的高度是11 m;
答图2
(2)当旋转到E 处时,作弦EF⊥AO 交AO 的延长线于点H,连接OE,OF,此时EF 离
地面高度为HA.
当
HA=31
m
时
,OH=31
－
1
－
20=10
（
m
）
,∴
OH=
OE,∴∠HOE=60°,∴∠FOE=120°.
∵摩天轮每分钟旋转的角度为:
=15°,∴由点E 旋转到F 所用的时间为:
=8(分钟).
答:在旋转一周的过程中,小明将有8 分钟的时间连续保持在离地面31m 以上的空
中.
23. 解：(1)由题意得:(27.8－0.09×300)×300=240(万元).
答:甲公司单独完成此项工程需工程款240 万元.
(2)①(300－a)(0.05a+0.8)
由题意,得P=(27.8－0.09a)a+(0.05a+0.8)(300－a)－140
=27.8a－0.09a2－0.05a2+14.2a+100=－0.14a2+42a+100
②当P=2 900 时,－0.14a2+42a+100=2 900,
整理,得:a2－300a+20 000=0,
解得:a1=100,a2=200,
∴300－a=200 或300－a=1 00.
答:应将200 米或100 米长的施工距离安排给乙公司施工.
24. 解：(1)令y=0,则－
(x+m)(x－3m)=0,解得x1=－m，x2=3m.
∵m>0,∴A(－m,0)，B(3m,0).
令x=0,则y=
m,即D(0,
m).
(2)设直线ED 的解析式为y=kx+b,将点E(－3,0)、D（0，
m）的坐标代入解析式中
得
解得
∴直线ED 的解析式为y=
∵y=－
(x+m)(x－3m)=－
(x－m)2+
m,
∴顶点M 的坐标为
.
把
代入y=
得m2=m,解得m=0 或m=1.
∵m>0,∴m=1.
∴当m=1 时,点M 在直线ED 上.
连接CD,点C 为AB 的中点,坐标为C(m,0),即(1,0).
∵OD=
,OC=1,
∴CD=2,点D 在圆上.
又∵OE=3,OE2+OD2=ED2=12,
EC2=16,CD2=4，
∴CD2+DE2=EC2.
∴∠EDC=90°,∴直线ED 与⊙C 相切.
答图3
(3)S△AED=
m·｜3－m｜.
当0<m<3 时,S△AED=
AE·OD=
m（3－m），即S= －
m2+
m.
当m>3 时,S△AED=
AE·OD=
m（m－3），即S=
m2－
m.
图象示意图如答图3 中的实线部分.
